Teoria mnogości

Piotr Zakrzewski
Teoria mnogości
(skrypt wykładu)
(wersja z 23.06.2017)
WSTĘP
Skrypt obejmuje aktualny program (dostępny na stronie https://usosweb.mimuw.
edu.pl/kontroler.php?_action=actionx:katalog2/przedmioty/pokazPrzedmiot(kod:
1000-135TMN)) wykładu fakultatywnego Teoria mnogości, wielokrotnie prowadzonego przez
mnie na Wydziale MIM Uniwersytetu Warszawskiego.
Pisząc go, korzystałem z licznych książek, których spis zamieszczam w bibliografii.
Zalążkiem skryptu stały się notatki do wykładu z roku akad. 2013/14, spisane w
LaTeX-u przez słuchacza tego wykładu, pana mgr. Grzegorza Bokotę, któremu chciałbym
za to serdecznie podziękować.
Dziękuję też licznym moim studentom, którzy wskazali najróżniejsze usterki tekstu.
Praca nad skryptem nie jest zakończona i może on nadal zawierać błędy. Będę wdzięczny
Czytelnikom za wszelkie uwagi krytyczne.
Aktualna wersja skryptu znajduje się na stronie:
https://www.mimuw.edu.pl/~piotrzak/tm.html.
Piotr Zakrzewski
Spis treści
1. Aksjomaty teorii mnogości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2. Dobre porządki i liczby porządkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
.
.
.
.
5
11
18
24
3. Liczby kardynalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Zbiory dobrze uporządkowane . . . . .
Definicja liczb porządkowych . . . . . .
Arytmetyka liczb porządkowych . . . .
Definiowanie przez indukcję, twierdzenie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
i lemat Kuratowskiego-Zorna
.
.
.
.
32
35
45
48
4. Zbiory domknięte i nieograniczone oraz zbiory stacjonarne . . . . . . . . . . .
54
4.1.
4.2.
Definicja liczb kardynalnych . . . .
Działania na liczbach kardynalnych
Współczynnik współkońcowości . . .
Potęgowanie liczb kardynalnych . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
Zermelo
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Zbiory domknięte i nieograniczone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zbiory stacjonarne – lemat Fodora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Filtry, ideały i ultrafiltry
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Definicja filtru, ideału i ultrafiltru . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Istnienie ultrafiltrów niegłównych. Rodziny niezależne . . .
5.3. Filtry i ideały κ-zupełne. Liczby mierzalne i macierz Ulama
5.4. Zasada zwartości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
62
.
.
.
.
62
64
68
72
6. Twierdzenia podziałowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
7. Drzewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
8. Rodziny prawie rozłączne i ∆-systemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
8.1.
8.2.
.
.
.
.
54
59
Zbiory prawie rozłączne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∆-systemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
91
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2
1. Aksjomaty teorii mnogości
Przedmiotem badań teorii mnogości są zbiory. Powszechnie przyjęty system aksomatów
E. Zermelo i A. A. Fraenkla wraz z aksjomatem wyboru (w skrócie: ZFC – C jest pierwszą literą angielskiego słowa choice, czyli wybór) opisują uniwersum, którego wszystkimi
obiektami są zbiory (wobec czego znika różnica pomiędzy zbiorem, a rodziną zbiorów).
Aksjomaty teorii ZFC gwarantują, że to uniwersum jest niepuste: istnieje zbiór pusty(aksjomat zbioru pustego). Zapewniają, że każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy: zbiory, które mają dokładnie te same elementy są identyczne
(aksjomat ekstensjonalności). Pozwalają tworzyć zbiory z danych elementów: dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór C, którego elementami są dokładnie zbiory A oraz B
(aksjomat pary). Umożliwiają definiowanie zbiorów za pomocą definiowalnych własności.
Dokładniej, jeśli W jest własnością, zdefiniowaną za pomocą formuły logiki pierwszego
rzędu w języku, którego jedynym symbolem pozalogicznym jest predykat należenia ∈, to
dla każdego zbioru A istnieje zbiór B = {a ∈ A : W (a)}, złożony z dokładnie tych a ∈ B,
które mają własność W (aksjomaty wyróżniania). Inny dopuszczalny sposób definiowania
zbiorów polega na tym, że jeśli W (x, y) jest definiowalną własnością i A jest zbiorem,
spełniającym warunek, że dla każdego a ∈ A istnieje dokładnie jeden b taki, że W (a, b),
to istnieje zbiór B = {b : ∃a ∈ A W (a, b)}, będący obrazem zbioru A względem funkcji o
dziedzinie A, zdefiniowanej za pomocą własności W (x, y) (aksjomaty zastępowania).
Kolejne aksjomaty leżą u podstaw używania następujących operacji na zbiorach:
• sumy: dla każdego zbioru A istnieje zbiór
[
A = {x : ∃A (x ∈ A ∧ A ∈ A)}
(aksjomat sumy),
• zbioru potęgowego: dla każdego zbioru A istnieje zbiór
P(A) = {Z : Z ⊆ A}
(aksjomat zbioru potęgowego),
• produktu: dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów (Ai : i ∈ I) zbiór
Y
i∈I
Ai = {f : f : I →
−
[
i∈I
3
Ai ∧ ∀i ∈ If (i) ∈ Ai }
jest niepusty (aksjomat wyboru).
Zauważmy, że aksjomat wyboru postuluje istnienie funkcji f : I →
− i∈I Ai takiej, że
f (i) ∈ Ai dla każdego i ∈ I (tzw. funkcji wyboru dla rodziny (Ai : i ∈ I)) mimo, że
nie została ona w żaden sposób zdefiniowana. Aksjomat wyboru gwarantuje też, że dla
S
dowolnej rodziny A, złożonej z niepustych zbiorów, istnieje funkcja f : A →
− A taka, że
f (A) ∈ A dla każdego A ∈ A, którą nazywamy funkcją wyboru dla rodziny A. Aksjomat
wyboru zapewnia również, że jeśli rodzina A składa się z niepustych zbiorów parami
S
rozłącznych, to istnieje selektor tej rodziny, tzn. taki zbiór S ⊆ A, który z każdym ze
zbiorów rodziny A ma dokładnie jeden element wspólny.
S
Ostatnim aksjomatem, z którego w tych wykładach będziemy korzystać, jest aksjomat
nieskończoności, który zapewnia istnienie zbiorów nieskończonych i w szczególności zbioru
liczb naturalnych N = {0, 1, 2, . . .}.
Do teorii ZFC należy jeszcze aksjomat regularności, który narzuca na zbiory następujący warunek: każdy niepusty zbiór A ma element rozłączny z A. Wynika stąd w szczególności, że nie istnieje zbiór A taki, że A ∈ A. W tych wykładach ani z aksjomatu regularności,
ani z tej jego konsekwencji, nie będziemy jednak korzystać.
Uwaga 1.1. Jeśli A jest dowolnym zbiorem, to – choć aksjomaty ZFC bez aksjomatu
regularności nie pociągają za sobą (o ile, w co wierzymy, są niesprzeczne), że A 6∈ A, to
zawsze istnieje zbiór p 6∈ A. Mianowicie, wystarczy wziąć p = {x ∈ A : x 6∈ x} (tzw.
paradoks Russella). Wynika stąd w szczególności, że nie istnieje zbiór, do którego należą
wszystkie zbiory.
2. Dobre porządki i liczby porządkowe
2.1. Zbiory dobrze uporządkowane
Definicja 2.1. Dobry porządek zbioru X to taki liniowy porządek zbioru X, że w każdym
niepustym zbiorze A ⊆ X istnieje element najmniejszy. Zbiór dobrze uporządkowany to
para (X, ¬), gdzie ¬ jest dobrym porządkiem zbioru X.
Przykład 2.2. Przykłady dobrych porządków:
(1) Dowolny porządek liniowy zbioru skończonego.
(2) Zwykły porządek ¬ w N.
(3) Zwykły porządek ¬ w zbiorach:
• {1 − n1 : n ∈ N \ {0}},
• {1 − n1 : n ∈ N \ {0}} ∪ {1, . . . , m},
• {1 − n1 : n ∈ N \ {0}} ∪ . . . ∪ {m − n1 : n ∈ N \ {0}},
• {m − n1 : m, n ∈ N \ {0}}.
Uwaga 2.3. Relacja pusta dobrze porządkuje zbiór pusty.
Stwierdzenie 2.4. Następujące operacje zachowują dobre porządki:
(1) izomorfizm porządkowy: jeśli (X, ¬X ) oraz (Y, ¬T ) są izomorficznymi zbiorami częściowo uporządkowanymi i jeden z nich jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to drugi
też,
(2) obcięcie dobrego porządku do podzbioru: jeśli (X, ¬X ) jest zbiorem dobrze uporządkowanym i Y ⊆ X, to relacja ¬ |Y =¬ ∩(Y × Y ) dobrze porządkuje zbiór Y ,
(3) suma rozłączna: jeśli (X, ¬X ) i (Y, ¬T ) są zbiorami dobrze uporządkowanymi oraz
X ∩ Y = ∅, to zbiór Z = X ∪ Y wraz z relacją ¬, zdefiniowaną w następujący sposób:
z1 ¬ z2 ⇔ (z1 , z2 ∈ X i z1 ¬X z2 ) lub (z1 , z2 ∈ Y i z1 ¬Y z2 ) lub (z1 ∈ X i z2 ∈ Y )
jest zbiorem dobrze uporządkowanym,
5
(4) porządek leksykograficzny: jeśli (X, ¬X ) i (Y, ¬Y ) są zbiorami dobrze uporządkowanymi, to zbiór X × Y wraz z relacją porządku leksykograficznego ¬leks , zdefiniowaną
następująco:
(x1 , y1 ) ¬leks (x2 , y2 ) ⇔ (x1 <X x2 ) lub x1 = x2 i y1 ¬Y y2 ,
jest zbiorem dobrze uporządkowanym.
Twierdzenie 2.5. Niech relacja ¬ liniowo porządkuje X. Wtedy następujące warunki są
równoważne:
(1) Relacja ¬ dobrze porządkuje X.
(2) Nie ma nieskończonych ciągów ściśle malejących (w sensie porządku ¬) o wyrazach
w X.
Dowód. (1) ⇒ (2) Przypuśćmy, że (xn )n∈N jest nieskończonym cięgiem malejącym o wyrazach w X. Wtedy w zbiorze {xn : n ∈ N} nie ma elementu najmniejszego, gdyż dla
każdego n ∈ N mamy xn+1 < xn .
(2) ⇒ (1) Załóżmy, że istnieje niepusty zbiór A ⊆ X, w którym nie ma elementu najmniejszego. Wówczas definiujemy nieskończony ciąg malejący o elementach w A indukcyjnie:
zaczynamy od dowolnego elementu x0 ∈ A, a mając xn ∈ A korzystamy z tego, że xn
nie jest elementem najmniejszym w A i wybieramy dowolny element xn+1 ∈ A taki,
że xn+1 < xn (dokładniej, jeśli f jest ustaloną funkcją wyboru dla rodziny wszystkich
niepustych podzbiorów zbioru A, to określamy xn+1 = f ({x ∈ A : x < xn })).
Definicja 2.6. Odcinek początkowy w zbiorze liniowo uporządkowanym (X, ¬) to podzbiór O ⊆ X taki, że:
∀x, y ∈ X
(x ∈ O ∧ y < x) ⇒ y ∈ O.
Przykładem właściwego (tzn. różnego od X) odcinka początkowego w niepustym zbiorze X jest zbiór O(x) = {y : y ∈ X, y < x} – odcinek początkowy wyznaczony przez
element x ∈ X.
Twierdzenie 2.7. Niech (X, ¬) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Wtedy następujące warunki są równoważne:
(1) Relacja ¬ dobrze porządkuje X.
(2) Każdy właściwy odcinek początkowy w (X, ¬) jest postaci O(x) dla pewnego elementu
x ∈ X.
6
Dowód. (1) ⇒ (2) Niech O ⊆ X będzie właściwym odcinkiem początkowym. Niech A =
X \O =
6 ∅ i a = min A. Wtedy O = O(a).
(2) ⇒ (1) Załóżmy, że porządek ¬ nie jest dobry i niech A ⊆ X, A 6= ∅, nie ma elementu
najmniejszego. Wtedy zbiór O = {x ∈ X : ∀a ∈ A x < a} jest właściwym odcinkiem
początkowym w X oraz nie istnieje taki x ∈ X, że O = O(x).
Definicja 2.8. Dla zbioru liniowo uporządkowanego (X, ¬) prawdziwa jest zasada indukcji, jeżeli istnieje w nim element najmniejszy x0 oraz jeżeli dla każdego A ⊆ X zachodzi
implikacja:


x0 ∈ A
⇒ A = X.
∀x > x0 O(x) ⊆ A ⇒ x ∈ A 
Twierdzenie 2.9. Niech (X, ¬) będzie niepustym zbiorem liniowo uporządkowanym. Wtedy następujące warunki są równoważne:
(1) Relacja ¬ dobrze porządkuje X.
(2) Dla zbioru (X, ¬) prawdziwa jest zasada indukcji.
Dowód. (1) ⇒ (2) Oczywiście w zbiorze X istnieje element najmniejszy x0 . Weźmy
dowolny zbiór A ⊆ X spełniający założenia implikacji z definicji 2.8. Chcemy
pokazać, że A = X. Przypuśćmy więc, że jest przeciwnie, tzn. zbiór Y = X \ A
jest niepusty. Niech x będzie najmniejszym elementem zbioru Y . Wówczas x > x0 ,
gdyż x0 ∈ A. Ponadto O(x) ⊆ A, ponieważ x jest najmniejszym elementem zbioru
X, który do A nie należy. To jednak implikuje (por. definicja 2.8), że x ∈ A i
otrzymana sprzeczność kończy dowód.
(2) ⇒ (1) Na mocy twierdzenia 2.7 wystarczy udowodnić, że każdy właściwy odcinek
początkowy w zbiorze X jest wyznaczony przez pewien element tego zbioru.
Niech O X będzie właściwym odcinkiem początkowym zbioru X.
Jeśli O = ∅, to O = O(x0 ), gdzie x0 jest elementem najmniejszymw X.
Załóżmy więc, że O =
6 ∅ i przypuśćmy, że odcinek O nie jest wyznaczony przez
żaden element zbioru X. Dążąc do sprzeczności, zastosujemy do zbioru O zasadę
indukcji. Mamy więc:
1. x0 ∈ O, gdyż do O należy jakiś element x oraz x0 ¬ x.
2. Niech x ∈ X, x0 < x i załóżmy, że O(x) ⊆ O. Jednocześnie O(x) 6= O, gdyż
założyliśmy, że odcinek początkowy O nie jest wyznaczony przez żaden element.
Weźmy zatem dowolny element a ∈ O \ O(x). Wtedy x ¬ a, więc x ∈ O, bo O
jest odcinkiem początkowym w X.
Z zasady indukcji wynika, że O = X – sprzeczność.
7
Definicja 2.10. Niech (A, ¬A ), (B, ¬B ) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi.
• zbiory (A, ¬A ) i (B, ¬B ) mają ten sam typ porządkowy (są równej długości), ozn.
1−1
tp(A, ¬A ) = tp(B, ¬B ), jeśli są izomorficzne, tzn., jeśli istnieje funkcja h : A −→ B
na
taka, że
∀a1 , a2 ∈ A a1 < a2 ⇔ h(a1 ) < h(a2 ) .
• zbiór (A, ¬A ) jest typu porządkowego nie większego niż zbiór (B, ¬B ) (jest nie dłuższy
niż (B, ¬B )), ozn. tp(A, ¬A ) ¬ tp(B, ¬B ), jeśli istnieje włożenie izomorficzne (A, ¬A )
1−1
w (B, ¬B ), tzn. funkcja h : A −→ B taka, że
∀a1 , a2 ∈ A a1 < a2 ⇔ h(a1 ) < h(a2 ) .
Uwaga 2.11. W powyższej definicji równoważności można zastąpić implikacjami (w prawo).
Lemat 2.12. Niech (A, ¬) będzie dowolnym zbiorem dobrze uporządkowanym. Jeśli funk1−1
cja f : A −→ A jest izomorficznym włożeniem A w siebie, to a ¬ f (a) dla każdego a ∈ A.
W szczególności:
(1) Zbiór A nie jest izomorficzny z żadnym swoim podzbiorem zawartym we właściwym
odcinkiem początkowym.
(2) Żadne dwa różne odcinki początkowe zbioru A nie są izomorficzne.
Dowód. Przypuśćmy przeciwnie i ustalmy element a ∈ A taki, że f (a) < a. Przez indukcję
łatwo wtedy pokazać, że ciąg (f (n) (a))n∈N jest malejący, co daje sprzeczność z twierdzeniem
2.5.
1−1
Dla dowodu punktu (1) przypuśćmy, że funkcja f : A −→ O(a) jest izomorfizmem
zbioru A i jego podzbioru zawartego we właściwym odcinku początkowym O(a), gdzie
a ∈ A. Wtedy w szczególności f (a) ∈ O(a), czyli f (a) < a, co przeczy temu, co wcześniej
udowodniliśmy.
Dla dowodu punktu (2) zauważmy, że spośród dwóch różnych odcinków początkowych
tego samego zbioru dobrze uporządkowanego jeden jest właściwym odcinkiem początkowym drugiego. Na mocy punktu (1) nie mogą więc być one izomorficzne.
Lemat 2.13. Izomorfizm zbiorów dobrze uporządkowanych przeprowadza odcinki począt1−1
kowe na odcinki początkowe. Dokładniej, jeśli h : X −→ Y jest izomorfizmem zbiorów
na
dobrze uporządkowanych (X, ¬X ) i (Y, ¬Y ), to
∀x ∈ X h[OX (x)] = OY (h(x)).
8
Dowód. Powyższa równość jest przeformułowaniem definicji izomorfizmu.
Twierdzenie 2.14. Dla dowolnych zbiorów dobrze uporządkowanych (A, ¬A ), (B, ¬B )
następujące warunki są równoważne:
(1) tp(A, ¬A ) ¬ tp(B, ¬B ).
(2) Zbiór (A, ¬A ) jest izomorficzny z odcinkiem początkowym zbioru (B, ¬B ).
Dowód. Implikacja (2) ⇒ (1) jest oczywista.
Dla dowodu implikacji (1) ⇒ (2) załóżmy, że tp(A, ¬A ) ¬ tp(B, ¬B ).
Definujemy funkcję f : Df →
− B o dziedzinie
Df = {a ∈ A : ∃b ∈ B odcinki OA (a) i OB (b) są izomorficzne}
przyjmując, że
f (a) = b ⇔ odcinki OA (a) i OB (b) są izomorficzne.
Z lematu 2.12 wynika, że funkcja f jest dobrze określona, bo jeśli OA (a) jest izomorficzne z OB (b1 ) i OB (b2 ), to b1 = b2 .
Pokażemy kolejno, że:
(i) Df jest odcinkiem początkowym w A. Co wiecej, jeśli a ∈ Df i h jest izomorfizmem
OA (a) i OB (f (a)), to h = f |OA (a).
(ii) f jest izomorfizmem zbiorów Df i Rf (gdzie Rf jest zbiorem wartości funkcji f ).
(iii) Rf jest odcinkiem początkowym w B.
(iv) Df = A.
Dla dowodu punktu (i) weźmy dowolne elementy a, x ∈ A takie że a ∈ Df i x <A a.
Jeśli teraz h jest izomorfizmem odcinków OA (a) i OB (f (a)), to z lematu 2.13 wynika, że
funkcja h przeprowadza odcinek OA (x) na odcinek OB (h(x)). Zatem x ∈ Df , co dowodzi,
że zbiór Df jest odcinkiem początkowym w A. Ponadto wprost z definicji funkcji f wynika,
że f (x) = h(x), co dowodzi że h = f |OA (a).
Dowód punktu (ii) sprowadza się do spawdzenia, że zachodzi następująca implikacja
∀x, y ∈ Df x <A y ⇒ f (x) <B f (y).
Niech więc x, y ∈ Df , x <A y i niech h będzie izomorfizmem odcinków OA (y) i OB (f (y)).
Na mocy lematu 2.13 mamy h[OA (x)] = OB (h(x)) oraz OB (h(x)) jest właściwym odcinkiem początkowym w OB (f (y)), zatem w szczególności h(x) <B f (y). Z punktu (1)
wynika, że h(x) = f (x), więc f (x) <B f (y).
9
Aby pokazać punkt (iii) rozumujemy tak samo, jak w dowodzie punktu (2) (zauważmy,
że Rf = Df −1 ).
Aby dowieść punktu (iv), dążąc do sprzeczności przypuśćmy, że Df
dwa przypadki.
A i rozważmy
Przypadek 1 Rf
B. Na mocy twierdzenia 2.7 istnieją elementy a ∈ A \ Df oraz
b ∈ B \ Rf takie, że Df = OA (a) oraz Rf = OB (b). Ale wtedy funkcja f ∪ {ha, bi}
świadczy o tym, że a ∈ Df – sprzeczność.
Przypadek 2 Rf = B. Przypomnijmy, że założyliśmy, że tp(A, ¬A ) ¬ tp(B, ¬B ). Niech
1−1
g : A −→ B będzie włożeniem izomorficznym A w B. Wtedy f −1 ◦ g : A → A jest
izomorfizmem zbioru A i podzbioru zbioru A, zawartego w jego właściwym odcinku
początkowym Df . To przeczy lematowi 2.13.
Pokazaliśmy więc, że funkcja f jest szukanym izomorfizmem zbioru (A, ¬A ) z odcinkiem początkowym zbioru (B, ¬B ), co kończy dowód.
Twierdzenie 2.15. Jeśli (A, ¬A ) i (B, ¬B ) są zbiorami dobrze uporządkowanymi, to
zachodzi dokładnie jeden z przypadków:
(1) tp(A, ¬A ) = tp(B, ¬B ).
(2) (A, ¬A ) jest izomorficzny z właściwym odcinkiem początkowym (B, ¬B ).
(3) (B, ¬B ) jest izomorficzny z właściwym odcinkiem początkowym (A, ¬A ).
Dowód. Warunki (1) – (3) parami się wykluczają, ponieważ zbiór dobrze uporządkowany
nie jest izomorficzny z żadnym swoim odcinkiem początkowym. Wystarczy więc udowodnić, że zachodzi co najmniej jeden z nich.
W tym celu wystarczy wskazać taki zbiór dobrze uporządkowany (C, ¬C ), że
tp(A, ¬A ) ¬ tp(C, ¬C ) oraz tp(B, ¬B ) ¬ tp(C, ¬C ).
Wówczas bowiem, na mocy twierdzenia 2.14, zbiory A, B są izomorficzne z odcinkami
początkowymi zbioru C, więc jeden z nich jest izomorficzny z odcinkiem początkowym
drugiego.
Niech à = {0} × A, B̃ = {1} × B i C = à ∪ B̃. W zbiorze C określamy relację ¬C w
następujący sposób:
(i, x) ¬C (j, y) ⇔ i < j ∨ (i = j = 0 ∧ x ¬A y) ∨ (i = j = 1 ∧ x ¬B y) .
Relacja ta dobrze porządkuje zbiór C oraz tp(A) ¬ tp(C) i tp(B) ¬ tp(C), gdyż A
jest izomorficzny z Ã, a B jest izomorficzny z B̃.
10
Definicja 2.16. Zbiór dobrze uporządkowany (A, ¬A ) jest typu porządkowego mniejszego
niż (B, ¬B ) (jest krótszy niż (B, ¬B )), ozn. tp(A, ¬A ) < tp(B, ¬B ), jeśli tp(A, ¬A ) ¬
tp(B, ¬B ) i tp(A, ¬A ) 6= tp(B, ¬B ).
Wniosek 2.17. tp(A, ¬A ) < tp(B, ¬B ) wtedy i tylko wtedy gdy (A, ¬A ) jest izomorficzny
z właściwym odcinkiem początkowym w (B, ¬B ).
2.2. Definicja liczb porządkowych
Liczby porządkowe reprezentują typy zbiorów dobrze uporządkowanych. Dokładniej,
każdemu zbiorowi dobrze uporządkowanemu przypisujemy liczbę porządkową – jego typ
– w taki sposób, że typy przyporządkowane dwóm zbiorom dobrze uporządkowanym są
równe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory te są izomorficzne (co uzasadnia stosowaną przez
nas dotychczas terminologię – zob. definicja 2.10).
Motywacje, stojące za – pochodzącą od von Neumanna – definicją liczb porządkowych,
którą przedstawimy, sprowadzają się do dwóch głównych pomysłów:
(1) Zdefiniować liczby porządkowe jako wzorcowe zbiory dobrze uporządkowane, po jednym z każdej klasy porządków izomorficznych.
(2) Utożsamić liczbę porządkową ze zbiorem liczb porządkowych od niej mniejszych, z
porządkiem porównywania ich pod względem długości.
Definicja 2.18. Zbiór Z nazywamy zbiorem przechodnim jeśli
∀x, t((x ∈ Z ∧ t ∈ x) ⇒ t ∈ Z).
Uwaga 2.19. Zbiór Z jest przechodni wtedy i tylko wtedy gdy Z ⊆ P(Z).
Definicja 2.20. Relację r w zbiorze X nazywamy ostrym dobrym porządkiem zbioru X,
jeśli zachodzą następujące dwa warunki:
(1) relacja r , zdefiniowana w następujący sposób:
x r y ⇔ (xry ∨ x = y),
jest dobrym porządkiem zbioru X,
(2) ∀x, y ∈ X (xry ⇔ (x r y ∧ x 6= y))
Uwaga 2.21. Relacja r jest ostrym dobrym porządkiem zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy
jest przeciwzwrotna w X (tzn. ∀x ∈ X¬xrx), a relacja r jest dobrym porządkiem zbioru
X.
11
Jeśli
r =∈ |X = {(x, y) ∈ X × X : x ∈ y},
to relację r będziemy oznaczać X . Zatem dla x, y ∈ X mamy
x X y wtedy i tylko wtedy, gdy (x ∈ y ∨ x = y).
Definicja 2.22. Zbiór α nazywamy liczbą porządkową, jeśli jest przechodni i relacja ∈ |α
jest ostrym dobrym porządkiem zbioru α.
Uwaga 2.23. Zbiór α jest liczbą porządkową, wtedy i tylko wtedy, gdy jest przechodni,
relacja α jest dobrym porządkiem zbioru α oraz ∀x ∈ α x 6∈ x.
Warunek ∀x ∈ α x 6∈ x można by pominąć, gdybyśmy przyjęli aksjomat regularności, który w szczególności wyklucza w ogóle istnienie zbiorów, ktore są swoimi własnymi
elementami, zob. rozdział 1.
Przykład 2.24.
(1) Zbiór X = {∅, {∅}, {{∅}}} jest przechodni, ale nie jest liczbą porządkową, bo relacja
X nie jest spójna: ∅ 6∈ {{∅}} i {{∅}} 6∈ ∅.
(2) Zbiór X = {{∅}, {{∅}}} nie jest przechodni: ∅ ∈ {∅} ∈ {{∅}} ale ∅ 6∈ {{∅}}.
(3) Zbiory:
∅, {∅},
n
o n
o
∅, {∅} , ∅, {∅}, {∅, {∅}} ,
n
n
oo
∅, {∅}, {∅, {∅}}, ∅, {∅}, {∅, {∅}}
i tak dalej
są liczbami porządkowymi.
W następującym twierdzeniu zebrane są podstawowe konsekwencje przyjętej definicji
liczb porządkowych.
Twierdzenie 2.25.
(1) Jeśli α jest liczbą porządkową, to α 6∈ α.
(2) Jeśli α jest liczbą porządkową i z ∈ α, to z jest liczbą porządkową.
(3) Jeśli α i β są liczbami porządkowymi, to:
(a) β ∈ α ⇔ β jest właściwym odcinkiem początkowym w zbiorze dobrze uporządkowanym (α, α ). Co więcej, jeśli β ∈ α, to β = Oα (β) = α ∩ β,
(b) β ⊆ α ⇔ (β = α ∨ β ∈ α); warunki β = α i β ∈ α wykluczają się wzajemnie.
(c) β 6= α
⇔
(β ∈ α ∨ α ∈ β); warunki β ∈ α i α ∈ β wykluczają się wzajemnie.
12
(4) W dowolnym zbiorze Z, którego elementami są wyłącznie liczby porządkowe, relacja
Z jest relacją inkluzji w zbiorze Z. W szczególności, jeśli γ jest liczbą porządkową
oraz α, β ∈ γ, to β γ α ⇔ β ⊆ α.
(5) Dowolny zbiór przechodni, którego elementami są wyłącznie liczby porządkowe, jest
liczbą porządkową.
Dowód. (1) Przypuśćmy, że α ∈ α. Wówczas jednak dla x = α mielibyśmy x ∈ α oraz
x ∈ x, co przeczy definicji liczby porządkowej (zob. uwaga 2.23).
(2) Najpierw udowodnimy, że zbiór z jest przechodni. Niech więc x ∈ z oraz t ∈ x.
Pokażemy, że t ∈ z. Skoro x ∈ z i z ∈ α, to z przechodniości zbioru α mamy x ∈ α.
