Wyklad-12

SZEREGI FUNKCYJNE
Szeregi potęgowe
Szeregiem potęgowym
o współczynnikach a n  R i środku w punkcie x0  R

nazywamy szereg postaci
a
n 0
n
( x  x0 ) n
( x  R)
Dla ustalonego x  R otrzymujemy szereg liczbowy zbieżny lub rozbieżny.
Jeżeli szereg potęgowy jest zbieżny dla wszystkich x  ( x0  r , x0  r )
to liczbę r nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego.
Kryterium d’Alamberta zbieżności szeregu potęgowego

Jeżeli w szeregu potęgowym
lim
n 
a
n 0
n
( x  x0 ) n
( x  R)
an 1
 g to promień zbieżności r tego szeregu:
an
1
g


r  
0




g  0


g  0
g  



Kryterium Cauchy zbieżności szeregu potęgowego

Jeżeli w szeregu potęgowym
lim
n 
n
a
n 0
n
( x  x0 ) n
( x  R)
a n  g to promień zbieżności r tego szeregu:
1
g


r  
0




g  0


g  0
g  



Podsumujmy zatem zbieżność szeregu potęgowego.
Szereg potęgowy spełniający kryterium d’Alamberta lub Cauchy jest :
 zbieżny bezwzględnie dla x  ( x0  r , x0  r )
 rozbieżny dla x  [ x0  r , x0  r ]
 dla wartości x  x0  r
albo
x  x0  r badamy zbieżność osobno
Przykład: (przedział zbieżności )
Wyznacz przedział zbieżności szeregu potęgowego:
( x  1) n

2n  1
n 0

Zastosujmy kryterium d’Alamberta zbieżności szeregu potęgowego o
współczynnikach:
an 
1
2n  1
2n  3
a
| n 1 | lim
1
Liczymy granicę: g  lim
n 
n  2 n  1
an
Zatem promień zbieżności:
r 
1
1

1
g
1
czyli szereg jest zbieżny dla każdego x  (0, 2)
oraz rozbieżny dla każdego x  [0,2]
Na krańcach przedziału musimy badać zbieżność osobno.

Dla x=0 otrzymujemy szereg liczbowy

n 0
( 1) n
2n  1
naprzemienny, który jest zbieżny na mocy kryterium Leibniza.

Dla x=2 otrzymujemy szereg liczbowy

n 0
(1) n
,
2n  1
który jest rozbieżny na mocy kryterium porównanwczego.
Podsumowując nasza analizę widać że badany szereg
jest zbieżny dla każdego x  [0,2) .
Mówiąc inaczej przedziałem zbieżności badanego szeregu jest [0,2) .
Rozważmy teraz konsekwencje zbieżności szeregu potęgowego w
określonym przedziale.
Działania na szeregach potęgowych zbieżnych
Dwa szeregi potęgowe zbieżne można tak jak wielomiany :
 dodawać wyraz do wyrazu

mnożyć wyraz po wyrazie
Przedziałem zbieżności tak uzyskanego szeregu jest
część wspólna przedziałów zbieżności szeregów składowych.
Szereg potęgowy zbieżny można w przedziale zbieżności
 różniczkować wyraz po wyrazie
 całkować wyraz po wyrazie
Uzyskane szeregi mają ten sam przedział zbieżności co szeregi przed
różniczkowaniem i całkowaniem.
………………………………………………………….



( an x )'   (an  x )'  an  n  x n 1
n
n
n0
n0
n 1
……………………………………………………………………………………


  a x dx    a
n
n 0
n
n 0
n

 x dx  
n
n 0
x n 1
an 
n 1
………………………………………………………
Dokładniej: jeżeli x należy do wnętrza przedziału zbieżności to:
x

 a t
0
n 0
n

n

x
dt    an  t dt  
n
n 0 0
n 0
x n 1
an 
n 1
Przykład-1: (całkowanie szeregu zbieżnego )
( 1) n
Oblicz sumę podanego szeregu 
n
n 1 n  2

stosując twierdzenie o całkowaniu szeregu potęgowego zbieżnego.

