Liczby zespolone Funkcja wykładnicza i logarytmiczna

MATEMATYKA - BIOTECHNOLOGIA
Lista Zadań Nr
2
9 października 2012 r.
http://www.math.uni.wroc.pl/˜aracz
Liczby zespolone
Zadanie 12. Wykonaj następujące działania na liczbach zespolonych i) (2 + 3i) + (5 − 8i) ii) (1 −
v) i3 vi) i4 vii) i6 .
i) · (3 + 2i) iii) 3i iv) (2−i)
−i
Zadanie 13. Znajdź pierwiastki następujących równań i) x2 − 4x + 5, ii) x3 − 2x2 + 5x.
Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Zadanie 14. Rozwiąż równania: i) 2x−4 ·83−2x = 43x−3 , ii) 3x−1 +2·9−x+1 = 3, iii) 2x+2 +3·22−x = 14.
Zadanie 15. Rozwiąż nierówności: i) 4x+1 − 3 · 2x+2 < 16, ii) 5 · 4x − 4 · 52x < 10x .
Zadanie 16. Przedstaw następujące wyrażenia za pomocą logarytmu z pojedynczej liczby: i) ln 2 +
ln 3, ii) 21 (ln 2 + ln 8), iii) ln 15 − ln 3, iv) ln 20 − 31 (ln 16 + ln 4).
2
Zadanie 17. Uprość następujące wyrażenia i) ln x3 −ln x, ii) ln ex , iii) ln ex +3 −ln e3 , iv) ln(x5 −
3x2 ) + 2 ln x−1 − ln(x3 − 3).
√
√
Zadanie 18. Rozwiąż równania: i) 2 log(x − 3) − log(x − 2) = 21 log 0, 25, ii) log x + 2 log x = 2,
1
1
− 1−log
= log2 x.
iii) 1−log
2
2x
2x
Zadanie 19. Rozwiąż nierówności: i) log2 (x+2)+log2 (x−1) > 2. ii) |3−log2 x| < 1, iii) log2 (x+
2) < 2.
Zadanie 20. Wyznacz dziedziny funkcji:
q
√
x
+ 1) + 1 + log2 x.
f (x) = 2x + 1 + log(x2 − 2x), g(x) = log(
x−1
Zadanie 21. Naszkicuj wykresy funkcji:
x−2 ,
1 + 2−x ,
| log2 x|,
log 1 |x|,
2
log 1 (x − 1),
2
1 − e−x ,
ln(1 − x),
2
e−(1/2)x ,
ln(x2 ).
Zadanie 22. Naszkicuj wykres funkcji odwrotnej dla funkcji z poprzedniego zadania (o ile się da).
Zadanie 23. Ciśnienie gazu na wysokości h powyżej poziomu morza można obliczyć za pomocą
równania barometrycznego
p = p0 e−M gh/RT
gdzie M jest masą molową gazu, p0 - ciśnieniem na poziomie morza a g, T i R to stałe. Wyraź h za
pomocą pozostałych zmiennych.
Zadanie 24. pH roztworu wodnego dane jest wzorem pH = − log10 [H + ], gdzie [H + ] to stężenie
mol
kationów wodorowych podane w jednostkach dm
3 . Oszacuj liczbę moli kationów wodorowych w 2,5
litra roztworu, jeśli wiemy, że pH roztworu waha się między 8 i 9.
Zadanie 25. Pewna kultura bakterii podwaja swoją objętość co pół godziny. Napisz równania na
ilość bakterii N w kulturze jako funkcję czasu t zakładając, że na początku było 1000 bakterii.
Narysuj wykres.
Zadanie 26. Użycie środka DDT jest zabronione obecnie w wielu krajach z powodu długoterminowego szkodliwego wpływu na środowisko naturalne. Okres połowicznego rozkładu DDT wynosi 12
lat. Farmer w USA rozsypał na swoim polu 20 kg tego środka w 1972 roku. Ile DDT jest jeszcze
aktywne? Kiedy ilość aktywnego DDT na polu będzie wynosiła mniej niż 10 gramów?
Zadanie 27. Wprowadzona chora komórka do organizmu zdrowej myszy podwaja się po 12 dnia.
Pod koniec dnia te dwie komórki dzielą się na cztery. To podwajanie trwa aż do momentu gdy liczba
chorych komórek przekroczy jeden miliard, gdyż wtedy mysz umiera. a) Napisz równanie na liczbę
zakażonych komórek po t dniach. b) Ile dni żyje mysz od momentu zakażenia?
1
Zadanie 28. W wielu krajach prędkość przyrostu naturalnego wynosi 3% rocznie. Po ilu latach
ludność w takim kraju podwoi się? Użyj model składany wzrostu P = P0 (1 + r)t .
Zadanie 29. Powtórz poprzednie zadanie używając ciągłego modelu wzrostu P = P0 ert .
Zadanie 30. Pod koniec 1987 roku w całej populacji USA było w przybliżeniu 45 000 chorych na
AIDS. Oszacowano, że liczba ta zwiększa się o 38% składane w sposób ciągły. Zakładając, że prędkość
ta nie zmienia się, odpowiedz ilu chorych było w 1992. Ilu będzie w roku 2010?
Zadanie 31. Z uwagi na nadzwyczajnie dużą rozpiętość wrażliwości ludzkiego ucha na dźwięk (różnica między najcichszym a najgłośniejszym dźwiękiem jakie jest w stanie odebrać ucho sięga 1018
razy) zamiast stosować zwykłą skalę stosuje się skalę logarytmiczną. Jednostką tej miary jest decybel.
Oznaczając przez I moc dźwięku (w watach na cm2 ), a przez I0 moc dźwięku na progu słyszalności
ludzkiego ucha, liczba decybeli słyszanego dźwięku obliczana jest ze wzoru
N
I = I0 10 10 .
i) Przekształć powyższy wzór traktując N jako zmienną zależną, ii) ile razy głośniejszy jest dźwięk
o mocy 20 decybeli od dźwięku o mocy 10 decybeli?
Zadanie 32. Moc dźwięku na progu słyszalności jest równa I0 = 10−16 watt
. Wyraź w decybelach
cm2
−13 wata
−10 wata
następujące dźwięki: i) szept: 10
, ii) normalna rozmowa: 3, 16 · 10
, iii) miejski ruch
cm2
cm2
−1 wata
uliczny: 10−8 wata
,
iv)
odrzutowiec:
10
.
cm2
cm2
Zadanie 33. Zakładając, że na pierwszym polu szachownicy kładziemy 1 ziarnko pszenicy, a następnie na każdym następnym podwajamy ilość ziaren (czyli Na drugim polu kładziemy 2, na trzecim 4,
itd.) oblicz ile ziaren położymy na ostatnim 64-ym polu. Oszacuj rząd wielkości wyniku, tzn. zapisz
otrzymany wynik w postaci a · 10b , gdzie a ∈ (0, 10) i b ∈ ZZ to stałe.
Andrzej Raczyński
2