rezonans szeregowy

10. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
W obwodach prądu sinusoidalnego przebiegi czasowe (prądów, napięć, sem, spm, mocy)
cyklicznie przybierają na przemian wartości dodatnie i ujemne. Przebiegi o takim charakterze
noszą nazwę przebiegów oscylacyjnych (z łac. oscillatio - kołysanie, wahanie). Charakter
oscylacyjny mogą mieć nie tylko przebiegi elektryczne. Przebiegi oscylacyjne występują również
w układach mechanicznych. Zazwyczaj mówi się wtedy o drganiach i o ruchu drgającym.
Takimi ruchami są: ruch wahadła, ruch huśtawki, drgania struny instrumentu muzycznego,
wibracje silnika okrętowego.
Oscylacje mogą być wymuszone lub swobodne. Fizycznym powodem występowania
oscylacji wymuszonych jest jakieś źródło zewnętrzne. Narzuca ono częstotliwość oscylacji.
Oscylacje swobodne pojawiają się przy braku bezpośrednio wymuszającego je czynnika
zewnętrznego, zaś ich częstotliwość, tak zwana częstotliwość drgań swobodnych (albo
własnych) wynika z charakteru i wartości parametrów oscylującego (drgającego) obiektu.
Jeżeli częstotliwość drgań wymuszonych jest równa częstotliwości drgań swobodnych
danego układu zachodzi w nim zjawisko rezonansu. Nosi on nazwę rezonansu amplitudowego.
Skutkiem jego występowania jest intensyfikacja drgań, a więc maksymalizacja amplitud
parametrów zmieniających się oscylacyjnie.
Rezonans amplitudowy może występować również w obwodach elektrycznych. Jednak
w elektrotechnice rezonansem nazywa się nie rezonans amplitudowy lecz rezonans fazowy.
Zachodzi on wtedy gdy w obwodzie z elementami reaktancyjnymi (cewka i kondensator) nie ma
przesunięcia fazowego pomiędzy przebiegami czasowymi prądu i napięcia. Częstotliwość przy
której, dla danego obwodu zachodzi tak rozumiany rezonans nosi nazwę częstotliwości
rezonansowej. Częstotliwość rezonansowa obwodu tylko w szczególnych przypadkach bywa
równa częstotliwości drgań swobodnych (własnych) obwodu.
W obwodach elektrycznych rozważa się dwa rodzaje rezonansu: rezonans napięć zwany
też rezonansem szeregowym i rezonans prądów zwany rezonansem równoległym. Obydwa były
omawiane (dla najprostszych przypadków ich występowania) w rozdziale 8. Obecnie
przeanalizujemy nieco dokładniej ich właściwości.
10.1. Rezonans napięć (rezonans szeregowy)
Najprostszym obwodem, w którym występuje rezonans napięć jest obwód szeregowy RLC.
Rys. 10.1. Gałąź szeregowa RLC
Warunkiem zaistnienia rezonansu fazowego, a takim jest rezonans napięć jest to by między
sinusoidalnymi przebiegami prądu i napięcia nie było przesunięcia fazowego, zatem by miały one
takie same początkowe kąty fazowe:
ψ i =ψ u
(10.1a)
- 77 -
Wynika stąd warunek dotyczący argumentów wartości skutecznych zespolonych:
arg( U ) = arg( I )
(10.1b)
Aby te warunki były spełnione przebiegi prądu i napięcia muszą być nawzajem do siebie
wprost proporcjonalne. Oznacza to, że w stanie rezonansu jest: u( t ) = K ⋅ i( t ) i U = K ⋅ I , zatem,
aby wystąpił rezonans impedancja zespolona musi być rezystancją:
1
Z r = R + j( ω r L −
)= R
ωr C
(10.2)
Może tak być jedynie wtedy gdy reaktancja cewki indukcyjnej jest równa reaktancji
kondensatora:
ωr L =
1
1
= 2πf r L =
ωr C
2πf r C
(10.3)
Parametry ωr i f r to pulsacja i częstotliwość, przy których występuje rezonans, a więc
pulsacja rezonansowa i częstotliwość rezonansowa. Ich wartości, przy danych wartościach