Analogicznie, t ∈ x i x ∈ α daje t ∈ α. Mamy zatem x, t, z ∈ α oraz t ∈ x i x ∈ z,
czyli t ≺α x i x ≺α z. Stąd, na mocy przechodniości porządku α , dostajemy t ≺α z, tzn.
t ∈ z.
Żeby pokazać, że relacja z dobrze porządkuje zbiór z, wystarczy zauważyć, że z ∈ α
implikuje z ⊆ α, co z kolei daje z =α |z. Zbiór z jest więc dobrze uporządkowany jako
podzbiór zbioru dobrze uporządkowanego α.
Na koniec zauważmy, że jeśli x ∈ z, to z przechodniości zbioru α wynika, że x ∈ α, a
więc x 6∈ x. Na mocy uwagi 2.23 zbiór z jest więc liczbą porządkową.
(3a) Załóżmy najpierw, że β ∈ α. Wtedy β ⊆ α, gdyż zbiór α jest przechodni. Zatem
β = α ∩ β, czyli β = {ξ ∈ α : ξ ∈ β} = Oα (β) jest właściwym odcinkiem początkowym w
α wyznaczonym przez β.
Teraz załóżmy, że β = Oα (γ) = α ∩ γ jest właściwym odcinkiem początkowym w α
wyznaczonym przez pewien element γ ∈ α; chcemy udowodnić, że β = γ. Ale skoro γ ∈ α,
to γ ⊆ α, więc γ = α ∩ γ = β.
(3b) Jeśli β ⊆ α, to z przechodniości zbioru β wynika natychmiast, że β jest odcinkiem
początkowym zbioru α: jeśli γ ∈ β i ξ ≺α γ, to ξ ∈ γ, a stąd ξ ∈ β. Zatem albo β = α,
albo β ∈ α na mocy udowodnionego już punktu (3a).
Implikacja odwrotna wynika z przechodniości zbioru α.
(3c) Załóżmy, że β 6= α i niech γ = α ∩ β. Wówczas zbiór γ jest liczbą porządkową.
Istotnie, jest on przechodni, gdyż jeśli x ∈ γ, to x ∈ α oraz x ∈ β, skąd x ⊆ α i x ⊆ β,
czyli x ⊆ γ. Ponadto, jest on dobrze uporządkowany przez relację γ jako podzbiór zbioru
dobrze uporządkowanego α. Wreszcie, jeśli x ∈ γ, to x ∈ α, więc x 6∈ x.
Z punktu (1) wynika teraz, że γ 6∈ γ, czyli γ 6∈ α lub γ 6∈ β. Załóżmy najpierw, że
γ 6∈ α. Mamy jednocześnie γ ⊆ α, więc z punktu (3b) wynika, że γ = α, czyli α ⊆ β.
13
Skoro jednak β 6= α, to ponownie korzystając z punktu (3b) dostajemy α ∈ β. Analogiczne
rozumowanie pokazuje, że jeśli γ 6∈ β, to β ∈ α.
Na odwrót, jeśli α ∈ β lub β ∈ α, to β 6= α na mocy punktu (1).
(4) Niech Z będzie zbiorem, którego elementami są wyłącznie liczby porządkowe. Wówczas dla dowolnych α, β ∈ Z mamy β Z α wtedy i tylko wtedy, gdy β = α lub β ∈ α, co
z kolei na mocy punktu (3b) jest równoważne temu, że β ⊆ α.
(5) Niech Z będzie zbiorem przechodnim, którego elementami są wyłącznie liczby porządkowe. Na początku zauważmy, że jeśli x ∈ Z, to warunek x 6∈ x wynika z punktu (1).
Wystarczy więc pokazać, że relacja Z dobrze porządkuje zbiór Z.
Z punktu (3c) wynika natychmiast, że relacja Z jest liniowym porządkiem zbioru
Z. Żeby dowieść, że jest to porządek dobry, weźmy dowolny niepusty podzbiór Y ⊆ Z i
niech α ∈ Y . Jeśli α jest najmniejszym elementem zbioru Y , to dowód jest zakończony. W
przeciwnym razie istnieje element ξ ∈ Y taki, że ξ ≺Z α, tzn., ξ ∈ α. W szczególności, zbiór
Y ∩ α jest niepusty; niech γ będzie najmniejszym elementem tego zbioru w sensie dobrego
porządku α . Wówczas γ jest szukanym elementem najmniejszym zbioru Y . Istotnie, jeśli
β ∈ Y , to na mocy punktów (3b) i (3c) zachodzi α ⊆ β lub β ∈ α. W pierwszym przypadku
γ ∈ β, w drugim (na mocy definicji liczby γ) γ α β, co z kolei znaczy, że γ ⊆ β. W obu
przypadkach otrzymujemy γ Z β. Zbiór Z jest więc liczbą porządkową na mocy uwagi
2.23.
Wniosek 2.26. Niech α i β będą liczbami porządkowymi.
(1) tp(β, β ) = tp(α, α ) ⇔ β = α,
(2) tp(β, β ) ¬ tp(α, α ) ⇔ β ⊆ α,
(3) tp(β, β ) < tp(α, α ) ⇔ β ∈ α.
Definicja 2.27. Niech α i β będą liczbami porządkowymi. Powiemy, że:
• β jest mniejsza bądź równa α, ozn. β ¬ α, jeśli tp(β, β ) ¬ tp(α, α ),
• β jest mniejsza od α, ozn. β < α, jeśli tp(β, β ) < tp(α, α ).
Wniosek 2.26 można teraz przeformułować w sposób następujący.
Wniosek 2.28. Jeśli α i β są liczbami porządkowymi., to:
(1) β ¬ α ⇔ β ⊆ α,
(2) β < α ⇔ β ∈ α.
W konsekwencji każda liczba porządkowa jest zbiorem liczb porządkowych od niej mniejszych, dobrze uporządkowanym przez relację porównywania pod względem długości.
14
Wniosek 2.29.
(1) Każdy właściwy odcinek początkowy liczby porządkowej α jest liczbą porządkową mniejszą od α.
(2) Jeśli α jest liczbą porządkową, to zbiór α ∪ {α} jest najmniejszą liczbą porządkową
większą od α.
S
(3) Jeśli A jest dowolnym zbiorem liczb porządkowych, to zbiór α = A jest najmniejszą
liczbą porządkową taką, że β ¬ α dla każdej liczby β ∈ A. W szczególności, A ⊆ α∪{α}
oraz α ∪ {α} 6∈ A.
Dowód. (1) Zauważmy, że na mocy punktu (4) twierdzenia 2.25 zbiór β ⊆ α jest odcinkiem
początkowym α wtedy i tylko wtedy, gdy jest przechodni. Z punktów (5) i (3) twierdzenia
2.25 wynika więc, że β jest liczbą porządkową oraz β ∈ α.
Dowody dwóch pozostałych punktów oprzemy na punkcie (5) twierdzenia 2.25, pokazując każdorazowo, że rozpatrywany zbiór składa się z liczb porządkowych i jest przechodni.
(2) Zbiór α ∪ {α} składa się z samej liczby α oraz elementów zbioru α, które na
mocy twierdzenia 2.25 (punkt (2)), są liczbami porządkowymi. Ponadto zbiór ten jest
przechodni, gdyż jeśli β ∈ α ∪ {α}, to β ∈ α lub β = α i w obu przypadkach β ⊆ α ∪ {α}.
Zatem α ∪ {α} jest liczbą porządkową i oczywiście α < α ∪ {α}. Ponadto, jeśli γ jest
liczbą porządkową taką, że α < γ, to z wniosku 2.28 wynika kolejno, że α ∈ γ i α ⊆ γ a
więc α ∪ {α} ⊆ β, czyli α ∪ {α} ¬ β.
(3) Niech A będzie dowolnym zbiorem liczb porządkowych i niech α = A. Jeśli x ∈ α,
to x ∈ β dla pewnej liczby porządkowej β ∈ A. Wtedy z twierdzenia 2.25 (punkt (2))
wynika, że x jest liczbą porządkową. Ponadto x ⊆ β oraz β ⊆ α, więc x ⊆ α.
Zatem zbiór α jest przechodni i składa się z liczb porządkowych, więc jest liczbą porządkową. Oczywiście β ⊆ α, czyli β ¬ α dla każdej liczby β ∈ A. Ponadto jeśli γ jest
S
taką liczbą porządkową, że β ¬ γ czyli β ⊆ γ dla każdej liczby β ∈ A, to α = A ⊆ γ,
czyli α ¬ γ.
S
Wniosek 2.30.
(1) Niech α, β, γ będą liczbami porządkowymi. Wtedy:
• α ¬ α,
• (α ¬ β ∧ β ¬ γ) ⇒ α ¬ γ,
• (α ¬ β ∧ β ¬ α) ⇒ α = β,
• α ¬ β ∨ β ¬ α.
15
(2) W każdym niepustym zbiorze, którego elementami są liczby porządkowe, istnieje liczba
najmniejsza.
(3) Ustalmy definowalną własność W (x) (por. rozdział 1). Jeśli istnieje α ∈ ON taka, że
W (α), to istnieje też najmniejsza taka liczba α.
Dowód. Dowodu wymagają jedynie punkty (2) i (3).
S
(2) Niech zbiór A 6= ∅ składa sie z liczb porządkowych. Niech α = A i η = α ∪ {α}.
Na mocy wniosku 2.29(3) mamy A ⊆ η. Najmniejszy element zbioru A w sensie dobrego
porządku η jest szukaną najmniejszą liczbą w zbiorze A.
(3) Niech α będzie dowolną liczbą porządkową z własnością W . Wtedy albo α jest
najmniejszą taką liczbą, albo jest nią najmniejsza liczba w zbiorze {β < α : W (β)}.
Powyższy wniosek można streścić w nieformalnym stwierdzeniu, że „relacja porównywania liczb porządkowych jest dobrym porządkiem”. Stwierdzenie to, rozumiane dosłownie, jest jednak nieprawdziwe wobec następującej, natychmiastowej konsekwencji wniosku
2.29 (punkt (3)), znanej jako paradoks Burali-Forti.
Wniosek 2.31. Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby porządkowe i
tylko one.
Następujące twierdzenie pokazuje, że liczby porządkowe rzeczywiście reprezentują wszystkie typy zbiorów dobrze uporządkowanych – są „wzorcowymi” zbiorami dobrze uporządkowanymi, po jednym z każdej klasy porządków izomorficznych.
Twierdzenie 2.32. Dla każdego zbioru dobrze uporządkowanego (A ¬A ) istnieje dokładnie jedna liczba porządkowa α taka, że tp(A, ¬A ) = tp(α, α ).
Dowód. Niech (A, ¬A ) będzie dowolnym zbiorem dobrze uporządkowanym.
Zauważmy, że jedyność liczby α takiej, że tp(A, ¬A ) = tp(α, α ), wynika z wniosku
2.26 (punkt (1)).
Zatem dla każdego elementu a ∈ A istnieje co najwyżej jedna liczba porządkowa βa
taka, że odcinek początkowy O(a) i liczba βa są izomorficzne. Niech więc zbiór à składa się
z tych elementów zbioru A, które wyznaczają odcinki początkowe izomorficzne z liczbami
porządkowymi. Na zbiorze à określmy funkcję f następującym wzorem:
f (a) = βa
dla a ∈ Ã.
Zbiór Rf = {βa : a ∈ Ã} składa się z liczb porządkowych (to, że f jest funkcją, a Rf
zbiorem, wynika z aksjomatu zastępowania, zob. rozdział 1), więc z wniosku 2.29 (punkt
S
(3)) wynika, że γ = Rf jest liczbą porządkową oraz η = γ ∪ {γ} jest taką liczbą porządkową, że η 6∈ Rf . Na mocy definicji funkcji f znaczy to, że zbiór dobrze uporządkowany
16
(η, η ) nie jest izomorficzny z żadnym właściwym odcinkiem początkowym zbioru (A, ¬A
). Z twierdzenia 2.15 wnioskujemy więc, że zbiór (A, ¬A ) jest izomorficzny z pewnym
odcinkiem początkowym liczby η. Ale na mocy wniosku 2.29 (punkt (1)) ten odcinek jest
liczbą porządkową – jest to właśnie szukana liczba α taka, że tp(A, ¬A ) = tp(α, α ).
Definicja 2.33. Typem porządkowym zbioru dobrze uporządkowanego (A, ¬), oznaczanym symbolem tp(A, ¬) (lub tp(A), jeśli porządek jest znany z kontekstu), nazywamy
jedyną liczbę porządkową α, dla której zbiory dobrze uporządkowane (A, ¬) i (α, α ) są
izomorficzne.
Zauważmy, że sens dotychczasowych oznaczeń (por. definicja 2.10):
• tp(A, ¬A ) = tp(B, ¬B ),
• tp(A, ¬A ) ¬ tp(B, ¬B ),
• tp(A, ¬A ) < tp(B, ¬B ),
pozostaje niezmieniony, jeśli interpretujemy je jako związki pomiędzy zdefiniowanymi powyżej typami porządkowymi odpowiednich zbiorów dobrze uporządkowanych. Oczywiście
dla każdej liczby porządkowej mamy tp(α, α ) = α.
Typy skończonych zbiorów dobrze uporządkowanych, czyli skończone liczby porządkowe, utożsamiamy z liczbami naturalnymi. Najmniejszą liczbą porządkowa i zarazem
najmniejszą liczbą naturalną jest 0 = ∅.
Definicja 2.34.
• Następnikiem liczby porządkowej α, ozn. α + 1, nazywamy liczbę α ∪ {α}.
• Liczbę porządkową α nazywamy następnikową, jeśli α = β + 1 dla pewnej liczby β.
• Liczbę porządkową α nazywamy graniczną, jeśli nie jest liczbą następnikową.
• Kresem górnym zbioru A, złożonego z liczb porządkowych, ozn. sup A, nazywamy
S
liczbę porządkową A.
Najmniejszą niezerową liczbą graniczną jest ω = typ(N, ¬). Konsekwencją utożsamienia skończonych liczb porządkowych z liczbami naturalnymi jest równość ω = N.
Uwaga 2.35. Jeśli α jest liczbą porządkową, to następujące warunki są równoważne:
(1)
(2)
(3)
(4)
α jest liczbą graniczną,
dla każdej liczby porządkowej β, jeśli β < α, to β + 1 < α,
w zbiorze α nie ma liczby największej,
sup α = α.
W dalszej części wykładu będziemy stosować następujące oznaczenia:
17
• α ∈ ON znaczy: α jest liczbą porządkową,
• α ∈ LIM znaczy: α jest graniczną liczbą porządkową.
Dla każdej liczby porządkowej prawdziwa jest oczywiście zasada indukcji (zob. 2.8).
Jej odpowiednikiem w kontekście wszystkich liczb porządkowych jest następujące twierdzenie, pozwalające dowodzić przez indukcję, że każda liczba porządkowa ma ustaloną
definiowalną własność W (x) (por. rozdział 1).
Twierdzenie 2.36 (Zasada indukcji dla liczb porządkowych).
W (0) ∧ ∀α > 0 (∀β < α W (β)) ⇒ W (α)
!
⇒ ∀α ∈ ON W (α).
Dowód. Załóżmy, że poprzednik dowodzonej implikacji jest prawdziwy, a następnik – nie.
Uzyskujemy sprzeczność (por. dowód twierdzenia 2.9), znajdując na mocy wniosku 2.30(3)
najmniejszą liczbę porządkową, która nie ma własności W .
2.3. Arytmetyka liczb porządkowych
Działania na liczbach porządkowych ułatwiają analizę struktury dobrych porządków.
Definicja 2.37 (Dodawanie i mnożenie liczb porządkowych). Niech α, β ∈ ON.
• Suma: α + β = tp(({0} × α) ∪ ({1} × β), ), gdzie
(i, ξ) (j, η) ⇔ i < j lub (i = j oraz α ¬ β) .
• Iloczyn: α · β = tp(β × α, ¬leks ).
Zauważmy, że wprowadzone wcześniej oznaczenie następnika liczby α jako α + 1 jest
zgodne z powyższą definicją dodawania.
Wprost z definicji dodawania i mnożenia łatwo wynikają następujące własności tych
działań.
Twierdzenie 2.38. Dla dowolnych α, β, γ ∈ ON:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
jeśli α < β, to γ + α < γ + β,
jeśli α ¬ β, to α + γ ¬ β + γ,
jeśli α < β i γ > 0, to γ · α < γ · β,
jeśli α ¬ β, to α · γ ¬ β · γ,
α + (β + γ) = (α + β) + γ,
α · (β · γ) = (α · β) · γ,
18
(7) α · (β + γ) = (α · β) + (α · γ).
Dowód. (1) Jeśli α < β, to zbiór ({0} × γ) ∪ ({1} × α) jest właściwym odcinkiem początkowym w zbiorze ({0} × γ) ∪ ({1} × β) (z relacją ¬leks ).
(2) Jeśli α ¬ β, to zbiór ({0}×γ)∪({1}×α) jest podzbiorem zbioru ({0}×γ)∪({1}×β).
(3) Analogicznie do (1).
(4) Analogicznie do (2).
(5) Obie liczby wyrażają typ zbioru ({0}×α) ∪ ({1}×β) ∪ ({2}×γ), uporządkowanego
leksykograficznie.
(6) Obie liczby wyrażają typ zbioru γ × β × α, uporządkowanego leksykograficznie.
(7) Mamy:
α · (β + γ) = tp
({0} × β) ∪ ({1} × γ) × α ,
(α · β) + (α · γ) = tp
{0} × (β × α) ∪ {1} × (γ × α)
,
gdzie zbiory po prawych stronach powyższych równości rozpatrujemy wraz z odpowiednimi
porządkami leksykograficznymi. Naturalna bijekcja pomiędzy tymi zbiorami jest izomorfizmem porządkowym.
Nie wszystkie własności dodawania i mnożenia liczb naturalnych przenoszą się na dowolne liczby porządkowe.
Przykład 2.39.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1 + ω = ω < ω + 1,
2 · ω = ω < ω · 2,
1 < 2, ale ω = 1 + ω = 2 + ω = ω,
1 < 2, ale ω = 1 · ω = 2 · ω,
(1 + 1) · ω = ω 6= 1 · ω + 1 · ω.
Twierdzenie 2.40. Niech α, β ∈ ON oraz α, β ­ 1. Każda liczba porządkowa γ < α · β
ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
γ = α · β 0 + α0 ,
(∗)
gdzie β 0 < β i α0 < α.
Dokladniej, jeśli γ jest typem porządkowym odcinka początkowego w zbiorze dobrze
uporządkowanym (β × α, ¬leks ), wyznaczonego przez parę (β 0 , α0 ), to zachodzi równość (∗).
Dowód. Niech γ < α · β i niech γ = tp(O(hβ 0 , α0 i)) dla pewnej pary hβ 0 , α0 i ∈ β × α.
19
Zauważmy, że
O(hβ 0 , α0 i) = (β 0 × α) ∪ ({β 0 } × α0 ),
przy czym dowolny element pierwszego składnika powyższej sumy poprzedza w porządku
¬leks każdy element jej drugiego składnika.
Ponadto, tp(β 0 × α) = α · β 0 oraz tp({β 0 } × α0 ) = α0 , co kończy dowód (∗).
Jednoznaczność przedstawienia (∗) wynika z tego, że różnym parom hα0 , β 0 i ∈ β × α
odpowiadaja różne, a więc nieizomorficzne, odcinki początkowe w zbiorze dobrze uporządkowanym (β × α, ¬leks ).
Wniosek 2.41. Niech α ∈ ON i α ­ 1. Każda liczba porządkowa γ ma jednoznaczne
przedstawienie w postaci
γ = α · β 0 + α0 ,
(∗)
gdzie α0 < α oraz β 0 ¬ γ.
Dowód. Wystarczy zauważyć, że γ < α·(γ+1), przyjąć β = γ+1 i skorzystać z twierdzenia
2.40.
Definicja 2.42. Niech (A, ¬A ) i (B, ¬B ) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi i jeśli
A 6= ∅, to niech 0 będzie elementem najmniejszym zbioru A
Nośnikiem funkcji f : B →
− A nazywamy zbiór supp(f ) = {b ∈ B : f (b) 6= 0}.
W dalszej części tego wykładu F (A, B) oznacza zbiór wszystkich funkcji z B w A o
skończonym nośniku.
Uwaga 2.43.
(
F (A, B) =
{∅}, jeśli B = ∅,
∅, jeśli A = ∅ i B 6= ∅.
Definicja 2.44 (Potęgowanie liczb porządkowych).
• Potęga: αβ = tp(F (α, β), E), gdzie
f E g ⇔ f = g lub f (ξ) < g(ξ) dla ξ = max{η < β : f (η) 6= g(η)}.
Poprawność definicji potęgowania wymaga sprawdzenia.
Lemat 2.45. Dla dowolnych α, β ∈ ON relacja E dobrze porządkuje zbiór F (α, β).
Dowód. Na początek zauważmy, że relacja E liniowo porządkuje zbiór F (α, β). Ponadto,
jeśli α = 0 lub β = 0, to zbiór F (α, β) ma co najwyżej jeden element i jest dobrze
uporządkowany przez E (dokładniej: α0 = 1 oraz 0β = 0, jeśli β > 0).
20
Ustalmy α > 0. Dowód tego, że jeśli β > 0, to E dobrze porządkuje zbiór F (α, β),
przeprowadzimy przez indukcję po β (por. twierdzenie 2.36).
Jeśli β = 1, to zbiór F (α, β) jest porządkowo izomorficzny z α.
Niech więc β > 1 i załóżmy, że dowodzona własność jest prawdziwa dla liczb porządkowych mniejszych od β. Dla każdej niezerowej funkcji f ∈ F (α, β) niech rk(f ) =
max supp(f ).
Weźmy niepusty zbiór A ⊆ F (α, β); pokażemy, że istnieje w nim element najmniejszy.
Jeśli funkcja zerowa należy do A, to ona jest jego elementem najmniejszym.
Przypuśćmy więc, że funkcja zerowa nie należy do A i niech:
β1 = min{rk(f ) : f ∈ A},
α1 = min{f (β1 ) : rk(f ) = β1 },
A1 = {f ∈ A : rk(f ) = β1 ∧ f (β1 ) = α1 }.
Zauważmy, że A1 jest odcinkiem początkowym w A, więc wystarczy znaleźć element
najmniejszy w A1 . Ale odwzorowanie f 7→ f |β1 jest izomorfizmem porządkowym pomiędzy
A1 i zbiorem F (α, β1 ), który na mocy założenia indukcyjnego, zastosowanego do β1 < β,
jest dobrze uporządkowany. To kończy dowód indukcyjny.
Wprost z definicji potęgowania łatwo wynikają jego naturalne własności.
Twierdzenie 2.46. Dla dowolnych α, β, γ ∈ ON:
(1)
(2)
(3)
(4)
jeśli 0 < α ¬ β, to αγ ¬ β γ ,
jeśli 1 < α i β < γ, to αβ < αγ ,
αβ+γ = αβ · αγ ,
(αβ )γ = αβ·γ .
Dowód. (1) Jeśli 0 < α ¬ β, to F (α, γ) ⊆ F (β, γ).
(2) Jeśli 1 < α i β < γ, to F (α, γ) jest właściwym odcinkiem początkowym w F (β, γ).
(3) Niech C = {ξ < β + γ : β ¬ ξ}. Oczywiście tp(C) = γ oraz
αγ = tp(F (α, C), E),
gdzie dobry porządek E jest zdefiniowany tak, jak w definicji 2.44.
Wystarczy zauważyć, że funkcja f 7→ hf |C, f |Bi jest izomorfizmem porządkowym
zbiorów dobrze uporządkowanych F (α, β + γ) (typu αβ+γ ) oraz F (α, C) × F (α, β) (z
porządkiem leksykograficznym, a więc typu αβ · αγ ).
(4) Wystarczy zauważyć, że funkcja
ϕ : F (F (α, β), γ) →
− F (γ × β, α)
21
dana wzorem ϕ(f ) = g, gdzie
g(ξ, η) = f (ξ)(η),
jest izomorfizmem porządkowym zbiorów dobrze uporządkowanych F (F (α, β), γ) (typu
(αβ )γ ) oraz F (γ × β, α) typu αβ·γ (w zbiorze γ × β jest porządek leksykograficzny).
Przykład 2.47. 2 < 3, ale 2ω = 3ω = ω. Ogólniej, jeśli 0 < n < ω, to nω = ω.
Istotnie, łatwo zauważyć, że liczba nω jest graniczna i odcinek początkowy w zbiorze
F (n, ω) wyznaczony przez dowolną funkcję f ∈ F (n, ω) jest skończony.
Twierdzenie 2.48. Niech α, β ∈ ON oraz α ­ 2 i β ­ 1. Każda liczba porządkowa γ
taka, że 0 < γ < αβ ma jednoznaczne przedstawienie w postaci
γ = αβ1 · α1 + . . . + αβk · αk ,
(∗)
gdzie β > β1 > . . . > βk oraz 0 < α1 , . . . , αk < α.
Dokładniej, jeśli γ > 0 jest typem porządkowym odcinka początkowego w zbiorze dobrze
uporządkowanym (F (α, β), E), wyznaczonego przez niezerową funkcję fγ ∈ F (α, β), to
zachodzi równość (∗), gdzie supp(fγ ) = {β1 , . . . , βk }, β > β1 > . . . > βk oraz fγ (βi ) = αi
dla i ∈ {1, . . . , k}.
W szczególności, dla γ1 , γ2 < αβ mamy: γ1 < γ2 ⇔ fγ1 / fγ2 .
Dowód. Ustalmy α ­ 2. Dowód tego, że każda liczba γ < αβ ma przedstawienie (∗),
odpowiadające funkcji fγ , przeprowadzimy przez indukcję po β ­ 1 (por. twierdzenie
2.36).
Jeśli β = 1 i 0 < γ < α1 , to γ = α0 · γ oraz β1 = 0 i fγ (0) = α1 .
Niech teraz β > 1 i załóżmy, że dowodzona własność jest prawdziwa dla liczb porządkowych mniejszych od β.
Niech 0 < γ < αβ , supp(fγ ) = {β1 , . . . , βk }, gdzie β > β1 > . . . > βk oraz niech
fγ (βi ) = αi dla i ∈ {1, . . . , k}.
Zauważmy, że
O(fγ ) = {g ∈ F (α, β) : supp(g) ⊆ β1 + 1 ∧ g(β1 ) < α1 }
∪{g ∈ F (α, β) : supp(g) ⊆ β1 + 1 ∧ g(β1 ) = α1 ∧ g|β1 / fγ |β1 },
przy czym dowolny element pierwszego składnika powyższej sumy poprzedza w porządku
E każdy element jej drugiego składnika.
Ponadto,
tp({g ∈ F (α, β) : supp(g) ⊆ β1 + 1 ∧ g(β1 ) < α1 }) = tp(F (α, β1 )) · α1 = αβ1 · α1 .
22
Natomiast drugi składnik, o ile jest niepusty, jest porządkowo izomorficzny z odcinkiem początkowym, wyznaczonym w zbiorze dobrze uporządkowanym (F (α, β1 ), E) przez
funkcję fγ |β1 . Na mocy założenia indukcyjnego, zastosowanego do β1 < β, zbiór ten jest
więc typu αβ2 · α2 + . . . + αβk · αk .
Ostatecznie,
γ = tp(O(fγ )) = αβ1 · α1 + (αβ2 · α2 + . . . + αβk · αk ),
co kończy dowód indukcyjny.
Jednoznaczność przedstawienia (∗) wynika z tego, że występujące w nim parametry
β1 , . . . , βk oraz α1 , . . . , αk jednoznacznie wyznaczają funkcję fγ , przy czym różnym zestawom parametrów odpowiadają różne funkcje. Z kolei różnym elementom zbioru F (α, β)
odpowiadają różne, a więc nieizomorficzne, odcinki początkowe w tym zbiorze.
Wniosek 2.49. Niech α ∈ ON i α ­ 2. Każda liczba porządkowa γ ma jednoznaczne
przedstawienie w postaci
γ = αβ1 · α1 + . . . + αβk · αk ,
(∗)
gdzie γ ­ β1 > . . . > βk oraz 0 < α1 , . . . , αk < α.
Dowód. Wystarczy zauważyć, że γ < α(γ+1) , przyjąć β = γ + 1 i skorzystać z twierdzenia
2.48.
Na koniec odnotujmy, że wprowadzone działania na liczbach porządkowych spełniają
pewne naturalne zależności indukcyjne.
Twierdzenie 2.50. Dla dowolnych α, β ∈ ON:
(1) (a)
(b)
(c)
(2) (a)
(b)
(c)
(3) (a)
(b)
(c)
α + 0 = α,
α + (β + 1) = (α + β) + 1,
α + β = sup{α + γ : γ < β}, jeśli β ∈ LIM.
α · 0 = 0,
α · (β + 1) = α · β + α,
α · β = sup{α · γ : γ < β}, jeśli β ∈ LIM.
α0 = 1,
αβ+1 = αβ · α,
αβ = sup{αγ : γ < β}, jeśli β ∈ LIM.
