Wojewódzki Konkurs Matematyczny ZADANIA ZAMKNIĘTE

Wojewódzki Konkurs Matematyczny
dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny
4 listopada 2014
Rozwiązania zadań
ZADANIA ZAMKNIĘTE
Zadanie 1. (1 punkt) Jaka jest cyfra jedności liczby 32014 + 32012 ?
a) 0
b) 1
c) 3
d) 6
e) 9
Zadanie 2. (1 punkt) Prostokątna działka ma na mapie w skali 1:2000 wymiary 1cm na 4cm.
Jaką powierzchnię ma ta działka w rzeczywistości?
a) 4 ary
b) 4 ha
c) 16 arów
d) 8000 m2
e)16 km2
Zadanie 3. (1 punkt) Właściciel firmy, chcąc oszczędzić energię elektryczną dokonał trzech
usprawnień, które obniżyły wydatki na ogrzewanie pomieszczenia kolejno o 20%, o 25% i o
45%. O ile procent łącznie zmniejszyły się jego wydatki na ogrzewanie?
a) 50%
b) 90%
c) 33%
d) 73%
e) 67%
2
Zadanie 4. (1 punkt) Które z liczb są rozwiązaniami równania 28x+2 = 4 · 2x ?
a) 1 i 4
b) 0 i 8
c) 0 i 4
d) 0 i -8
e) brak rozwiązań
Zadanie 5. (1 punkt) Która z funkcji przedstawiona jest na wykresie?
a) y = x + 2
b) y = −x + 2
c) y = −2x + 1
d) y = 12 x − 1
e) y = − 12 x + 1
Zadanie 6. (1 punkt) Jeśli dziś jest wtorek, to jaki dzień tygodnia będzie za 73 dni?
a) środa
b) czwartek
c) piątek
d) sobota
e) niedziela
Zadanie 7. (1 punkt) Janek i Ola postanowili pomalować płot przed domem. Gdyby Janek
pracował sam, pomalowanie płotu zajęłoby mu 3 godziny. Gdyby Ola malowała ten sam płot
sama, potrzebowałaby 2 godzin. Ile czasu zajmie pomalowanie tego płotu, jeśli Ola i Janek
będą pracować razem?
a) 1 godz.
b) 50 min.
d) 1 godz. 12 min.
c) 45 min.
e) 1 godz. 20 min.
Zadanie 8. (1 punkt) Ile wynosi kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego
a) 50o
b) 150o
c) 108o
d) 144o
e) 72o
Zadanie 9. (1 punkt) Pole zacieniowanego obszaru wynosi :
a) (6 + π) cm2
d) (8 + 2π) cm2
c) (6 + 21 π) cm2
b) (12 + π) cm2
e) (9 − π) cm2
Zadanie 10. (1 punkt) Różnica odwrotności liczby 1 13 i liczby przeciwnej do liczby 3 wynosi:
a) −1 23
b) 1
c)
15
4
d) −3 13
e) −4 13
ZADANIA OTWARTE
Zadanie 11.(3 punkty) Pięciokąt ma wszystkie boki równe 10 cm oraz dwa kąty proste. Oblicz
pole tego pięciokąta. Rozważ wszystkie możliwe przypadki.
Możliwe są trzy przypadki przedstawione na rysunku, kąty proste występują przy jednym boku
(przypadek II i przypadek III) oraz kąty proste nie znajdują się przy jednym boku (przypadek
I).
W przypadku II pole pięciokąta jest sumą pól kwadratu o boku 10 cm i trójkąta równnobocznego o boku 10 cm.
√
3
2
2
)cm2
PII = (10 + 10 ·
4
√
PII = 25 · (4 + 3)cm2
W przypadku III pole pięciokąta jest różnicą pól kwadratu o boku 10 cm i trójkąta równnobocznego o boku 10 cm.
√
3
2
2
PIII = (10 − 10 ·
)cm2
4
√
PIII = 25 · (4 − 3)cm2
W przypadku I pole pięciokąta jest sumą pól dwóch trójkątów równoramiennych prostokąt√
nych o ramionach 10 cm oraz trójkąta równoramiennego o podstawie 10 cm i ramionach 10 2
cm.