q
Wiemy że szereg geometryczny
n 0
i możemy również podać jego sumę

x
Zatem:
n

n 0
1
1 x
n
dla |q| < 1 jest zbieżny
S 
1
.
1 q
dla x  ( 1,1)
Całkując lewą stronę ostatniej równości otrzymujemy:

 ( x
k 0
k
)dx 


k 0
x k 1
x dx 

k

1
k 0

k


n 1
Całkując prawą stronę ostatniej równości otrzymujemy:
1
 1  x dx   ln( 1  x)
A zatem porównując obie strony po całkowaniu dostajemy:


n 1
xn
  ln( 1  x)
n
Przyjmując w ostatnim równaniu


n 1
(
dla x  (1,1)
x  
1
otrzymujemy:
2
1 n
)

( 1) n
3
2
2



ln(
)

ln(
)
n
n
n

2
2
3
n 1
xn
n
Przykład-2: (różniczkowanie szeregu zbieżnego )

Oblicz sumę podanego szeregu
n
3
n 1
stosując
n
twierdzenie o rózniczkowaniu szeregu potęgowego zbieżnego.
Na podstawie rozważań z poprzedniego przykładu mamy:

x
n

n 0
1
1 x
dla x  ( 1,1)
Różniczkując lewą stronę ostatniej równości otrzymujemy:

( x )' 
n
n 0

 (x
n
)' 
n 0

n x
n 1
n 1
Różniczkując prawą stronę ostatniej równości otrzymujemy:
1
1
(
)' 
1 x
(1  x ) 2
A zatem porównując obie strony po różniczkowaniu dostajemy:

n x
n 1

n 1
1
(1  x ) 2
Przyjmując w ostatnim równaniu

1
n  ( ) n 1 

3
n 1

n
3
n 1
n 1
dla x  ( 1,1)
x 

1
otrzymujemy:
3
1
9

1
4
(1  ) 2
3
i ostatecznie po prostych rachunkach:


n 1

n
1
n
1 9
3

  n 1 


n
3
3 n 1 3
3 4
4
Szereg potęgowy Taylora (szereg potęgowy MacLaurina)
Rozwinięcie Taylora funkcji f(x) (suma skończona):
Jeżeli funkcja f(x) jest (n+1) razy różniczkowalna w otoczeniu O( x0 ,  ) to:
 x  O ( x0 ,  )  c  ( x0 , x ) :
f ( x) 

(k )
n
f
(k )
k 0

( x0 )
f ( n 1) (c )
k
( x  x0 ) 
( x  x0 ) n 1
k!
( n  1)!
f
n

k 0
( x0 )
( x  x0 ) k  Rn 1 ( x )
k!
Rozwinięcie funkcji f(x) w szereg Taylora (suma nieskończona):
Jeżeli:


n  N f
(n)
( x) dla x  O ( x0 ,  )
lim Rn 1 ( x)  0 dla x  O( x0 ,  )
n 
to wówczas:
 x  O( x0 ,  ) : f ( x) 


k 0
f
(k )
( x0 )
( x  x0 ) k
k!
Założenia ostatniego twierdzenia są w szczególności spełnione jeżeli wszystkie
pochodne funkcji f(x) są wspólnie ograniczone tzn.:
M  0n  N : | f
(n)
( x) | M dla x  O( x0 ,  )
Przykład-1: (rozwinięcie w szereg Taylora )
Podaj rozwinięcie funkcji f ( x)  e x w szereg Taylora
w otoczeniu x0  0 .
Badamy czy pochodna dowolnego rzędu n jest ograniczona w
otoczeniu O(0,  ) .
f
( n)
( x)  e x
oraz
| e x | e  M dla x  O(0,  )
Zatem dla dowolnego n pochodne są wspólnie ograniczone w
pewnym otoczeniu O(0,  ) czyli funkcja badana jest rozwijalna
w tym otoczeniu w nieskończony szereg Taylora.

