Termin 2

Termin 2
AREK00003C
Induktor i kondensator. Warunki
początkowe
Przyjmujemy
t0  0,
oraz ciągłość warunków
początkowych
uC (0 )  uC (0 )
iL (0 )  iL (0 )
2
Prąd stały
i(t)
R
u(t )  R  i(t )
R
I
U  R I
u(t)
i(t)
L
U
di(t )
u(t )  L
dt
u(t)
i(t)
C
i (t )  C
u(t)
du (t )
dt
I
 U 0
I
U=0
I=0
U
 I 0
U
3
Wartość średnia i skuteczna przebiegu
okresowego
Definicje (przypomnienie)
1 t0  T
U sr   u (t )dt
T t0
- wartość średnia
1 t0 T 2
U sk 
u (t )dt

t
T 0
- wartość skuteczna
Jeśli
u (t )  U m sin(0t   ),
0  2 f 0
- pulsacja
to
U sr  0,
U sk 
Um
2
.
4
Zastosowanie metody liczb
zespolonych. Metoda symboliczna
Załóżmy, że pobudzeniem (wymuszeniem) jest napięcie
sinusoidalne o amplitudzie Um, fazie początkowej ,
pulsacji 0, wyrażone równaniem
u (t )  U m sin(0t   ).
0  2 f 0 
2
T
- związek między pulsacją
0 a częstotliwością f0
T - okres
Wartość chwilowa tego napięcia w chwili t = 0 wynosi
u1= Umsin()
5
Metoda symboliczna
Wzór Eulera
Ae  jx  A  cos( x)  j  sin( x) 
e j  1  0 - podobno najpiękniejszy wzór matematyczny
6
Metoda symboliczna
Płaszczyzna
Gaussa
Im
ut
0t1
t
Um
u2 u1

0
Wirujący wskaz
Um
t1
t
Um
Re

0 0t1
0 t
0T
u (t )  U m sin(t   )  Im U m e j(0t  )   Im U m e j e j0t   Im U m e j70t 
Metoda symboliczna
Analitycznie można zapisać to w następujący sposób
u (t )  U m sin(0t   )  Im U m e j (0t  )   Im U m e j e j0t   Im U m e j0t 
przy czym
U m  U m e j  U m cos( )  jU m sin( )  U m1  jU m 2 ,
Um nazywa się amplitudą zespoloną, będącą liczbą
zespoloną niezależną od czasu o module i argumencie
równym odpowiednio amplitudzie i fazie początkowej
zadanej funkcji sinusoidalnej.
8
Metoda symboliczna
Jeśli amplitudę zespoloną podzielimy przez 2, to
otrzymamy wartość skuteczną zespoloną
Um
.
U
2
Wartość skuteczna
U  U.
Bardzo ważne do
zapamiętania !!!
W dalszej części będziemy używali jako reprezentację
sygnału sinusoidalnego na płaszczyźnie zespolonej
wartości skutecznej zespolonej.
9
Przykład
Przejście z dziedziny czasu na płaszczyznę liczb zespolonych.
20 j300
i (t )  20sin(3t  30 )  I 
e , 0  3,
2
0
cos( )  sin(  900 )
u (t )  15 2 cos(5t  30 )  15 2 sin(5t  30  90 )  U  15e
0
0
0
j600
, 0  5
Przejście z płaszczyzny liczb zespolonych do dziedziny czasu.
I  10e
 j450
, 0  3,  i (t )  10 2 sin  3t  450 
U  15j, 0  5  u (t )  15 2 sin  5t  90  , bo U  15j  15e
0
j900
U  100, 0  1  u (t )  100 2 sin  t  180  , bo U  100  100e
0
To przyporządkowanie jest wzajemnie jednoznaczne !
 j1800
10
Istota metody symbolicznej
Istota metody symbolicznej polega na
przyporządkowaniu przebiegowi
sinusoidalnemu liczby zespolonej, która dla
pulsacji 0 reprezentuje przebieg sinusoidalny
Fm j
f (t )  Fm sin 0t     F 
e , 0
2
F  Fe j , 0  f (t )  2 F sin 0t    ,
Zapmiętać !!!
F  F 
f (t )  Fm cos(0t   )  F 
Fm
2
e
 