Ponadto każdy z zestawów warunków (1), (2), (3) jednoznacznie definiuje odpowiadające mu działanie.
23
Na przykład, jeśli α, η ∈ ON, η > 0 i funkcja f o dziedzinie η i wartościach w ON
spełnia warunki:
(a) f (0) = 1,
(b) f (β + 1) = f (β) · α, jeśli β + 1 < η,
(c) f (β) = sup{f (γ) : γ < β}, jeśli β < η i β ∈ LIM,
to f (β) = αβ dla każdego β < η.
Dowód. W każdym z punktów podpunkty (a) i (b) są oczywiste. Skoncentrujemy się na
podpunktach (c). W każdym z nich jest jasne, że wskazana liczba porządkowa jest ograniczeniem górnym odpowiedniego zbioru, więc wystarczy pokazać, że nie ma ograniczenia
mniejszego.
Załóżmy więc, że β ∈ LIM.
(1) Żadna liczba porządkowa mniejsza od α + β nie ogranicza z góry zbioru {α + γ :
γ < β}. Jeśli bowiem δ < α + β, to albo δ < α, albo δ = α + ξ dla pewnego ξ < β i
wówczas δ < α + γ, gdzie γ = ξ + 1 < β.
(2) Żadna liczba porządkowa mniejsza od α·β nie ogranicza z góry zbioru {α·γ : γ < β}.
Jeśli bowiem δ < α · β, to na mocy twierdzenia 2.40, δ = α · β 0 + α0 , gdzie β 0 < β i α0 < α.
Wtedy δ < α · γ, gdzie γ = β 0 + 1 < β.
(3) Żadna liczba porządkowa mniejsza od αβ nie ogranicza z góry zbioru {αγ : γ < β}.
Jeśli bowiem δ < αβ , to na mocy twierdzenia 2.48,
δ = α β1 · α 1 + . . . + α βk · α k ,
(∗)
gdzie β > β1 > . . . > βk i 0 < α1 , . . . , αk < α. Wówczas δ < αγ , gdzie γ = β1 + 1 < β.
Jednoznaczności fnkcji spełniających dane warunki indukcyjne dowodzi się łatwo przez
indukcję.
2.4. Definiowanie przez indukcję, twierdzenie Zermelo i lemat
Kuratowskiego-Zorna
Drugim, obok dowodów przez indukcję (zob. twierdzenia 2.9 i 2.36), aspektem indukcji
są definicje indukcyjne, stanowiące jedno z najważniejszych narzędzi teorii mnogości.
Definicja 2.51. Niech α ∈ ON. Ciągiem pozaskończonym długości (lub typu) α nazywamy dowolną funkcję o dziedzinie α.
24
Ciągi pozaskończone oznacza się podobnie jak zwykłe ciągi: (xβ : β < α), (xα )β<α
itp. (pamiętając o tym, że α = {β ∈ ON : β < α}). Przypomnijmy, że Y X oznacza
zbiór wszystkich funkcji f : X → Y . W szczególności Aξ oznacza zbiór wszystkich ciągów
pozaskończonych długości ξ ∈ ON o wartościach w zbiorze A.
Twierdzenie 2.52 (o definiowaniu przez indukcję). Niech γ ∈ ON. Dla każdego niepustego zbioru A i dowolnej funkcji
ϕ:
Aα → A
[
α<γ
istnieje dokładnie jeden ciąg pozaskończony f : γ → A długości γ taki, że
f (α) = ϕ(f |α)
(∗)
dla każdego α < γ.
Dowód. Dla każdej liczby porządkowej ξ ¬ γ, ciągiem indukcyjnym typu ξ nazwiemy ciąg
pozaskończony f : ξ →
− A długości ξ spełniający warunek:
f (α) = ϕ(f |α), dla każdego α < ξ,
czyli warunek (∗) argumentów α < ξ.
Udowodnimy, że dla każdej liczby ξ ¬ γ, istnieje dokładnie jeden ciąg indukcyjny fξ
typu ξ; oczywiście ciąg fγ będzie ciągiem, którego szukamy.
Zaczniemy od pokazania, że dla każdej liczby ξ istnieje co najwyżej jeden ciąg indukcyjny typu ξ.
Dla ξ = 0 jest to oczywiste: funkcja pusta jest jedynym ciągiem indukcyjnym typu 0.
Weźmy następnie liczbę ξ > 0 i załóżmy, że f, g : ξ →
− Y są dwoma ciągami indukcyjnymi
typu ξ. Niech Y = {β < ξ : f (β) = g(β)}. Udowodnimy, że Y = ξ, stosując (do zbioru
dobrze uporządkowanego ξ) zasadę indukcji. Oczywiście, skoro ξ > 0 oraz f (0) = ϕ(∅) =
g(0), to 0 ∈ Y . Weźmy więc dowolną liczbę α < ξ i załóżmy, że α ⊆ Y . Znaczy to, że
f |α = g|α, a stąd f (α) = ϕ(f |α) = ϕ(g|α) = g(α), czyli α ∈ Y . Na mocy zasady indukcji
Y = ξ.
Niech teraz
Z = {ξ ¬ γ : istnieje ciąg indukcyjny typu ξ}.
Stosując ponownie zasadę indukcji pokażemy, że Z = {ξ : ξ ¬ γ}, co zakończy dowód
twierdzenia.
Oczywiście, 0 ∈ Z. Weźmy więc dowolną liczbę ξ, taką że 0 < ξ ¬ γ i załóżmy, że
ξ ⊆ Z. Znaczy to, że dla każdej liczby β < ξ istnieje ciąg indukcyjny typu β. Ponadto, na
25
mocy pierwszej części dowodu, ciąg taki jest dokładnie jeden; oznaczmy go fβ . Rozważmy
dwa przypadki:
Przypadek 1. ξ jest liczbą następnikową: ξ = β + 1.
Wtedy wystarczy zdefiniować funkcję f : ξ →
− A jako przedłużenie ciągu fβ dane wzorem
f |β = fβ ,
f (β) = ϕ(fβ ).
Wtedy f (β) = ϕ(f |β), a dla α < β mamy
f (α) = fβ (α) = ϕ(fβ |α) = ϕ(f |α),
czyli f jest ciągiem indukcyjnym typu ξ, co pokazuje, że ξ ∈ Z.
Przypadek 2. ξ ∈ LIM.
Zauważmy, że z udowodnionej wcześniej jedyności ciągu indukcyjnego danego typu
wynika, że jeśli β < η < ξ, to fη |β = fβ . Zdefiniujmy funkcję f : ξ →
− A wzorem:
f (α) = fα+1 (α).
Prawa strona powyższego wzoru ma sens, gdyż jeśli α < ξ, to α + 1 < ξ i zgodnie z
założeniem istnieje ciąg indukcyjny fα+1 długości α + 1.
Dla dowolnego α < ξ mamy teraz f |α = fα+1 |α, gdyż jeśli β < α, to f (β) = fβ+1 (β) =
fα+1 (β). Stąd
f (α) = fα+1 (α) = ϕ(fα+1 |α) = ϕ(f |α),
czyli f jest ciągiem indukcyjnym typu ξ, a więc i w tym przypadku ξ ∈ Z.
Ostatecznie, na mocy zasady indukcji, Z = {ξ : ξ ¬ γ}.
Definiując jakiś ciąg (xα )α<γ długości γ przez indukcję pozaskończoną, mówimy zwykle,
że konstruujemy ten ciąg przez indukcję (pozaskończoną) po α < γ. Kluczowym elementem
takiej konstrukcji jest określenie funkcji ϕ (por. twierdzenie 2.52). Na ogół w praktyce nie
jest ono zbyt formalne i definicja ϕ w ogóle się explicite nie pojawia. Opis konstrukcji
indukcyjnej jest zgodny z intuicją procesu indukcyjego, którego istotą jest to, że jest on
rozbity na kolejno po sobie nastepujące kroki, przy czym wynik danego kroku zależy
od wyników kroków wcześniejszych. W kroku α < γ zakładamy więc po prostu, że ciąg
(xβ )β<α został już skonstruowany i opisujemy, jak za pomocą jego wyrazów zdefiniować
wyraz xα .
Technikę konstrukcji indukcyjnych zastosujemy w dowodach dwóch fundamentalnych
twierdzeń teorii mnogości: twierdzenia Zermelo oraz lematu Kuratowskiego-Zorna.
26
Twierdzenie 2.53 (Zermelo). Dla każdego zbioru X istnieje relacja, która jest jego dobrym porządkiem.
Dowód. Relacja pusta dobrze porządkuje zbiór pusty, załóżmy więc, że X 6= ∅. Idea dowodu jest następująca. Dla odpowiednio dużej liczby porządkowej γ, przez indukcję po α < γ
wybieramy kolejno coraz to nowe elementy zbioru X aż do wyczerpania wszystkich za pomocą wyrazów skonstruowanego w ten sposób różnowartościowego ciągu pozaskończonego
pewnej długości α0 < γ.
Ustalmy najpierw funkcję wyboru h rodziny P(X) \ {∅} oraz p ∈
/ X.
Zdefiniujmy funkcję F : P(X ∪ {p}) → X ∪ {p} w sposób następujący
(
F (Z) =
h(Z), jeśli Z ∈ P(X) \ {∅}
p
w przeciwnym razie.
Niech
R = {(Y, ¬) : Y ⊆ X i ¬ jest dobrym porządkiem zbioru Y }
i niech R będzie zbiorem wartości funkcji
(Y, ¬) 7→ tp(Y, ¬)
dla (Y, ¬) ∈ R (to, że jest to funkcja, a R jest zbiorem, wynika z aksjomatu zastępowania,
zob. rozdział 1).
Innymi słowy R jest zbiorem tych wszystkich ξ ∈ ON, dla których istnieje różnowartościowy ciąg pozaskończony długości ξ o wyrazach w X.
Ustalmy liczbę porządkową γ większą od wszystkich elementów zbioru R (zob. wniosek
2.29).
Zastosujmy twierdzenie 2.52 (o definiowaniu przez indukcję) do liczby γ, zbioru A =
X ∪ {p} oraz funkcji ϕ(g) = F (X \ {g(β) : β < α}) dla g ∈ Aα , α < γ. Istnieje więc ciąg
pozaskończony f : γ → X ∪ {p} taki, że
f (α) = ϕ(f |α) = F (X \ {f (β) : β < α})
dla każdego α < γ.
Zauważmy, że dla każdego β ¬ γ, jeśli f [β] ⊆ X, to funkcja f |β jest różnowartościowa.
Istotnie, jeśli ξ < β oraz f (ξ) ∈ X, to f (ξ) 6= p, a stąd na mocy definicji funkcji F
f (ξ) = h(X \ {f (ζ) : ζ < ξ}) 6= f (ζ)
dla każdego ζ < ξ.
27
Stąd wynika, że f [γ] 6⊆ X, bo skoro γ 6∈ R, to w szczególności funkcja f |γ nie jest
różnowartościowa, o ile przyjmuje wartości w zbiorze X, gdyż (na mocy definicji liczby γ)
nie istnieje żaden różnowartościowy ciąg pozaskończony długości γ o wyrazach w X.
Zatem zbiór S = {α < γ : f (α) = p} jest niepusty i niech α0 = min(S). Wtedy
f [α0 ] ⊆ X, więc na mocy wcześniejszego spostrzeżenia funkcja f |α0 jest różnowartościowa.
Ponadto mamy
p = f (α0 ) = F (X \ {f (β) : β < α0 }),
co na mocy definicji funkcji F implikuje, że X = {f (β) : β < α0 }.
Zatem funkcja f |α0 jest bijekcją z α0 na X i z jej pomocą można przenieść na X dobry
porządek typu α0 , przyjmując, że
x y ⇔ (f |α0 )−1 (x) ¬ (f |α0 )−1 (y)
dla x, y ∈ X.
Następujący wniosek jest w zasadzie przeformułowaniem twierdzenia Zermelo (por.
końcówka powyższego dowodu), które w zastosowaniach jest używane najczęściej w tej
właśnie formie.
Wniosek 2.54. Każdy zbiór jest równoliczny z pewną liczbą porządkową – jest zbiorem
wyrazów pewnego różnowartościowego ciągu pozaskończonego.
Dowód. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Na mocy twierdzenia Zermelo istnieje relacja
¬, która go dobrze porządkuje. Niech α = tp(X, ¬) i wystarczy zauważyć, że izomorfizm
zbiorów dobrze uporządkowanych jest bijekcją.
Z powyższego wniosku w szczególności wynika istnienie nieprzeliczalnych liczb porządkowych. Najmniejszą nieprzeliczalną liczbę porządkową oznaczamy ω1 . Liczba ω1 jest
taką nieprzeliczalną liczbą porządkową, której każdy właściwy odcinek początkowy jest co
najwyżej przeliczalny.
Twierdzenie 2.55 (Lemat Kuratowskiego-Zorna). Niech X będzie niepustym zbiorem
częściowo uporządkowanym przez relację 4. Jeśli każdy łańcuch w X ma ograniczenie
górne w X, to w X istnieje element maksymalny.
Dowód. Przedstawimy dwa dowody tego twierdzenia.
Dowód 1. Idea tego dowodu jest następująca. Dla odpowiednio dużej liczby porządkowej γ, przez indukcję po α < γ wybieramy kolejno coraz to większe (w sensie porządku
) elementy zbioru X aż do momentu osiągnięcia elementu maksymalnego.
28
Zacznijmy od ustalenia funkcji wyboru h rodziny P(X) \ {∅} i pewnego p ∈
/ X, a
następnie zdefiniujmy funkcję F : P(X ∪ {p}) → X ∪ {p} jak w dowodzie twierdzenia
2.53:
(
h(Z), jeśli Z ∈ P(X) \ {∅}
F (Z) =
p
w przeciwnym razie.
Niech (por. dowód twierdzenia 2.53)
R = {Y : Y ⊆ X i |Y jest dobrym porządkiem zbioru Y }
i niech R będzie zbiorem wartości funkcji
Y 7→ tp(Y, |Y )
dla Y ∈ R (to, że jest to funkcja, a R jest zbiorem, wynika z aksjomatu zastępowania,
zob. rozdział 1).
Innymi słowy, R jest zbiorem tych wszystkich ξ ∈ ON, dla których istnieje ściśle
rosnący (w sensie porządku ) ciąg pozaskończony długości ξ o wyrazach w X.
Ustalmy liczbę porządkową γ większą od wszystkich elementów zbioru R (zob. wniosek
2.29).
Zastosujmy twierdzenie 2.52 (o definiowaniu przez indukcję) do liczby γ, zbioru A =
X ∪ {p} oraz funkcji
ϕ(g) = F Bg \ {g(β) : β < α}
dla g ∈ Aα , α < γ, gdzie Bg jest (być może pustym) zbiorem wszystkich ograniczeń
górnych zbioru {g(β) : β < α} w X (w szczególności Bg = ∅, jeśli g(β) = p dla pewnego
β < α).
Istnieje więc ciąg pozaskończony f : γ → X ∪ {p} taki, że
f (α) = ϕ(f |α) = F Bf |α \ {f (β) : β < α}
dla każdego α < γ.
Zauważmy, że dla każdego α ¬ γ, jeśli f [α] ⊆ X, to funkcja f |α jest ściśle rosnąca
(w sensie porządku ). Istotnie, jeśli ξ < α oraz f (ξ) ∈ X, to f (ξ) 6= p, a stąd na mocy
definicji funkcji F
f (ξ) = h Bf |ξ \ {f (ζ) : ζ < ξ} f (ζ)
dla każdego ζ < ξ.
Stąd wynika, że f [γ] 6⊆ X, bo skoro γ 6∈ R, to w szczególności funkcja f |γ nie jest
ściśle rosnąca, o ile przyjmuje wartości w zbiorze X, gdyż (na mocy definicji liczby γ) nie
istnieje żaden ściśle rosnący ciąg pozaskończony długości γ o wyrazach w X.
29
Zatem zbiór S = {α < γ : f (α) = p} jest niepusty i niech α0 = min(S). Wtedy
f [α0 ] ⊆ X, więc na mocy wcześniejszego spostrzeżenia funkcja f |α0 jest ściśle rosnąca.
Zbiór {f (β) : β < α0 } jest więc łańcuchem w X, a zatem ma ograniczenie górne m w X.
Twierdzimy, że m jest elementem maksymalnym w X. Przypuśćmy bowiem, że istnieje
element x ∈ X taki, że m ≺ x. Wtedy x ∈ Bf |α0 \ {f (β) : β < α0 }, co świadczy o tym, że
Bf |α0 \ {f (β) : β < α0 } =
6 ∅, a stąd
f (α0 ) = h Bf |α0 \ {f (β) : β < α0 } ∈ Bf |α0 ⊆ X,
co przeczy wyborowi liczby α0 , kończąc dowód (zauważmy, że m ∈ Bf |α0 , więc powyższy
argument pokazuje też, że m jest elementem największym w zbiorze {f (β) : β < α0 }).
Dowód 2. Na mocy wniosku 2.54 istnieje różnowartościowy ciąg pozaskończony (xξ :
ξ < γ) pewnej długości γ taki, że X = {xξ : ξ < γ}.
Idea dowodu polega na tym, że przeglądamy kolejno wyrazy ciągu (xξ : ξ < γ),
poszukując elementu maksymalnego. Dokładniej, przez indukcję po α < γ wybieramy w
kroku α kandydata na element maksymalny spośród elementów zbioru {xβ : β ¬ α}.
Zastosujmy więc twierdzenie 2.52 (o definiowaniu przez indukcję) do liczby γ, zbioru
A = {0, 1} oraz funkcji


1, jeśli ∀β < α g(β) = 1 ⇒ xβ ≺ xα
ϕ(g) = 
0 w przeciwnym razie,
gdzie g ∈ Aα , α < γ.
Istnieje więc ciąg pozaskończony f : γ → {0, 1} taki, że
f (α) =


1, jeśli ∀β < α f (β) = 1 ⇒ xβ ≺ xα

0, jeśli ∃β < α f (β) = 1 ∧ xα xβ
dla każdego α < γ.
Zatem w kroku α konstrukcji indukcyjnej przypisujemy elementowi xα jedynkę wtedy
i tylko wtedy, gdy jest on większy od tych wszystkich elementów xβ , gdzie β < α, którym
wcześniej przypisaliśmy jedynkę. W tym momencie element xα staje się kandydatem na
poszukiwany element maksymalny zbioru X. Okaże się, że jeden (największy) ze wskazanych tą drogą kandydatów rzeczywiście jest elementem maksymalnym w X.
Niech więc L = {xξ ∈ X : f (ξ) = 1}. Zauważmy, że L jest łańcuchem w X. Mianowicie, jeśli xβ , xα ∈ L i β < α, to xβ ≺ xα . Istotnie, skoro f (β) = f (α) = 1 oraz β < α, to
musi być xβ ≺ xα , gdyż w przeciwnym wypadku, zgodnie z definicją indukcyjną, byłoby
f (α) = 0.
30
Zbiór L jest ograniczony z góry w X – niech element m będzie jego dowolnym ograniczeniem górnym.
Twierdzimy, że m ∈ L. Niech α będzie jedyną liczbą porządkową, dla której xα = m
Jeśli α = 0, to m ∈ L, bo f (0) = 1. Jeśli zaś α > 0, to w szczególności xβ ≺ xα dla
każdego β < α, takiego że f (β) = 1, gdyż xα jest ograniczeniem górnym zbioru L. Ale
wtedy f (α) = 1, czyli znów xα ∈ L.
Pokazaliśmy więc, że dowolne ograniczenie górne łańcucha L jest jego elementem. Z
tego jednak wynika, że L ma element największy, który zarazem jest elementem maksymalnym w X, co kończy dowód.
Lemat Kuratowskiego-Zorna najczęściej stosuje się w sytuacji, opisanej przez założenia
następującego wniosku.
Wniosek 2.56. Niech X będzie niepustą rodziną zbiorów, częściowo uporządkowaną przez
relację zawierania. Załóżmy, że suma każdego niepustego łańcucha w X należy do rodziny
X . Wtedy w rodzinie X istnieje element maksymalny.
3. Liczby kardynalne
3.1. Definicja liczb kardynalnych
Liczby kardynalne reprezentują moce zbiorów. Dokładniej, każdemu zbiorowi przypisujemy liczbę kardynalną – jego moc – w taki sposób, że moce przyporządkowane dwóm
zbiorom są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory te są równoliczne.
Liczby kardynalne zdefiniujemy jako wzorcowe zbiory danej mocy, po jednym z każdej
klasy zbiorów równolicznych, wybierając je spośród liczb porządkowych.
Definicja 3.1. Liczbą kardynalną nazywamy początkową liczbę porządkową, czyli taką
liczbę porządkową α, że żadna liczba porządkowa mniejsza od α nie jest z nią równoliczna.
Przykład 3.2. Przykłady liczb kardynalnych:
(1)
(2)
(3)
(4)
liczby naturalne,
najmniejsza nieskończona liczba porządkowa ω; oznaczenie: ℵ0 ,
najmniejsza nieprzeliczalna liczba porządkowa ω1 ; oznaczenie: ℵ1 ,
najmniejsza liczba porządkowa równoliczna z R; oznaczenie: c.
Twierdzenie 3.3. Dla każdego zbioru X istnieje dokładnie jedna liczba kardynalna κ
równoliczna z X.
Dowód. Na mocy wniosku 2.54 wiemy, że istnieją liczby porządkowe, z którymi zbiór X jest
równoliczny. Wystarczy więc zdefiniować κ jako najmniejszą z takich liczb porządkowych.
Oczywiście κ jest liczbą kardynalną.
Definicja 3.4. Mocą zbioru X, oznaczaną symbolem |X|, nazywamy jedyną liczbę kardynalną równoliczną z X.
Wniosek 3.5.
(1) Każdy zbiór X jest zbiorem wyrazów pewnego różnowartościowego ciągu pozaskończonego (xα : α < κ) długości κ = |X|.
(2) Dla każdego zbioru X 6= ∅ i liczby kardynalnej κ następujące warunki są równoważne:
32
• |X| ¬ κ,
• X jest zbiorem wyrazów pewnego ciągu pozaskończonego (xα : α < κ) długości κ.
Dowód. Punkt (1) wynika wprost z definicji mocy zbioru.
Punkt (2) wynika stąd, że dla dowolnych zbiorów A i B, gdzie A 6= ∅, mamy: |A| ¬ |B|
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja z B na A (zob. [4]).
Fakt, że X jest zbiorem wyrazów ciągu pozaskończonego (xα : α < κ) długości κ
wyrażamy pisząc X = {xα : α < κ} i mówimy wtedy, że została ustalona numeracja
elementów zbioru X (za pomocą liczb porządkowych mniejszych od κ).
Zauważmy, że sens powszechnie stosowanych oznaczeń:
• |A| = |B|, w znaczeniu równoliczności A z B,
• |A| ¬ |B|, w znaczeniu równoliczności A z pozbiorem B,
• |A| < |B|, w znaczeniu równoliczności A z pozbiorem B przy jednoczesnym braku
równoliczności A z B,
pozostaje niezmieniony, jeśli interpretujemy je jako związki pomiędzy zdefiniowanymi powyżej liczbami porządkowymi – mocami zbiorów A i B.
Uwaga 3.6. Każda nieskończona liczba kardynalna jest graniczną liczbą porządkową.
1−1
Istotnie, jeśli α = β + 1 oraz β ­ ω, to |α| = |β|, o czym świadczy bijekcja f : α →
−
β,
na
dana wzorem:



 ξ + 1, jeśli ξ < ω,
f (ξ) =  ξ,
jeśli ω ¬ ξ < β,

 0,
jeśli ξ = β.
Definicja 3.7.
• Następnikiem kardynalnym liczby kardynalnej κ, ozn. κ+ , nazywamy nazywamy najmniejszą liczbę kardynalną większą od κ.
• Liczbę kardynalną κ > 0 nazywamy graniczną liczbą kardynalną, jeśli nie jest następnikiem kardynalnym żadnej liczby kardynalnej.
Poprawność definicji następnika kardynalnego wymaga sprawdzenia.
Lemat 3.8. Dla każdej liczby kardynalnej κ istnieje najmniejsza liczba kardynalna większa
od κ.
Dowód. Na mocy wniosku 2.30(3) wystarczy udowodnić, że istnieje liczba kardynalna
większa od κ. To jednak wynika natychmiast z twierdzenia Cantora: κ < |P(κ)|.
Definicja 3.9. Niech α ∈ ON. Nieskończoną liczbę kardynalną λ taką, że zbiór nieskończonych liczb kardynalnych mniejszych od λ ma typ porządkowy α oznaczamy ℵα . Innymi
słowy, ℵα jest α-tą nieskończoną liczbą kardynalną.
33
Uwaga 3.10. Każda nieskończona liczba kardynalna jest postaci ℵα dla dokładnie jednej
liczby α ∈ ON.
Twierdzenie 3.11. Dla każdej liczby porządkowej α istnieje liczba kardynalna ℵα . Ponadto spełnione są następujące warunki indukcyjne dla dowolnych α, β ∈ ON:
(a) ℵ0 = ω,
(b) ℵβ+1 = ℵβ + ,
(c) ℵα = sup{ℵβ : β < α}, jeśli α ∈ LIM.
Dowód. Istnienia ℵα dowodzimy przez indukcję po α (zob. twierdzenie 2.36), przy okazji
dowodząc również warunków (a)–(c).
Oczywiście ℵ0 = ω.
Niech α > 0 i załóżmy, że dla każdej β < α istnieje ℵβ .
Jeśli α = β + 1, to oczywiście ℵα = ℵβ + .
Załóżmy więc, że α ∈ LIM i niech liczba porządkowa λ będzie kresem górnym zbioru
{ℵβ : β < α} (to, że jest to zbiór, wynika z aksjomatu zastępowania, zob. rozdział 1)).
Pokażemy, że λ = ℵα .
Po pierwsze, λ jest liczbą kardynalną, większą od wszystkich liczb ℵβ , β < α. Istotnie,
jeśli γ < λ, to γ ¬ ℵβ dla pewnego β < α, ale dla każdego β < α mamy β + 1 < α oraz
ℵβ < ℵβ+1 ¬ λ; w szczególności |γ| < λ.
Stąd i z definicji liczby λ wynika, że λ jest najmniejszą liczbą kardynalną, większą od
wszystkich liczb zbioru {ℵβ : β < α}. Ponieważ zbiór ten tworzą wszystkie nieskończone
liczby kardynalne mniejsze od λ, to jego typem porządkowym jest α, co dowodzi, że
λ = ℵα .
Wniosek 3.12.
(1) Liczba ℵα jest graniczną liczbą kardynalną wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ LIM.
(2) Jeśli A jest zbiorem, złożonym z liczb porządkowych i α = sup A, to
sup{ℵβ : β ∈ A} = ℵα .
W szczególności:
(a) Dla każdego zbioru liczb kardynalnych istnieje liczba kardynalna większa od każdej
liczby z tego zbioru.
(b) Nie istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie liczby kardynalne i tylko one.
Przykład 3.13.
(1) ℵ0 i ℵω są granicznymi liczbami kardynalnymi,
34
(2) ℵ1 = ℵ0 + ,
(3) ℵ1 ¬ c.
Pytanie, czy c = ℵ1 lub ogólniej, co można powiedzieć na temat jedynej liczby α ∈ ON,
dla której c = ℵα , było (i do pewnego stopnia pozostało) jednym z centralnych pytań teorii
mnogości. Cantor, jeden z jej głównych twórców, sądził, że c = ℵ1 i ta równość znana
jest jako hipoteza continuum (w skrócie: CH). Okazuje się, że prawdziwości hipotezy
continuum nie da się rozstrzygnąć na gruncie teorii ZFC. Z jednej strony, jest ona z tą
teorią niesprzeczna (Gödel, 1938), tzn. nie da się na jej gruncie udowodnić, że jest ona
fałszywa (o ile sama teoria ZFC jest niesprzeczna). Z drugiej strony, jest ona od tej teorii
niezależna (Cohen, 1963), tzn. nie da się na jej gruncie udowodnić, że jest ona prawdziwa.
Oznacza to, że można do aksjomatów ZFC bez sprzeczności dołączyć CH jako nowy,
dodatkowy aksjomat, ale można też dołączyć do nich negację CH, np. przyjmując jako
dodatkowy aksjomat równość c = ℵ2 , w obu wypadkach uzyskując nowe, silniejsze teorie.
W dalszej części wykładu będziemy stosować następujące oznaczenie:
• κ ∈ CN znaczy: κ jest liczbą kardynalną.
3.2. Działania na liczbach kardynalnych
Działania na liczbach kardynalnych ułatwiają określanie i opisywanie mocy zbiorów.
Definicja 3.14 (Działania na liczbach kardynalnych). Niech κ, λ ∈ CN.
• Suma: κ + λ = |κ × {0} ∪ λ × {1}|.
• Iloczyn: κ · λ = |κ × λ|.
• Potęga: κλ = |κλ | (= |O(κ)O(λ) |).
Uwaga 3.15. Dla dowolnych zbiorów A, B:
(1) Jeśli A ∩ B = ∅, to |A ∪ B| = |A| + |B|,
(2) |A × B| = |A| · |B|,
(3) |AB | = |A||B| .
