2.1. Rezonans

Politechnika Częstochowska
Wydział Elektryczny
Katedra Elektrotechniki
Zakład Elektrotechniki
Laboratorium Elektrotechniki Teoretycznej
Badanie obwodu rezonansowego
szeregowego i równoległego
Częstochowa 2004
Badanie obwodu rezonansowego szeregowego i równoległego
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zbadanie własności szeregowego
rezonansowego złożonego z elementów rzeczywistych RLC.
i
równoległego
obwodu
2. Wiadomości podstawowe
2.1. Rezonans
Rezonans - stan układu fizycznego, w którym pulsacja drgań wymuszonych jest równa
pulsacji drgań swobodnych rozpatrywanego układu. W odniesieniu do obwodów elektrycznych
powyższy warunek rezonansu implikuje następujące równoważne warunki:
- kąt przesunięcia fazowego między napięciem a prądem zasilania jest równy zeru,
- reaktancja wypadkowa jest równa zeru,
- susceptancja wypadkowa jest równa zeru.
Nie są to jednak warunki wystarczające. Obwód zawierający tylko rezystory zawsze spełnia te
warunki, ale rezonans w nim nie zachodzi. Rezonans może zajść tylko wtedy, gdy w danym
obwodzie istnieje możliwość wzbudzenia drgań swobodnych, a to jest możliwe tylko w obwodach
zawierających co najmniej jedną cewkę i co najmniej jeden kondensator.
2.1. Rezonans w obwodzie szeregowym (rezonans napięć)
W szeregowej gałęzi złożonej z idealnych
elementów RLC z rysunku 1 prąd wyraża się
wzorem
I
UR
UL
UC
R
L
C
I
U
1 

R  j  L 

C 

U
Rys. 1. Szeregowa gałąź RLC
Napięcia na poszczególnych elementach są
równe
U R  R I , U L  jL I ,
UC j
1
I
C
Napięcia UL oraz UC są przesunięte w fazie o 180, wobec czego kompensują się one
częściowo lub całkowicie, zależnie od wartości L i 1/C. Aby kompensacja była całkowita,
powinien być spełniony warunek
L 
1
C
Układ znajduje się wtedy w rezonansie napięć, moduł impedancji osiąga minimalną wartość
Z min  R
cos  1,   0
a prąd - maksymalną:
I max 
U
R
Szeregowa gałąź złożona z rzeczywistych elementów RLC może zostać przedstawiona za
pomocą schematu zastępczego z rysunku 2.
Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki
2
Badanie obwodu rezonansowego szeregowego i równoległego
CEWKA
RZECZYWISTA
KONDENSATOR
RZECZYWISTY
C
R
RL
L
G
Rys. 2. Schemat zastępczy rzeczywistej gałęzi RLC
W praktyce konduktancja kondensatora G jest tak mała w porównaniu z jego susceptancją
C, że, nie popełniając większego błędu, można ją pominąć. Dzięki temu układ sprowadza się do
szeregowej gałęzi złożonej z idealnych elementów R+RL, L, C.
Pulsacja, przy której występuje rezonans, a więc maksimum prądu, wynosi
0 

1
, f0  0
2
LC
Rezystancja R + RL nie ma wpływu na częstotliwość rezonansową f0, wpływa jednak na kształt
charakterystyk częstotliwościowych - prądowej i napięciowej, przez które rozumiemy zależności
prądu I oraz napięć UL i UC od częstotliwości (rys. 3)
I
U
R  RL 2  L 

1 

C 
2
U L  LI , U C 
I
C
Prąd osiąga maksymalną wartość dla  = 0, podobnie napięcie UR, natomiast napięcie UL - dla
 = L > 0, a UC dla  = C < 0:
L 
0
1
1
2Q 2
C  0 1
,
1
2Q 2
przy czym Q jest dobrocią układu, określoną w przypadku rezonansu napięć jako
Q
UL
UR

  0
0 L
R  RL

UC
UR

  0
1
 0 C R  RL 
I, UL, UC
UCmax = ULmax
UC0 = UL0
UL
Imax
UC
I
 C 0 L

Rys. 3. Charakterystyki częstotliwościowe szeregowej gałęzi RLC
Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki
3
Badanie obwodu rezonansowego szeregowego i równoległego
Wartości skuteczne napięć na cewce i kondensatorze w stanie rezonansu wynoszą
U L0  U C 0
L
C U  QU

R  RL
Natomiast maksymalne wartości skuteczne są równe
QU
U L max  U C max 
1
1
4Q 2
Wraz ze wzrostem dobroci Q pulsacje L i C zbliżają się do 0, a charakterystyki
częstotliwościowe stają się coraz bardziej strzeliste (rys. 4).
I, UL, UC
UC, Q = 2
UL, Q = 2
UL, Q = 1
UC, Q = 1
I, Q = 2
I, Q = 1
0