pojemności i indukcyjności gałęzi można wyznaczyć ze wzoru (10.3) jako:
ω
1
1
ωr =
, fr = r =
(10.4)
2π 2π LC
LC
Wobec równości reaktancji cewki i kondensatora, przez które płynie ten sam sinusoidalnie
zmienny prąd, ich napięcia w stanie rezonansu mają takie same wartości skuteczne. Przebiegi
wartości chwilowych tych napięć przesunięte są względem siebie w fazie o pół kresu - pozostają
w przeciwfazie. Stąd suma wartości skutecznych zespolonych tych napięć jest w każdej chwili
czasowej równa zeru - napięcia się znoszą:
1
) = I ⋅0 = 0
(10.5a)
U Lr + U Cr = I r ⋅ j( ω r L −
ωrC
Jest zatem oczywiście:
u Lr ( t ) + uCr ( t ) = 0
(10.5b)
W stanie rezonansu napięcie rezystora jest więc równe napięciu całej gałęzi RLC:
u Rr ( t ) = u( t )
(10.6)
Na rys. 10.2. pokazano na czym polega znoszenie się przebiegów czasowych napięć na
cewce i kondensatorze gałłęzi szeregowej w stanie rezonansu.
Rys. 10.2. Przebiegi czasowe napięć cewki i kondensatora
gałęzi RLC w stanie rezonansu
Rys. 10.3. Przebiegi mocy chwilowych cewki i kondensatora
gałęzi RLC w stanie rezonansu
Również moce cewki i kondensatora gałęzi RLC mają sinusoidalne przebiegi wartości
chwilowych. Ich częstotliwości są równe podwojonej częstotliwości prądu i napięcia (por. też
wzór 8.26 z rozdz. 8.). Także te przebiegi pozostają w przeciwfazie. Pokazano to na rys. 10.3. W
każdej chwili czasowej albo moc z jaką energia dopływa do pola magnetycznego cewki jest
równa mocy z jaką energia wypływa z pola elektrycznego kondensatora, a więc cała energia
uchodząca z kondensatora jest transferowana do cewki, albo występuje sytuacja odwrotna:
- 78 -
energia płynie z cewki i jest w całości pobierana przez kondensator. Występują zatem oscylacje
energii jednak nie pomiędzy elementami reaktancyjnymi odbiornika a źródłem, lecz wyłącznie
pomiędzy elementami reaktancyjnymi odbiornika o różnym charakterze (kondensatorem
i induktorem).
10.2. Parametry obwodu rezonansowego
Do opisywania zjawiska rezonansu stosuje się cały szereg zdefiniowanych specjalnie w tym
celu wielkości - parametrów obwodu rezonansowego. Inżynier elektryk powinien znać ich nazwy
i definicje. Będzie się z nimi stykał nie tylko przy okazji analiz obwodów rezonansowych.
Parametrami tymi są:
ρ
obwodu rezonansowego, zwana też impedancją
Impedancja falowa
charakterystyczną - jest nią reaktancja jaką mają i cewka i kondensator przy pulsacji
rezonansowej (reaktancje te są wtedy sobie równe):
1
L
1
ρ = ωr L =
L=
=
ωr C
C
LC
(10.7)
Termin impedancja falowa występuje również w teorii czwórników i w teorii linii długich.
Dobroć obwodu rezonansowego - dla gałęzi szeregowej RLC są nią stosunki, równych
sobie w stanie rezonansu, reaktancji cewki i kondensatora odniesione do rezystancji gałęzi:
1
ω L ω C ρ
Q= r = r =
R
R
R
(10.8)
Zatem dobroć obwodu rezonansowego jest równa stosunkowi impedancji falowej do
rezystancji obwodu.
Dobroć obwodu można też uzależnić od wartości energii występujących w obwodzie:
Energia pobierana przez rezystor w przeciągu jednego okresu T ma wartość:
WR ( T ) = P T = U R I T = R ⋅ I 2T . Maksymalna energia cewki jest równa maksymalnej energii
kondensatora (jest to energia oscylująca pomiędzy tymi dwoma elementami) i ma wartość:
1
1
2
WC max = WL max = C ⋅ U C
= L ⋅ I L2 max
max
2
2
.
Stąd dla gałęzi szeregowej w stanie rezonansu słuszne są zależności:
2
 I L max 
2π
L ⋅ 