Działania na liczbach kardynalnych, zdefiniowanych jako początkowe liczby porządkowe, oznaczyliśmy tymi samymi symbolami, co wcześniej wprowadzone działania na liczbach porządkowych (por. definicje 2.37 i 2.44). Należy pamiętać, że są to zupełnie inne
działania. Kolizja ich oznaczeń rzadko jednak prowadzi do nieporozumień.
Przykład 3.16.
35
(1) ω +1 > ω w sensie dodawania liczb porządkowych, ale ℵ0 +1 = ℵ0 w sensie dodawania
liczb kardynalnych,
(2) ω · 2 > ω w sensie mnożenia liczb porządkowych, ale ℵ0 · 2 = ℵ0 w sensie mnożenia
liczb kardynalnych,
(3) ω 2 > ω, a 2ω = ω w sensie potęgowania liczb porządkowych, ale ℵ0 2 = ℵ0 , a 2ℵ0 > ℵ0
w sensie potęgowania liczb kardynalnych.
Twierdzenie 3.17. Dla dowolnych κ, λ, µ ∈ CN:
(1) (κλ )µ = κλµ ,
(2) (κ · λ)µ = κµ · λµ ,
(3) κλ+µ = κλ · κµ .
Dowód. Niech |A| = κ, |B| = λ, |C| = µ. Wystarczy udowodnić, że:
C
(1) |(AB ) | = |AB×C |,
(2) |(A × B)C | = |AC × B C |,
(3) Jeśli B ∩ C = ∅, to |AB∪C | = |AB × AC |.
Za pomocą działań na liczbach kardynalnych można w zwięzły sposób formułować
stwierdzenia, dotyczące równoliczności zbiorów. W następnym twierdzeniu przypominamy bez dowodu szereg tego typu podstawowych stwierdzeń, zwłaszcza tych, które dotyczą
zbiorów przeliczalnych (tzn. równolicznych z N) i zbiorów mocy continuum (tzn. równolicznych z R), znanych z wykładów ze Wstępu do matematyki (por. np. [4]).
Twierdzenie 3.18.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Dla każdego zbioru X, jeśli |X| = κ, to |P(X)| = 2κ ,
2κ > κ dla każdej liczby kardynalnej κ,
ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 ,
ℵ0 · ℵ 0 = ℵ0 ,
ℵ0 n = ℵ0 dla każdej liczby naturalnej n > 0,
2ℵ0 = ℵℵ0 0 = c,
c + c = c,
c · c = c,
cn = c dla każdej liczby naturalnej n > 0,
cℵ0 = c,
2c = cc .
Dowód. Powyższe wzory wyrażają odpowiednio następujące fakty:
36
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
równoliczność zbioru P(X) ze zbiorem {0, 1}X ,
twierdzenie Cantora: |P(X)| > |X| dla każdego zbioru X,
suma dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym,
iloczyn kartezjański dwóch zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym,
zbiór wszystkich ciągów ustalonej skończonej długości n > 0 o wyrazach w danym
zbiorze przeliczalnym jest zbiorem przeliczalnym,
zbiór wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach w zbiorze {0, 1}, a także zbiór
wszystkich nieskończonych ciągów o wyrazach w danym zbiorze przeliczalnym są zbiorami mocy continuum,
suma dwóch zbiorów mocy continuum jest zbiorem mocy continuum,
iloczyn kartezjański dwóch zbiorów mocy continuum jest zbiorem mocy continuum,
zbiór wszystkich ciągów ustalonej skończonej długości n > 0 o wyrazach w danym
zbiorze mocy continuum jest zbiorem mocy continuum,
zbiór wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w danym zbiorze mocy continuum
jest zbiorem mocy continuum,
rodzina wszystkich podzbiorów zbioru R jest równoliczna ze zbiorem wszystkich funkcji rzeczywistych.
Przy okazji zauważmy, że dowody niektórych z powyższych wzorów można zredagować
w zwięzły sposób, posługując się poznanymi w twierdzeniu 3.17 prawami potęgowania
liczb kardynalnych. Przykładowo:
(8) c · c = 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 +ℵ0 = 2ℵ0 = c,
ℵ
(10) cℵ0 = (2ℵ0 ) 0 = 2ℵ0 ·ℵ0 = 2ℵ0 = c,
c
(11) cc = (2ℵ0 ) = 2ℵ0 ·c = 2c .
Punkty (4) i (8) powyższego twierdzenia mają następujące wspólne uogólnienie.
Twierdzenie 3.19 (Hessenberg). Dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej κ zachodzi
równość κ · κ = κ
Dowód. Udowodnimy przez indukcję (zob. twierdzenie 2.36), że
∀α ∈ ON ℵα · ℵα = ℵα .
Dla α = 0 dowodzona równość jest prawdziwa.
Niech więc α > 0 i załóżmy, że dla wszystkich β < α mamy ℵβ · ℵβ = ℵβ . Zakładamy
więc, że λ · λ = λ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej λ < κ = ℵα . Chcemy
pokazać, że κ · κ = κ.
37
W zbiorze κ × κ wprowadźmy porządek (maksymalno-leksykograficzny) w następujący
sposób:
(β, ξ) (δ, η) ⇔
(max(β, ξ) < max(δ, η)) ∨
max(β, ξ) = max(δ, η) ∧ (β, ξ) ¬leks (δ, η) ,
Nietrudno sprawdzić, że relacja jest dobrym porządkiem zbioru κ × κ. Niech
γ = tp(κ × κ, ).
Pokażemy, że γ = κ i to wystarczy do uzasadnienia tego, że |κ × κ| = κ, co zakończy
dowód.
1. Dla dowodu, że κ ¬ γ wystarczy zauważyć, że funkcja ξ 7→ (0, ξ) jest izomorficznym
włożeniem κ w κ × κ (z porządkiem ).
2. Dla dowodu, że γ ¬ κ wystarczy pokazać, że każdy właściwy odcinek początkowy w γ
(równoważnie: w zbiorze κ × κ z porządkiem ) ma moc mniejszą niż κ.
Rozważmy odcinek początkowy w κ×κ wyznaczony przez element (δ, η), gdzie δ, η < κ.
Zauważmy, że jeśli (ζ, ξ) ≺ (δ, η), to ζ, ξ ¬ max(δ, η). Zatem
O (δ, η) ⊆ β × β,
gdzie β = max max(δ, η)+1, ℵ0 < κ, a zatem |β| = λ dla pewnej nieskończonej liczby
kardynalnej λ < κ.
Na mocy założenia indukcyjnego mamy
λ · λ = λ,
i ostatecznie
|O (δ, η)| ¬ |β × β| = λ · λ = λ < κ.
Z twierdzenia Hessenberga wynikają następujące ważne wnioski.
Twierdzenie 3.20. Niech κ ∈ CN i κ ­ ℵ0 .
(1) Jeśli K jest rodziną mocy co najwyżej κ złożoną ze zbiorów mocy co najwyżej κ, to
S
| K| ¬ κ .
(2) κn = κ dla każdej liczby naturalnej n > 0.
(3) Zbiór wszystkich skończonych ciągów o wyrazach w zbiorze mocy κ ma moc κ.
(4) Zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru mocy κ ma moc κ.
38
Dowód. (1) Jeśli K = ∅ to K = ∅. Załóżmy więc, że K 6= ∅. Skoro |K| ¬ κ, to niech
K = {Aα : α < κ} (por. wniosek 3.5 i uwaga po nim).
Z kolei dla każdej liczby α < κ bez ograniczenia ogólności załóżmy, że Aα 6= ∅ i
wybierzmy numerację Aα = {aα,β : β < α}.
S
S
Wtedy K = {aα,β : α, β < κ}. Innymi słowy, K jest zbiorem wartości funkcji
S
(α, β) 7→ aα,β , określonej na zbiorze κ × κ. Stąd | K| ¬ |κ × κ| = κ, na mocy twierdzenia
Hessenberga.
S
(2) Dowód przebiega przez indukcję po n > 0. W kroku indukcyjnym, biorąc n > 0 i
korzystając z założenia indukcyjnego, że κn = κ, dostajemy:
κn+1 = |κn · κ| = κ · κ = κ
na mocy twierdzenia Hessenberga.
(3) Niech |X| = κ. Zbiór wszystkich skończonych ciągów o wartościach w X to zbiór
S
n
n
n<ω X . Z punktów (1) i (2) wynika więc, że | n<ω X | ¬ κ, a z drugiej strony mamy
S
κ = |X| ¬ | n<ω X n |.
S
(4) Niech |X| = κ. Zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X jest obrazem
zbioru wszystkich skończonych ciągów o wyrazach w zbiorze X względem funkcji
(s0 , . . . , sn−1 ) 7→ {s0 , . . . , sn−1 }.
Na mocy punktu (3) jest on więc mocy co najwyżej κ, a oszacowanie jego mocy z dołu
przez κ jest oczywiste.
Z twierdzenia Hessenberga wynika, że działania sumy i iloczynu liczb kardynalnych, z
których co najmniej jedna jest nieskończona, trywializują się.
Twierdzenie 3.21. Niech κ, λ ∈ CN oraz max(κ, λ) ­ ℵ0 . Wtedy:
(1) κ + λ = max(κ, λ)
(2) κ · λ = max(κ, λ), o ile dodatkowo κ, λ > 0.
Dowód. Załóżmy, że max(κ, λ) = κ ­ ℵ0 . Wtedy:
(1) κ ¬ κ + λ ¬ 2 · κ ¬ κ · κ = κ,
(2) κ ¬ κ · λ ¬ κ · κ = κ, o ile dodatkowo założymy, że 0 < λ ¬ κ.
W obu powyższych szacowaniach ostatnią równość daje nam twierdzenie Hessenberga.
Odnotujmy dwa oczywiste wnioski, płynące z powyższego twierdzenia.
39
Wniosek 3.22. Niech A i B będą dowolnymi zbiorami, z których co najmniej jeden jest
nieskończony. Wtedy
(1) |A ∪ B| = max(|A|, |B|),
(2) |A × B| = max(|A|, |B|),
o ile A, B 6= ∅.
Wniosek 3.23. Niech A i D będą dowolnymi zbiorami, z których A jest nieskończony, a
|D| < |A|. Wtedy
|A ∪ D| = |A \ D| = |A|.
Działania sumy, iloczynu i potęgi liczb kardynalnych mają następujące uogólnienia.
Definicja 3.24 (Działania uogólnione na liczbach kardynalnych).
• Suma uogólniona rodziny liczb kardynalnych (κi : i ∈ I):
X
κi =
i∈I
[
(κi
i∈I
× {i}) .
• Iloczyn uogólniony rodziny liczb kardynalnych (λi : i ∈ I):
Y
λi =
i∈I
Y λi =
i∈I
!
Y
O(λi ) .
i∈I
Uwaga 3.25.
Dla dowolnej rodziny zbiorów (Ai : i ∈ I):
(1) jeśli Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j, to |
Q
Q
(2) | i∈I | = i∈I |Ai |.
S
i∈I
Ai | =
P
i∈I
|Ai |,
Uwaga 3.26.
(1)
P
κi = κ0 + κ1 ,
i∈{0,1}
(2)
Q
κi = κ0 · κ1 ,
i∈{0,1}
(3) Jeśli κα = κ dla każdego α < λ, to
P
κα = κ · λ oraz
α<λ
Q
κα = κλ .
α<λ
Stwierdzenie 3.27. Dla dowolnych rodzin liczb kardynalnych (κi : i ∈ I) i (λi : i ∈ I):
(1)
Q
i∈I
(2)
Q
κλi = (
Q
κi )λ ,
i∈I
P
κλi = κ
i∈I
λi
.
i∈I
Jeśli dodatkowo I =
S
j∈J
Cj oraz Cj ∩ Ck = ∅ dla j 6= k, to
40
(3)
P
P
κi =
i∈I
P
(
κi ) oraz
j∈J i∈Cj
Q
κi =
i∈I
Q
(
Q
κi ).
j∈J i∈Cj
Dowód. Niech |X| = λ, |Y | = κ oraz |Ai | = κi , |Bi | = λi dla i ∈ I. Wystarczy udowodnić,
że:
(1) |
Q
i∈I
(2) |
(3)
Q
AX
i | = |(
Y
Bi
Q
Ai )X |,
i∈I
S
| = |Y
i∈I
S
Ai =
i∈I
S
(
i∈I
Bi
|, o ile dodatkowo Bj ∩ Bk = ∅ dla j 6= k,
Ai ) oraz |
S
j∈J i∈Aj
Q
Ai | = |
Q
Ai ), jeśli dodatkowo I =
Q
(
S
j∈J i∈Cj
i∈I
j∈J
Cj oraz
Cj ∩ Ck = ∅ dla j 6= k.
Ponieważ dla każdego zbioru I istnieje bijekcja z λ = |I| na I, bez straty ogólności w
sformułowaniach niektórych poniższych faktów ograniczymy się do rodzin indeksowanych
za pomocą liczb porządkowych α < λ ∈ CN, czyli do ciągów długości λ.
Stwierdzenie 3.28. Dla dowolnego ciągu zbiorów (Aα : α < λ), gdzie λ ∈ CN, mamy
(1) supα<λ |Aα | ¬ | α<λ Aα | ¬ α<λ |Aα | ¬ (supα<λ |Aα |) · λ,
Q
(2) supα<λ |Aα | ¬ α<λ |Aα | ¬ (supα<λ |Aα |)λ , o ile Aα 6= ∅ dla wszystkich α < λ.
S
P
Dowód. Dla dowodu punktu (1) zauważmy, że
[
Aα =
α<λ
[
(Aα \
α<λ
[
Aβ )
β<α
oraz składniki sumy po prawej stronie powyższej równości są parami rozłączne. Stąd:
[
|
α<λ
Aα | =
X
α<λ
[
|Aα \
Aβ | ¬
β<α
X
|Aα |.
α<λ
Ponadto |Aα | ¬ | α<λ Aα | dla każdego α < λ i stąd supα<λ |Aα | ¬ | α<λ Aα |. PoP
P
dobnie, |Aα | ¬ supα<λ |Aα | dla każdego α < λ i stąd α<λ |Aα | ¬ α<λ supα<λ |Aα | =
(supα<λ |Aα |) · λ.
S
S
Dla dowodu punktu (2) wystarczy zauważyć, że |Aα | ¬ |
Q
Aα | dla każdego α < λ
α<λ
i stąd supα<λ |Aα | ¬ |
Q
α<λ
|Aα | ¬
Q
Q
α<λ
α<λ (supα<λ
Aα |. Podobnie, |Aα | ¬ supα<λ |Aα | dla każdego α < λ i stąd
|Aα |) = (supα<λ |Aα |)λ .
41
Stwierdzenie 3.29. Niech λ ∈ CN i λ < ℵ0 . Dla dowolnego ciągu (κα : α < λ) liczb
kardynalnych, z których co najmniej jedna jest nieskończona, zachodzi równość
X
κα = max κα .
α<λ
α<λ
Dowód. Wynika natychmiast z twierdzenia 3.21.
Stwierdzenie 3.30. Niech λ ∈ CN i λ ­ ℵ0 .
(1) Dla dowolnego ciągu (κα : α < λ) dodatnich liczb kardynalnych zachodzi równość
X
κα = (sup κα ) · λ.
α<λ
α<λ
(2) Dla dowolnego ciągu niepustych zbiorów (Aα : α < λ) następujące warunki są równoważne:
S
P
(i) |
Aα | =
|Aα |,
(ii) |
α<λ
S
α<λ
Aα | ­ λ.
α<λ
κα ¬ λ · sup κα oraz
P
Dowód. W punkcie (1) nierówności:
α<λ
α<λ
κα ­ sup κα zostały już
P
α<λ
α<λ
uzasadnione w stwierdzeniu 3.28.
P
P
Dla dowodu nierówności α<λ κα ­ λ · sup κα wystarczy więc zauważyć, że α<λ κα ­
α<λ
P
α<λ 1 = λ i skorzystać z twierdzenia 3.21.
P
Punkt (2) wynika natychmiast z tego, że na mocy (1) mamy
|Aα | = (sup |Aα |) · λ,
α<λ
a jednocześnie sup |Aα | ¬ |
α<λ
S
Aα | ¬
α<λ
P
α<λ
Wniosek 3.31. Niech λ ∈ CN i λ ­ ℵ0 .
Jeśli ciąg zbiorów (Aα : α < λ) jest ściśle wstępujący (tzn. Aα
α < λ), to
[
X
|
Aα | =
|Aα | = sup |Aα | · λ.
α<λ
α<λ
|Aα | (zob. stwierdzenie 3.28).
Aα+1 dla każdego
α<λ
α<λ
Dowód. Ze stwierdzenia 3.30 wynika, że wystarczy pokazać, że |
S
Aα | ­ λ. Ale dla
α<λ
każdej liczby α < κ możemy wybrać element aα ∈ Aα+1 \ Aα i wówczas funkcja: α 7→ aα
S
przekształca różnowartościowo λ w α<λ Aα .
Stwierdzenie 3.32. Niech λ ∈ CN i λ < ℵ0 . Dla dowolnego ciągu (κα : α < λ) dodatnich
liczb kardynalnych, z których co najmniej jedna jest nieskończona, zachodzi równość
Y
κα = max κα .
α<λ
α<λ
42
Dowód. Wynika natychmiast z twierdzenia 3.21.
Stwierdzenie 3.33. Niech λ ∈ CN i λ ­ ℵ0 . Jeśli ciąg liczb kardynalnych (κα : α < λ)
jest niemalejący (tzn. κα ¬ κα+1 dla każdego α < λ), to zachodzi równość
κα = (sup κα )λ .
Y
α<λ
α<λ
Dowód. Niech κ = sup κα .
Nierówność
Q α<λ
κα ¬ κλ została już uzasadniona w stwierdzeniu 3.28.
α<λ
S
Dla dowodu nierówności odwrotnej przedstawmy zbiór λ w postaci λ = β<λ Aβ , gdzie
|Aβ | = λ dla każdego β < λ oraz Aβ ∩ Aξ = ∅ dla β 6= ξ (istnienie takiego przedstawienia
S
wynika z twierdzenia Hessenberga: λ = |λ × λ| oraz λ × λ =
({α} × λ)).
α<λ
κα ­ sup κα (por. stwierdzenie 3.28). Zauważmy
Q
Ustalmy β < λ. Oczywiście
α∈Aβ
α∈Aβ
jednocześnie, że z tego, że ciąg (κα : α < λ) jest niemalejący wynika, że sup κα = κ.
α∈Aβ
Mamy więc
Q
κα ­ κ dla każdego β < λ, a stąd (zob. stwierdzenie 3.27):
α∈Aβ
Y
κα =
α<λ
Y
(
Y
β<λ α∈Aβ
κ = κλ ,
Y
κα ) ­
β<λ
co kończy dowód.
Zajmijmy się teraz związkami pomiędzy uogólnioną sumą, a ugólnionym iloczynem
liczb kardynalnych. Najpierw odnotujmy prostą obserwację.
Stwierdzenie 3.34. Dla każdego zbioru I 6= ∅ i dowolnych rodzin liczb kardynalnych
(κi : i ∈ I) oraz (λi : i ∈ I), jeśli κi ¬ λi oraz 2 ¬ λi dla każdego i ∈ I, to
X
κi ¬
P
λi .
i∈I
i∈I
Dowód. Niech |I| = λ. Ponieważ
Y
κi ¬ sup κi · λ oraz sup κi ¬ sup λi ¬
i∈I
i∈I
stwierdzenie 3.28), to wystarczy pokazać, że λ ¬
i∈I
Q
i∈I
mocy twierdzenia Cantora oraz założenia, że 2 ¬ λi dla każdego i ∈ I.
43
λi (por.
i∈I
λi . Ale mamy λ < 2λ ¬
i∈I
Następny rezultat jest znacznie głębszy.
Q
Q
i∈I
λi na
Twierdzenie 3.35 (König). Dla każdego zbioru I 6= ∅ i dowolnych rodzin liczb kardynalnych (κi : i ∈ I) oraz (λi : i ∈ I), jeśli κi < λi dla każdego i ∈ I, to
X
κi <
i∈I
Y
λi .
i∈I
Dowód. Bez ograniczenia ogólności możemy założyć, że κi > 0 dla każdego i ∈ I. SpełnioQ
P
λi .
κi ¬
ne są wtedy założenia stwierdzenia 3.34, na mocy którego wnioskujemy, że
i∈I
Pozostaje zatem udowodnić, że
κi 6=
P
Q
i∈I
λi .
i∈I
i∈I
W tym celu pokażemy, że jeśli (Zi : i ∈ I) jest dowolną rodziną (indeksowaną indeksami
S
Q
Zi 6=
λi taką, że |Zi | = κi dla każdego i ∈ I, to
ze zbioru I) podzbiorów produktu
i∈I
i∈I
Q
λi .
i∈I
Zdefiniujmy więc funkcję f ∈
λi tak, by dla każdego i ∈ I wartość f (i) ∈ λi
Q
i∈I
gwarantowała, że f ∈
/ Zi ; wtedy ostatecznie dostaniemy f ∈
/ i∈I Zi .
Wystarczy wybrać f (i) jako dowolny element zbioru λi \ proji [Zi ], gdzie
S
proji (g) = g(i) dla g ∈
Y
λi
i∈I
jest rzutowaniem na i-tą oś.
Wybór taki jest możliwy, gdyż |proji [Zi ]| ¬ |Zi | = κi < λi , więc w szczególności
proji [Zi ] ( λi .
Wniosek 3.36. Zbiór mocy continuum nie jest sumą przeliczalnie wielu zbiorów mocy
mniejszej niz continuum.
Dowód. Niech |X| = c oraz oraz dla każdego n ∈ N niech An ⊆ X i |An | = κn < c.
Stosując twierdzenie Königa (3.35) do zbioru I = N oraz ciągów (κn : n ∈ N) i
(λn : n ∈ N), gdzie λn = c dla każdego n ∈ N, mamy:
|
[
An | ¬
S
κn <
n
n∈N
skąd w szczególności
X
Y
λn = cℵ0 = c,
n
An 6= X.
n∈N
Przykład 3.37. ℵω = sup ℵn =
n<ω
S
n<ω
ℵn i jednocześnie |ℵn | = ℵn < ℵω dla każdego n < ω.
Wniosek 3.38. c 6= ℵω .
44
3.3. Współczynnik współkońcowości
Definicja 3.39. Współczynnikiem współkońcowości (krótko: współkońcowością) nieskończonej liczby kardynalnej κ nazywamy liczbę kardynalną
cf (κ) = min |A| : A ⊆ P(κ) ∧ ∀A ∈ A |A| < κ ∧
[
A=κ .
Przykład 3.40.
(1) cf (ℵω ) = ℵ0 ,
(2) cf (c) > ℵ0 .
Stwierdzenie 3.41. Niech X będzie dowolnym nieskończonym zbiorem mocy κ oraz K –
rodziną mocy mniejszej niż κ podzbiorów zbioru X, których moce są wspólnie ograniczone
S
przez pewną nieskończoną liczbę kardynalną µ < κ. Wówczas | K| < |X| i w szczególności
S
K 6= X.
Dowód. Niech λ = max(|K|, µ) Z punktu (1) twierdzenia 3.20 wynika, że |
κ.
S
K| ¬ λ <
P
κα = κ }
Twierdzenie 3.42. Niech κ ∈ CN.
(1) cf (κ) = min{|X| : X ⊆ κ ∧ sup X = κ}
(2) cf (κ) = min{α ∈ ON : ∃g : α → κ ściśle
rosnąca taka, że sup g[α] = κ}
(3) cf (κ) = min{λ ∈ CN : ∃hκα : α < λi ∀α < λ(κα ∈ CN∧0 < κα < κ)∧
α<λ
Dowód.
(1) Po pierwsze zauważmy, że jeśli X ⊆ κ i |X| < cf (κ), to sup X < κ. Istotnie, w
S
przeciwnym razie mamy κ = X, gdzie |β| < κ dla każdego β ∈ X, co implikuje, że
|X| ­ cf (κ).
Dowód zakończy więc wskazanie zbioru X ⊆ κ takiego, że |X| = cf (κ) oraz sup X = κ.
Rozważmy dwa przypadki.
Przypadek 1. cf (κ) = κ. Wtedy wystarczy wziąć X = κ.
Przypadek 2. cf (κ) = λ < κ. Na mocy definicji cf (κ) istnieje rodzina {Aβ : β < λ}
zbiorów mocy mniejszej od κ, której suma ma moc κ. Niech X = {|Aβ | : β < λ}.
Wtedy X ⊆ κ, |X| ¬ λ oraz sup X = κ, co wynika natychmiast ze stwierdzenia 3.41
(i w tej sytuacji, na mocy spostrzeżenia z początku dowodu, |X| = cf (κ)).
(2) Jeśli α < cf (κ) oraz g : α → κ, to |g[α]| ¬ |α| < cf (κ), więc sup g[α] < κ na mocy
punktu (1).
45
Z drugiej strony, korzystając z punktu (1), ustalmy zbiór X = {xα : α < cf (κ)} ⊆ κ
taki, że sup X = κ. Definiujemy funkcję g : cf (κ) → κ przez indukcję, w każdym
kroku α < cf (κ) przyjmując, że
g(α) = max(sup g(β), xα ) + 1.
β<α
Funkcja g jest ściśle rosnąca oraz sup g[α] = κ.
P
(3) Jeśli λ < cf (κ), to oczywiście
κα < κ dla każdego ciągu (κα : α < λ) liczb
α<λ
kardynalnych mniejszych od κ.
Z drugiej strony, korzystając z punktu (2),ustalmy funkcję g : cf (κ) → κ \ {0}, ściśle
rosnącą i taką, że sup g[cf (κ)] = κ. Niech κα = |g(α)|. Wtedy, na mocy 3.31, mamy:
κ=
[
g[α]
α<cf (κ)
X
=
κα .
α<cf (κ)
Definicja 3.43. Niech β będzie nieskończoną liczbą porządkową graniczną. Zbiór X ⊆ β
nazywamy współkońcowym lub nieograniczonym w β, jeśli sup X = β.
Punkt (1) powyższego twierdzenia wyjaśnia więc nazwę współczynnika współkońcowości liczby kardynalnej κ: jest to najmniejsza moc współkońcowego podzbioru w κ. Ta
charakteryzacja pozwala na uogólnienie pojęcia współkońcowości na graniczne liczby porządkowe.
Definicja 3.44. Współczynnikiem współkońcowości (krótko: współkońcowością) nieskończonej liczby porządkowej β ∈ LIM nazywamy liczbę kardynalną
cf (β) = min{|X| : X ⊆ β ∧ sup X = β},
czyli najmniejszą moc zbioru współkońcowego w β.
Rozumując w podobny sposób, jak w dowodzie twierdzenia 3.42 można udowodnić
następujące charakteryzacje współczynnika cf (β).
Twierdzenie 3.45. Niech β ∈ LIM, β ­ ω.
(1) cf (β) = min{α ∈ On : ∃f : α → β taka, że sup f [α] = β},
(2) cf (β) = min{α ∈ On : ∃g : α → κ ściśle rosnąca taka, że sup g[α] = β}.
Definicja 3.46.
• Nieskończona liczba kardynalna κ jest regularna, jeśli cf (κ) = κ.
46
• Nieskończona liczba kardynalna κ jest singularna, jeśli cf (κ) < κ.
Twierdzenie 3.47. Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną – dla każdej liczby
porządkowej α mamy cf (ℵα+1 ) = ℵα+1 .
Dowód. Niech A ⊆ P(ℵα+1 ), |A| < ℵα+1 taka, że ∀A∈A |A| < ℵα+1 Wtedy |A| ¬ ℵα
S
S
i ∀A∈A |A| ¬ ℵα . Stąd | A| ¬ ℵα · ℵα = ℵα . Zatem A =
6 ℵα+1 .
Przykład 3.48.
(1) ℵ0 jest graniczną, regularną liczbą kardynalną,
(2) Liczby kardynalne ℵω i ℵω+ω są graniczne i singularne: cf (ℵω ) = cf (ℵω+ω ) = ℵ0 .
Próba przeniesienia własności liczby ℵ0 na moce nieprzeliczalne prowadzi do następujących pojęć.
Definicja 3.49.
• Liczba kardynalna κ jest nieosiągalna, jeśli jest nieprzeliczalna, graniczna i regularna.
• Liczba kardynalna κ jest silnie nieosiągalna, jeśli jest nieosiągalna oraz ∀λ<κ 2λ < κ.
Liczby nieosiągalne i silnie nieosiągalne należą do tak zwanych dużych liczb kardynalnych, których istnienia nie da się dowieść w ZFC. Zarazem jednak badanie ich własności
i konsekwencji aksjomatyki wzbogaconej o założenie ich istnienia stanowi bardzo ważny
nurt teorii mnogości.
Lemat 3.50. Niech α i β będą nieskończonymi liczbami porządkowymi granicznymi. Jeśli
istnieje ściśle rosnąca funkcja f : α → β taka, że sup f [α] = β, to cf (α) = cf (β).
Dowód.