f ( x)  e  
x
n 0
xn
n!
Rozważmy teraz otoczenie punktu x0  1 .
Badamy czy pochodna dowolnego rzędu n jest ograniczona w
otoczeniu O (1,  ) .
f
(n)
( x)  e x oraz | e x | e1  e  e  M dla x  O(1,  )
Zatem dla dowolnego n pochodne są wspólnie ograniczone w
pewnym otoczeniu O (1,  ) czyli funkcja badana jest rozwijalna
tym otoczeniu w nieskończony szereg Taylora.
( x  1) n
f ( x)  e   e 
n!
n 0

x
w
Przykład-2: (rozwinięcie w szereg MacLaurina )
Podaj rozwinięcie funkcji f ( x) 
4x
w szereg MacLaurina.
x2
Z poprzednich przykładów pamiętamy że:

t
n

n 0
1
1 t
czyli funkcja
dla t  ( 1,1)
1
jest rozwijalna w szereg MacLaurina dla tє(-1,1).
1 t
Teraz możemy to wykorzystać w rozwinięciu naszej funkcji:
f ( x) 
4x
8
1
4
44

x
x2
x2
1 ( )
2

x
4  4   ( )
2
n 0
n
( 1) n n
  n2 x
n 1 2

dla x  ( 2,2)
Szeregi MacLaurina niektórych funkcji elementarnych.
1

1 x
e
x



n 0

x
n
 1  x  x 2  x 3  ...
x  (1,1)
n 0
xn
x2
x3
1 x 

 ...
n!
2
6
xR
(1) n
x3
2 n 1
sin( x)  
x
 x
 ....
6
n  0 ( 2n  1)!
xR
(1) n 2 n
x2
cos( x)  
x
1
 ....
(
2
n
)!
2
n 0
xR
(1) n n1
x2
ln( 1  x)  
x
 x
 ....
2
n 0 n  1
x  (1,1]
(1) n 2 n 1
x3
arctg ( x)  
x
 x
 ....
2
n

1
3
n 0
x  (1,1]




Funkcje tworzące i ich zastosowania
Funkcją tworzącą A(x) dla ciagu a0 , a1 , a2 ,..., an ,...
nazywamy szereg formalny
A( x) 

a
n0
n
 xn
( x  R, C )
Termin „szereg formalny” oznacza że szereg ten traktujemy jako
wygodny zapis naszego ciągu, nie jest bowiem istotne dla jakich
wartości x jest on zbieżny.Nie będziemy bowiem obliczać wartości
tego szeregu dla konkretnego x, będziemy natomiast dokonywać na
takich szeregach pewnych operacji a następnie wyznaczać
współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej x.
Funkcje tworzące są bardzo użytecznym narzędziem przy
wyznaczaniu wartości elementów ciągu. Jeśli bowiem
A( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...
jest funkcją tworzącą ciągu
a0 , a1 , a2 ,..., an ,... oraz w jakiś sposób będziemy w stanie
poznać postać wzoru funkcji A(x), to rozwijając tę postać w szereg
Taylora, poznamy kolejne współczynniki tego rozwinięcia, a
współczynniki te, to właśnie kolejne wyrazy naszego ciągu.
Zastosowania funkcji tworzących
Funkcje tworzące wykorzystywane są w wielu różnych działach
matematyki. Jednym z najważniejszych ich zastosowań jest
przydatność do:
 rozwiązywania równań rekurencyjnych.
Bardzo dobrym przykładem stosowanych technik jest
wyprowadzenie wzoru na n-ty wyraz ciągu Fibonacciego.
 zliczania obiektów kombinatorycznych.
Klasyczną metodą jest ułożenie najpierw równania rekurencyjnego
na zliczane obiekty, a potem rozwiązanie go z użyciem funkcji
tworzących. Przykładem takiego rozumowania jest m.in.
wyprowadzenie wzoru na liczby Catalana,Stirlinga i Bella.
.Przykład-1:
funkcja tworząca dla ciągu jedynek
Funkcją tworzacą dla ciagu jedynek: (1,1,1,...,1,...)
A( x ) 
jest funkcja:

1  x
n
n0

1
1 x
Przykład ten jest ilustracją bardzo ważnego założenia w teorii funkcji
tworzących, mianowicie - nie przejmujemy się zbieżnością szeregów.
Szereg taki jest zbieżny tylko dla niektórych
(lub
).
Niemniej, pomijając ten fakt w teorii funkcji tworzących wcale nie
uzyskujemy błędnych rezultatów, a jedynie omijamy pewną
teoretyczną przeszkodę
Przykład-2: funkcja tworząca dla ciągu liczb naturalnych
Funkcją tworzacą dla ciagu:
A( x ) 
jest funkcja:
(1,2,3,..., n,...)

