Matura próbna z matematyki dla klas II poziom

Matura próbna z matematyki dla klas II poziom rozszerzony
Imię i nazwisko :
klasa:
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach 1–5 wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź
Zadanie 1. (0–1)
Funkcja określona wzorem f ( x)  x  3  4 dla wszystkich liczb rzeczywistych
A. nie ma miejsc zerowych
B. ma dokładnie jedno miejsce zerowe
C. ma dokładnie dwa miejsca zerowe
D. ma więcej niż dwa miejsca zerowe
Zadanie 2. (0–1)
Funkcja określona wzorem f ( x)  x 2  2 x  3 dla wszystkich liczb rzeczywistych. Funkcja ta
A. ma minimum dla x  2
B. ma zbiór wartości będący przedziałem  2, )
C. ma miejsce zerowe
D. jest rosnąca w przedziale 1, 
Zadanie 3. (0–1)
0 , 75
1
9 0, 25   
 3
Liczba
2
1
3
 
3
9
 
3
: 6 27
 81
1
6
jest równa
12
5
A. 3 5
B. 3 12
C. 3
1

5
12
D. 9

5
12
Zadanie 4. (0–1)
Punkt
jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym
większy od kąta
, a kąt
jest dwa razy większy od kąta
. Kąt
. Kąty trójkąta
jest trzy razy
mają miary
A. 60  , 60  , 60 
B. 30  , 60  , 90 
C. 60  , 45 , 75
D. 60  , 50  , 70 
Zadanie 5. (0–1)
Równanie sin 2 x  2 sin x w przedziale   ,  
A. nie ma rozwiązań
B. ma dokładnie dwa rozwiązania
C. ma dokładnie trzy rozwiązania
D. ma więcej niż trzy rozwiązania.
ZADANIA OTWARTE
W zadaniach 6–8 zakoduj wynik w kratkach zamieszczonych obok polecenia. W zadaniach
9–18 rozwiązania należy zapisać w pustych miejscach pod treścią zadania.
Zadanie 6. (0–2)
Liczba n jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą równanie
2 x  8  x  4  642
Zakoduj cyfry: setek, dziesiątek i jedności liczby n
2
Zadanie 7. (0–2)
Oblicz granice ciągu
lim
n 
3n  7 3n  4
16n  14n  2
Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego obliczonej granicy.
Zadanie 8. (0–2)
Boki trójkąta mają długości 4, 8, 10. Oblicz długość środkowej poprowadzonej do najdłuższego boku.
Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie 9. (0–2)
Udowodnij, że jeżeli liczby rzeczywiste spełniają równość a  b  1, to a 2  b 2 
3
1
.
2
Zadanie 10. (0–3)
W trójkącie ABC mamy dane: |AC| = 12, |BC| = 16 oraz |ACB| = 120. Przez wierzchołek C
poprowadzono prostą prostopadłą do boku AC. Przecięła ona bok AB w punkcie D. Oblicz:
a) długość odcinka CD
b) promień okręgu opisanego na trójkącie ABC
Zadanie 11. (0–3)
Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x) 
x 2  3x
x2  4
4
Zadanie 12. (0–3)
Rozwiąż równanie 1  4  7  ...  x  117
Zadanie 13. (0–3)
Rozwiąż równanie cos 2x  cos x  0 w przedziale x   ,  
Zadanie 14. (0–3)
Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W ( x)  x 3  ax 2  bx  1 wiedząc, że W (2)  7
oraz, że reszta z dzielenia W (x ) przez x  3 jest równa 10.
5
Zadanie 15. (0–4)
Drut o długości 26 cm dzielimy na dwie części. Z pierwszej części tworzymy brzeg prostokąta, w
którym stosunek boków jest równy 2:1, z drugiej części brzeg prostokąta, w którym stosunek boków
jest równy 5:1. jak należy podzielić drut, aby suma pól prostokątów była najmniejsza?
6
Zadanie 16. (0–6)
Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem f ( x)  1 
a) narysuj wykres f (x)
b) podaj zbiór wartości funkcji f (x)
7
2
22

 ... , a następnie
x  3 x  32
Zadanie 17. (0–6)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 2  4mx  m 3  6m 2  m  2  0
2
ma dwa róże pierwiastki rzeczywiste x1 , x2 takie, że x1  x 2   8m  1
8
Zadanie 18. (0–6)
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Jeżeli do pierwszej i do drugiej dodamy 1 oraz od trzeciej z
tych liczb odejmiemy 11, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny. Jeżeli zaś do pierwszej i drugiej
liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 2 oraz do trzeciej liczby nowego ciągu dodamy 8,to tak
otrzymany ciąg będzie znów geometryczny. Znajdź te liczby.
9
Brudnopis
nie podlega ocenie!
10