Rys. 4. Charakterystyki częstotliwościowe dla różnych dobroci
Dobroć Q może być też wyznaczona z charakterystyki częstotliwościowej prądu I.
W tym celu należy wyznaczyć pasmo przepuszczania prądu. Jako granicę tego pasma przyjmuje się
umownie takie częstotliwości f1 < f0 i f2 > f0, przy których prąd przepuszczany wynosi 1/2 prądu
rezonansowego (rys. 5). Można wykazać, że
Q
f0
f 2  f1
I
I max
1
1
2
f1
f0
f2
f
Rys. 5. Pasmo przepuszczania
Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki
4
Badanie obwodu rezonansowego szeregowego i równoległego
2.3. Rezonans w obwodzie równoległym (rezonans prądów)
Admitancje poszczególnych gałęzi
dwójnika z rysunku 6 są równe
YL 
YC
R  jL
1
 2L
RL  jL RL  L 2
RL
1
1
C


2
1
 1 
2
RC  j
R



C
C
 C 
RC  j
RC
L
C
Rys. 6. Rozpatrywany dwójnik
Całkowita admitancja jest równa YL + YC. Aby zachodził rezonans, część urojona admitancji
musi być równa 0. Prowadzi to do dwóch możliwości:
(1) Jeśli RC2 = RL2 = L/C, to rezonans wystąpi dla każdej pulsacji,
(2) W przeciwnym przypadku
2
0 
L
R  
C 
2
L
2
RC   
C 
2
L
1
LC
przy czym
RL 
L
L
i RC 
C
C
RL 
lub
L
L
i RC 
C
C
Jeśli nierówności te nie są spełnione, to rezonans nie zajdzie dla żadnej pulsacji.
W praktyce często RC = 0 oraz RL << L. Wtedy otrzymuje się
0 
1
LC
a wzór na impedancję zastępczą dwójnika przyjmuje postać
R 
L
1 
L
1  j L 

C
L 
 C  
C
Z

1 
1 


 2 
RL  j L 
RL  jL1  2

 RL  jL1  02 
C 

  LC 
  
RL  jL   j
Analiza powyższego wyrażenia pozwala wyciągnąć następujące wnioski:
a) dla pulsacji  < 0 wyrażenie 1 – 02/2 < 0, wobec czego impedancja ma charakter
rezystancyjno-indukcyjny,
b) w stanie rezonansu ( = 0) impedancja ma charakter czysto rezystancyjny i wynosi
Z   
0
L
 R0
RL C
c) dla pulsacji  > 0 impedancja ma charakter rezystancyjno-pojemnościowy.
Spotyka się obwody, w których rozpatrywany dwójnik podłączony jest do źródła zasilania
szeregowo przez rezystancję Ri (rys. 7).
Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki
5
Badanie obwodu rezonansowego szeregowego i równoległego
I
RL
L
Ri
Ug
U
C
Rys. 7.
Zależnie od wzajemnego stosunku Ri/Z wskaźnikiem rezonansu może być bądź zachowanie
się prądu zasilającego obwód (Ri << Z), bądź napięcia U na zaciskach obwodu równoległego
(Ri >> Z). Poniżej rozpatrzono przypadek Ri >> Z. Wtedy prąd pobierany z generatora jest
w przybliżeniu stały i równy
Ug
I
 const
Ri
a napięcie U na zaciskach dwójnika wynosi
U  ZI  Z
Ug Ug

Ri
Ri
1
 RL
  02 
C   j 1  2 
  
L
Zależność modułu U od pulsacji przedstawiono na rysunku 8.
U
U max
1
1
2
f
f1 f0 f2
f
Rys. 8. Charakterystyka częstotliwościowa rozpatrywanego układu
W stanie rezonansu ( = 0) wartość U jest największa i wynosi
U max 
Ug
Ri
R0
Dobroć układu rezonansowego definiuje się w ogólności jako pomnożony przez 2 stosunek
maksymalnej wartości energii zgromadzonej w polu elektrycznym lub magnetycznym (są one
równe) do energii traconej podczas jednego okresu drgań, czyli w tym przypadku
2
1 2
LI Lm
2 LI L2
2
Q  2