L 2
W
W
I Tr
ωr L Tr
2 

Q=
=
⋅
= 2π
= 2π L max = 2π C max
(10.8a)
2
R
WR ( T )
R I T
WR ( T )
Pr Tr
r
Wzór (10.8) określa dobroć obwodu rezonansowego szeregowego, podczas gdy wzór
(10.8a) może być stosowany dla dowolnych obwodów.
Współczynnik tłumienia obwodu rezonansowego - jest nim odwrotność dobroci obwodu
rezonansowego:
1
d=
(10.9)
Q
Dla gałęzi szeregowej RLC współczynnik tłumienia obwodu rezonansowego jest równy
stosunkowi rezystancji do impedancji falowej:
1 R
d= =
Q ρ
(10.9a)
- 79 -
Częstotliwość względna (tożsama z pulsacją względną) - stosunek danej częstotliwości do
częstotliwości rezonansowej:
f
ω
k=
=
(10.10)
f r ωr
Rozstrojenie względne - różnica wartości reaktancji cewki i kondensatora odniesiona do
wartości rezystancji gałęzi:
1
ωL −
X
ωC
ξ= =
R
R
(10.11)
10.3. Prąd gałęzi RLC
Obwód szeregowy RLC ma impedancję zespoloną:
1
Z = R + j( ω L −
) = Ze jϕ
ωC
gdzie:
1
ωL −
1 2
2
ω
C
Z = R + ( ωL −
) , ϕ = arctg
ωC
R
Podstawiając do tych wzorów zależność (10.11) impedancję i kąt przesunięcia fazowego
gałęzi można wyrazić w funkcji rozstrojenia względnego:
X
1 2
Z = R 2 + ( ωL −
) = R 2 + ( Rξ )2 = R 1 + ξ 2 , ϕ = arctg = arctgξ
R
ωC
W stanie rezonansu impedancja gałęzi RLC jest równa jej rezystancji Z r = R , stąd wartość
U
skuteczna natężenia prądu wynosi: I r = .
R
Jest więc:
1
U
U
U
1
I= =
= ⋅
= Ir ⋅
Z
R
R 1+ξ2
1+ξ 2
1+ξ2
(10.12a)
1
ωL −
ω
C może przyjmować wartości z przedziału od minus
Rozstrojenie względne ξ =
R
nieskończoności do plus nieskończoności ( − ∞ < ξ < ∞ ). Dla stanu rezonansu przyjmuje wartość
zero. Dla tej wartości rozstrojenia względnego wartość skuteczna prądu osiąga maksimum (i brak
jest przesunięcia fazowego pomiędzy prądem i napięciem).
W analizie obwodów rezonansowych wzór (10.12a) zazwyczaj przekształca się
wprowadzając do niego wartość względną prądu gałęzi definiowaną jako stosunek wartości
skutecznej prądu do jego wartości skutecznej w stanie rezonansu (dzięki temu uzyskuje się
identyczny wykres dla obwodów z prądami o różnych natężeniach):
I
1
(10.12b)
=
Ir
1+ξ2
Wykres zależności wartości względnej prądu od rozstrojenia względnego pokazuje rys.
10.4., zaś wykres zależności kąta fazowego impedancji (a zatem kąta przesunięcia fazowego
pomiędzy prądem i napięciem gałęzi) rys. 10.5.
Na rys. 10.4. widać, że największe wartości względne prądu występują dla rozstrojenia
względnego bliskiego zeru, zatem dla częstotliwości bliskich częstotliwości rezonansowej. Przedział
- 80 -
zmienności częstotliwości, dla którego prąd osiąga największe wartości skuteczne nosi nazwę pasma
przenoszenia. Pozostałe przedziały stanowią pasmo tłumieniowe.
Rys. 10.5. Przesunięcie fazowe w funkcji rozstrojenia
względnego
Rys. 10.4. Wartość względna prądu w funkcji rozstrojenia
względnego
Umownie pasmem przewodzenia określa się
I
1
przedział w którym
≥
≅ 0 ,707
Ir
2
1
I
można
=
Z
zależności
Ir
2
1+ξ
wyznaczyć wartości rozstrojenia względnego
stanowiące granice pasma przenoszenia.
− 1
Wynoszą one: ξ 1,2 = 
1
Pasma przenoszenia i tłumieniowe obwodu
rezonansowego pokazano na rys. 10.6.
Rys. 10.6. Pasma przenoszenia i tłumieniowe obwodu
rezonansowego
Rozstrojenie względne można także wyrazić
w funkcji dobroci (lub jej odwrotności: współczynnika tłumienia) obwodu rezonansowego i
częstotliwości względnej. W tym celu do wzoru (10.11) trzeba podstawić ω = k ⋅ ωr , wynikające z
ω L
1
=
= Q z definicji dobroci obwodu (10.7b):
definicji częstotliwości (10.10) i
R
ω r CR
1
ωL −
1
1

