Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 4 listopada 2015 Rozwiązania zadań ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punkt) Gwiazda sześcioramienna ma wszystkie boki równe i składa się z dwóch jednakowych trójkątów równobocznych (patrz rysunek). Pole każdego z trójkątów wynosi 30 cm2 . Pole gwiazdy wynosi: a) 35 cm2 b) 40 cm2 c) 45 cm2 Zadanie 2. (1 punkt) Nierówność d) 50 cm2 e) 60 cm2 x 1 2 >2 jest prawdziwa dla: a) x = −2 b) x = −1 c) x = 0 d) x = 1 e) x = 2 Zadanie 3. (1 punkt) Po obniżce ceny o 15% garnitur kosztuje 510 zł. Przed obniżką ten garnitur kosztował: a) 586 zł 50 gr b) 600 zł c) 536 zł 84 gr d) 576 zł 50 gr e) 566 zł 67 gr Zadanie 4. (1 punkt) Jaka jest cyfra jedności liczby 512 + 1015 + 911 a) 4 b) 5 c) 0 d) 9 e) 6 Zadanie 5. (1 punkt) Funkcja f każdej liczbie naturalnej n przyporządkowuje resztę z dzielenia liczby n przez 5. Jaki jest zbiór wartości tej funkcji a) {1, 2, 3, 4} b) {0, 1, 2, 3, 4} c) {1, 2, 3, 4, 5} d) {0, 1, 2, 3, 4, 5} e) {2, 3, 4, 5} Zadanie 6. (1 punkt) Liczba różnych dzielników liczby 22015 wynosi: a) 22015 b) 2015 c) 2016 d) 2 e) 1008 d) 0 e) ∞ Zadanie 7. (1 punkt) Ile osi symetrii ma figura: a) 1 b) 2 c) 3 Zadanie 8. (1 punkt) Ile różnych trójkątów można zbudować z odcinków o długościach: 29 cm, 14 cm, 12 cm, 6 cm, 19 cm ? a) 5 b) 4 c) 7 d) 6 e)10 Zadanie 9. (1 punkt) Rozwiązaniem równania 29 · x − 16 = 0 jest liczba a) 1 2 b) 1 16 c) 18 d) 2 e) 1 32 Zadanie 10. (2 punkty) Marek potrafi posprzątać pokój w ciągu 8 godzin. Rozpoczął sprzątanie o godz. 8:00. Gosia obiecała mu pomoc w sprzątaniu, lecz spóźniła się 4 godziny. Razem dokończyli sprzątanie o godz 13:00. O której godzinie skończyliby sprzątanie gdyby zaczęli sprzątać razem? a) 11:30 b) 10:30 c) 11:00 d) 12:10 e) 10:00 ZADANIA OTWARTE Zadanie 11.(3 punkty) Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe takie, że po wstawieniu między cyfrę dziesiątek i jednostek dodatkowej cyfry zwiększają się dziewięciokrotnie. Rozwiązanie: Oznaczenia: a - cyfra dziesiątek szukanej liczby b - cyfra jedności szukanej liczby x - cyfra która została umieszczona między a i b. Szukaną liczbę można zapisać jako 10a + b, przy czym zakładamy, że a 6= 0 Po wstawieniu między a i b cyfry x otrzymujemy liczbę 100a + 10x + b Z treści zadania wynika, że 100a + 10x + b = 9(10a + b) Po przekształceniach otrzymujemy 10a + 10x = 8b i dalej 4 a+x= b 5 Suma liczb a + x jest liczba całkowitą, więc 45 b też jest liczba całkowitą. Z faktu, że b jest liczbą jednocyfrową wynika, że b = 5 lub b = 0. Rozwiązanie b = 0 należy odrzucić, gdyż suma a + x nie może być równa zero. Tak więc b = 5. Stąd otrzymujemy: a+x=4 Ze względu na to, że a 6= 0 i a oraz x są liczbami całkowitymi nieujemnymi, rozwiązaniami tego równania są pary: a=1 x=3 a=2 x=2 a=3 x=1 a=4 x=0 Odpowiedź: Szukanymi liczbami są: 15, 25, 35, 45. Punktacja: 1. Zapisanie liczb w postaci 10a + b oraz 100a + 10x + b - 1 punkt 2. Zapisanie równania - 1 punkt 3. Wyznaczenie rozwiązań - 1 punkt Zadanie 12.