j   
2

11
Postulaty Teorii Obwodów w ujęciu
symbolicznym - Przykład
I P.K
I1
i1(t)
i2(t)
i5(t)
i4(t)
metoda symboliczna
i3(t)
i1 (t )  i2 (t )  i3 (t )  i4 (t )  i5 (t )  0
I2
I5
I4
I3
I 1  I 2  I 3  I 4  I 5  0
Zapamiętać. I. P. K w metodzie symbolicznej dotyczy zespolonych
wartości skutecznych lub amplitud (literki podkreślone) prądów.
12
Przykład
i1 t
R
L
i2 t
1
3
2
ut
Um
i3 t
0
t
Amperomierz A1 – 6A,
Amperomierz A2 – 8A
Jaką wartość prądu pokazuje amperomierz A3 ?
Odp. 10A (później się wyjaśni)
13
Postulaty Teorii Obwodów w ujęciu
symbolicznym - Przykład
I I P.K
Ele
me
nt
U1
me
Ele
nt
metoda symboliczna
e
El
em
El
m
en
t
t
U4
u4(t)
U2
en
u2(t)
Element
U3
Element
Element
u1 (t )  u4 (t )  u3 (t )  u2 (t )  0
nt
me
e
l
E
U 1 U 2 U 3 U 4  0
Zapamiętać. I I P. K. w metodzie symbolicznej dotyczy
zespolonych wartości skutecznych lub amplitud
(literki podkreślone) napięć
14
Przykład
V1
V2
R
C
V3
ut
Um
t
0
Woltomierz V1 – 210V,
Woltomierz V2 – 280V
Jaką wartość napięcia pokazuje woltomierz V3 ?
Odp. 350V (później się wyjaśni)
15
Związki między napięciem i prądem
Uogólnione prawa Ohma
metoda symboliczna
u (t )  Ri (t )
U  RI
16
Rezystor – Metoda symboliczna
Wykres wskazowy
U
I
Ponieważ wskaz prądu i napięcia leżą na tym samym kierunku,
mówimy, że na
rezystorze prąd z napięciem są w fazie.
17
Rezystor
Przebiegi w dziedzinie czasu
V, A
10
8
R =5 
i (t )  2sin 103 t  A
6
4
2
0
-2
u (t )  10sin 103 t  V
-4
-6
-8
-10
-2
t [s]
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3
x 10
18
Induktor – Metoda symboliczna
Napięcie na induktorze
di (t )
u (t )  L
dt
Symboliczne P. O dla
induktora
U  j0 LI
I
lub
it
1
j 0 L
U
L
metoda symboliczna
di (t )
u (t )  L
dt
I
L
U  j0 L  I
19
Induktor – Metoda symboliczna
U  j0 LI
I
1
j0 L
impedancja
induktora
Z L  j 0 L
X L  0 L
- reaktancja induktora
U
admitancja
induktora
1
1
YL 
 j
j 0 L
0 L
1
BL  
- susceptancja induktora
0 L
20
Induktor – Metoda symboliczna
Wykres wskazowy
Na induktorze napięcie wyprzedza prąd o kąt 90o lub
prąd się opóźnia względem napięcia o kąt 90o.
21
Induktor
Przebiegi w dziedzinie czasu
V, A
10
8
L = 5mH
i (t )  2sin 103 t   / 2  A
6
4
2
0
-2
u (t )  10sin 103 t  V
-4
-6
-8
-10
-2
t [s]
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3
x 10
22
Kondensator – Metoda symboliczna
Prąd płynący przez kondensator
du (t )
i (t )  C
dt
Symboliczne P. O dla
kondensatora
I  j0C U
lub
du (t )
i (t )  C
dt
C
ut
U
1
j 0 C
I
I  j0C U
metoda symboliczna
C
U
23
Kondensator – Metoda symboliczna
U
1
j 0 C
I
I  j0CU
admitancja
kondensatora
impedancja
kondensatora
1
1
ZC 
 j
j 0 C
0 C
1
XC  
0 C
- reaktancja
kondensatora
Y C  j 0 C
BC  0C
- susceptancja
kondensatora
24
Kondensator – Metoda symboliczna
Wykres wskazowy
Na kondensatorze
napięcie opóźnia się względem prądu o kąt 90o lub
prąd wyprzedza napięcie o kąt 90o.
25
Kondensator
Przebiegi w dziedzinie czasu
V, A
10
8
C = 200F
i (t )  2sin 103 t   / 2  A
6
4
2
0
-2
u (t )  10sin 103 t  V
-4
-6
-8
-10
-2
t [s]
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-3
x 10
26
Wykres wskazowy
zapamiętać
CIU
LU I
C I UL
27
Pojęcie impedancji i admitancji
I
E 0
Iz 0
uC (0 )  0
U
iL (0 )  0
Wielkość, określoną jako stosunek zespolonej wartości skutecznej napięcia i
zespolonej wartości skutecznej prądu dwójnika przy warunkach początkowych
zerowych i wyłączonych źródłach autonomicznych nazywamy immitancją
zespoloną (impedancja lub admitancja).
U
Z
I
- impedancja
zespolona
I
Y
U
- admitancja
zespolona
28
Impedancja admitancja
I
U
Y
Z
U
 R  jX  Ze j
I
Y
I
 G  jB  Ye-j
U
X >0 char. indukcyjny
X<0 char. pojemnościowy
B>0 char. pojemnościowy
B<0 char. indukcyjny
1
1
R  jX
R  jX