ωC = k ⋅ ω r L −
ξ=
= Q k − 
(10.13)
k
R
R
k ⋅ ωr C ⋅ R

Podstawiając (10.13) do (10.12b) otrzymuje się:
I
1
1
1
=
=
=
Ir
Q
2
1+ξ 2
 
1 
1 +  Q k −  
k 
 
1
1 
1
+ k − 
Q 
k
2
Uwzględniając to, że współczynnik tłumienia jest odwrotnością dobroci obwodu ( d =
(10.14) można przekształcić do postaci uzależnionej od tego współczynnika:
I
d
=
Ir
2
1

d + k − 
k

- 81 -
(10.14)
1
) wzór
Q
(10.14a)
I
, dla dwu różnych wartości współczynnika tłumienia,
Ir
pokazano w funkcji częstotliwości względnej k na rys. 10.7a., zaś w funkcji częstotliwości
1
1
względnej k (dla 0 ≤ k ≤ 1 ) i jej odwrotności
(dla 0 ≤ ≤ 1 , zatem k ≥ 1 ) na rys. 10.7b.
k
k
Względne wartości prądu
Rys. 10.7a. Wartość względna prądu w funkcji częstotliwości
względnej dla różnych współczynników tłumienia
Rys. 10.7b. Wartość względna prądu w funkcji częstotliwości
względnej i jej odwrotności
Na rys. 10.7b widać, że szerokość przedziału, w którym występują największe wartości
względne prądu, a więc szerokość pasma przenoszenia obwodu rezonansowego, zależy od
wartości współczynnika tłumienia - im mniejszy współczynnik tym węższy jest ten przedział.
Odwrotność współczynnika tłumienia to dobroć obwodu. Zatem większa dobroć daje węższe
pasmo przenoszenia. W technice rezonans napięć wykorzystywany jest głownie w
telekomunikacji, przede wszystkim po to by wyodrębnić przebiegi o jakiejś konkretnej
częstotliwości (może to być częstotliwość na jakiej nadaje audycje dana stacja radiowa lub
telewizyjna) z tła przebiegów o innych częstotliwościach (sygnały innych stacji). Im większa
dobroć obwodu tym węższe pasmo przenoszenia i bardziej wyeksponowany jest wybierany
sygnał.
10.4. Napięcia gałęzi RLC
Podstawienie wzoru (10.14a) do wyrażenia na wartość skuteczną napięcia na rezystorze
U R = R ⋅ I daje zależność:
d
d
U R = R ⋅ I = R ⋅ Ir
= U Rr ⋅
1
1
d 2 + ( k − )2
d 2 + ( k − )2
k
k
gdzie U Rr = R ⋅ I r to wartość skuteczna napięcia na rezystorze w stanie rezonansu.
Wobec U Rr = U otrzymuje się ostatecznie:
d
(10.15)
UR =U ⋅
1 2
2
d +(k − )
k
Wartość skuteczną napięcia na cewce indukcyjnej otrzymuje się mnożąc wartość
skuteczną prądu przez reaktancję indukcyjną: U L = I ⋅ ωL . Podstawiając do tego wzoru wyrażenie
R
na prąd (10.14a) oraz uwzględniając wzory (10.7) i (10.9), z których wynika, że ωr L = , a
d
także zależność ω = k ⋅ ωr z wzoru (10.10) otrzymuje się:
- 82 -
d
U L = ωL ⋅ I = k ⋅ ω r L ⋅ I r ⋅
1+
1
1
( k − )2
k
d2
zaś po wykonaniu dzieleń:
k
UL =U ⋅
1
d 2 + ( k − )2
k
=k⋅
R U
⋅ ⋅
d R
d
1+
1
1
( k − )2
k
d2
(10.16)
Wartość skuteczną napięcia na kondensatorze otrzymuje się mnożąc wartość skuteczną
1
. Z (10.7) i (10.9) wynika, że dla kondensatora jest
prądu przez jego reaktancję: U C = I ⋅
ωL
1
R
= . Dokonując takich samych podstawień jak dla napięcia na induktorze otrzymuje się:
ωr C d
1 R U
d
d
1
1
UC =
⋅I =
⋅ Ir ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
ωC
k d R
k ⋅ ωr C
1
1
1
1
1+
( k − )2
1+
( k − )2