1. „­” Niech g1 : cf (α) → α będzie fukcją taką, że sup g1 [cf (α)] = α (por. twierdzenie
3.45). Wówczas dla funkcji f ◦ g1 : cf (α) → β mamy sup(f ◦ g1 )[cf (α)] = β, co
pokazuje, że cf (α) ­ cf (β).
„¬” Niech g2 : cf (β) → β będzie funkcją taką, że sup g2 [cf (β)] = β. Zdefiniujmy
funkcję h : cf (β) → α przez indukcję, w każdym kroku ξ < cf (β) przyjmując, że
h(ξ) = min{γ < α : f (γ) > g2 (ξ)}.
Wówczas sup h[cf (β)] = α, co pokazuje, że cf (α) ¬ cf (β).
Stwierdzenie 3.51. Współczynnik współkońcowości dowolnej nieskończonej liczby porządkowej β ∈ LIM jest liczbą kardynalną regularną:
cf (cf (β)) = cf (β).
47
Dowód. Wystarczy zauważyć, że na mocy twierdzenia 3.45 istnieje ściśle rosnąca funkcja
f : cf (β) → β taka, że sup f [cf (β)] = β, co pozwala skorzystać z lematu 3.50.
Twierdzenie 3.52. Jeśli α jest niezerową liczbą porządkową graniczną, to cf (ℵα ) =
cf (α).
Dowód. Zauważmy, że funkcja f : α →
− ℵα , dana wzorem f (β) = ℵβ jest ściśle rosnąca i
spełnia warunek sup f [α] = ℵα (zob. twierdzenie 3.11). Teza wynika więc natychmiast z
lematu 3.50.
Pewne wstępne wyobrażenie o wielkości liczb nieosiągalnych daje poniższy wniosek.
Wniosek 3.53. Jeśli ℵα jest liczbą nieosiągalną, to ℵα = α.
Przykład 3.54. Niech f będzie ciągiem długości ω, spełniającym następujący warunki
indukcyjne:
f (0) = ℵ0 ,
f (n + 1) = ℵf (n) .
(Istnienie takiego ciągu można uzasadnić, rozumując tak jak w dowodzie twierdzenia 2.52).
Niech α = sup f (n). Wtedy ℵα = sup ℵf (n) = sup f (n + 1) = α.
n<ω
n<ω
n<ω
Jednocześnie cf (ℵα ) = cf (α) = ℵ0 , więc liczba ℵα jest singularna, zatem nie jest
nieosiągalna.
3.4. Potęgowanie liczb kardynalnych
Będziemy używać następującego oznaczenia
def
• [X]λ = {A ⊆ X : |A| = λ}, gdzie X jest dowolnym zbiorem i λ ∈ CN.
Począwszy od tego paragrafu
• litery κ, λ, µ i ν oznaczają liczby kardynalne.
Przypomnijmy, że zgodnie z definicją potęga kardynalna κλ jest mocą zbioru wszystkich
funkcji f : λ →
− κ (oznaczanego również przez κλ ). Zarazem jednak, jak pokazuje następne
stwierdzenie, κλ wyraża również moce pewnych rodzin zbiorów, wyznaczonych przez liczby
kardynalne κ i λ.
Stwierdzenie 3.55. Niech κ, λ ∈ CN i λ ­ ℵ0 .
(1) Jeśli 2 ¬ κ ¬ λ, to κλ = 2λ (= |P(λ)|).
48
(2) Jeśli λ ¬ κ, to κλ = |[κ]λ |.
Dowód.
λ
(1) Mamy 2λ ¬ κλ ¬ λλ ¬ 2λ = 2λ·λ = 2λ .
(2) „¬” Jeśli f ∈ κλ , to f ⊆ λ×κ, a nawet więcej: f ∈ [λ×κ]λ . Ponadto |λ×κ| = λ·κ = κ
na mocy twierdzenia 3.21. Stąd κλ ¬ |[λ × κ]λ | = |[κ]λ |.
1−1
„­” Dla każdego zbioru A ∈ [κ]λ wybierzmy funkcję fA : λ −→
A . Przyporządkowana
λ
nie A 7→ fA jest różnowartościowe i świadczy o tym, że |[κ] | ¬ κλ .
Następne stwierdzenie narzuca ważne ograniczenie na potencjalne wartości potęgi κλ .
Stwierdzenie 3.56. Niech κ ­ 2 i λ ­ ℵ0 . Wtedy
cf (κλ ) > λ.
W szczególności:
(1) cf (2λ ) > λ,
(2) λcf (λ) > λ.
Dowód. Niech (κα : α < λ) będzie dowolnym ciągiem liczb kardynalnych długości λ takim,
że κα < κλ dla każdego α < λ. Wtedy na mocy twierdzenia 3.35 mamy
X
α<λ
κα <
Y
κλ = (κλ )λ = κλ·λ = κλ ,
α<λ
co wobec twierdzenia 3.42 daje λ < cf (κλ ).
Dla dowodu punktu (1) wystarczy przyjąć κ = 2.
Dla dowodu punktu (2) zauważmy, że skoro cf (λcf (λ) ) > cf (λ), to λcf (λ) > λ.
W trzech kolejnych twierdzeniach, formułujących najważniejsze wzory dotyczące potęgowania (Hausdorffa, Tarskiego i Bukovskiego), potęga κλ wyrażona jest za pomocą potęg
o mniejszej podstawie lub wykładniku. Istotną rolę odgrywa w nich liczba sup µλ , którą
µ<κ
λ
należy rozumieć jako kres górny potęg postaci µ , gdzie µ jest liczbą kardynalną (a nie
dowolną liczbą porządkową), mniejszą od κ. Jak pokazuje poniższy lemat, jest ona równa
P λ
liczbie
µ , gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie liczby kardynalne µ < κ.
µ<κ
Lemat 3.57. Niech κ ­ ℵ0 i λ > 0. Wtedy
X
µλ = sup µλ .
µ<κ
µ<κ
49
Dowód. Na mocy stwierdzenia 3.28 mamy:
X
µλ = sup µλ · |{µ ∈ CN : µ < κ}|,
µ<κ
µ<κ
więc wystarczy udowodnić, że |{µ ∈ CN : µ < κ}| ¬ supµ<κ µλ .
Przypadek 1. κ jest następnikiem kardynalnym: κ = ν + , gdzie ν ­ ℵ0 .
Wtedy
sup µλ = ν λ ­ ν ­ |{µ ∈ CN : µ ¬ ν}|.
µ<κ
Przypadek 2. κ jest liczbą kardynalną graniczną: κ = sup µ.
µ<κ
Wtedy
|{µ ∈ CN : µ < κ}| ¬ κ = sup µ ¬ sup µλ .
µ<κ
µ<κ
Następujący lemat zawiera kluczową obserwację, dotyczącą potęgi κλ w przypadku
gdy λ < cf (κ).
Lemat 3.58. Jeśli κ ­ ℵ0 i 0 < λ < cf (κ), to:
(1) każdy podzbiór liczby κ mocy λ jest ograniczony w κ: [κ]λ =
S
[α]λ . W szczególności,
α<κ
każdy ciąg długości λ o wartościach w κ jest ograniczony w κ: κλ =
S
αλ .
α<κ
(2) κλ = sup µλ · κ.
µ<κ
Dowód. Punkt (1) wynika z twierdzenia 3.42.
Stąd dalej, korzystając z wniosku 3.31, mamy:
κλ = |
[
[α]λ | =
α<κ
X
|[α]λ | = sup µλ · κ.
α<κ
µ<κ
Pierwsze z trzech zapowiadanych twierdzeń dotyczy potęg następników kardynalnych,
dwa następne – potęg liczb kardynalnych granicznych.
Twierdzenie 3.59 (Wzór Hausdorffa). Niech κ ­ ℵ0 i λ > 0. Wtedy
(κ+ )λ = κλ · κ+ .
Dowód.
Przypadek 1. κ+ ¬ λ. Wtedy, na mocy stwierdzenia 3.55 z jednej strony mamy (κ+ )λ =
2λ , a z drugiej κλ = 2λ oraz κ+ ¬ λ < 2λ , co na mocy twierdzenia 3.21 daje (κ+ )λ =
κλ · κ+ .
50
Przypadek 2. λ < κ+ . Ponieważ na mocy twierdzenia 3.47 mamy cf (κ+ ) = κ+ , więc z
lematu 3.58 dostajemy, że
(κ+ )λ = sup µλ · κ+ = κλ · κ+ .
µ<κ+
Twierdzenie 3.60 (Wzór Tarskiego). Niech κ ­ ℵ0 będzie liczbą kardynalną graniczną.
Jeśli 0 < λ < cf (κ), to
κλ = sup µλ .
µ<κ
Dowód. Na mocy lematu 3.58 mamy κλ = sup µλ · κ i zarazem κ = sup µ ¬ sup µλ .
µ<κ
µ<κ
µ<κ
Twierdzenie 3.61 (Wzór Bukovskiego). Niech κ ­ ℵ0 będzie liczbą kardynalną graniczną.
Jeśli cf (κ) ¬ λ < κ, to
κλ = (sup µλ )cf (κ) .
µ<κ
W szczególności, jeśli istnieje liczba ν < κ taka, że ν λ = µλ dla wszystkich liczb ν ¬ µ < κ,
to κλ = ν λ .
Dowód.
„­” Mamy κλ = (κλ )λ ­ (sup µλ )cf (κ) .
µ<κ
„¬” Korzystając z twierdzenia 3.42 przedstawmy liczbę κ w postaci
κ=
X
κα ,
α<cf (κ)
gdzie (κα : α < cf (κ)) jest pewnym ciągiem liczb kardynalnych mniejszych od κ, o
którym dodatkowo możemy założyć, że κα ­ 2 dla każdego α < cf (κ).
Wtedy na mocy stwierdzenia 3.34 mamy
X
Y
κα ¬
α<cf (κ)
κα ,
α<cf (κ)
skąd dalej
κλ = (
X
α<cf (κ)
κα )λ ¬ (
Y
α<cf (κ)
κα )λ =
Y
α<cf (κ)
κα λ ¬
Y
α<cf (κ)
sup µλ = (sup µλ )cf (κ) .
µ<κ
µ<κ
Dla dowodu ostatniej części zauważmy, że jeśli ν λ = µλ dla pewnej liczby ν < κ i
wszystkich liczb ν ¬ µ < κ, to na mocy części udowodnionej
κλ = (sup µλ )cf (κ) = (ν λ )cf (κ) = ν λ·cf (κ) = ν λ .
µ<κ
51
Jako wniosek odnotujmy jeszcze jedno twierdzenie, pokazujące pewne zależności κλ od
wartości potęg o mniejszej podstawie lub wykładniku.
Twierdzenie 3.62. Niech κ ­ ℵ0 i λ > 0. Wtedy:
(1) Jeśli dla pewnej liczby µ < κ mamy µλ ­ κ, to κλ = µλ ; w szczególności, jeśli κ ¬ λ,
to κλ = 2λ .
(2) Jeśli dla każdej liczby µ < κ mamy µλ ¬ κ, to:
a) jeśli cf (κ) ¬ λ < κ, to κλ = κcf (κ) ,
b) jeśli λ < cf (κ), to κλ = κ.
Dowód.
(1) To założenie implikuje, że λ ­ ℵ0 oraz µλ ¬ κλ ¬ (µλ )λ = µλ·λ = µλ .
(2) Zauważmy po pierwsze, że przy tym założeniu mamy sup µλ ¬ κ.
µ<κ
λ cf (κ)
λ
a) Na mocy wzoru Bukowskiego mamy κ = (sup µ )
¬ κcf (κ) , a z drugiej strony
µ<κ
cf (κ) ¬ λ implikuje κcf (κ) ¬ κλ .
b) Na mocy lematu 3.58 mamy κλ = sup µλ · κ = κ.
µ<κ
Aksjomaty ZFC nie rozstrzygają wielu naturalnych hipotez dotyczących potęgowania
liczb kardynalnych. Przykładem jest wspomniana wcześniej hipoteza continuum (CH),
stwierdzająca, że 2ℵ0 = ℵ1 . Jej wzmocnieniem jest uogólniona hipoteza continuum (w
skrócie: GCH), stwierdzająca, że 2κ = κ+ dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej κ.
Jej status jest taki, jak hipotezy continuum. W szczególności można do aksjomatów ZFC
bez sprzeczności dołączyć GCH jako dodatkowy aksjomat, uzyskując silniejszą teorię. W
takiej teorii potęgowanie liczb kardynalnych znacznie się upraszcza.
Twierdzenie 3.63 (potęgowanie liczb kardynalnych przy założeniu GCH).
Niech κ ­ ℵ0 i λ > 0. Przy założeniu GCH:
(1) jeśli κ ¬ λ, to κλ = λ+ ,
(2) jeśli cf (κ) ¬ λ < κ, to κλ = κ+ ,
(3) jeśli λ < cf (κ) to κλ = κ.
Dowód.
3.55
GCH
(1) κλ = 2λ = λ+ .
52
3.56
GCH
(2) κ+ ¬ κcf (κ) ¬ κλ ¬ κκ = 2κ = κ+ .
GCH
(3) Zauważmy, że dla każdego µ < κ mamy |µλ | ¬ |P(λ × µ)| = 2λ·µ = max(λ, µ)+ ¬ κ.
3.58
Stąd wynika, że κλ = sup µλ · κ = κ.
µ<κ
W ogólności mamy wielką swobodę, jeśli chodzi o niesprzeczne z ZFC rozstrzygnięcia,
dotyczące wartości 2κ dla regularnych liczb kardynalnych κ – jedynym ograniczeniem są
warunki: cf (2κ ) > κ oraz 2κ ¬ 2λ dla κ < λ (Easton, 1970). W szczególności, można na
przykład jako dodatkowy aksjomat przyjąć, że 2ℵ0 = 2ℵ1 = ℵ2 .
Takiej swobody – jak pokazują liczne twierdzenia, których przykłady przytoczymy
poniżej – nie mamy w przypadku wartości 2κ dla singularnych liczb kardynalnych κ.
Przyjmijmy następujące oznaczenie
• 2<κ = sup 2µ .
µ<κ
Lemat 3.64. Jeśli κ ­ ℵ0 , to 2κ = (2<κ )cf (κ) .
Dowód. Korzystając z twierdzenia 3.42 przedstawmy κ w postaci κ =
P
κα , gdzie
α<cf (κ)
(κα : α < cf (κ)) jest pewnym ciągiem liczb kardynalnych mniejszych od κ. Wtedy mamy
P
2κ = 2
α<cf (κ)
κα
=
Y
α<cf (κ)
2κα ¬
Y
2<κ = (2<κ )cf (κ) ¬ (2κ )cf (κ) = 2κ .
α<cf (κ)
Wniosek 3.65. Jeśli liczba κ singularna i istnieje liczba λ < κ taka, że dla każdej liczby
µ, spełniającej warunki λ ¬ µ < κ, mamy 2µ = 2λ , to 2κ = 2λ = 2<κ .
Dowód. Mamy
2κ = (2<κ )cf (κ) = (2λ )cf (κ) = 2max(λ,cf (κ)) = 2λ ,
przy czym ostatnia równość wynika z założenia, zastosowanego do liczby µ = max(λ, cf (κ));
oczywiście λ ¬ µ < κ.
Znacznie głębsze jest następujące twierdzenie, które sformułujemy bez dowodu.
Twierdzenie 3.66 (Silver). Jeśli liczba κ singularna i cf (κ) > ω, to z tego, że 2λ = λ+
dla każdej nieskończonej λ < κ wynika, że 2κ = κ+ .
4. Zbiory domknięte i nieograniczone oraz
zbiory stacjonarne
W tym rozdziale zakładamy, że
• κ jest nieprzeliczalną, regularną liczbą kardynalną.
4.1. Zbiory domknięte i nieograniczone
Definicja 4.1. Zbiór C ⊆ κ jest domknięty w κ, jeżeli dla każdej liczby porządkowej
granicznej α < κ z tego, że α = sup(C ∩ α) wynika, że α ∈ C.
Przyjmiemy oznaczenie
• clubκ = {C ⊆ κ : C domknięty i nieograniczony w κ}.
Przykład 4.2. Przykłady zbiorów domkniętych i nieograniczonych w κ:
(1) odcinki końcowe (α, κ), gdzie α < κ.
(2) {α < κ : α ∈ LIM}; nieograniczoność tego zbioru oznacza, że jeśli β < κ, to istnieje
α < κ taka, że α ∈ LIM i β < α. Istotnie, wystarczy wziąć α = β + ω.
(3) {λ < κ : λ ∈ CN}, o ile κ jest graniczną liczbą kardynalną; domkniętość tego zbioru
wynika stąd, że kres górny dowolnego zbioru liczb kardynalnych jest liczbą kardynalną.
Stwierdzenie 4.3.
(1) Przecięcie dowolnej niepustej rodziny zbiorów domkniętych w κ jest zbiorem domkniętym w κ.
(2) Suma dowolnej skończonej rodziny zbiorów domkniętych w κ jest zbiorem domkniętym
w κ.
Uwaga 4.4. Zbiory domknięte w κ to dokładnie zbiory domknięte w topologii porządkowej na κ, której bazą są odcinki początkowe α i końcowe (α, κ) oraz przedziały otwarte
(α, β), gdzie α < β < κ.
54
Stwierdzenie 4.5. Jeśli zbiór A ⊆ κ nieograniczony w κ, to A0 = {α < κ : sup(A ∩ α) =
α} jest zbiorem domkniętym i nieograniczonym w κ.
Dowód. Domkniętość zbioru A0 sprawdza się rutynowo. Dla dowodu jego nieograniczoności
weźmy β < κ i indukcyjnie zdefiniujemy ciąg (βn )n<ω elementów zbioru A tak, by β <
β0 oraz βn < βn+1 < κ. Niech α = supn βn . Wtedy α < κ, bo cf (κ) > ω. Ponadto
sup(A ∩ α) = α. Zatem α ∈ A0 .
Definicja 4.6. Funkcję f : κ → κ nazywamy
• funkcją ciągłą, jeśli dla każdej liczby porządkowej granicznej α < κ mamy
f (α) = sup f (β),
β<α
• funkcją normalną, jeśli jest ściśle rosnąca i ciągła.
Stwierdzenie 4.7.
(1) Zbiór wartości dowolnej funkcji normalnej f : κ →
− κ jest zbiorem domkniętym i nieograniczonym w κ.
(2) Jeśli zbiór C ⊆ κ jest domknięty i nieograniczony w κ, to rosnąca numeracja elemen1−1
tów zbioru C (tzn. ściśle rosnąca bijekcja f : κ →
−
C) jest funkcją normalną.
na
Dwa kolejne twierdzenia dają wiele przykładów zbiorów domkniętych i nieograniczonych.
Dla dowolnej funkcji f : κ → κ przyjmijmy, że
def
• F ix(f ) = {α < κ : f (α) = α}.
oznacza zbiór wszystkich punktów stałych funkcji f .
Twierdzenie 4.8. Załóżmy, że funkcja f : κ → κ ma następujące własności (ma je w
szczególności każda funkcja normalna):
(1) f jest niemalejąca: α < β ⇒ f (α) ¬ f (β),
(2) f jest ciagła,
(3) ∀α < κ α ¬ f (α).
Wtedy F ix(f ) ∈ clubκ .
Dowód.
55
Domkniętość: Niech β < κ i β ∈ LIM oraz β = sup(F ix(f ) ∩ β). Wtedy
f (β) = sup{f (α) : α < β} = sup{f (α) : α ∈ F ix(f )∩β} = sup{α : α ∈ F ix(f )∩β} = β.
Nieograniczoność: Niech β < κ. Szukamy α < κ takiego, że β < α i f (α) = α. Definiujemy indukcyjnie ciąg (βn )n∈ω tak, by β0 = β i f (βn ) < βn+1 dla każdego n ∈ ω.
Wtedy mamy β0 ¬ f (β0 ) < β1 ¬ f (β1 ) < β2 . . .
Niech α = supn βn . Wówczas β < α, α < κ i α ∈ LIM oraz
f (α) = sup f (β) = sup f (βn ) = sup βn = α.
n
β<α
n
Dla dowolnej funkcji funkcji g : κn →
− κ, gdzie n ∈ ω\{0} (tzn. n-argumentowej operacji
w zbiorze κ) przyjmijmy, że
def
• Mg = {α < κ : g[αn ] ⊆ α} .
oznacza zbiór wszystkich liczb porządkowych zamkniętych na operację f .
Twierdzenie 4.9. Niech n ∈ ω \ {0} i g : κn → κ. Wtedy Mg ∈ clubκ .
Dowód. Zdefiniujmy funkcję fg : κ → κ następującym wzorem
fg (α) = sup
n
o
g(β) + 1 : β ∈ αn ∪ {α} .
Na mocy twierdzenia 4.8 wystarczy sprawdzić, że:
(i) Funkcja fg ma własności (1)–(3) z założeń twierdzenia 4.8,
(ii) Mg = F ix(fg ).
Własności (1) i (3) wynikają wprost z definicji funkcji fg .
Dla dowodu jej ciągłości ustalmy liczby α ∈ κ ∩ LIM oraz γ < fg (α). Szukamy liczby
β < α takiej, że γ < fg (β).
Jeśli fg (α) = α, to n
γ < α oraz γ ¬ fg (γ),
o więc można wziąć β = γ.
n
Jeśli fg (α) = sup g(β) + 1 : β ∈ α
> α, to tym bardziej fg (α) > γ, więc dla
pewnych liczb β1 , β2 , . . . , βn ∈ α mamy g(β1 , β2 , . . . , βn ) + 1 > γ. Wówczas dla β =
max(β1 , β2 , . . . , βn ) + 1 dostajemy fg (β) ­ g(β1 , β2 , . . . , βn ) + 1 > γ.
Dla dowodu równości (ii) załóżmy najpierw, że α ∈ Mg . Wtedy, jeśli β ∈ αn , to
g(β) < α, a zatem g(β) + 1 ¬ α. Stąd fg (α) = α, czyli α ∈ F ix(fg ).
Teraz załóżmy, że α ∈ F ix(fg ). Implikuje to, że jeśli β ∈ αn , to g(β) + 1 ¬ α, skąd
g(β) < α. Zatem g[αn ] ⊆ α, czyli α ∈ Mg .
56
Twierdzenie 4.10. Przecięcie mniej niż κ zbiorów domkniętych i nieograniczonych w κ
jest zbiorem domkniętym i nieograniczonym w κ: jeśli λ < κ i Cα ∈ clubκ dla każdej liczby
T
α < λ, to
Cα ∈ clubκ .
α<λ
Dowód. Niech C =
T
Cα .
α<λ
Domkniętość zbioru C wynika ze stwierdzenia 4.3
Dla dowodu nieograniczoności zbioru C ustalmy liczbę γ < κ. Znajdziemy element
x ∈ C taki, że γ < x.
Przez indukcję (względem porządku leksykograficznego w zbiorze ω × λ) definiujemy
rodzinę podwójnie indeksowaną (xn,α : n < ω, α < λ) tak, by spełnione były następujące
warunki:
• xn,α ∈ Cα ,
• x0,0 > γ,
• ∀n (α < β ⇒ xn,α < xn,β ),
• ∀n sup xn,α < xn+1,0 .
α<λ
Wykonalność tej konstrukcji wynika z nieograniczoności zbiorów Cα . W szczególności
zauważmy, że dla każdego n < ω mamy sup xn,α < κ, bo λ < κ = cf (κ), więc możliwość
α<λ
wyboru elementu xn+1,0 ∈ C0 takiego, że sup xn,α < xn+1,0 , wynika z nieograniczoności
α<λ
zbioru C0 .
Na koniec definiujemy
x = sup{xα,n : α < λ, n < ω}.
Zauważmy, że dla każdego α < λ mamy
x = sup xn,α ,
n<ω
więc z domkniętości zbioru Cα wynika, że x ∈ Cα .
Zatem ostatecznie mamy γ < x ∈ C.
Definicja 4.11. Niech hAα : α < κi będzie rodziną podzbiorów κ.
(1) Iloczynem przekątniowym rodziny hAα : α < κi nazywamy zbiór
i
Aα = {β < κ : ∀α < β β ∈ Aα }.
α<κ
(2) Sumą przekątniową rodziny hAα : α < κi nazywamy zbiór
h
Aα = {β < κ : ∃α < β β ∈ Aα }.
α<κ
57
Uwaga 4.12.
a
T
(1)
Aα =
(Aα ∪ (α + 1)),
α<κ
α<κ
`
S
(2)
Aα =
(Aα \ (α + 1)),
α<κ a
α<κ
`
(3)
Aα = κ \
(κ \ Aα ),
α<κ
α<κ
a
`
(4)
Aα = κ \
(κ \ Aα ).
α<κ
α<κ
Przykład 4.13.
(1) Niech Cα = (α, κ) dla α < κ. Wtedy
a
Cα = κ.
α<κ
(2) Niech Cα = (α + 1, κ) dla α < κ. Wtedy dla β < κ mamy:
i
β∈
Cα ⇔ ∀α < β β ∈ Cα ⇔ ∀α < β α + 1 < β ⇔ β ∈ LIM.
α<κ
Zatem
a
Cα = LIM ∩ κ.
α<κ
(3) Niech f : κ → κ i Cα = (f (α), κ) dla α < κ. Wtedy dla β < κ mamy:
i
β∈
Cα ⇔ ∀α < β β ∈ Cα ⇔ ∀α < β f (α) < β ⇔ f [β] ⊆ β.
α<κ
Zatem
a
Cα = {β < κ : f [β] ⊆ β} = Mf .
α<κ
Twierdzenie 4.14 (Fodor). Rodzina clubκ jest zamknięta na iloczyn przekątniowy: jeśli
a
Cα ∈ clubκ dla każdej liczby α < κ, to
Cα ∈ clubκ .
α<κ
Dowód. Niech C =
a
Cα .
α<κ
Domkniętość zbioru C wynika ze stwierdzenia 4.3 i uwagi 4.12.
Dla dowodu nieograniczoności zbioru C zdefiniujmy funkcję f : κ2 → κ wzorem:
f (α, β) = min{γ ∈ Cα : γ > β}.
Z twierdzenia 4.9 wynika, że Mf = {δ < κ : f [δ 2 ] ⊆ δ} ∈ clubκ . Pokażemy, że
Mf ∩ LIM ⊆ C,
skąd wynika już nieograniczonosć zbioru C, bo Mf ∩ LIM ∈ clubκ na mocy twierdzenia
4.10.
Niech więc δ ∈ Mf ∩ LIM i α < δ. Chcemy pokazać, że δ ∈ Cα .
Skoro α < δ i δ ∈ Mf , to dla każdego β < δ mamy:
β < f (α, β) < δ oraz f (α, β) ∈ Cα .
58
Ponieważ δ ∈ LIM, wynika stąd, że
δ = sup f (α, β) = sup(Cα ∩ δ) ∈ Cα .
β<δ
Uwaga 4.15. Niech λ < κ i Cα ∈ clubκ dla każdej liczby α < λ. Dodatkowo przyjmijmy,
że jeśli λ ¬ α < κ, to Cα = κ.
a
Wówczas z twierdzenia 4.14 wynika, że
Cα ∈ clubκ , a jednocześnie dla każdej liczby
α<κ
β < κ, jeśli β ­ λ, to:
β∈
\
Cα ⇔ β ∈
α<λ
i
Cα .
α<κ
To pokazuje, że przecięcie mniej niż κ zbiorów domkniętych i nieograniczonych w κ
jest zbiorem nieograniczonym w κ, dając nowy dowód twierdzenia 4.10.
4.2. Zbiory stacjonarne – lemat Fodora
Definicja 4.16. Zbiór S ⊆ κ jest stacjonarny w κ, jeśli S ∩ C 6= ∅ dla każdego zbioru
C ∈ clubκ . Zbiór A ⊆ κ jest niestacjonarny w κ, jeśli nie jest stacjonarny w κ.
Przyjmiemy oznaczenia:
• Statκ = {S ⊆ κ : S stacjonarny w κ},
• N Sκ = {A ⊆ κ : A niestacjonarny w κ}.
Uwaga 4.17.
(1) Każdy zbiór domknięty i nieograniczony w κ jest stacjonarny w κ (por. twierdzenie
4.10).
(2) Każdy zbiór stacjonarny w κ jest nieograniczony w κ (ma niepuste przecięcie z każdym
każdym odcinkiem końcowym (α, κ), gdzie α < κ).
Przykład 4.18.
Niech κ > λ = cf (λ). Wtedy
{α < κ : cf (α) = λ} ∈ Statκ .
Istotnie, niech S = {α < κ : cf (α) = λ} i C ∈ clubκ . Weźmy ciąg ściśle rosnący
(cα : α < λ) elementów C i niech γ = sup cα . Ponieważ λ < κ = cf (κ), to γ < κ i
α<λ
domkniętość zbioru C implikuje, że γ ∈ C. Ponadto cf (γ) = λ, stąd γ ∈ S ∩ C, co
pokazuje, że S ∩ C 6= ∅.
59
W szczególności, zbiór {α < ℵ2 : cf (α) = ℵ0 } jest stacjonarny w ℵ2 , ale nie jest
domknięty, gdyż ℵ1 = sup{α < ℵ1 : cf (α) = ℵ0 }.