 2
 G  jB
2
Z R  jX  R  jX  R  jX  R  X
G
R
X
;
B


R2  X 2
R2  X 2
R
G
B
;
X


G2  B2
G2  B2
29
Połączenia elementów
Połączenie szeregowe elementów
I
Z
U
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
U  U i   I Z i  I  Z i  I Z  Z   Z i
30
Połączenia elementów
Połączenie równoległe elementów
I
U
n
Z
n
n
n
1
1
1
1
1
I   I i  U
U U
 
Zi
Z
Z i 1 Z i
i 1
i 1
i 1 Z i
n
Y  Y i
i 1
31
Proste obwody – dzielnik napięcia
IR
Z1
U1 
E,
Z1  Z 2
Z2
U2 
E.
Z1  Z 2
IR
32
Proste obwody – dzielnik prądowy
Y1
Z2
I
I,
Y1  Y 2
Z1  Z 2
Y2
Z1
I2 
I
I,
Y1  Y 2
Z1  Z 2
I1 
gdzie
1
1
Y1  , Y 2 
.
Z1
Z2
33
Przykład
Metodą klasyczną zapisać sumę dwóch przebiegów
sinusoidalnych o tej samej pulsacji w postaci jednego sygnału
sinusoidalnego, np..
i (t )  7 sin(2t  350 )  4 cos(2t  120 )
Rozwiązanie w sposób klasyczny
i1 (t )  7 sin(2t  350 )  7  sin(2t ) cos(350 )  cos(2t ) sin(350 ) 
i2 (t )  4 cos(2t  120 )  4  cos(2t ) cos(120 )  sin(2t ) sin(120 ) 
i (t )  i1 (t )  i2 (t )   7 cos(350 )  4sin(120 )  sin(2t )   7 sin(350 )  4 cos(120 )  cos(2t )
i (t )  i1 (t )  i2 (t )  6,56571sin(2t )  7,92763cos(2t )
34
Przykład
Rozwiązanie w sposób klasyczny
i (t )  i1 (t )  i2 (t )  6,56571sin(2t )  7,92763cos(2t )
i (t )  i1 (t )  i2 (t )  6,56571sin(2t )  7,92763cos(2t ) 
7,92763
 6,56571

 10, 2935 
sin(2t ) 
cos(2t )  
10, 2935
 10, 2935

 10, 2935  0, 63785sin(2t )  0, 770159 cos(2t ) 
10, 2935  6,565712  7,927632
  2t ,   50.36830
0
Ostatecznie i (t )  10, 293sin(2t  50,368 )
35
Przykład
Metodą symboliczną zapisać sumę dwóch przebiegów
sinusoidalnych o tej samej pulsacji w postaci jednego sygnału
sinusoidalnego, np..
i (t )  7 sin(2t  350 )  4 cos(2t  120 )
Rozwiązanie wykorzystujące metodę symboliczną
0
7e  j35
0
, 0  2
i1 (t )  7 sin(2t  35 )  I 1 
2
0
4e j102
0
, 0  2
i2 (t )  4 cos(2t  12 )  I 2  
2


0
0
0
1
1
I  I1  I 2 
7e  j35  4e j102 
10, 294e  j50,368
2
2
i (t )  10, 293sin(2t  50,3680 )
Android
Program PowerCalc
v1.5.7
7- 35 - 4102 =
10.294- 50.368
36
Przykład
Obliczyć impedancję i admitancję dwójnika jak na
rys. dla częstotliwości f0. Wynik przedstawić w
postaci algebraicznej i wykładniczej.
R  50 Ω, C  5μF, L  10 mH,
L
f 0  2 kHz.
R
C
Rozwiązanie
R
1
1
j67,90
  22,73+ 56,0j mS=60,4e
Y   j 0 C 
mS,
R
R  j0 L
1
-j67,90