k
k
d2
d2
zaś po uporządkowaniu:
UC = U ⋅
1
k
(10.17)
1 2
2
d +(k − )
k
Wykresy zależności wartości skutecznych napięć rezystora, cewki i kondensatora od
częstotliwości względnej dla dwu różnych współczynników tłumienia pokazano na rys. 10.8a i
10.8b. Widać na nich, że największe napięcia na kondensatorze i cewce występują wcale nie
wtedy gdy prąd gałęzi i proporcjonalne do niego napięcie na rezystorze mają największą wartość,
a więc dla częstotliwości rezonansowej, lecz dla częstotliwości mniejszej (napięcie na
kondensatorze) lub większej (napięcie na cewce indukcyjnej). Im większa dobroć (mniejszy
współczynnik tłumienia) obwodu tym maksima wartości skutecznych napięć są większe i
występują dla częstotliwości bliższych częstotliwości rezonansowej.
Rys. 10.8b. Napięcia na cewki, kondensatora i rezystora
gałęzi RLC dla współczynnika tłumienia d = 0,1
Rys. 10.8a. Napięcia na cewki, kondensatora i rezystora
gałęzi RLC dla współczynnika tłumienia d = 0,5
Wartości częstotliwości względnych, przy których występują największe napięcia na
kondensatorze i na cewce można wyznaczyć przyrównując do zera ich pochodne względem
∂U C ( d , k )
∂U L ( d , k )
=0 i
= 0 ).
parametru k (
∂k
∂k
- 83 -
W wyniku otrzymuje się wyrażenia:
kL =
2
i
kC =
2−d2
2
(10.18)
2−d2
gdzie k L i kC to częstotliwości względne przy których napięcia odpowiednio na cewce i na
kondensatorze osiągają największe wartości.
Po podstawieniu (10.18) do (10.16) i (10.17)otrzymuje się:
2U
U L max = U C max =
(10.19)
2
d 4−d
10.5. Rezonans prądów (rezonans równoległy)
Rezonans prądów, nazywany także antyrezonansem polega na tym, że nawzajem
kompensują się nie napięcia, jak przy rezonansie napięć, lecz prądy. Najprostszym obwodem w
którym taki rezonans (antyrezonans) występuje jest gałąź złożona z idealnych elementów GLC
(rys. 10.9).
Rys. 10.9. Schemat zastępczy gałęzi równoległej GLC
Z warunku występowania rezonansu (ψ i = ψ u ) wynika, że admitancja zespolona tej gałęzi
w stanie rezonansu jest równa jej konduktancji:
1
Yr = G + j( ω r C −
)=G
(10.20)
ωr L
Jest zatem:
1
ωr L
= ωrC
(10.21)
Z zależności (10.21) można wyznaczyć pulsację i częstotliwość przy których, dla danych
wartości pojemności i indukcyjności zachodzi zjawisko rezonansu prądów. Wzór jaki się
otrzymuje jest identyczny z odpowiednim wzorem dla gałęzi szeregowej RLC w stanie rezonansu
napięć (10.4):
ω
1
1
ωr =
, fr = r =
(10.22)
2π 2π LC
LC
Pulsacja ω r i częstotliwość f r to pulsacja rezonansowa i częstotliwość rezonansowa.
W przypadku rezonansu prądów nazywane bywają one również pulsacją antyrezonansową
i częstotliwością antyrezonansową.
Napięcia wszystkich trzech elementów idealnych tworzących gałąź równoległą GLC mają
identyczne przebiegi. Przebiegi prądów cewki i kondensatora są więc w przeciwfazie, stąd w
stanie rezonansu ich suma jest w każdej chwili czasowej równa zeru:
1
I Cr + I Lr = U ⋅ j( ω r C −
) = U ⋅0 = 0
(10.23a)
ωr L