Następujący fakt jest łatwym wnioskiem z twierdzenia 4.10.
Twierdzenie 4.19. Suma mniej niż κ zbiorów niestacjonarnych w κ jest zbiorem niestaS
cjonarnym w κ: jeśli λ < κ i Aα ∈ N Sκ dla każdej liczby α < λ, to
Aα ∈ N Sκ .
α<λ
Dowód. Dla każdej liczby α < λ, skoro Aα ∈ N Sκ , to istnieje zbiór Cα ∈ clubκ taki, że
T
Aα ∩ Cα = ∅. Niech C =
Cα . Wówczas, na mocy twierdzenia 4.10, C ∈ clubκ . Ponadto
α<λ
S
Aα ∩ C = ∅, co dowodzi, że
α<λ
S
Aα ∈ N S κ . .
α<λ
Analogicznie, następujący fakt łatwo wynika z twierdzenia Fodora 4.14.
Twierdzenie 4.20. Rodzina N Sκ jest zamknięta na sumę przekątniową: jeśli Aα ∈ N Sκ
`
dla każdej liczby α < κ, to
Aα ∈ N Sκ .
α<κ
Dowód. Dla każdej liczby α < λ, skoro Aα ∈ N Sκ , to istnieje zbiór Cα ∈ clubκ taki, że
a
Aα ∩Cα = ∅. . Niech C =
Cα . Wówczas, na mocy twierdzenia 4.14, C ∈ clubκ . Ponadto
α<κ
dla każdej liczby α < κ mamy Aα ⊆ κ \ Cα , a stąd
h
h
i
Aα ⊆
(κ \ Cα ) = κ \
Cα = κ \ C,
α<κ
czyli
`
α<κ
Aα ∩ C = ∅, co dowodzi, że
α<κ
α<κ
`
Aα ∈ N Sκ .
α<κ
Definicja 4.21. Niech S ⊆ κ. Funkcja f : S → κ jest regresywna na zbiorze S, jeżeli
f (α) < α dla każdej liczby α ∈ S \ {0}.
Twierdzenie 4.22 (Lemat Fodora). Funkcja regresywna na zbiorze stacjonarnym S ⊆ κ
jest stała na pewnym stacjonarnym podzbiorze zbioru S.
Dowód. Niech f : S → κ będzie funkcją regresywną na zbiorze S ∈ Statκ . Chcemy
pokazać, że istnieje liczba α < κ, dla której zbiór Aα = f −1 [{α}] jest stacjonarny w κ.
Przypuśćmy, że jest przeciwnie, tzn. Aα ∈ N Sκ dla każdej liczby α < κ i niech A =
`
Aα . Wtedy, na mocy twierdzenia 4.20, A ∈ N Sκ .
α<κ
Ale z drugiej strony mamy:
h
β∈A ⇔ β∈
Aα ⇔ ∃α < β β ∈ Aα ⇔ ∃α < β f (β) = α ⇔ β ∈ S \ {0},
α<κ
czyli A = S \ {0} ∈ Statκ i otrzymujemy sprzeczność.
60
Wniosek 4.23. Dowolna funkcja g : κ → κ jest stała na zbiorze stacjonarnym lub ściśle
rosnąca na zbiorze stacjonarnym.
Dowód. Niech C = Mg ; C ∈ clubκ na mocy twierdzenia 4.9.
Niech T = {α ∈ C : g(α) < α}. Wtedy funkcja g jest regresywna na T .
Rozważmy dwa przypadki:
1. T ∈ Statκ . Wtedy z lematu Fodora wynika, że istnieje zbiór S ∈ Statκ , S ⊆ T taki,
że funkcja f |S jest stała.
2. T ∈ N Sκ . Niech S = C \ T . Wtedy na mocy twierdzenia 4.19, S ∈ Statκ . Weźmy
dowolne liczby β, α ∈ S takie, że β < α. Wówczas g(β) < α, bo α ∈ C oraz α ¬ g(α),
bo α 6∈ T . Ostatecznie g(β) < g(α), czyli funkcja f |S jest ściśle rosnąca.
5. Filtry, ideały i ultrafiltry
5.1. Definicja filtru, ideału i ultrafiltru
Definicja 5.1. Filtrem podzbiorów zbioru X (krótko: filtrem na zbiorze X) nazywamy
rodzinę F ⊆ P(X), spełniającą następujące warunki:
(1) jeśli C1 , C2 ∈ F , to C1 ∩ C2 ∈ F ,
(2) jeśli A ∈ F i A ⊆ B ⊆ X, to B ∈ F ,
(3) ∅ ∈
/ F.
Intuicja stojąca za pojęciem filtru jest taka, że filtrem jest rodzina zbiorów z pewnego
punktu widzenia dużych.
Przykład 5.2.
(1) Niech D ⊆ X, D 6= ∅. Rodzina
F = {C ⊆ X : D ⊆ C}
jest filtrem na X – tzw. filtrem głównym, generowanym przez D.
(2) Niech |X| = κ ­ ℵ0 i ℵ0 ¬ λ ¬ κ. Rodzina
F = {C ⊆ X : |X \ C| < λ}
jest filtrem na X. Jeśli λ = ℵ0 , to filtr ten, składający się z koskończonych podzbiorów
zbioru X, nazywamy filtrem Frecheta na X.
(3) Niech κ będzie nieprzeliczalną, regularną liczbą kardynalną. Rodzina
F = {C ⊆ κ : κ \ C ∈ N Sκ }
jest filtrem na κ, składającym się z nadzbiorów zbiorów domkniętych i nieograniczonych w κ. Spełnienie warunku (1) z definicji 5.1 zapewnia twierdzenie 4.10.
Przyjmiemy oznaczenie
• Clubκ = {C ⊆ κ : κ \ C ∈ N Sκ }.
62
Definicja 5.3. Ideałem podzbiorów zbioru X (krótko: ideałem na zbiorze X) nazywamy
rodzinę I ⊆ P(X), spełniającą następujące warunki:
(1) jeśli A1 , A2 ∈ I, to A1 ∪ A2 ∈ I,
(2) jeśli A ∈ I i B ⊆ A, to B ∈ I,
(3) X ∈
/ I.
Intuicja stojąca za pojęciem ideału jest taka, że ideał tworzy rodzina zbiorów z pewnego
punktu widzenia małych.
Przykład 5.4.
(1) Niech D ( X. Rodzina
I = {A ⊆ X : A ⊆ D}
jest ideałem na X – tzw. ideałem głównym, generowanym przez D.
(2) Niech |X| = κ ­ ℵ0 i ℵ0 ¬ λ ¬ κ. Rodzina
I = {A ⊆ X : |A| < λ}
jest ideałem na X. Jeśli λ = ℵ0 , to ideał ten składa się ze skończonych podzbiorów
zbioru X.
(3) Niech κ będzie nieprzeliczalną, regularną liczbą kardynalną. Rodzina I = N Sκ jest
ideałem na κ. Spełnienie warunku (1) z definicji 5.3 zapewnia twierdzenie 4.19.
Przyjmiemy oznaczenie
• [X]<λ = {A ⊆ X : |A| < λ}.
Porównanie powyższych przykładów filtrów i ideałów wskazuje na to, że filtr i ideał to
pojęcia dualne.
Uwaga 5.5.
(1) Jeśli I jest ideałem na zbiorze X, to rodzina
I ∗ = {C ⊆ X : X \ C ∈ I}
jest filtrem na X – filtrem dualnym do I.
(2) Jeśli F jest filtrem na zbiorze X, to rodzina
F ∗ = {A ⊆ X : X \ A ∈ F }
jest ideałem na X – ideałem dualnym do F .
63
Przykład 5.6.
(1) Filtrem dualnym do ideału głównego, generowanego przez zbiór D ( X jest filtr
główny, generowany przez X \ D,
∗
(2) ([X]<λ ) = {C ⊆ X : |X \ C| < λ},
(3) (N Sκ )∗ = Clubκ .
Definicja 5.7. Filtr U na zbiorze X nazywamy ultrafiltrem na X, jeśli spełnia następujący
warunek:
jeśli C ⊆ X, to C ∈ U lub X \ C ∈ U.
Przykład 5.8.
(1) Filtr główny podzbiorów zbioru X, generowany przez zbiór D ( X, jest ultrafiltrem
wtedy i tylko wtedy, gdy |D| = 1.
Jeśli D = {x0 }, gdzie x0 ∈ X i |X| > 1, to ultrafiltr
U = {C ⊆ X : x0 ∈ C}
nazywamy ultrafiltrem głównym na X.
∗
(2) Filtr ([X]<λ ) , gdzie ℵ0 ¬ λ ¬ |X|, nie jest ultrafiltrem na X, gdyż X można podzielić
na dwa rozłączne zbiory mocy co najmniej λ,
(3) Filtr Clubκ nie jest ultrafiltrem na κ. Mianowicie, jeśli κ > ℵ1 , to zbiory
S0 = {α < κ : cf (α) = ℵ0 }, S1 = {α < κ : cf (α) = ℵ1 }
są rozłączne i stacjonarne w κ (zob. 4.18). To, że filtr Clubℵ1 nie jest ultrafiltrem na
ℵ1 , zostanie pokazane później (zob. wniosek 5.25.
5.2. Istnienie ultrafiltrów niegłównych. Rodziny niezależne
Zmierzamy do odpowiedzi na pytanie, czy istnieją ultrafiltry niegłówne.
Uwaga 5.9. Jeśli zbiór X jest skończony, to każdy ultrafiltr na X jest główny – jest on
generowany przez przecięcie wszystkich swoich (skończenie wielu) elementów.
Definicja 5.10. Rodzina zbiorów A ma własność skończonych przecięć, jeśli dla dowolnych skończenie wielu zbiorów A1 , . . . , An ∈ A mamy A1 ∩ . . . ∩ An 6= ∅.
Lemat 5.11. Każdą rodzinę A ⊆ P(X) mającą własność skończonych przecięć można
rozszerzyć do filtru na zbiorze X.
64
Dowód. Określamy rodzinę F ⊆ P(X), zaliczając do niej zbiór C ⊆ X wtedy i tylko
wtedy, gdy
A1 ∩ . . . ∩ An ⊆ C
dla pewnego n > 0 i zbiorów A1 , . . . , An ∈ A.
Pokażemy, że F jest filtrem na X. Mianowicie (por. definicja 5.1):
(1) Niech C1 , C2 ∈ F . Oznacza to, że:
A1 ∩ . . . ∩ An ⊆ C1 oraz B1 ∩ . . . ∩ Bm ⊆ C2
dla pewnych A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ∈ A.
Wtedy
(A1 ∩ . . . ∩ An ) ∩ (B1 ∩ . . . ∩ Bm ) ⊆ C1 ∩ C2 ,
co świadczy o tym, że C1 ∩ C2 ∈ F .
(2) Jeśli A ∈ F i A ⊆ B ⊆ X, to oczywiście B ∈ F wprost z definicji F .
(3) ∅ ∈
/ F , gdyż A ma własność skończonych przecięć.
Twierdzenie 5.12. Dla filtru U podzbiorów zbioru X następujące warunki są równoważne:
(1) U jest ultrafiltrem na X,
(2) U jest filtrem maksymalnym (w sensie zawierania) na X.
Dowód. Załóżmy najpierw, że U jest ultrafiltrem na X. Przypuśćmy, że F jest takim
filtrem na X takim, że U ( F i niech A ∈ F \ U . Wówczas X \ A ∈ U , a skoro U ⊆ F ,
to X \ A ∈ F . Ale jednocześnie A ∈ F , więc również (X \ A) ∩ A = ∅ ∈ F i dostajemy
sprzeczność z definicją filtru.
Załóżmy teraz, że U jest filtrem maksymalnym na X. Weźmy zbiór A ⊆ X taki, że
A∈
/ U ; pokażemy, że X \ A ∈ U .
Jeśli A = ∅, to X \ A = X ∈ U . Zakładamy więc dalej, że A 6= ∅.
Niech A = U ∪{A}. Rodzina A nie ma własności skończonych przecięć, gdyż w przeciwnym razie na mocy lematu 5.11 istnieje filtr F na X taki, że A ⊆ F . Wtedy w szczególności
U ( F , co przeczy maksymalności U .
n
T
Weźmy więc zbiory A1 , . . . , An ∈ A takie, że
Ai = ∅. Ponieważ przecięcie skończenie
i=1
wielu zbiorów z U jest niepuste (jest elementem U ), więc wśród zbiorów A1 , . . . , An musi
65
wystąpić A. Z kolei A 6= ∅, więc co najmniej jeden z tych zbiorów należy do U . Bez straty
ogólności przyjmijmy zatem, że n ­ 2, A1 , . . . , An−1 ∈ U oraz An = A. Wtedy
n
\
Ai =
i=1
gdzie C =
n−1
T
n−1
\
Ai ∩ A = C ∩ A,
i=1
Ai .
i=1
Mamy więc C ∩ A = ∅, czyli C ⊆ X \ A. Ale C ∈ U , więc również X \ A ∈ U, co
kończy dowód.
Powyższa charakteryzacja prowadzi do następującego twierdzenia, z którego korzysta
się w dowodach istnienia ultrafiltrów o pożądanych własnościach.
Twierdzenie 5.13. Każdą rodzinę podzbiorów zbioru X z własnością skończonych przecięć można rozszerzyć do ultrafiltru na X. W szczególności, każdy filtr na X ma rozszerzenie do ultrafiltru na X.
Dowód. Wobec lematu 5.11, wystarczy pokazać, że dowolny filtr F na X ma rozszerzenie
do ultrafiltru na X. Skorzystamy z lematu Kuratowskiego-Zorna, zastosowanego do rodziny F wszystkich filtrów rozszerzających F , częściowo uporządkowanego przez inkluzję.
Mamy F 6= ∅, gdyż F ∈ F. Niech L ⊆ F będzie łańcuchem w F. Wystarczy pokazać,
S
S
S
że L ∈ F, a ściślej, że L jest filtrem na X (gdyż oczywiście F ⊆ L). Robi się to
rutynowo.
Z lematu Kuratowskiego-Zorna wynika, że w rodzinie F istnieje element maksymalny
U , który na mocy twierdzenia 5.12 jest szukanym ultrafiltrem.
Wniosek 5.14. Na każdym zbiorze nieskończonym X istnieje ultrafiltr niegłówny.
Dowód. Wystarczy, korzystając z twierdzenia 5.13, wziąć ultrafiltr, który rozszerza filtr
podzbiorów koskończonych zbioru X.
Definicja 5.15. Rodzinę A ⊆ P(X) nazywamy rodziną niezależną podzbiorów zbioru
X, jeśli dla dowolnych skończenie wielu parami różnych zbiorów A1 , . . . , An ∈ A i każdej
funkcji e : {1, . . . , n} →
− {0, 1} mamy
e(1)
A1
∩ . . . ∩ Ane(n) 6= ∅,
gdzie dla A ⊆ X przyjmujemy, że A0 = A oraz A1 = X \ A.
Uwaga 5.16. Nieskończona rodzina A ⊆ P(X) jest rodziną niezależną wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnych n, m > 0 i parami różnych zbiorów A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm ∈ A
mamy
A1 ∩ . . . ∩ An ∩ (X \ B1 ) ∩ . . . ∩ (X \ Bm ) 6= ∅.
66
Przykład 5.17.
(1) Skończona, n-elementowa (gdzie n > 0) rodzina A = {A1 , . . . , An } podzbiorów zbioru
X jest rodziną niezależną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie składowe tej rodziny,
e(1)
czyli zbiory postaci A1 ∩ . . . ∩ Ae(n)
n , są niepuste. Zatem jeśli taka rodzina istnieje,
n
to |X| ­ 2 .
(2) Niech X = {0, 1}{1,...,n} . Wówczas |X| = 2n , a rodzina {A1 , . . . , An }, gdzie
Ai = {f ∈ X : f (i) = 0},
jest n-elementową rodziną niezależną podzbiorów X.
Twierdzenie 5.18. Dla każdego zbioru mocy κ ­ ℵ0 istnieje rodzina niezależna jego
podzbiorów mająca moc 2κ .
Dowód. Skonstruujemy rodzinę niezależną mocy 2κ podzbiorów zbioru
X = {hD, Ci : D ∈ [κ]<ω ∧ C ⊆ {0, 1}D }.
Oczywiście |X| = κ.
Dla każdej funkcji f : κ →
− {0, 1} niech
Af = {hD, Ci ∈ X : f |D ∈ C}.
Pokażemy, że rodzina A = {Af : f ∈ {0, 1}κ } jest rodziną niezależną podzbiorów
zbioru X.
T
Weźmy parami różne elementy f1 , . . . , fk , g1 , . . . , gn zbioru {0, 1}κ ; pokażemy, że
Afi ∩
i¬k
T
j¬n
(X \ Agj ) 6= ∅ (por. uwaga 5.16).
Dla dowolnych i ¬ k i j ¬ n ustalmy αi,j ∈ κ takie, że fi (αi,j ) 6= gj (αi,j ) i niech
D = {αi,j : i ¬ k, j ¬ n}. Zauważmy, że dla dowolnych i ¬ k i j ¬ n mamy fi |D 6= gj |D.
Niech C = {fi |D : i ¬ k}. Wtedy:
hD, Ci ∈
\
A fi ∩
\
(X \ Agj ),
j¬n
i¬k
gdyż fi |D ∈ C, a gj |D 6∈ C dla wszystkich i ¬ k i j ¬ n.
Ostatecznie więc
\
\
h Afi ∩
(X \ Agj ) 6= ∅,
i¬k
j¬n
co kończy dowód.
67
Wniosek 5.19. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na dowolnym zbiorze mocy κ ­ ℵ0 ma moc
κ
κ
22 . W szczególności, na zbiorze mocy κ jest 22 ultrafiltrów niegłównych.
Dowód. Niech A = {Aα : α < 2κ }, gdzie Aα 6= Aβ dla α 6= β, będzie rodziną niezależną
podzbiorów κ, której istnienie gwarantuje twierdzenie 5.18.
Dla każdej funkcji f : 2κ → {0, 1} niech
Cf = {Afα(α) : α < 2κ },
gdzie A0α = Aα i A1α = κ \ Aα .
Rodzina Cf ma własność skończonych przecięć, zatem rozszerza się do ultrafiltru Uf .
Ponadto, jeśli f 6= g, to Uf 6= Ug . Istotnie, jeśli np. f (α) = 0 6= 1 = g(α), to Aα ∈ Uf i
κ \ Aα ∈ Ug .
κ
Ultrafiltrów postaci Uf , gdzie f : 2κ → {0, 1}, jest więc 22 . Wśród nich jest tylko
κ ultrafiltrów głównych (wyznaczonych przez singletony), więc pozostałe ultrafiltry są
κ
niegłówne i jest ich też 22 .
5.3. Filtry i ideały κ-zupełne. Liczby mierzalne i macierz Ulama
Definicja 5.20. Niech κ ­ ℵ0 .
(1) Filtr F jest κ-zupełny, jeśli każde przecięcie mniej niż κ zbiorów z F jest w F .
(2) Ideał I jest κ-zupełny (lub κ-addytywny), jeżeli każda suma mniej niż κ zbiorów z I
jest w I. Ideał ω1 -zupełny nazywamy σ-ideałem.
Uwaga 5.21. Filtr F jest κ-zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał F ∗ jest κ-zupełny.
Przykład 5.22.
(1) Każdy filtr i każdy ideał są ω-zupełne.
(2) Ideał [X]<λ , gdzie ℵ0 ¬ λ ¬ |X|, jest κ-zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy κ ¬ cf (λ).
(3) Filtr Clubκ jest κ-zupełny.
Definicja 5.23. Liczba kardynalna κ jest liczbą mierzalną, jeśli κ > ℵ0 i na κ istnieje
κ-zupełny ultrafiltr niegłówny.
Twierdzenie 5.24. Jeśli liczba κ jest mierzalna, to jest silnie nieosiągalna.
Dowód. Niech U będzie κ-zupełnym i niegłównym ultrafiltrem na κ. Niech I = U ∗ ; ponieważ U jest ultrafiltrem, to I = P(κ) \ U i w szczególności {α} ∈ I dla każdego α < κ,
68
gdyż U jest niegłówny. Wynika stąd, z pomocą κ zupełności ideału I, że jeśli A ∈ [κ]<κ ,
S
to A = {{α} : α ∈ A} ∈ I.
1. κ jest liczbą regularną. Mianowicie, niech λ < κ i dla każdego α < κ niech Aα ⊆ κ i
|Aα | < κ. Wtedy Aα ∈ I dla α < κ oraz, ponownie na mocy κ-zupełności ideału I, mamy
S
S
Aα ∈ I. W szczególności
Aα 6= κ, co pokazuje, że cf (κ) = κ.
α<λ
α<λ
λ
2. Jeśli λ < κ, to 2 < κ. Dla dowodu przypuśćmy, że jest przeciwnie i niech {fα : α <
κ}, gdzie fα 6= fβ dla α 6= β, będzie pewną rodziną funkcji z λ w {0, 1}.
Określmy funkcję f : λ → {0, 1} w następujący sposób:
(
f (β) =
1 jeśli {α ∈ κ : fα (β) = 1} ∈ U,
0 jeśli {α ∈ κ : fα (β) = 0} ∈ U.
Niech
\
C=
{α < κ : fα (β) = 1} ∩
{β<λ:f (β)=1}
\
{α < κ : fα (β) = 0}.
{β<λ:f (β)=0}
Wtedy, z jednej strony, C ∈ U na mocy κ-zupełności U , ale z drugiej strony, |C| = 1, gdyż
α ∈ C ⇔ ∀β < λ fα (β) = f (β).
Otrzymujemy sprzeczność.
Wniosek 5.25. Jeśli λ ­ ℵ0 i κ = λ+ , to liczba κ nie jest mierzalna. W szczególności,
filtr Clubκ nie jest ultrafiltrem na κ: istnieją dwa rozłączne zbiory stacjonarne w κ.
Powyższy wniosek można znacznie wzmocnić za pomocą ciekawego obiektu kombinatorycznego, który opisuje kolejna definicja.
Definicja 5.26. Niech λ ­ ℵ0 i κ = λ+ . Rodzinę indeksowaną hUα,β : α < λ, β < κi
podzbiorów κ nazywamy macierzą Ulama na κ, jeśli ma następujące własności:
(1) β
1 6= β2 ⇒ Uα,β1 ∩ Uα,β2 = ∅, dla każdej liczby α < λ i dowolnych liczb β1 , β2 < κ,
(2) κ \
S
α<λ
Uα,β < κ, dla każdej liczby β < κ .
Twierdzenie 5.27 (Ulam). Dla każdej liczby kardynalnej λ ­ ℵ0 istnieje macierz Ulama
na κ = λ+ .
Dowód. Dla każdego 0 < ξ < λ+ wybierzmy funkcję fξ z λ na ξ. Dla α < λ i β < λ+
określmy
Uα,β = {ξ < λ+ : fξ (α) = β}.
69
Twierdzimy, że rodzina hUα,β : α < λ, β < λ+ i jest macierzą Ulama na κ = λ+ .
Mianowicie:
(1) Jeśli α < λ, β1 , β2 < λ+ oraz β1 6= β2 , to nie ma liczby ξ takiej, że jednocześnie
fξ (α) = β1 i fξ (α) = β2 ; zatem Uα,β1 ∩ Uα,β2 = ∅.
S
(2) Jeśli β < λ+ , to κ \
Uα,β ⊆ β + 1. Istotnie, jeśli ξ > β, to istnieje α < λ taka, że
α<λ
fξ (α) = β, gdyż funkcja fξ jest suriekcją z λ na ξ. Zatem
|κ \
[
Uα,β | ¬ |β + 1| < κ.
α<λ
Powyższe twierdzenie pociąga za sobą interesujące wnioski.
Twierdzenie 5.28. Niech λ ­ ℵ0 i κ = λ+ . Jeśli I jest κ-zupełnym ideałem na κ zawierającym wszystkie singletony, to istnieje κ parami rozłącznych podzbiorów κ spoza I. Co
więcej, istnieje podział κ na κ parami rozłącznych zbiorów spoza I.
Dowód. Niech hUα,β : α < λ, β < κi będzie macierzą Ulama podzbiorów na κ = λ+ .
Wystarczy pokazać, że istnieje liczba α < λ taka, że w rodzinie {Uα,β : β < κ} (gdzie
Uα,β1 ∩ Uα,β2 = ∅ dla β1 6= β2 ) jest κ zbiorów spoza I.
Przypuśćmy więc, że jest przeciwnie i dla każdego α < λ wybierzmy liczbę βα < κ taką,
że Uα,β ∈ I dla każdego β > βα . Ponieważ κ = λ+ , to sup βα < κ; weźmy β = supα<λ βα +1.
α<λ
Wówczas Uα,β ∈ I dla każdego α < λ, więc na mocy κ-zupełności ideału I maS
S
my
Uα,β ∈ I. Jednocześnie mamy |κ \
Uα,β | < κ, więc, ponownie korzystając z
α<λ
α<λ
κ-zupełności ideału I oraz z faktu, że zawiera on wszystkie singletony, wnioskujemy, że
S
κ\
Uα,β ∈ I, co ostatecznie daje κ ∈ I – sprzeczność.
α<λ
Następujące stwierdzenie jest znaczącym wzmocnieniem wniosku 5.25.
Wniosek 5.29. Jeśli λ ­ ℵ0 i κ = λ+ , to każdy zbiór S ∈ Statκ można podzielić na κ
podzbiorów stacjonarnych.
Dowód. Niech I = {A ⊆ κ : A ∩ S ∈ N Sκ }. Nietrudno sprawdzić, że I jest κ-zupełnym
ideałem na κ zawierającym wszystkie singletony. Na mocy twierdzenia 5.28 istnieją zbiory
Aα 6∈ I, gdzie α < κ i Aα ∩ Aβ = ∅ dla α 6= β. To znaczy, że Aα ∩ S ∈ Statκ dla każdego
α < κ i zbiory Aα ∩ S tworzą rodzinę, złożoną z κ parami rozłącznych stacjonarnych
podzbiorów zbioru S. Aby otrzymać podział zbioru S na zbiory stacjonarne, wystarczy
S
A0 ∩ S powiększyć o zbiór S \
Aα .
α<κ
70
Powyższy wniosek jest przypadkiem szczególnym twierdzenia, które przytaczamy bez
dowodu.
Twierdzenie 5.30 (Solovay). Jeśli κ jest nieprzeliczalną, regularną liczbą kardynalną, to
każdy zbiór S ∈ Statκ można podzielić na κ podzbiorów stacjonarnych.
Definicja 5.31. Miarą uniwersalną na liczbie kardynalnej κ > ℵ0 nazywamy funkcję
m : P(κ) →
− [0, 1] o następujących własnościach:
(1) m(∅) = 0, m(κ) = 1,
S
P
(2) m(
An ) =
m(An ) dla dowolnej rodziny {An : n ∈ N} podzbiorów κ takich, że
n∈N
n∈N
An ∩ An = ∅, jeśli n 6= m,
(3) m ({α}) = 0 dla każdej liczby α < κ.
Przykład 5.32.
(1) Niech κ będzie liczbą mierzalną oraz U – κ-zupełnym ultrafiltrem niegłównym na κ.
Wtedy funkcja m : P(κ) →
− {0, 1}, zdefiniowana wzorem:
(
m(A) =
1, jeśli A ∈ U,
0, jeśli A ∈ U ∗ ,
jest dwuwartościową miarą uniwersalną na κ.
(2) Jeśli m : P(κ) →
− {0, 1} jest dwuwartościową miarą uniwersalną na κ oraz κ jest najmniejszą liczbą kardynalną, na której taka miara istnieje, to κ jest liczbą mierzalną z
κ-zupełnym niegłównym ultrafiltrem U = {A ⊆ κ : m(A) = 1}.
Istotnie, przypuśćmy, że ultrafiltr U nie jest κ-zupełny, czyli nie jest κ-zupełny ideał
U ∗ = {A ⊆ κ : m(A) = 0}. Wynika stąd, że istnieje liczba λ < κ i rodzina {Aα :
S
α < λ} zbiorów miary m zero taka, że m(
Aα ) = 1, o której bez straty ogólności
α<λ
możemy dodatkowo założyć, że Aα ∩ Aβ = ∅ dla α 6= β.
Wówczas jednak funkcja µ : P(λ) →
− {0, 1} zdefiniowana wzorem
µ(C) = m(
[
Aα ),
α∈C
jest dwuwartościową miarą uniwersalną na λ, co stoi w sprzeczności z określeniem
liczby κ jako najmniejszej, na której taka miara istnieje.
Twierdzenie 5.33. Nie istnieje miara uniwersalna na liczbie ℵ1 .