 (n  1)  x
n0
n

1
(1  x ) 2
ponieważ:


d
d  n 1
n 1)
A( x )   ( n  1)  x  
(x

x 
dx n  0
n0
n  0 dx
d
x
1

(
)
dx 1  x
(1  x ) 2
n
Przykład-3: funkcja tworząca dla współczynników dwumianu
n
Ciąg współczynników dwumianu Newtona 
k 
 przy ustalonym n i
 
zmiennym k ma funkcję tworzącą:
A( x) 
.
n k
n


k 
 x  (1  x)
k 0 


Przykład-4: funkcja tworząca dla ciągu Fibonacciego
Ciag Fibonacciego zdefiniowany jest wzorem
F0  0, F1  1

Fn  Fn 1  Fn  2
dla n  2
Funkcja tworząca dla tego ciągu:
F ( x) 

F
n
n0


 x  x   Fn  x  1  x   ( Fn 1  Fn  2 ) x n 
n
n
n2
n2
x  x F ( x )  xF ( x )  x  ( x  x ) F ( x )
2
2
F ( x) 
skąd odczytujemy że:
x
1  x  x2
Oznaczając pierwiastki równania:
x 2  x  1  0 przez 1 , 2 mamy :
1 
1 5
2
2 
1 5
2
Wówczas:
F ( x) 
x
1


2
1 x  x
(1  1 x )(1  2 x )


1
1
1
1
n
n
n
(

)
( 1 x   2 x n ) 
5 1  1 x 1  2 x
5 n 0
n 0
1
5

 (
n 0
1
n
 2 ) x
n
n


F
n 0
n
 xn
Stąd określamy ostatecznie n-ty wyraz ciągu Fibonacciego:
Fn 
1
1
1 5 n
1 5 n
n
n
(1  2 ) 
[(
) (
) ]
2
2
5
5
Liczby Catalana – szczególny ciąg liczbowy, mający zastosowanie w różnych
aspektach kombinatoryki
Liczby Catalana
spełniają zależność rekurencyjną:
Początkowe wartości ciągu, poczynając od zera, to:
1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,58786,208012,
742900,2674440,9694845,35357670,129644790,477638700,1767263190,
6564120420,24466267020,91482563640,343059613650,1289904147324…
Liczby Catalana posiadają wiele różnych interpretacji kombinatorycznych.
Podane niżej stanowią jedynie przykłady zastosowań:
Liczba dróg
Jeżeli rozważymy wszystkie łamane położone w I ćwiartce kartezjańskiego
układu współrzędnych, zaczynające się w punkcie (0,0) i kończące w punkcie
(0,2n) dla każdego
złożone z pojedynczych odcinków o punkcie
początkowym (x,y) i końcowym (x + 1, y + 1) lub (x + 1, y − 1) (
),
to ich liczba będzie wyrażona n-tą liczba Catalana.
Liczba rozmieszczeń nawiasów
Poprzez oznaczymy pewne działanie dwuargumentowe. Dla n-argumentów
liczba cn − 1 wyraża liczbę sposobów, na które można rozmieścić nawiasy w
takim wyrażeniu, czyli - dla działania niełącznego - maksymalną liczbę
wyników, które można uzyskać. Przykładowo, dla trzech argumentów x1,x2,x3
otrzymać można
lub
, co odpowiada c3 − 1 = c2 = 2.
Liczba drzew binarnych
cn jest równa liczbie różnych ukorzenionych drzew binarnych o n+1 liściach
Liczba podziałów na trójkąty
Liczba cn wyraża liczbę sposobów podziału wielokąta wypukłego,
mającego n + 2 krawędzie, na różne trójkąty przy pomocy przekątnych.
Liczba monotonicznych dróg
Jeżeli rozpatrzymy wszystkie możliwe drogi w kwadracie
z dolnego
lewego wierzchołka do górnego prawego, tak, by nigdy nie przekroczyć
przekątnej łączącej te wierzchołki i były monotoniczne, łatwo jest zauważyć,
że wyrażają się one n-tą liczbą Catalana.
Odpowiada to liczbie monotonicznych funkcji f przekształcających zbiór
{
} w zbiór {
} takich, by
Funkcja tworząca dla ciągu liczb Catalana spełnia zależność:


n 0
n 1
C ( x)   c n  x n  1   (c0 c n 1  c1c n  2  ...  c n 1c0 )x n  1  x  C ( x)  C ( x)
co wynika z zasady mnożenia funkcji tworzących
skąd natychmiast:
C ( x) 
eliminuje rozwiązanie
Warunek
a zatem:
1  1  4x
2x
C ( x) 
,
1  1  4x
2x
Rozwinięcie funkcji (1  x) w szereg Taylora zgodnie ze wzorem
r

r 
(1  x) r     x n
n 0  n 
 r  r (r  1)( r  2)...( r  (n  1))
  
n!
n
gdzie wykorzystujemy symbol Newtona uogólniony na liczby rzeczywiste:
daje nam wyrażenie :
Podstawiając powyższe rozwinięcie
kilku prostych przekształceń otrzymujemy:
Czyli:
do wzoru na
po dokonaniu
1
1
(1  )  ...  (n  )
2
2  4n
cn 
(n  1)!
po wymnożeniu przez
Iloczyn
Mnożąc więc teraz ten iloczyn
przyjmuje postać
otrzymujemy:
Tym samym dostajemy wzór jawny:
cn 
1  2n 
(2n)!
  
n  1  n  (n  1)! n!
dla n  0
Asymptotyczne zachowanie liczb Catalana dane jest przez formułę przybliżoną:
co oznacza że:
Liczby Stirlinga
Liczba Stirlinga I rodzaju (liczba Stirlinga dla cykli) to liczba permutacji
zbioru n-elementowego zawierających dokładnie k cykli.
Oznaczana jest dwojako poprzez:
s (n, k )
albo
n 
k 
 
Liczby Stirlinga I rodzaju spełniają nastepujące zależności rekurencyjne:
(a) s(n, n) = 1, dla n≥ 0
(b) s(n, 0) = s(0, k) = 0, dla n, k > 0
(c) s(n, k) = s(n − 1, k − 1) − (n − 1)s(n − 1, k)
PRZYKŁAD
złożonych z cykli:
Lista permutacji zbioru
Mamy
permutacji
złożonych z dwóch cykli, zatem s(4,2)=11.
Podstawowe własności :
n
 s(n, k )x
k
 x( x  1)( x  2)...( x  n  2)( x  n  1)
k 0

xn 1
s(n, k )
 (ln( 1  x)) k

n ! k!
nk
Funkcja tworząca liczb Stirlinga I rodzaju:
Liczba Stirlinga II rodzaju (liczba Stirlinga dla podziałów) to liczba
podziałów zbioru n-elementowego na dokładnie k bloków
Oznaczana jest dwojako poprzez:
S (n, k )
albo
n 
 
k 
Liczby Stirlinga II rodzaju spełniają nastepujące zależności rekurencyjne:
(a) S(n, n) = 1, dla n≥ 0
(b) S (n, 0) = S(0, k) = 0, dla n, k > 0
(c) S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + k∙S(n − 1, k) dla
0<k<n
PRZYKŁAD
złożonych z bloków :
Lista podziałów zbioru
Mamy 7 permutacji
na 2 bloki, zatem S(4,2)=7.
Podstawowe własności :
n
 S (n, k )x
k
 xn
k 0

xn 1 x
S (n, k )
 (e  1) k

n ! k!
nk
Funkcja tworząca liczb Stirlinga II rodzaju :
Liczba Bella
to liczba podziałów zbioru n-elementowego
n
Czyli:
Bn   S (n, k )
k 0
Lista kilku pierwszych liczb Bella:
Liczby Bella spełniają zależność rekurencyjną:
n
n
Bn1     Bk
k 0  k 
Funkcja tworząca liczb Bella (wykładnicza)