iCr ( t ) + i Lr ( t ) = 0
(10.23b)
- 84 -
W stanie rezonansu przez cewkę i kondensator płyną prądy, jednak zamykają się one w
obrębie gałęzi i poza nią nie wypływają. Prąd płynący przez konduktancję jest więc w stanie
rezonansu w każdej chwili czasowej równy prądowi całej gałęzi równoległej GLC:
iGr ( t ) = i( t )
(10.24)
Podobnie jest z przemianami energetycznymi. Występuje oscylacyjna wymiana energii
pomiędzy kondensatorem i cewką lecz zjawisko to odbywa się w obrębie gałęzi, nie ma więc
oscylacyjnego przepływu energii pomiędzy nią a źródłem.
Rys. 10.10. Przebiegi czasowe prądów cewki i kondensatora
gałęzi GLC w stanie rezonansu
Rys. 10.11. Przebiegi mocy chwilowych cewki i kondensatora
gałęzi GLC w stanie rezonansu
Pomiędzy obwodem szeregowym RLC z rezonansem napięć i obwodem równoległym GLC
z rezonansem prądów zachodzą liczne podobieństwa o tzw. charakterze dualnym. Dualność
polega na tym, że zależności dotyczące prądu w jednym rodzaju rezonansu charakteryzują
napięcie w drugim rodzaju rezonansu i odwrotnie. Jest to efektem tego, że brak przesunięcia
fazowego pomiędzy prądem i napięciem przy rezonansie napięć wynika z odejmowania się od
siebie reaktancji cewki i kondensatora, wyrażających się stosunkiem wartości skutecznej napięcia
do wartości skutecznej prądu, zaś przy rezonansie prądów z odejmowania się od siebie ich
susceptancji będących odwrotnościami reaktancji, a więc odwrotnościami tych stosunków.
Impedancja falowa gałęzi równoległej jako obwodu rezonansowego definiowana jest
wzorem (10.7) - tak samo jak impedancja falowa gałęzi szeregowej w stanie rezonansu.
Dobroć równoległego obwodu rezonansowego definiowana jest energetycznie. Po
przekształceniu do postaci wykorzystującej stosunek impedancji otrzymuje się zależność
odwrotną do analogicznej zależności dla gałęzi szeregowej:
1
2
C ⋅U m2
WC max
ω C
C⋅ 2U
R
R
2
Q = 2π
= 2π
=π
= r =
=
(10.25)
2π
1
ρ
WG ( T )
G
2
G ⋅ U 2Tr
G ⋅U
ωr
ωr
Dobroć obwodu wyrażona przez stosunek energii ma charakter uniwersalny, wyrażana
przez stosunek impedancji zależy od charakteru połączeń.
(
)
10.6. Rezonans prądów w obwodzie złożonym z gałęzi RL i RC
Rys. 10.9 przedstawia wyidealizowaną gałąź równoległą. W rzeczywistości cewka
indukcyjna zawsze (poza przypadkiem gdy jest zrobiona z materiału nadprzewodzącego) posiada
jakąś rezystancję, w której zachodzi cieplne rozprawszanie energii elektrycznej. Również w gałęzi
z kondensatorem zawsze występuje rezystancja. Jest to rezystancja przewodów łączących
kondensator z resztą obwodu. Powinno to zostać uwzględnione w mniej wyidealizowanym
schemacie zastępczym obwodu. Schemat taki przedstawiono na rys. 10.12.
- 85 -
Rys. 10.12. Obwód równoległy złożony z gałęzi RL i RC
Admitancje zespolone gałęzi równoległych obwodu wynoszą:
R L − jωL
RL
ωL
1
=
−j
=
,
YL =
2
2
2
2
2
R L + jωL R + ( ωL )
R L + ( ωL ) 2
R L + ( ωL )
L
1
1
R+ j
R
1
ω
ω
C
C =
=
+j
YC =
2
2
2
1
R− j
2 + 1 
2 + 1 
2 + 1 
R
R
R