Z    6,23 - 15,3j   16, 6e
Y
37
Wykres wskazowy
Narysować wykres wskazowy dla poniższego obwodu
Rozwiązanie
Najlepiej zacząć od ILR (przyjąć argumet tego prądu 0o)
38
Wykres wskazowy
IC
UL
I
UC
I LR
UR
39
Przykład - zastosowania metody symbolicznej
W obwodzie panuje stan ustalony. Znaleźć napięcie
uc(t) stosując metodę symboliczną.
R1
R2
et
C
uc t
Dane: R1 = 1 ,
R2 = 2 ,
e(t) = 30sin(2t) V
C = 1/4 F
Rozwiązanie
30
, 0  2
e(t )  30sin(2t )  E 
2
40
Przykład
Można zastosować dzielnik
napięcia
Zw
Uc 
E
R1  Z w
Zw 
1
1
1
 j2
2
4
gdzie
Zw 
1
1
 j0C
R2
 1 j
-j45o
1  j  30 
2e
30 30  j18,435o
 j18,435o
Uc 



e
 13.4164e


 j26,565o
1+1-j  2 
2
5
5e
uc (t )  2 13, 4164sin  2t  18, 435o   18,9737 sin  2t  18, 435o 
41
Przykład
W obwodzie, którego schemat przedstawiono na rysunku,
panuje stan ustalony. Wyznaczyć wskazany prąd .
i t 
e t 
R1
C1
e  t   3 2 cos t V,
R2
C2
L
R1  1Ω, R2  2Ω, L  1H,
C1  2F, C2  1F.
i t   ?
42
Przykład
I
R1
C1
e  t   3 2 cos t V  E  j3V, 0  1
R2
E
C2
L

R1  1Ω, R2  2Ω, L  1H,
C1  2F, C2  1F.
I ?

1 1 1  1 j1 Ω
j0C1
j2
2
Z3 
Z 2  R2  j0 L   2  j Ω
Z 1  R1 
1   jΩ
j  0C 2
 
(2  j)   j 1  j2 1
Z2Z3
Z 23 


 j Ω
Z2  Z3
2  j j
2
2
43
Przykład
I
R1
C1
e  t   3 2 cos t V  E  j3V
R1  1Ω, R2  2Ω, L  1H,
C1  2F, C2  1F.
I ?
R2
E
C2
L


Z w  Z 1  Z 23  1  j 1  1  j= 3  j 3 Ω
2 2
2
2
0
j90
j3
j2
E
e
2
2
j1350
I



e A
0 
-j45
3
3
Zw
1 j
2
2e
j
2 2


i  t   2sin  t  1350   2sin t  34 π A.
44
Przykład
W obwodzie, którego schemat przedstawiono na rysunku,
panuje stan ustalony. Wyznaczyć wskazane napięcie oraz
prąd .
R1
C1
R2
u (t )
i (t )
C2
L
iz (t )
iZ  t   6 2 cos  2t  90 0  A
5
R1  1Ω, R2  2Ω, L  1 H,
2
C1  1F, C2  1 F.
2
i (t )  ? u (t )  ?
45
Przykład
R1
C1
U
R2
I
IZ
C2
L
Z 1  R1 
Z 2  R2  j0 L   2  j Ω
Z3 


1 1 1  1 j1 Ω
j0C1
j2
2
1   jΩ
j  0C 2
iZ  t   6 2 cos  2t  90 0  A 
5
 I Z   6 A, 0  2
5
R1  1Ω, R2  2Ω, L  1 H,
2
C1  1F, C2  1 F.
2
I ? U ?


Y1  1  4  2 j S
Z1
5 5


Y2  1  2  1 j S
Z2
5 5
Y 3  1  jS
Z3
46
Przykład
R1
C1
U
I
R2
IZ
C2
L


Y w  Y1  Y 2 Y 3  6  6 j S
5 5
Z dzielnika prądowego
I
0
Y3
I Z   1  1 j  2 e  j135 A
2 2
2
Yw
i (t )  sin  2t  1350  A
iZ (t )  6 2 cos  2t  90 0  V 
5
 I Z   6 A, 0  2
5
R1  1Ω, R2  2Ω, L  1 H,
2
C1  1F, C2  1 F.
2
I ? U ?
Z prawa Ohma
IZ
1
1
2
j1350
U
   j
e V
Yw
2 2
2
u (t )  sin  2t  1350  V
47
Przykład
Znaleźć wartość pojemności kondensatora C połączonego
szeregowo z żarówką, tak aby żarówka o parametrach
IŻ = 0.3 A i UŻ = 12 V pracowała w warunkach nominalnych po
włączeniu tak utworzonego obwodu do sieci energetycznej
napięcia zmiennego o wartości skutecznej 230V (f = 50Hz).
C
U  230V
Rozwiązanie
IŻ
C
R
UŻ
U  230V
48
Przykład - rozwiązanie
UŻ
UC
IŻ
C
R
U
IŻ
UŻ
U C  2302  122  229, 7 V
U Ż  12 V
U
UC
U  230 V
49
Przykład - rozwiązanie
UŻ
UC
IŻ
C
U C  229, 7 V
R
moduły
U
UC 
1
IŻ
j C
UC
1

IŻ
j C
1
UC 
IŻ
C
1
1
0,3  4,16μF
C
IŻ 
2  50  229, 7
U C
50
Przykład - rozwiązanie
51
Czyżby to już
koniec ?
52