Przykład 1: Stany stacjonarne cz stki swobodnej V(x)=0

Przykład 1: Stany stacjonarne cz stki swobodnej
V(x)=0
Przypomnie
szczegóły?
Mamy rozwi zania
x
r-nia Schrödingera
.
Odpowiadaj one warto ciom energii
.
S to stany stacjonarne – ewoluuj zgodnie z
czyli
Je li przyj
oznaczenie
, to
Oto, jak w mechanice kwantowej
realizuje si hipoteza de Broglie’a – cz stce przypisana jest fala.
Przykład 1: Stany stacjonarne cz stki swobodnej
Funkcja
Sprawd my:
jest równie funkcj własn p du do warto ci
Zatem, funkcja falowa
o okre lonej energii
i p dzie
opisuje cz stk
( E=0 i p=0 ).
Poło enia cz stki nie da si okre li (zmierzy jednoznacznie) – nie da si
nawet okre li warto ci redniej. Rozrzut mo liwych warto ci x ( rednie
odchylenie kwadratowe) x jest niesko czenie wielki.
Jest to zgodne z zasad nieoznaczono ci Heisenberga
.
V
Przykład 2: Stan o nieokre lonej energii
dla cz stki w niesko czonej studni potencjału
x
a
0
Przypominamy: Cz stka w takim potencjale ma tylko stany zwi zane.
W ród nich – stany o okre lonej energii:
Te s stacjonarne.
Przykład 2: Stan o nieokre lonej energii
V
dla cz stki w niesko czonej studni potencjału
Mamy stan (przykład)
0
a
x
Jak zmienia si ten stan w czasie?
=?
Znajdujemy rozwini cie
Odpowied
:
Ten stan
nie jest stacjonarny – g sto
prawdopodobie stwa zale y od czasu.
Przykład 3:
Cz stka swobodna
Stan o nieokre lonej energii
V(x)=0
x
gaussowska paczka falowa; unormowana funkcja dla swobodnej cz stki
Jak zmienia si ten stan w czasie?
=?
Stany cz stki swobodnej o okre lonej energii,
ewoluuj według wzoru
Znaj c rozwini cie
w bazie
mo na zło y nieznan
ze znanych
.
, Problem!
Jak znale
to rozwini cie?
Przykład 3:
Cz stka swobodna
Stan o nieokre lonej energii
V(x)=0
x
Rozwijamy funkcj
w bazie funkcji
unormowanych do delty Diraca
:
Funkcj rozkładu znajdujemy według
Otrzymujemy:
, gdzie
.
Przykład 3:
V(x)=0
Cz stka swobodna
Ewolucja stanu o nieokre lonej energii
x
Stany
ewoluuj według ich energii
Składamy z nich
gdzie:
:
Przykład 3:
Cz stka swobodna
Ewolucja stanu o nieokre lonej energii
V(x)=0
x
Zamiast analizowa sam funkcj ,
rozwa my g sto prawdopodobie stwa:
Ma ona kształt przemieszczaj cej si –
krzywej Gaussa o rosn cej szeroko ci –
Warto
oczekiwana poło enia cz stki
.
ro nie z szybko ci
Wzrasta równie nieokre lono
poło enia mierzona wariancj
Pr dko przemieszczania si paczki gaussowskiej – rednia pr dko przemieszczania si
cz stki jest okre lona przez warto redni p du, któr otrzymamy na nast pnej stronie.
Przykład 3:
Cz stka swobodna
Ewolucja stanu o nieokre lonej energii
V(x)=0
x
Znajomo rozkładu
pozwala okre li g sto prawdopodobie stwa
wyst powania ró nych warto ci k , a wi c ró nych warto ci p du
Poniewa
Wariancja dla p du
, wi c warto
.
.
oczekiwana p du