ωC
 ωC 
 ωC 
 ωC 
Wypadkowa admitancja zespolona jest sumą tych admitancji:
Y w =Y L +YC
zatem:

 

1

 


 

RL
R
ωL
ω
C
Yw =
−
+ j
+

2
2 R 2 + ( ωL ) 2 

 R L 2 + ( ωL ) 2
 1    2  1 
L
2
R +

   R +


 ωC 
 ωC   


Rezonans fazowy w obwodzie wystąpi gdy nie będzie przesunięcia fazowego pomiędzy
prądem i napięciem, a więc wtedy gdy część urojona tej admitancji zespolonej (czyli susceptancja
zastępcza obwodu) będzie równa zeru:
1
ωrC
ωr L
−
=0
(10.26)
2 R 2 + ( ω L )2
 1 
L
r

R 2 + 
 ωrC 
Po kilku przekształceniach równania (10.26) otrzymuje się zależność:
L 
L

ω r LC  R 2 −  =  RL 2 − 
(10.26a)
C 
C

Analizując tę zależność rozważa się trzy przypadki - przypadek ogólny i dwa
(wyidealizowane) przypadki szczególne.
Przypadek ogólny występuje gdy:
L
L
R ≠ RL , R ≠
i RL ≠
(co wyłącza obydwa przypadki szczególne)
C
C
Pulsacja rezonansowa ma wtedy wartość:
L
RL 2 −
1
C
ωr =
(10.27)
L
LC R 2 −
C
- 86 -
Zatem wartość pulsacji rezonansowej (i częstotliwości rezonansowej) zależy nie tylko od
pojemności i indukcyjności elementów obwodu ale także od ich rezystancji.
Przypadki szczególne mają miejsce gdy rezystancje obydwu gałęzi są jednakowe:
L
=ρ
1. Gdy: R = R L =
C
Gdy zachodzi ten przypadek równanie (10.26a) jest spełnione niezależnie od wartości pulsacji
(a więc i częstotliwości). Lewa i prawa strona równania są wtedy tożsamościowo równe zeru. Obwód
jest zatem w stanie rezonansu dla każdej częstotliwości.
L
2. Gdy: R = RL ≠
=ρ
C
Dla tego przypadku wzór (10.27) upraszcza się do zależności identycznej z tymi z których
wylicza się pulsację i częstotliwość rezonansow dla przypadków wyidealizowanych gałęzi RLC
i GLC:
ω
1
1
ωr =
fr = r =
2π 2π LC
LC ,
(10.27a)
10.7. Kompensacja mocy biernej
Rzeczywiste odbiorniki występujące w praktyce eksploatacyjnej mają nieomal zawsze
charakter ryzystancyjno-indukcyjny. Takimi odbiornikami są instalacje domowe, a także całe
zasilane energią elektryczną zakłady przemysłowe. Charakter indukcyjny nadają im wchodzące w
skład ich systemów elektroenergetycznym silniki i transformatory. Taki charakter powoduje, że
występuje tu oscylacyjny przepływ energii pomiędzy odbiornikiem a źródłem (por. rozdz. 7.2.).
Ta część energii która bierze udział w tych oscylacjach powoduje przepływ dodatkowego
prądu (tzw. składowej biernej prądu), który nie przenosi do odbiornika użytecznej energii, daje
jednak dodatkowe straty energetyczne związane z przesyłem. Zmusza też do
przewymiarowywania przekrojów przewodów zasilających i do przewymiarowywania mocy
źródła energii.
Temu oscylacyjnemu przepływowi energii można przeciwdziałać dołączając do odbiornika
(indukcyjno-rezystancyjnego) kondensator o odpowiednio dobranej pojemności.