Dowód. Przypuśćmy, że taka miara m istnieje i niech I = {A ⊆ ℵ1 : m(A) = 0}. Wówczas
I jest σ-ideałem na ω1 , zawierającym wszystkie singletony. Na mocy twierdzenia 5.28
71
istnieje więc rodzina {Zα : α < ℵ1 } podzbiorów ℵ1 miary m dodatniej taka, że Zα ∩Zβ = ∅
dla α 6= β. Jest to jednak niemożliwe, gdyż mamy równość
{Zα : α < ℵ1 } =
[ n>0
1
Zα : α < ℵ1 ∧ m(Zα ) ­
,
n
a jednocześnie dla każdej liczby naturalnej n > 0, rodzina {Zα : α < ℵ1 ∧ m(Zα ) ­ n1 },
składająca się z parami rozłącznych podzbiorów miary m co najmniej n1 zbioru ℵ1 o mierze
1, ma co najwyżej n elementów.
Uwaga 5.34. Z poprzedniego twierdzenia natychmiast wynika, że przy założeniu CH
nie istnieje rozszerzenie miary Lebesgue’a na odcinku [0, 1] do miary σ-addytywnej na
zbiorze P([0, 1]). Co więcej, przy założeniu CH nie da się zmierzyć wszystkich podzbiorów
odcinka [0, 1] za pomocą żadnej (σ-addytywnej) miary probabilistycznej, zerującej się na
wszystkich podzbiorach jednopunktowych.
5.4. Zasada zwartości
Zastosujemy teraz ultrafiltry do dowodu twierdzenia, które bywa wykorzystywane do
przenoszenia twierdzeń kombinatoryki skończonej na zbiory nieskończone.
Lemat 5.35. Niech U będzie ultrafiltrem na zbiorze X. Jeśli A ∈ U oraz
A = A1 ∪ . . . ∪ An ,
to Ai ∈ U dla co najmniej jednego i.
Jeśli dodatkowo Ai ∩ Aj = ∅ dla i 6= j, to Ai ∈ U dla dokładnie jednego i.
Dowód. Gdyby Ai 6∈ U dla wszystkich i, to dla każdego i mielibyśmy Ai ∈ U ∗ , a stąd
A = A1 ∪ . . . ∪ An ∈ U ∗ ,
co daje sprzeczność.
Dodatkowo zauważmy, że rozłączne zbiory nie mogą należeć do tego samego filtru,
gdyż wówczas należałoby do niego ich przecięcie – zbiór pusty.
Twierdzenie 5.36 (Zasada zwartości). Niech (Xi )i∈I , gdzie I 6= ∅, będzie indeksowaną rodziną niepustych zbiorów skończonych. Ponadto dla każdego skończonego niepustego
S
zbioru J ⊆ I niech fJ : J →
Xi będzie funkcją wyboru dla rodziny (Xi )i∈J .
i∈J
72
Wówczas istnieje funkcja wyboru f : I →
S
Xi dla rodziny (Xi )i∈I taka, że dla każdego
i∈I
skończonego, niepustego zbioru J ⊆ I istnieje skończony zbiór K taki, że J ⊆ K ⊆ I oraz
f |J = fK |J.
Dowód. Dla każdego i ∈ I niech Ai = {fJ : i ∈ J}. Zauważmy, że rodzina {Ai : i ∈ I}
ma własność skończonych przecięć, gdyż dla każdego skończonego zbioru J ⊆ I mamy
T
Ai . Z tego wynika, że istnieje ultrafiltr U na zbiorze {fJ : J ∈ [I]<ℵ0 } taki, że
fJ ∈
i∈J
Ai ∈ U dla każdego i ∈ I.
Żeby zdefiniować funkcję f weźmy dowolne i ∈ I. Dla każdego x ∈ Xi niech
Bxi = {fJ ∈ Ai : fJ (i) = x}.
S
Zauważmy, że Ai =
x∈Xi
Bxi oraz Bxi ∩ Byi = ∅ dla różnych elementów x, y ∈ Xi .
Skoro więc Ai ∈ U, a zbiór Xi jest skończony, to z lematu 5.35 wynika, że Bxi ∈ U
dla dokładnie jednego x ∈ Xi . Niech funkcja f przyjmuje w punkie i właśnie tę jedyną
wartość x. Innymi słowy:
f (i) = x ⇔ Bxi ∈ U.
Żeby pokazać, że funkcja f ma oczekiwaną własność, weźmy skończony, niepusty zbiór
T i
T i
J ⊆ I. Wtedy
Bf (i) ∈ U, W szczególności
Bf (i) 6= ∅, więc istnieje skończony zbiór
i∈J
i∈J
K ⊆ I i odpowiadająca mu funkcja fK taka, że dla każdego i ∈ J mamy fK ∈ Bfi (i) . To
jednak oznacza, że i ∈ K oraz f (i) = fK (i), co kończy dowód.
Wykorzystamy zasadę zwartości do dowodu nieskończonej wersji klasycznego twierdzenia kombinatoryki skończonej – twierdzenia Halla o systemach reprezentantów dla
skończonych ciągów zbiorów skończonych.
Definicja 5.37. Niech (Xi )i∈I będzie indeksowaną rodziną zbiorów niepustych. System
reprezentantów dla (Xi )i∈I to różnowartościowa funkcja wyboru dla (Xi )i∈I .
Skończoną wersję twierdzenia Halla przypominamy bez dowodu.
Twierdzenie 5.38 (P. Hall). Dla ciągu skończonych zbiorów (X1 , . . . , Xn ) istnieje system
reprezentantów wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia on warunek Halla:
|
[
Xi | ­ |J| dla każdego J ⊆ {1, . . . , n}.
i∈J
Twierdzenie 5.39 (M. Hall). Indeksowana rodzina niepustych zbiorów skończonych (Xi )i∈I
ma system reprezentantów wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Halla:
|
[
Xi | ­ |J| dla każdego skończonego J ⊆ I.
i∈J
73
Dowód. Na mocy założenia oraz twierdzenia Halla w wersji skończonej, dla każdego skończonego, niepustego zbioru J ⊆ I można wybrać system reprezentantów fJ rodziny
S
(Xi )i∈J . Wówczas istniejąca na mocy zasady zwartości funkcja wyboru f : I → i∈I Xi
dla rodziny (Xi )i∈I taka, że dla każdego skończonego zbioru J ⊆ I istnieje skończony
zbiór K taki, że J ⊆ K ⊆ I oraz f |J = fK |J, jest różnowartościowa. Jest to więc szukany
system reprezentantów dla (Xi )i∈J .
Uwaga 5.40. Z nieskończonej wersji twierdzenia Halla łatwo wynika, że w każdej przestrzeni liniowej L dowolne dwie bazy B1 i B2 są równoliczne.
Mianowicie, dla każdego wektora b ∈ B1 niech Xb będzie zbiorem tych elementów
bazy B2 , które występują jako współczynniki (jednoznacznego) przedstawienia b w postaci
skończonej kombinacji liniowej wektorów z B2 ; w szczególności, zbiór Xb jest skończony.
Łatwo zauważyć, że rodzina indeksowana (Xb : b ∈ B1 ) spełnia warunek Halla. Istotnie,
podprzestrzeń przestrzeni L rozpięta przez k różnych wektorów b1 , . . . , bk ∈ B1 ma wymiar
k, więc w zbiorze
k
S
i=1
Xbi , który również ją rozpina, też musi być co najmniej k wektorów
z bazy B2 . Na mocy twierdzenia 5.39 istnieje więc funkcja różnowartościowa f : B1 →
− B2 ,
co pokazuje, że |B1 | ¬ |B2 |. Wobec symetrii mamy również |B1 | ¬ |B2 |, czyli ostatecznie
|B1 | = |B2 |.
6. Twierdzenia podziałowe
Przypomnijmy wprowadzone wcześniej oznaczenie
def
• [X]ν = {A ⊆ X : |A| = ν}, gdzie X jest dowolnym zbiorem i ν ∈ CN.
Prototypem twierdzeń podziałowych jest zasada szufladkowa Dirichleta oraz następująca skończona wersja twierdzenia Ramseya, którą przypominamy bez dowodu.
Twierdzenie 6.1 (Ramsey). Dla każdego k ∈ N \ {0} istnieje liczba n ∈ N taka, że jeśli
X jest zbiorem skończonym i |X| ­ n, to dla dowolnej funkcji f : [X]2 → {0, 1} istnieje
zbiór Y ⊆ X taki, że |Y | = k i funkcja f jest stała na zbiorze [Y ]2 .
Innymi słowy, skończone twierdzenie Ramseya stwierdza, że jeśli dla danego k ∈ N \
{0} krawędzie grafu pełnego o wystarczająco dużej skończonej liczbie wierzchołków n
pokolorujemy za pomocą dwóch kolorów, to zawsze znajdzie się klika (podgraf pełny) o k
wierzchołkach, której wszystkie krawędzie są tego samego koloru.
W kombinatoryce nieskończonej najprostszym odpowiednikiem zasady szufladkowej
jest stwierdzenie, że jeśli zbiór nieskończony podzielimy na dwa podzbiory, to jeden z nich
jest nieskończony. Podobnie formułujemy następującą nieskończoną wersję twierdzenia
Ramseya.
Twierdzenie 6.2 (Ramsey). Jeśli X jest zbiorem nieskończonym, to dla dowolnej funkcji
f : [X]2 → {0, 1} istnieje zbiór nieskończony Y ⊆ X taki, że funkcja f jest stała na zbiorze
[Y ]2 .
Dowód. Bez utraty ogólności możemy założyć, ze X = ω.
Indukcyjnie definiujemy różnowartościowy ciąg (xn )n∈ω liczb naturalnych oraz zstępujący ciąg (An )n∈ω nieskończonych podzbiorów ω za pomocą następujących warunków:




x0 = 0, A0 = ω,
An+1 = {y ∈ An : f ({xn , y}) = i} , gdzie i jest takie, że zbiór An+1 jest nieskończony,


 x
n+1 = min An+1 .
Ciąg (xn )n∈ω ma następującą własność:
∀n ∃i ∈ {0, 1} ∀m (m > n ⇒ f ({xn , xm }) = i).
75
Innymi słowy, każdy wyraz xn jest albo koloru 0 w tym sensie, że f ({xn , xm }) = 0 dla
każdego m > n, albo koloru 1, co znaczy, że f ({xn , xm }) = 1 dla każdego m > n.
Jeśli więc Ti = {n ∈ ω : xn jest koloru i}, to ω = T0 ∪ T1 , więc jeden ze zbiorów Ti ,
powiedzmy T1 , jest nieskończony.
Niech Y = {xn : n ∈ T1 }. Wówczas funkcja f jest stała na zbiorze [Y ]2 . Istotnie, jeśli
xn , xm ∈ Y oraz n < m, to f ({xn , xm }) = 1, gdyż xn jest koloru 1.
Badając uogólnienia twierdzenia Ramseya będziemy stosować natępującą notację:
• κ → (λ)νµ
jako skrócony zapis następującego stwierdzenia: dla każdej funkcji f : [κ]ν → µ istnieje
zbiór A ⊆ κ taki, że |A| = λ oraz funkcja f jest stała na zbiorze [A]ν ( κ, λ, µ i ν są
liczbami kardynalnymi).
Zapis:
• κ 6→ (λ)νµ
oznacza negację tego stwierdzenia.
Definicja 6.3. Jeśli f : [κ]ν → µ, to zbiór A ⊆ κ taki, że funkcja f jest stała na zbiorze
[A]ν , nazywamy zbiorem jednorodnym dla f . Dokładniej, jeśli funkcja f przyjmuje na
zbiorze [A]ν wartość α, to mówimy, że zbiór A jest α-jednorodny dla kolorowania f .
Uwaga 6.4. Niech κ1 ­ κ, λ1 ¬ λ, µ1 ¬ µ.
Wtedy jeśli κ → (λ)νµ , to κ1 → (λ1 )νµ1
Stosując powyższą konwencję notacyjną (nieskończone) twierdzenie Ramseya można
sformułować tak:
ℵ0 → (ℵ0 )22 .
Następne twierdzenie pokazuje, że narzucające się uogólnienie za pomocą zastąpienia
ℵ0 przez ℵ1 jest fałszywe.
Twierdzenie 6.5 (Sierpiński).
2ℵ0 6→ (ℵ1 )22 .
W szczególności
ℵ1 6→ (ℵ1 )22 .
76
Dowód. Niech 4 będzie ustalonym dobrym porządkiem zbioru R. Rozpatrujemy funkcję
f : [R]2 → {0, 1} daną wzorem
(
f ({x, y}) =
1 jesli x ≺ y
0 jeśli y ≺ x,
gdzie x < y (w sensie zwykłego porządku na R).
Innymi słowy para {x, y} ma kolor 1 wtedy i tylko wtedy, gdy porządki ¬ i 4 są na
niej zgodne.
Twierdzimy, że dla tak zdefiniowanego kolorowania f nie istnieje nieprzeliczalny zbiór
jednorodny.
Istotnie, jeśli zbiór A ⊆ R jest 1–jednorodny (odpowiednio: 0–jednorodny), to porządek
¬ |A (odpowiednio: porządek do niego odwrotny) jest dobry. Taki zbiór A musi być
przeliczalny, gdyż w R nie ma ciągów ściśle monotonicznych (w sensie zwykłego porządku)
nieprzeliczalnej długości.
Powyższe twierdzenie można uogólnić, posługując się następującym lematem, którego
dowód pozostawiamy jako ćwiczenie.
Lemat 6.6. W zbiorze {0, 1}κ , liniowo uporządkowanym za pomocą porządku leksykograficznego, nie ma ciągów ściśle monotonicznych długości κ+ .
Twierdzenie 6.7. Dla każdej liczby kardynalnej κ ­ ℵ0
2κ 6→ (κ+ )22 .
W szczególności
κ+ 6→ (κ+ )22 .
Dowód. Łatwo modyfikujemy dowód twierdzenia Sierpińskiego: w miejsce R z porządkiem
¬ rozpatrujemy zbiór {0, 1}κ z porządkiem leksykograficznym.
Następne twierdzenie kojarzy się z twierdzeniem Ramseya w wersji skończonej (por.
twierdzenie 6.1): chcąc mieć gwarancję istnienia jednokolorowej kliki odpowiedniej mocy,
wystarczy kolorować krawędzie grafu pełnego o zbiorze wierzchołków wystarczająco dużej
mocy.
Twierdzenie 6.8 (Erdös, Rado). Dla każdej liczby kardynalnej κ ­ ℵ0
(2κ )+ → (κ+ )22 .
W szczególności
(2ℵ0 )+ → (ℵ1 )22 .
77
Dowód. Niech S = {ξ < (2κ )+ : cf (ξ) = κ+ }. Zbiór S jest stacjonarny w (2κ )+ (zob. przykład 4.18).
Niech f : [(2κ )+ ]2 → {0, 1}. Szukamy zbioru jednorodnego dla f mocy κ+ .
Załóżmy, że nie ma 1–jednorodnego zbioru mocy κ+ . Pokażemy, że istnieje zbiór
0–jednorodny mocy co najmniej κ+ .
Dla każdego ξ ∈ S wybierzmy, z pomocą lematu Kuratowskiego–Zorna, maksymalny
zbiór Aξ ⊆ ξ taki, że zbiór Aξ ∪ {ξ} jest 1–jednorodny. Dokładniej, rozpatrujemy rodzinę
X = {A ⊆ ξ : A ∪ {ξ} jest 1–jednorodny},
częściowo uporządkowaną przez relację zawierania. Wówczas X =
6 ∅ (∅ ∈ X ) oraz suma
każdego niepustego łańcucha w X należy do rodziny X . Zatem w rodzinie X istnieje
element maksymalny.
Na mocy przyjętego założenia mamy |Aξ | ¬ κ, więc sup Aξ < ξ, gdyż Aξ ⊆ ξ i cf (ξ) =
+
κ .
Niech g(ξ) = sup Aξ + 1 dla ξ ∈ S. Funkcja g jest regresywna na zbiorze stacjonarnym
S. Na mocy lematu Fodora (twierdzenie 4.22) istnieje zbiór stacjonarny T ⊆ S oraz
δ ∈ (2κ )+ takie, że g(ξ) = δ i w szczególności Aξ ⊆ δ dla wszystkich ξ ∈ T .
Funkcja ξ 7→ Aξ ma dziedzinę T mocy (2κ )+ i przyjmuje wartości w zbiorze [δ]¬κ mocy
co najwyżej 2κ . Istnieją wiec zbiory W ⊆ T , |W | = (2κ )+ oraz A ⊆ δ takie, że Aξ = A dla
każdego ξ ∈ W . Pokażemy, że zbiór W jest 0-jednorodny, co zakończy dowód.
Weźmy więc η, ξ ∈ W takie, że η < ξ. Chcemy pokazać, że f ({η, ξ}) = 0
Załóżmy przeciwnie, tzn. f ({η, ξ}) = 1. Skoro A = Aξ = Aη , to zbiór A ∪ {η} ∪ {ξ}
jest 1-jednorodny, ponieważ 1-jednorodne są zbiory Aξ ∪ {ξ} i Aη ∪ {η} oraz f ({η, ξ}) = 1.
Skoro Aξ = Aη ⊆ η oraz η < ξ, to Aξ ∪ {η} ⊆ ξ i zbiór Aξ ∪ {η} jest właściwym
nadzbiorem zbioru Aξ takim, że (Aξ ∪ {η})∪{ξ} jest 1-jednorodny. Dostajemy sprzeczność
z maksymalnością zbioru Aξ .
Następujące twierdzenie jest uogólnieniem twierdzenia Ramseya (por. twierdzenie 6.2)
Twierdzenie 6.9 (Erdös, Dushnik, Miller). Dla każdej liczby kardynalnej κ ­ ℵ0
κ → (κ, ℵ0 )22 ,
tzn. dla każdej funkcji f : [κ]2 → {0, 1} istnieje zbiór 0-jednorodny mocy κ lub zbiór
1-jednorodny mocy ℵ0 .
Dowód. Dowód przedstawimy tylko dla przypadku, gdy liczba κ jest regularna.
Jeśli κ = ℵ0 , to teza sprowadza się do twierdzenia Ramseya.
78
Załóżmy więc dalej, że liczba κ jest nieprzeliczalna i regularna.
Rozumujemy analogicznie jak w dowodzie tw. Erdösa–Rado, rozpatrując zbiór S =
{ξ < κ : ξ ∈ LIM} . Zbiór S jest domknięty i nieograniczony w κ (por przykład 4.2).
Niech f : [κ]2 → {0, 1}. Szukamy dla f zbioru 0–jednorodnego mocy κ lub nieskończonego zbioru 1–jednorodnego.
Załóżmy, że nie ma nieskończonego zbioru 1–jednorodnego. Pokażemy, że istnieje zbiór
0–jednorodny mocy co najmniej κ.
Dla każdego ξ ∈ S wybierzmy z pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna maksymalny
zbiór Aξ ⊆ ξ taki, że zbiór Aξ ∪ {ξ} jest 1–jednorodny. Na mocy przyjętego założenia
zbiór Aξ jest skończony, więc sup Aξ = max Aξ < ξ.
Niech g(ξ) = sup Aξ + 1 dla ξ ∈ S. Funkcja g jest regresywna na zbiorze stacjonarnym
S. Na mocy lematu Fodora istnieje zbiór stacjonarny T ⊆ S oraz δ ∈ κ takie, że g(ξ) = δ
i w szczególności Aξ ⊆ δ dla wszystkich ξ ∈ T .
Funkcja ξ 7→ Aξ ma dziedzinę T mocy κ > ℵ0 i przyjmuje wartości w zbiorze [δ]<ℵ0
mocy równej co najwyżej max(|δ|, ℵ0 ) < κ. Na mocy regularności liczby κ istnieją zbiory
W ⊆ T , |W | = κ oraz A ⊆ δ takie, że Aξ = A dla każdego ξ ∈ W .
Dowód, że zbiór W jest 0–jednorodny przebiega identycznie jak w dowodzie twierdzenia
Erdösa–Rado.
Twierdzenia Ramseya oraz Erdösa–Rado mają następujące ważne uogólnienia, które
odnotujemy bez dowodu:
Twierdzenie 6.10 (Ramsey). Dla dowolnych liczb naturalnych n, k > 0:
ℵ0 → (ℵ0 )nk .
Twierdzenie 6.11 (Erdös, Rado). Dla każdej liczby κ ­ ℵ0 oraz dowolnej liczby naturalnej n:
(expn κ)+ → (κ+ )n+1
κ ,
gdzie:
(
exp0 κ = κ,
n
expn+1 κ = 2exp κ .
W szczególności
(2κ )+ → (κ+ )2κ .
Definicja 6.12. Liczba kardynalna κ jest słabo zwarta, jeśli κ > ℵ0 oraz κ → (κ)22 .
W twierdzeniu 6.7 pokazaliśmy, że żaden nieskończony następnik kardynalny nie jest
liczbą słabo zwartą. Następujące twierdzenie wzmacnia ten rezultat.
79
Twierdzenie 6.13. Jeśli κ jest słabo zwarta, to jest silnie nieosiągalna.
Dowód. 1. κ jest liczbą regularną. Przypuśćmy bowiem, że jest przeciwnie: niech κ =
S
Aα , gdzie λ < κ, |Aα | < κ dla każdego α < κ oraz Aα ∩ Aβ = ∅ dla dowolnych α 6= β.
α<λ
Rozpatrujemy funkcję f : [κ]2 → {0, 1}, zdefiniowaną w następujący sposób
(
f ({x, y}) =
1 jeśli ∃α < λ (x, y ∈ Aα ),
0 w przeciwnym razie.
Niech A ⊆ κ będzie zbiorem jednorodnym dla f .
Jeśli A jest 1-jednorodny, to A ⊆ Aα dla pewnej liczby α < κ.
Jeśli A jest 0-jednorodny, to |A ∩ Aα | ¬ 1 dla każdej liczby α < κ.
W obu wypadkach mamy |A| < κ. Dla funkcji f nie ma więc zbioru jednorodnego
mocy κ, co przeczy słabej zwartości liczby κ.
2. Jeśli λ < κ, to 2λ < κ.
Przypuśćmy przeciwnie: niech λ < κ będzie taka, że 2λ ­ κ. Wtedy jednak założenie,
że κ → (κ)22 , implikuje, że 2λ → (λ+ )22 (zob. uwaga 6.4), co przeczy twierdzeniu 6.7.
Twierdzenie 6.14. Jeśli κ jest mierzalna, to jest słabo zwarta.
Dowód. Weźmy dowolną funkcję f : [κ]2 →
− {0, 1}.
Ustalmy κ-zupełny ultrafiltr niegłówny U na κ.
Podobnie jak w dowodzie twierdzenia Ramseya indukcyjnie definiujemy różnowartościowy ciąg (xα )α<κ elementów κ oraz zstępujący ciąg (Aα )α<κ podzbiorów κ, należących
do U :











x0 = 0, A0 = κ,
Aβ+1 = {y ∈ Aβ : f ({xβ , y}) = i} , gdzie i jest takie, że Aβ+1 ∈ U ,
T
Aα = β<α Aβ , jeśli α ∈ LIM ,
xα = min Aα .
Ciąg (xα )α<κ ma następującą własność:
∀α ∃i ∈ {0, 1} ∀β (β > α ⇒ f ({xβ , xα }) = i),
co pozwala zakończyć dowód istnienia zbioru jednorodnego dla f mocy κ tak, jak w
przypadku twierdzenia Ramseya (zob. twierdzenie 6.2).
7. Drzewa
Definicja 7.1.
• Drzewo to taki zbiór częściowo uporządkowany hT, ¬i, że dla każdego x ∈ T zbiór
{y ∈ T : y < x} jest dobrze uporządkowany.
• Wierzchołkami drzewa T nazywamy jego elementy.
• Poddrzewo drzewa T to dowolny zbiór T 0 ⊆ T uporządkowany przez relację ¬ |T 0 .
• Poddrzewo T 0 drzewa T nazywamy poddrzewem normalnym, jeśli jest zamknięte na
branie elementów mniejszych w T , tzn. jeśli spełnia warunek:
∀x, y ∈ T ((x ∈ T 0 ∧ y < x) ⇒ y ∈ T 0 ).
• Wysokość wierzchołka x ∈ T to liczba porządkowa
HT (x) = tp({y ∈ T : y < x}).
• Wierzchołki wysokości α tworzą α-ty poziom drzewa T:
Tα = {x ∈ T : HT (x) = α}
• Wierzchołki wysokości mniejszej niż α tworzą poddrzewo normalne
[
T |α =
Tβ .
β<α
• Wysokość drzewa T to liczba porządkowa
H(T ) = min {α : Tα = ∅} .
• Gałąź drzewa T to maksymalny łańcuch w T .
Uwaga 7.2.
(1) Każdy łańcuch w drzewie jest dobrze uporządkowany.
(2) Każdy łańcuch w drzewie rozszerza się (na mocy lematu Kuratowskiego-Zorna) do
gałęzi tego drzewa.
81
Definicja 7.3.
• Długością gałęzi nazywamy jej typ porządkowy.
• Gałąź współkońcowa w drzewie T to gałąź, której długość jest równa wysokości drzewa.
Uwaga 7.4. Łańcuch G w drzewie T jest gałęzią współkońcową w T wtedy i tylko wtedy,
gdy |G ∩ Tα | = 1 dla każdej liczby α < H(T ).
Przykład 7.5.
(1) Każdy zbiór dobrze uporządkowany (w szczególności, każda liczba porządkowa) jest
drzewem, którego wysokością jest jego typ porządkowy. Ma ono jedną gałąź (całe
drzewo), która jest zarazem gałęzią współkońcową.
(2) Jeśli α ∈ ON i α > 0, to zbiór
[
Aβ
A<α =
β<α
wszystkich ciągów długości mniejszej niż α o wyrazach w danym zbiorze A wraz z
porządkiem zawierania (większy ciąg jest przedłużeniem mniejszego) jest drzewem,
tzw. pełnym drzewem A-arnym wysokości α (w szczególności, gdy A = {0, 1}, jest to
pełne drzewo binarne wysokości α). Każda jego gałąź jest postaci
Gf = {f |β : β < α},
gdzie f : α →
− A jest dowolnym ciągiem długości α o wyrazach w A i każda taka gałąź
jest współkońcowa.
Przyjmijmy następujące oznaczenia: jeśli x jest wierzchołkiem drzewa hT, ¬i, to
• (x, →) = {y ∈ T : x < y}, (←, x) = {y ∈ T : y < x},
• [x, →) = {y ∈ T : x ¬ y}, (←, x] = {y ∈ T : y ¬ x},
1−1
• px : HT (x) + 1 →
− (←, x] jest ściśle rosnącą numeracją elementów przedziału (←, x].
na
Uwaga 7.6. Jeśli x i y są dowolnymi wierzchołkami drzewa hT, ¬i, to x ¬ y wtedy i tylko
wtedy, gdy px ⊆ py i funkcja x 7→ px jest izomorfizmem drzewa T na poddrzewo pełnego
drzewa T -arnego.
Skoncentrujemy się na problemie, czy ograniczenie mocy poziomów drzewa wymusza
istnienie współkońcowej gałęzi.
82
Definicja 7.7.
• (κ, ν)-drzewo to drzewo wysokości κ, którego wszystkie poziomy są mocy mniejszej
od ν.
• κ-drzewo to (κ, κ)-drzewo.
Twierdzenie 7.8 (König). W każdym ω-drzewie istnieje gałąź współkońcowa.
Dowód. Niech hT, ¬i będzie ω-drzewem. Indukcyjnie definiujemy ciąg (xn : n < ω), spełniający dla każdego n następujące warunki:
1. xn ∈ Tn ,
2. xn < xn+1 ,
3. |(xn , →)| ­ ℵ0 .
Zbiór {xn : n < ω} jest szukaną gałęzią drzewa T długości ω.
Definicja 7.9. Drzewo T jest dobrze przycięte, jeśli
∀x ∈ T ∀β (HT (x) < β < H(T ) ⇒ ∃y ∈ Tβ x < y) .
Innymi słowy, drzewo jest dobrze przycięte, jeśli przez każdy wierzchołek przechodzą
gałęzie sięgające dowolnie wysokich poziomów drzewa.
Lemat 7.10. Jeśli T jest (κ, cf (κ))-drzewem, to istnieje dobrze przycięte poddrzewo normalne drzewa T wysokości κ.
Dowód. Definiujemy
T 0 = {x ∈ T : |(x, →)| = κ}.
Sprawdzenie, że T 0 jest szukanym drzewem, pozostawiamy jako ćwiczenie.
Zauważmy, że dobrze przycięte drzewo wysokości ω ma gałąź długości ω. Natomiast,
jak pokazuje poniższy przykład, dobrze przycięte drzewo nieprzeliczalnej wysokości κ nie
musi mieć gałęzi długości κ – wtedy zbiór długości jego gałęzi jest nieograniczony w κ i
jego elementami są wyłącznie graniczne liczby porządkowe.
Przykład 7.11. Niech T będzie poddrzewem pełnego drzewa ω-arnego wysokości ω1 ,
składającym się ze wszystkich różnowartościowych funkcji f : α → ω, gdzie α < ω1 oraz
zbiór ω \ Rf jest nieskończony. Wówczas T jest dobrze przyciętym drzewem wysokości
ω1 bez nieprzeliczalnych gałęzi. Istotnie, jeśli G jest gałęzią długości (granicznej) α ¬ ω1
83
i fβ ∈ G ∩ Tβ dla każdego β < α, to funkcja f =
S
fβ , czyli wspólne przedłużenie
β<α
wszystkich funkcji fβ , przekształca różnowartościowo α w ω. Wynika stąd, że α < ω1 .