102 2
PI = 2 ·
cm + P∆ABE
2
Podstawa trójkąta ABE wynosi 10 cm natomiast wysokość tego trójkąta można wyliczyć z
twierdzenia Pitagorasa
√
(h∆ABE )2 = (10 2)2 − 52
√
h∆ABE = 5 7 cm
Tak więc pole pięciokąta w przypadku I wynosi
√ !
10
·
5
7
PI = 102 +
cm2
2
√ PI = 100 + 25 7 cm2
Punktacja:
Obliczenie pól z przypadku II lub III i obliczenie pola z przypadku I – 3 punkty,
obliczenie pola dla jednego z przypadków II albo III – 1 punkt,
obliczenie pól z przypadków II i III – 2 punkty,
obliczenie pola tylko dla przypadku I – 2 punkty.
Zadanie 12.(3 punkty) Trzej chłopcy, podczas gry na komputerze, strzelają do celu w równych
odstępach: pierwszy 4 sekund, drugi 6 sekund, a trzeci 8 sekund. Ile razy wystrzelą jednocześnie
w ciągu 15 minut, licząc od pierwszego strzału, który wszyscy trzej wykonali w tej samej
sekundzie?
Chłopcy będą strzelać jednocześnie gdy ilość sekund będzie podzielna przez najmniejszą
wspólną wielokrotność liczb 4,6,8.
N W W (4, 6, 8) = 24
Czas gry wyrażony w sekundach
t = 15 · 60 = 900s.
Ilość jednoczesnych strzałów jest częścią całkowitą ilorazu
n=
900
= 37, 5
24
Część cłkowita tej liczby wynosi 37
Należy jeszcze uwzględnić strzał początkowy, więc ilość jednoczesnych strzałów wynosi 38.
Punktacja:
Wyznaczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności 1 punkt, wyznaczenie ilości strzałów bez
uwzględnienia pierwszego strzału 1 punkt, uwzględnienie pierwszego strzału 1 punkt.
Zadanie 13.(2 punkty) Dane są liczby a =
średnią arytmetyczną liczb a i c.
√
2, b =
b=
√
a+c
=
2
2+
2
−3
√
2 2
=
c = − 2√3 2 . Udowodnij, że liczba b jest
a+c
2
√ √
2 2·√ 2−3
2 2
2
1
√
,
4 2
=
4−3
√
2 2
1
1
1
= √ · = √
2
2 2 2
4 2
Punktacja:
Zastosowanie wzoru na średnią 1 punkt, doprowadzenie wyniku do postaci podanej w zadaniu
1 punkt.
Zadanie 14.(3 punkty) Koza jest przywiązana z zewnętrznej strony ogrodzenia otaczającego
trójkątną działkę, której wszystkie boki równe są 20 m. (ogrodzenie uniemożliwia kozie wejście
na działkę). Na szczęście wokół działki jest dużo soczystej trawy. Punkt przywiązania kozy
znajduje się na środku jednego z boków ogrodzenia. Długość łańcucha, którym przywiązana
jest koza wynosi 30 m. Jakie pole ma do dyspozycji koza?
Koza zaczepiona jest w w punkcie A. Pole które ma w zasięgu złożone jest z półkola o
promieniu równym długości łańcucha oraz dwóch wycinków koła o promieniu 20 m i kącie
środkowym 120o .
1
2150
1
π m2
Pkozy = π302 + 2 · π202 =
2
3
3
Punktacja
Poprawny rysunek lub opis słowny 1 punkt, w przypadku gdy z obliczeń wynika, że uczeń
poprawnie określa pole łąki w zasięgu kozy również należy przyznać 1 punkt. Obliczenie pola
półkola 1 punkt, obliczenie pola wycinków kół 1 punkt.
Zadanie 15.(3 punkty) Oblicz resztę z podzielenia sumy sześciu kolejnych liczb naturalnych
przez 6. Wynik uzasadnij. Przyjmując kolejne liczby naturalne jako:
n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5 gdzie n > 0 Otrzymujemy następującą ich sumę:
S = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) = 6n + 1 + 2 + 3 + 4 + 5
S = 6n + 15
co można zapisać jako:
S = 6(n + 2) + 3
Tak więc reszta z podzielenia sumy sześciu kolejnych liczb naturalnych przez 6 wynosi 3.
Punktacja:
Przedstawienie kolejnych sześciu liczb naturalnych w ogólnej postaci 1 punkt, przekształceni
sumy 1 punkt, wyznaczenie reszty 1 punkt.