Rys. 10.13. Kompensacja mocy biernej a) schemat układu, b) wykres wskazowy napięcia i prądów
Kondensator jest dołączany równolegle, zatem napięcie na zaciskach odbiornika nie ulega
zmianie, stąd nie ulega zmianie również prąd odbiornika. Prąd ten jest opóźniony w fazie w
stosunku do napięcia o kąt φ , podczas gdy prąd płynący przez kondensator wyprzedza napięcie w
π
. Na rysunku 10.13b. widać, że będący sumą tych dwu prądów prąd wypadkowy
fazie o kąt
2
( iw ( t ) ) ma wartość skuteczną ( I w ) mniejszą od wartości skutecznej prądu odbiornika (I).
- 87 -
Również φw kąt przesunięcia fazowego wypadkowego prądu względem napięcia jest mniejszy od
kąta φ . Zatem wypadkowa moc bierna odbiornika z dołączonym kondensatorem
Qw = UI w sin φw jest mniejsza od mocy biernej odbiornika ( Q = UI w sin φ ). Mówimy że moc
bierna odbiornika (indukcyjna) jest kompensowana mocą bierną (pojemnościową) kondensatora.
Pełna kompensacja mocy biernej występuje wtedy gdy QC = Q . Występuje wtedy rezonans
(równoległy). Wówczas wypadkowa moc bierna układu odbiornik-kondensator jest równa zeru
( Qw = 0 ), zaś prąd wypadkowy jest w fazie z napięciem, zatem występuje rezonans (równoległy).
Wartość skuteczna prądu kondensatora potrzebnego do takiej zupełnej kompensacji mocy biernej
I C 2 = I ⋅ sin φ ,
zatem
pojemność
tego
kondensatora
ma
wartość:
wynosi:
IC 2
BC 2
I ⋅ sin φ
C2 =
= U =
.
ω
ω
U ⋅ω
Rys. 10.14. Prąd wypadkowy w funkcji pojemności kondensatora a) wykres wskazowy b) wykres zależności
Dla pojemności większych obwód przyjmuje charakter pojemnościowy, zaś wartość
skuteczna prądu wypadkowego rośnie - odbiornik został przekompensowany. Jest to
niekorzystne z eksploatacyjnego punktu widzenia obciążanie prądnic odbiornikami pojemnościowymi
powoduje przepięcia zwłaszcza w stanach
dynamicznych.
Stąd
dostarczyciele
energii
elektrycznej stosują takie taryfy, które zachęcają
odbiorców do tego, by wypadkowy charakter
odbiorników był indukcyjny, z niewielkim
współczynnikiem mocy.
Obliczenie
pojemności
kondensatora,
zmniejszającego
przesunięcie
fazowe
prądu
względem napięcia z kąta φ na kąt φw najprościej
Rys. 10.15. Trójkąt mocy przy kompensacja mocy
przeprowadza się korzystając z trójkąta mocy
biernej
pokazanego na rys. 10.15.:
QC
2 Q − Qw P ⋅ tgφ − P ⋅ tgφw
B
P
C= C =U =
=
=
⋅ ( tgφ − tgφw )
ω
ω
ω ⋅U 2
ω ⋅U 2
ω ⋅U 2
(10.28)
W wzorze 10.28. do obliczania mocy biernej na podstawie znajomości mocy czynnej
wykorzystano mnożenie tej mocy przez tangens kąta przesunięcia fazowego. Wyliczanie mocy
biernej na podstawie wartości mocy czynnej i współczynnika mocy Λ = cos φ byłoby nieco
bardziej kłopotliwe. Stąd w rozliczeniach pomiędzy dostarczycielami energii elektrycznej i jej
odbiorcami stosuje się współczynnik mocy definiowany jako tgφ .
- 88 -