 0
1
T R0 I 2
2
R0 I m T
2
 U 
1

L
  0 L    0 L  R0
2
1
0L
U 
R0  
R0
 R0 
Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki
6
Badanie obwodu rezonansowego szeregowego i równoległego
gdzie skorzystano z tego, że IL  U/0L (gdyż RL << 0L). Dobroć całego układu jest równa
f0
f 2  f1
Qc 
gdzie f1, f2 - częstotliwości graniczne (rys. 8). Można pokazać, że prawdziwa jest zależność
Qc  Q
Ri
R0  Ri
3. Przebieg ćwiczenia
3.1. Wyznaczanie krzywej rezonansowej prądu w układzie szeregowym
-
Zbudować układ wg schematu z rysunku 9 (woltomierz V zwykle znajduje się w generatorze
i nie trzeba go dołączać, woltomierz VR powinien być cyfrowy),
C
L, RL
V
Generator
R
VR
Rys. 9.
-
Zanotować R = ........., L = .........., RL = ..........., C = .............,
Ustawić napięcie generatora na kilka woltów (np. U = 5 V),
Nastawić częstotliwość generatora na taką częstotliwość, aby woltomierz UR wskazywał
wartość maksymalną, co odpowiada również maksimum prądu,
Zanotować wskazanie woltomierza UR oraz częstotliwość f0 (tabela 1),
Wykonać 10 pomiarów dla częstotliwości mniejszych od f0 oraz 10 pomiarów dla częstotliwości
większych od f0 (w pobliżu f0 zagęścić punkty pomiarowe).
Tabela 1
Lp.
1
2
3
4
....
19
20
21
f, Hz
Pomiary
UR, V
Obliczenia I, mA
Wzory do obliczeń:
I
UR
R
3.2. Wyznaczanie charakterystyki częstotliwościowej napięcia na cewce
-
Woltomierz VR z rysunku 9 przepiąć na cewkę,
Pomiary wykonać jak poprzednio (tabela 2).
Tabela 2
Lp.
f, Hz
UL, V
1
2
3
4
....
Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki
19
20
21
7
Badanie obwodu rezonansowego szeregowego i równoległego
3.3. Wyznaczanie charakterystyki częstotliwościowej napięcia na kondensatorze
-
Woltomierz VR z rysunku 9 przepiąć na kondensator,
Pomiary wykonać jak poprzednio (tabela 3).
Tabela 3
Lp.
f, Hz
UC, V
1
2
3
4
....
19
20
21
19
20
21
3.4. Wyznaczanie krzywej rezonansowej napięcia
-
Zbudować układ wg schematu z rysunku 10
Ri
L
Vg
Generator
RL
V
C
Rys. 10.
-
Ustawić Ri = 10 k
Na wyjściu generatora ustawić napięcie Ug = .........,
Pomiary wykonać jak poprzednio (tabela 4).
Tabela 4
Lp.
f, Hz
U, V
1
2
3
4
....
3.5. Wyznaczanie rezystancji rezonansowej R0
-
Schemat połączeń jak w punkcie 3.4.
Nastawić częstotliwość generatora na częstotliwość rezonansową f0 układu równoległego,
Na wyjściu generatora ustawić kolejno napięcie Ug o trzech różnych wartościach. Dla każdego
napięcia Ug odczytać wartość napięcia U. Wyniki zanotować (tabela 5).
Tabela 5
Pomiary
Lp.
Ug
V
Umax
V
Obliczenia
R0(pomiary)
R0(teoria)


1
2
3
wartość średnia R0
Wzory do obliczeń:
R0pomiary   Ri
U max
L
, R0teoria 
Ug
RL C
Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki
8
Badanie obwodu rezonansowego szeregowego i równoległego
4. Opracowanie sprawozdania
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Cel ćwiczenia.
Schematy pomiarowe i tabele wyników.
Parametry i dane znamionowe zastosowanych przyrządów.
Przykłady obliczeń poszczególnych wartości podanych w tabelach.
Wykresy charakterystyk częstotliwościowych
Wyznaczyć pasmo przepuszczania szeregowego układu rezonansowego f2 – f1. Wyznaczyć
dobroć układu szeregowego analitycznie i w sposób przybliżony - wartości porównać.
Wyznaczyć pasmo przenoszenia dla układu równoległego oraz R0.
Wnioski
5. Pytania sprawdzające
1.
2.
3.
4.
5.
Co to jest rezonans?
Rezonans związany jest z drganiami. Co drga w układach elektrycznych?
Czym charakteryzuje się rezonans w układach elektrycznych?
Jak można doprowadzić do rezonansu w szeregowej gałęzi RLC?
Jakie warunki muszą być spełnione, aby rezonans był możliwy w dwójniku zbudowanym
z równolegle połączonych gałęzi RL i RC?
6. Jakie jest zastosowanie rezonansu?
7. Jakie są szkodliwe efekty występowania zjawiska rezonansu w układach elektrycznych oraz
mechanicznych?
8. Co to jest dobroć i rezystancja falowa obwodu rezonansowego?
9. Narysować wykresy wskazowe dla rezonansu w szeregowej gałęzi RLC oraz w równoległym
dwójniku RLC.
10. Co to są przepięcia i przetężenia? Kiedy mogą zachodzić?
Literatura
[1] Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - teoria obwodów elektrycznych, WNT,
W-wa 1986, ss. 24-35, 143-160.
[2] Cholewicki T.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I, WNT, W-wa 1970, ss. 401-448.
[3] Krakowski M.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - obwody liniowe i nieliniowe, PWN, W-wa
1991, ss. 168-186.
Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki
9