(3 punkty) Mrówka porusza się z prędkością 2 razy większą niż biedronka i odległość 100 m przebywa w czasie o 10 min krótszym. Z jaką prędkością porusza się biedronka? Rozwiązanie: Oznaczenia: m x - prędkość biedronki w min m 2x - prędkość mrówki w min . Porównując czas biedronki i mrówki otrzymujemy równanie: 100 100 = − 10 2x x m Rozwiązaniemm powyższego równania jest x = 5 min Punktacja: 1. poprawne oznaczenia - 1 punkt 2. Zapisanie równania - 1 punkt 3. Wyznaczenie rozwiązania - 1 punkt Zadanie 13.(2 punkty) Dwa spośród boków trójkąta mają długości 3 cm i 4 cm. Zaznacz na osi liczbowej zbiór wszystkich możliwych długości trzeciego boku . 1. przypadek. Jeśli x jest najdłuższym odcinkiem, czyli x ­ 4, to aby można było zbudować trójkąt musi być spełniony warunek 3 + 4 > x. A więc x ­ 4 i x < 7 2. przypadek. Jeśli x nie jest najdłuższym odcinkiem, czyli 0 < x < 4, to aby można było zbudować trójkąt musi być spełniony warunek 3 + x > 4. A więc x < 4 i x > 1. Zatem zbiór wszystkich możliwych długości trzeciego boku oznaczonego przez x przedstawiamy na osi liczbowej następująco: Punktacja: 1. Jeżeli uczeń zapisze jeden z warunków (x ­ 4 i x < 7) lub (x < 4 i x > 1), to otrzymuje 1 punkt. 2. Jeżeli uczeń zapisze oba warunki i zaznaczy na osi liczbowej prawidłowy zbiór, to otrzymuje 2 punkty. Zadanie 14.(3 punkty) Koza jest przywiązana do ogrodzenia otaczającego działkę w kształcie √ koła o promieniu 100 m. Długość łańcucha, którym przywiązana jest koza wynosi 100 2 m. Wykonaj rysunek pomocniczy. Dziennie koza zjada trawę z powierzchni 107 m2 . Po ilu dniach należy zmienić punkt przywiązania kozy, aby nie była głodna? Fragment łąki √ w zasięgu kozy składa się z półkola o promieniu 100 m i odcinka koła o promieniu 100 2 m oznaczonego na rysunku przez P. Pole półkola o promieniu 100 m jest równe π · 1002 2 Ppółkola = m = π · 5000m2 2 √ Pole odcinka koła P jest równe różnicy pola wycinka koła o promieniu 100 2 m i trójkąta o podstawie 20 m i wysokości 10 m. Pole odcinka koła P jest równe: √ 2 π · (100 2) 200 · 100 2 PP = − m = π · 5000 − 10000m2 4 2 Całkowite pole w zasięgu kozy równe jest sumie obliczonych pól, więc Pkozy = π · 5000 + π · 5000 − 10000 = 10000 · (π − 1)m2 Przyjmując π = 3, 14 otrzymujemy Pkozy = 21400m2 Zatem koza zje trawę w ciągu 21400 = 200 dni. Po 200 dniach należy zmienić kozie miejsce. 107 Punktacja: 1. Naszkicowanie poprawnego rysunku - 1 punkt 2. Poprawne wyznaczenie pola zasięgu kozy - 1 punkt 3. Obliczenie ilości dni - 1 punkt Zadanie 15.(3 punkty) Liczba a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. Wykaż, że kwadrat liczby a powiększony o 1 jest podzielny przez 5. Liczbę a można zapisać zgodnie z warunkami zadania jako a = 5n + 3, n ∈ N Wówczas a2 + 1 = (5n + 3)2 + 1 = 25n2 + 30n + 9 + 1 = 25n2 + 30n + 10 = 5 · (5n2 + 6n + 2) Wyrażenie w nawiasie jest liczbą naturalną, gdyż jest wynikiem potęgowania, mnożenia i sumowania liczb naturalnych, z czego wynika że całe wyrazenie jest podzielne przez 5. Punktacja: 1. Poprawny zapis a = 5n + 3 oraz a2 + 1 - 1 punkt 2. Zamiana a2 + 1 na postać iloczynową z wyłączoną liczbą 5 - 1 punkt 3. Uzasadnienie że wyrażenie w nawiasie jest liczbą naturalną - 1 punkt Uwaga W przypadku innych sposobów rozwiązywania zadań prosimy o punktację zgodną z Państwa doświadczeniem.