Powyższą konstrukcję można poprawić, uzyskując następujące twierdzenie, które pokazuje, że twierdzenia Königa 7.8 nie da się w naturalny sposób przenieść na nieprzeliczalne
liczby kardynalne.
Twierdzenie 7.12 (Aronszajn). Istnieje ω1 -drzewo bez gałęzi współkońcowych (tzw. drzewo Aronszajna).
Dowód. Konstruujemy drzewo T jako poddrzewo normalne pełnego drzewa ω-arnego wysokości ω1 , składające się z pewnych różnowartościowych funkcji f : α → ω, gdzie α < ω1 .
Dokładniej, przez indukcję po α < ω1 zdefiniujemy zbiory Tα (które będą kolejnymi poziomami drzewa T ), dbając o to, by dla każdego α < ω1 spełnione były następujące warunki
(przypomnijmy, że [X]<ℵ0 oznacza rodzinę wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X):
1. Elementami zbioru Tα są pewne różnowartościowe funkcje f : α → ω takie, że |ω\Rf | =
ℵ0 ,
2. ∀f ∈ Tα ∀β < α f |β ∈ Tβ ,
3. 0 < |Tα | ¬ ℵ0 ,
4. ∀β < α ∀g ∈ Tβ ∀s ∈ [ω \ Rg ]<ℵ0 ∃f ∈ Tα (g ⊆ f ∧ s ⊆ ω \ Rf ) .
Sens warunku 1. został już wyjaśniony w przykładzie 7.11. Warunki 2. i 3. gwarantują,
że konstruowane zbiory Tα są poziomami pewnego ω1 -drzewa. Warunek 4. ma charakter
techniczny – umożliwia przejście przez krok graniczny indukcji.
Zaczynamy od przyjęcia, że T0 = {∅}, czyli T0 składa się z funkcji pustej.
W kroku następnikowym, jeśli α = β + 1, to wystarczy dla każdej funkcji g ∈ Tβ oraz
skończonego zbioru s ⊆ ω \ Rg , do zbioru Tα zaliczyć jedno takie przedłużenie funkcji g
do różnowartościowej funkcji f : α → ω, że f (β) 6∈ s. Takich par postaci (g, s) jest, na
mocy założenia indukcyjnego, że |Tβ | ¬ ℵ0 , co najwyżej przeliczalnie wiele, co zapewnia,
że w rezultacie dostaniemy |Tα | ¬ ℵ0 .
Załóżmy teraz, że α ∈ LIM. Dla każdej z co najwyżej przeliczalnie wielu trójek
(β, g, s), gdzie β < α, g ∈ Tβ oraz s ∈ [ω \ Rg ]<ℵ0 , do zbioru Tα zaliczymy pewną
różnowartościową funkcję f : α → ω taką, że |ω \ Rf | = ℵ0 , g ⊆ f oraz s ⊆ ω \ Rf (por.
warunki 1. i 4.). To zagwarantuje spełnienie warunku 3.
S
Zapewnienie warunku 2. wymaga, by każda funkcja f ∈ Tα była postaci f = γγ<α fγ ,
dla pewnych funkcji fγ ∈ Tγ (w efekcie będzie fγ = f |γ) lub, co na na to samo wychodzi,
S
f = n<ω fn , dla pewnych funkcji fn ∈ Tαn , gdzie (αn : n < ω) jest ustalonym ściśle
rosnącym ciągiem liczb porządkowych takim, że supn αn = α. Niech więc (αn : n < ω)
84
będzie takim ciągiem, gdzie dodatkowo α0 = β. Korzystając z założenia indukcyjnego
(spełnienie warunków 1.–4. przez zbiory Tγ dla γ < α), konstruujemy przez indukcję po
n < ω ciągi (fn : n ∈ ω) oraz (sn : n ∈ ω), spełniające dla każdego n < ω następujące
warunki:
4.
5.
6.
7.
fn ∈ Tαn i f0 = g,
fn ⊆ fn+1 ,
sn ∈ [ω \ Rfn ]<ℵ0 i s0 = s,
sn ( sn+1 .
Na koniec definiujemy:
f=
[
fn .
n<ω
Niech S = n<ω sn . Zauważmy, że warunki 6. i 7. implikują, że |S| = ℵ0 oraz S ⊆ ω\Rf ,
co dowodzi, że funkcja f spełnia warunek 1. (oczywiście jest ona różnowartościowa, jako
suma łańcucha funkcji różnowartościowych).
To kończy indukcyjną konstrukcję ciągu (Tα : α < ω1 ). Na koniec definiujemy
S
T =
[
Tα .
α<ω1
Żądanie, by poziomy drzewa nieprzeliczalnej regularnej wysokości κ były mocy mniejszej niż κ nie gwarantuje więc istnienia współkońcowej gałęzi. Następne twierdzenie pokazuje, że sytuacja się zmienia, jeśli wymagamy, by moce poziomów były wspólnie ograniczone przez liczbę kardynalną mniejszą od κ (ogólniej: przez liczbę kardynalną mniejszą
niż cf (κ), jeśli nie zakładamy regularności liczby κ).
Twierdzenie 7.13 (Kurepa). Załóżmy, że κ ­ ℵ0 . Jeśli ν < cf (κ), to każde (κ, ν)-drzewo
ma gałąź współkońcową.
Dowód. Niech (T, ¬) będzie (κ, ν)-drzewem. Na mocy lematu 7.10 bez straty ogólności
możemy założyć, że T jest dobrze przycięte.
Rozważmy najpierw przypadek szczególny, zakładając dodatkowo, że obie liczby κ i ν
są regularne.
Wierzchołek x ∈ T nazwijmy punktem rozgałęzienia, jeśli istnieje wierzchołek y ∈ T
taki, że y 6= x oraz (←, x) = (←, y) (wtedy oczywiście HT (x) = HT (y), ale wierzchołki x
i y nie muszą mieć wspólnego bezpośredniego poprzednika, gdyż HT (x) może być liczbą
graniczną).
Wystarczy pokazać, że drzewo T ma następującą własność:
85
(*) istnieje liczba β < κ taka, że żaden wierzchołek x ∈ T wysokości większej niż β nie
jest punktem rozgałęzienia.
Mianowicie, własność (∗) implikuje, że jeśli z ∈ T jest dowolnym wierzchołkiem wysokości co najmniej β, to zbiór
G = (←, z] ∪ (z, →),
złożony ze wszystkich wierzchołków drzewa T , porównywalnych z z, jest gałęzią współkońcową.
Istotnie, z dobrego przycięcia T wynika, że (y, →) ∩ Tα 6= ∅ dla każdego α > HT (y),
więc wystarczy pokazać, że zbiór (z, →) jest łańcuchem w T . Przypuśćmy więc, że jest
przeciwnie i niech x, y ∈ (z, →) będą nieporównywalne w T . Bez ograniczenia ogólności
załóżmy dodatkowo, że HT (x) = HT (y) oraz γ = HT (x) jest najmniejszą liczbą porządkową większą od Ht (z) mającą tę własność, że w zbiorze Tγ ∩ (z, →) istnieją dwa wierzchołki
nieporównywalne. Stąd jednak wynika natychmiast, że (←, x) = (←, y), czyli wierzchołek
x jest punktem rozgałęzienia wysokości większej niż β, co przeczy (∗).
Dla dowodu (∗) niech
E = {α < κ : cf (α) = ν}.
Zbiór E jest stacjonarny w κ (zob. przykład 4.18).
Zauważmy najpierw, że jeśli α ∈ E oraz y ∈ Tα , to istnieje liczba βy < α taka,
że żaden punkt, należący do zbioru (←, y) i mający wysokość większą niż βy , nie jest
punktem rozgałęzienia.
Istotnie, niech
Ry = {x < y : x jest punktem rozgałęzienia}
oraz
By = {HT (x) : x ∈ Ry }.
Dla każdego ξ ∈ By niech xξ ∈ Ry będzie (jedynym) elementem zboru Ry wysokości ξ
i niech yξ 6= xξ będzie wybranym wierzchołkiem, świadczącym o tym, że xξ jest punktem
rozgałęzienia, czyli takim, że (←, yξ ) = (←, xξ ). Korzystając z tego, że T jest dobrze
przycięte, znajdźmy dla każdego ξ ∈ By wierzchołek zξ ∈ Tα taki, że yξ < zξ . Zauważmy,
że jeśli ξ < ζ, to zξ 6= zζ . Istotnie, z jednej strony mamy xξ < zζ , gdyż xξ < xζ , co
implikuje, że xξ < yζ , a ponadto wiemy, że yζ < zζ . Z drugiej strony xξ 6< zξ , gdyż yξ < zξ ,
a wierzchołki xξ i yξ są nieporównywalne. Dostajemy więc, że |By | ¬ |Tα |, co łącznie z
założeniem, że |Tα | < ν = cf (α) (przypomnijmy, że α ∈ E) daje nierówność |By | < cf (α).
Wystarczy więc przyjąć, że βy = sup |By |; oczywiście βy < α.
86
Określmy teraz funkcję f : E → κ wzorem
f (α) = sup βy .
y∈Tα
Ponieważ βy < α dla każdego y ∈ Tα oraz |Tα | < ν = cf (α), to funkcja f jest regresywna na zbiorze E. Na mocy lematu Fodora (zob. twierdzenie 4.22) funkcja f przyjmuje
stałą wartość równą pewnej liczbie β < κ na pewnym stacjonarnym (i w szczególności:
nieograniczonym) podzbiorze E 0 zbioru E. Żeby zakończyć dowód (∗) zauważmy, że żaden
wierzchołek x ∈ T wysokości większej niż β nie jest punktem rozgałęzienia. Istotnie, jeśli
β < ξ < κ i x ∈ Tξ , to weźmy α ∈ E 0 , α > ξ i korzystając z tego, że T jest dobrze
przycięte, znajdźmy wierzchołek y ∈ Tα taki, że x < y. Wtedy f (α) = β i z definicji
funkcji f wynika, że x nie jest punktem rozgałęzienia.
To kończy dowód twierdzenia w rozpatrywanym przypadku szczególnym, tzn. przy
założeniu, że obie liczby κ i ν są regularne.
Przypadek ogólny nietrudno sprowadzić do rozpatrzonego powyżej.
Za pomocą drzew można konstruować porządki liniowe o interesujących własnościach.
Definicja 7.14. Niech hT, ¬i będzie drzewem. Dla każdego α < H(T ) niech ¬α będzie
liniowym porządkiem zbioru Tα .
Porządek leksykograficzny ¬L drzewa hT, ¬i (zadanym przez porządki ¬α ) definiujemy
w następujący sposób:
x ¬L y ⇔ (x ¬ y lub px (α) ¬α py (α)) ,
1−1
gdzie α = min{β : px (β) 6= py (β)} (przypomnijmy, że px : HT (x) + 1 →
− (←, x] jest ściśle
na
rosnącą numeracją elementów przedziału (←, x]).
Uwaga 7.15. Relacja ¬L jest porządkiem liniowym zbioru T , rozszerzającym porządek
¬.
Definicja 7.16. Zbiór liniowo uporządkowany hS, ¬S i jest prostą Aronszajna (jest typu
Speckera), jeśli nie ma ciągów ściśle monotonicznych długości ω1 o wyrazach w S i jednocześnie żaden nieprzeliczalny podzbiór zbioru S nie jest izomorficzny z podzbiorem R (ze
zwykłym porządkiem).
Następujące dwa twierdzenia odnotujemy bez dowodu.
Twierdzenie 7.17. Każdy porządek leksykograficzny drzewa Aronszajna jest prostą Aronszajna.
87
Twierdzenie 7.18. Każda prosta Aronszajna jest izomorficzna z porządkiem leksykograficznym pewnego drzewa Aronszajna i w szczególności ma moc ω1 .
Definicja 7.19. Liczba kardynalna κ > ℵ0 ma własność drzewa, jeśli każde κ-drzewo ma
gałąź długości κ
Bez dowodu odnotujmy następujące twierdzenia.
Twierdzenie 7.20. Jeśli κ jest słabo zwarta, to ma własność drzewa.
Twierdzenie 7.21. Jeśli κ ma własność drzewa i jest silnie nieosiągalna, to jest słabo
zwarta.
8. Rodziny prawie rozłączne i ∆-systemy
8.1. Zbiory prawie rozłączne
Definicja 8.1. Niech X będzie zbiorem mocy κ ­ ℵ0 .
• Zbiory A, B ⊆ X są prawie rozłączne, jeśli |A ∩ B| < κ.
• Rodzinę A nazywamy rodziną prawie rozłączną podzbiorów zbioru X, jeśli A ⊆ [X]κ
i A składa się ze zbiorów parami prawie rozłącznych, czyli:
∀A, B ∈ A (A 6= B ⇒ |A ∩ B| < κ).
Przykład 8.2. Dla każdego x ∈ R wybierzmy różnowartościowy ciąg liczb wymiernych
(qnx : n ∈ ω), taki, że limn→∞ qnx = x i niech Ax = {qnx : n ∈ ω}. Wówczas, jeśli x 6= y,
to zbiór Ax ∩ Ay jest skończony, gdyż wszystkie, z wyjątkiem skończenie wielu, wyrazy
ciągu (qnx : n ∈ ω) (odpowiednio: (qny : n ∈ ω)) leżą w odległości mniejszej od |x−y|
od x
2
(odpowiednio: y).
Rodzina {Ax : x ∈ R} jest więc rodziną prawie rozłączną mocy c podzbiorów Q.
Powyższy przykład należy zestawić z oczywistym faktem, że nie istnieje rodzina rozłączna podzbiorów zbioru mocy κ, która miałaby moc większą niż κ. Dla rodzin prawie
rozłącznych sytuacja jest inna.
Twierdzenie 8.3. Dla każdego zbioru mocy κ ­ ℵ0 istnieje rodzina prawie rozłączna jego
podzbiorów mocy większej niż κ.
Dowód. Dowód przedstawimy tylko dla przypadku, gdy liczba κ jest regularna. Pokażemy,
że wówczas istnieje rodzina prawie rozłączna A podzbiorów κ mocy większej od κ.
Niech B będzie podziałem κ na κ zbiorów mocy κ. Z pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna
rozszerzmy B do maksymalnej rodziny prawie rozłącznej A podzbiorów κ. Dokładniej,
rozpatrujemy rodzinę
X = {C ⊆ [κ]<κ : B ⊆ C oraz C jest prawie rozłączną rodziną podzbiorów κ},
częściowo uporządkowaną przez relację zawierania. Wówczas X 6= ∅ (B ∈ X ) oraz suma
każdego niepustego łańcucha w X należy do rodziny X . Zatem w rodzinie X istnieje
element maksymalny A.
89
Twierdzimy, że |A| > κ. Przypuśćmy więc, że jest przeciwnie. Ponieważ B ⊆ A oraz
|B| = κ, oznacza to, że |A| = κ. Niech hAα : α < κi będzie różnowartościową numeracją
elementów rodziny A. Dla każdego α < κ niech
Bα = Aα \
[
Aξ = Aα \
ξ<α
[
(Aξ ∩ Aα ).
ξ<α
Wtedy Bα 6= ∅, bo |Aα | = κ, a | ξ<α (Aξ ∩ Aα )| < κ, gdyż |Aξ ∩ Aα )| < κ dla ξ < α,
α < κ oraz liczba κ jest regularna.
Dla każdego α < κ wybierzmy aα ∈ Bα i niech A = {aα : α < κ}.
Zauważmy, że aα 6= aβ dla α 6= β, zatem |A| = κ. Ponadto dla każdej liczby α < κ
mamy A ∩ Aα ⊆ {aβ : β ¬ α}, skąd |A ∩ Aα | < κ. Możemy więc rozszerzyć rodzinę A o
zbiór A, dostając większą rodzinę prawie rozłączną podzbiorów κ, co stoi w sprzeczności
z maksymalnością rodziny A.
S
W niektórych sytuacjach istnieje rodzina prawie rozłączna podzbiorów zbioru mocy κ
największej możliwej mocy, tj. mocy 2κ .
Przypomnijmy, że 2<κ = sup 2µ . Zauważmy, że 2<κ jest mocą pełnego drzewa binarnego
µ<κ
wysokości κ (zob. przykład 7.5).
Stwierdzenie 8.4. Jeśli κ ­ ℵ0 i 2<κ = κ, to istnieje rodzina prawie rozłączna mocy 2κ
podzbiorów κ.
Dowód. Skoro 2<κ = κ, to wystarczy pokazać, że istnieje rodzina prawie rozłączna mocy
2κ podzbiorów pełnego drzewa binarnego T wysokości κ. Twierdzimy, że taką rodziną jest
zbiór wszystkich jego gałęzi.
Istotnie, każda gałąź drzewa T jest postaci
Gf = {f |α : α < κ},
gdzie f : κ →
− {0, 1} jest dowolnym ciągiem binarnym długości κ.
Mamy oczywiście |Gf | = κ. Ponadto, jeśli f, g ∈ {0, 1}κ oraz f 6= g, to
Gf ∩ Gg ⊆ {f |β : β ¬ ξ},
gdzie ξ = min{α < κ : f (α) 6= g(α)}, a stąd |Gf ∩ Gg | ¬ |ξ| < κ.
Wniosek 8.5. Przy założeniu GCH dla każdej liczby kardynalnej κ ­ ℵ0 istnieje rodzina
prawie rozłączna mocy 2κ podzbiorów κ.
90
Dowód. Wystarczy zauważyć, że przy założeniu GCH mamy 2<κ = κ dla każdej liczby
κ ­ ℵ0 .
W szczególności więc bez sprzeczności można przyjąć, że dla każdej liczby kardynalnej
κ ­ ℵ0 istnieje rodzina prawie rozłączna mocy 2κ podzbiorów κ. Z drugiej jednak strony, jest również niesprzeczne z ZFC, że nie istnieje rodzina prawie rozłączna mocy 2ℵ1
podzbiorów ℵ1 (Baumgartner).
8.2. ∆-systemy
Definicja 8.6. Rodzina zbiorów F jest ∆-systemem jeśli istnieje zbiór D taki, że
∀F1 , F2 ∈ F (F1 6= F2 ⇒ F1 ∩ F2 = D).
Zbiór D nazywamy jądrem (lub korzeniem) ∆-systemu F .
Uwaga 8.7. Każda rodzina rozłączna jest ∆-systemem o pustym jądrze.
Twierdzenie 8.8 (∆-lemat). Jeśli F jest nieprzeliczalną rodziną zbiorów skończonych,
to F zawiera nieprzeliczalny ∆-system.
Dowód. Niech Fn = {F ∈ F : |F | = n}. Ponieważ
F=
[
Fn ,
n<ω
to z nieprzeliczalności rodziny F wynika, że co najmniej jedna z rodzin Fn jest nieprzeliczalna. Bez ograniczenia ogólności możemy więc przyjąć, że rodzina F składa się ze
zbiorów skończonych tej samej liczności.
Wystarczy zatem udowodnić, że jeśli n jest dodatnią liczbą naturalną, to każda nieprzeliczalna rodzina F zbiorów n-elementowych zawiera nieprzeliczalny ∆-system F 0 .
Dowodzimy tego przez indukcję po n.
Dla n = 1 wystarczy wziąć F 0 = F. Jest to ∆-system o jądrze ∅.
Krok indukcyjny: załóżmy, że dla danego n ­ 1 twierdzenie jest prawdziwe i niech
|F | = n + 1 dla każdego F ∈ F. Rozważmy dwa przypadki:
a) Istnieje element x ∈ F, który należy do nieprzeliczalnie wielu spośród zbiorów F ∈ F.
Niech więc F = {F ∈ F : x ∈ F } – zakładamy, że zbiór F jest nieprzeliczalny.
Niech F = {F \ {x} : f ∈ F}.
Na mocy założenia indukcyjnego istnieje nieprzeliczalny ∆-system F̂ o jądrze D zawarty w F. Niech F 0 = {F ∈ F : F \ {x} ∈ F̂}. Wtedy F 0 jest szukanym nieprzeliczalnym
∆-systemem zawartym w F, o jądrze D ∪ {x}.
S
91
b) Każdy element x ∈ F należy do co najwyżej przeliczalnie wielu spośród zbiorów
F ∈ F.
Wówczas indukcyjnie konstruujemy ciąg długości ω1 parami rozłącznych zbiorów Fα ∈
F, α < ω1 , którego wyrazy utworzą nieprzeliczalny ∆ system o jądrze ∅.
Zbiór F0 ∈ F wybieramy dowolnie.
W kroku α < ω1 zakładamy, że mamy już wybrane zbiory Fβ dla wszystkich β < α.
S
Wtedy zbiór A =
Fβ jest co najwyżej przeliczalny jako suma co najwyżej przeliS
β<α
czalnie wielu zbiorów skończonych. Ponadto dla każdego x ∈ A mamy |{F ∈ F : x ∈
F }| ¬ ℵ0 oraz
[
{F ∈ F : F ∩ A 6= ∅} =
{F ∈ F : x ∈ F }.
x∈A
Zatem tylko co najwyżej przeliczalnie wiele zbiorów F ∈ F ma niepuste przecięcie z
A. Z nieprzeliczalnej rodziny F możemy więc wybrać zbiór Fα taki, że Fα ∩ Fβ = ∅ dla
każdego β < α, co kończy krok indukcyjny i zarazem cały dowód.
Następujące twierdzenie o ∆-systemach jest uogólnieniem ∆-lematu.
Twierdzenie 8.9 (Erdös–Rado). Niech κ ­ ℵ0 będzie regularną liczbą kardynalną i niech
λ będzie taką liczbą kardynalną, że 0 < λ < κ oraz
(∗)
ν λ < κ dla każdej liczby kardynalnej ν < κ.
Wtedy, jeśli F jest rodziną mocy κ złożoną ze zbiorów, z których każdy ma moc λ, to
F zawiera ∆-system mocy κ.
Dowód.
Jeżeli κ = ℵ0 , to λ = n jest pewną liczbą naturalną dodatnią. W tym przypadku
dowód przez indukcję po n jest łatwą modyfikacją dowodu ∆-lematu (por. twierdzenie
8.8).
Załóżmy więc, że κ > ℵ0 . Niech hFα : α < κi będzie różnowartościową numeracją
S
elementów rodziny F. Wiemy, że |
Fα | ¬ λ · κ = κ. Zatem bez ograniczenia ogólności
α<κ
zakładamy, że Fα ⊆ κ dla każdej liczby α < κ.
Niech λ̃ będzie najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną większą od λ:
(
λ̃ =
λ+ ,
ℵ0 ,
jeśli λ ­ ℵ0 ,
jeśli λ < ℵ0 .
Liczba λ̃ jest regularna oraz λ̃ < κ. Istotnie, jeżeli ℵ0 ¬ λ, to λ+ ¬ 2λ < κ (na mocy
założenia (∗), zastosowanego do ν = 2), a jeżeli λ < ℵ0 , to λ̃ = ℵ0 < κ.
92
Niech
A = {α < κ : cf (α) = λ̃}.
Zbiór A jest stacjonarny w κ (zob. przykład 4.18).
Określmy funkcję g : A → κ wzorem
g(α) = sup(Fα ∩ α) + 1.
Ponieważ |Fα ∩ α| ¬ λ < λ̃ oraz λ̃ = cf (α), to g(α) < α dla każdego α ∈ A.
Na mocy lematu Fodora (zob. twierdzenie 4.22) istnieje stacjonarny w κ zbiór B ⊆ A
oraz liczba ρ < κ takie, że dla każdej liczby α ∈ B mamy g(α) = ρ. Biorąc ρ0 = max(ρ, λ)
mamy ρ0 ­ λ oraz
Fα ∩ α ⊆ ρ0
dla wszystkich α ∈ B.
Ponieważ |B| = κ, liczba κ jest regularna oraz na mocy założenia (∗) dla ν = |ρ0 |
mamy
|[ρ0 ]¬λ | ¬ |ρ0 |λ < κ,
to istnieje zbiór D ⊆ ρ0 oraz zbiór C ⊆ B mocy κ takie że
Fα ∩ α = D
dla każdej liczby α ∈ C.
Przez indukcję po η < κ konstruujemy teraz ciąg (αη : η < κ) elementów zbioru C,
spełniający dla każdego η < κ i wszystkich γ < η następujące warunki:
• αγ < αη ,
• F αγ ⊆ α η .
Dokładniej, liczbę α0 ∈ C wybieramy dowolnie, a w kroku η < κ, mając już zdefiniowane αγ dla wszystkich γ < η, wybieramy dostatecznie dużą liczbę αη ∈ C, korzystając z
tego, że zbiór C jest nieograniczony w κ, natomiast zbiór
{αγ : γ < η} ∪
[
F αγ
γ<η
ma moc mniejszą niż κ, więc wobec regularności liczby κ jest w κ ograniczony.
Na koniec definiujemy
F 0 = {Fαη : η < κ}.
Oczywiście mamy F 0 ⊆ F oraz |F 0 | = κ.
Twierdzimy, że rodzina F 0 jest ∆-systemem o jądrze D.
93
Istotnie, jeśli γ < η < κ, to mamy Fαγ ⊆ αη , a stąd:
Fαγ ∩ Fαη = (Fαγ ∩ αη ) ∩ Fαη = Fαγ ∩ (Fαη ∩ αη ) = Fαγ ∩ D = D.
Następujący natychmiastowy wniosek z powyższego twierdzenia jest wzmocnieniem
∆-lematu.
Wniosek 8.10. Niech κ będzie regularna, nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Jeśli F jest
rodziną mocy κ, składającą się ze zbiorów skończonych, to F zawiera ∆-system mocy κ.
Dowód. Tak, jak w dowodzie ∆-lematu bez ograniczenia ogólności możemy przyjąć, że rodzina F składa się ze zbiorów skończonych tej samej skończonej liczności n > 0. Następnie
stosujemy twierdzenie 8.9 dla λ = n.
Poniższy przykład pokazuje typowe zastosowanie twierdzeń o ∆-systemach.
Przykład 8.11. Niech κ będzie regularna, nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Niech (Xi )i∈I ,
gdzie I 6= ∅, będzie indeksowaną rodziną niepustych zbiorów takich, że |Xi | < κ dla
S
każdego i ∈ I. Niech P będzie zbiorem wszystkich funkcji f : Df →
Xi takich, że
i∈Df
<ℵ0
oraz f jest funkcją wyboru dla rodziny (Xi )i∈Df .
Df ∈ [I]
Powiemy, że funkcje f, g ∈ P są sprzeczne, jeśli nie istnieje ich wspólne przedłużenie
do funkcji ze zbioru P; innymi słowy, jeśli zbiór f ∪ g nie jest funkcją.
Niech zbiór X ⊆ P składa się z funkcji parami sprzecznych. Pokażemy, że |X | < κ.
Przypuśćmy więc, że jest przeciwnie i bez ograniczenia ogólności załóżmy, że |X | = κ.
Niech F = {Df : f ∈ X }.
Zauważmy, że |F| = κ.
Istotnie, mamy
(∗)
X =
[
{f ∈ X : Df = E}.
E∈F
Jednocześnie dla każdego E ∈ F mamy
{f ∈ X : Df = E} ⊆
Y
Xi ,
i∈E
a skoro |Xi | < κ dla każdego i ∈ I, to |
Q
Xi | < κ.
i∈E
Skoro więc |X | = κ, to z z równości (∗) oraz regularności liczby κ wynika, że |F| = κ.
94
Zatem F jest rodziną mocy κ, składającą się ze zbiorów skończonych. Na mocy wniosku
8.10 istnieje więc ∆-system F 0 ⊆ F mocy κ o jądrze D ∈ [I]<ℵ0 .
Niech X 0 = {f ∈ X : Df ∈ F 0 }.
Zauważmy, że jeśli f, g ∈ X 0 oraz f 6= g, to f |D 6= g|D, ponieważ w przeciwnym razie
zbiór f ∪ g byłby funkcją. Wynika stąd, że |{f |D : f ∈ X 0 }| = κ.
Q
Q
Xi | < κ i
Xi , a skoro |Xi | < κ dla każdego i ∈ D, to |
Ale {f |D : f ∈ X 0 } ⊆
i∈D
otrzymujemy sprzeczność.
i∈D
Bibliografia
[1] B. Balcar, P. Štěpánek, Teorie množin, Academia, Praha, 1986.
[2] A. Błaszczyk, S. Turek, Teoria mnogości, WN PWN, 2007.
[3] K. Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician, Cambridge University Press,
1997.
[4] W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii
mnogości, WN PWN, 2005.
[5] T. Jech, Set Theory. The Third Millennium Edition, Springer-Verlag 2002.
[6] W. Just, M. Weese, Discovering Modern Set Theory. II: Set-Theoretic Tools for Every
Mathematician, American Mathematical Soc., 1997.
[7] K. Kunen, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North Holland, 1980.
[8] A. Shen, N. K.Vereshchagin, Basic Set Theory, American Mathematical Soc., 2002.
96