Błędy związane z obliczeniami numerycznymi, konwersje liczb

PWSZ w Głogowie
Laboratorium Metod Numerycznych i Statystyki
Błędy związane z obliczeniami numerycznymi, konwersje liczb
Zakres materiału:
• Algorytmy konwersji liczb pomiędzy systemami zapisu o różnych postawach
• Maszynowa reprezentacja liczb rzeczywistych i całkowitych – format zmiennoprzecinkowy (pojęcie mantysy, cechy, zakresu oraz precyzji) i stałoprzecinkowy
• Algorytm konwersji liczby do postaci maszynowej znormalizowanej stało- i zmiennoprzecinkowej
• Dokładność (precyzja) maszyny cyfrowej (ε)
• Definicja błędu bezwzględnego i względnego
• Pojęcie błędu zaokrąglenia (roundoff ) oraz obcięcia (truncation)
• Pojęcie niedomiaru i nadmiaru zmiennoprzecinkowego (underflow, overflow )
• Pojęcie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i Maclaurina
Zadania:
Uwaga - w celu rozwiązania zadań 1–8 należy napisać funkcje Matlaba implementujące algorytmy konwersji,
pomocne mogą być standardowe funkcje konwertujące Matlaba: dec2bin, dec2base, dec2hex, bin2dec, hex2dec,
base2dec.
Uwaga 2 - dla uproszczenia przyjęto konwencję przechowywania liczby maszynowej w formacie binarnym zmiennoprzecinkowym niezgodnym z normą IEEE 754. Format przyjęty w instrukcji ma postać: (zl)mmmm(zc)ccc,
gdzie: zl – bit znaku liczby, m – bity mantysy, zc – bit znaku cechy, c – bity cechy. Zarówno mantysa jak i cecha są zapisane w naturalnym kodzie dwójkowym (NKD) i przechowywane w kolejności od najstarszego do
najmłodszego bitu (od lewej do prawej).
1. Zapisać w systemie dwójkowym, ósemkowym (oktalnym) i szesnastkowym (heksadecymalnym) liczby systemu dziesiętnego:
a) 24,
b) 232,
c) 1025,
d) 46 − 1,
e)125,625,
f) 0, 325.
2. Zmienić zapis z dziesiętnego na ósemkowy i szesnastkowy:
a) 16,
b) 157,
c) 2044.
3. Dokonać następujących konwersji:
a) (101101110110)2 −→ (?)8 , b) (110101010110)2 −→ (?)16 ,
d) (F2A)16 −→ (?)8 .
4. Zapisać dziesiętnie:
a) (100111)2 , b) (111001001101)2 ,
h) (77, 44)8 , i) (111101, 101)2 .
c) (77)8 ,
d) (263)8 ,
c) (2716)8 −→ (?)16 ,
e) (7F)16 ,
f) (F8FE)16 ,
g) (1A6, E2)16 ,
5. Przy założeniu, że zapisujemy liczbę w pamięci operacyjnej binarnie w zapisie stałopozycyjnym ze znakiem,
podać zakres liczb, które możemy przedstawić na 10 bitach. Jaki będzie zakres dla zapisu zmiennopozycyjnego przy założeniu, że mantysa ma 5 bitów?
6. Przedstawić liczbę −245, 25 w zapisie stałopozycyjnym, a następnie zmiennnopozycyjnym przy założeniu,
że bazą systemu jest liczba 2. Ile wynosi minimalna liczba bitów potrzebna do przechowania tej liczby w
pamięci?
7. Jaką liczbę dziesiętną reprezentują liczby maszynowe (t=4, w=2, b=2, gdzie b - baza, t- liczba cyfr
mantysy, w - liczba cyfr cechy bez znaku):
a) (1)1101(0)10, b) (0)1001(0)00, c) (0)1111(0)11, d) (0)1000(1)11, e) (1)1001(1)01,
8. W wyniku wystąpienia zjawiska zaokrąglania liczba 0, 2 została zapisana w pamięci maszynowej jako
0, 1875. Wyznaczyć popełniony błąd bezwzględny i względny. Czy można oszacować na podstawie policzonych błędów dokładność reprezentacji zmiennoprzecinkowej użytej maszyny cyfrowej (ilość bitów mantysy)?
1
9. Spontaniczna generacja cyfr nieznaczących
Należy wykonać ciąg poleceń Matlaba:
>>
>>
>>
>>
>>
format long e
2.6 + 0.2
ans + 0.2
ans + 0.2
2.6 + 0.6
Wyjaśnić przyczynę pojawienia się błędnej cyfry na najmniej znaczącym miejscu.
10. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa
Należy porównać efekty wykonania dwóch ciągów poleceń Matlaba:
>> format long e
>> u=29/13
>> v=29-13*u
oraz
>> x=29/1300
>> y=29-1300*x
Z czego wynika różnica w wyniku dla pierwszego i drugiego przykładu?
Następnie wprowadzić i zinterpretować wyniki wykonania następujących poleceń Matlaba (jaka jest przyczyna błędu?):
>> maks=realmax
>> maks=2*maks
>> minim=realmin
>>minim=minim/1e16
Czemu można wykonać bez wystąpienia błędu niedomiaru i jak zinterpretować wynik wykonania operacji:
>>realmin/1e14
>>realmin/1e15
11. Precyzja maszynowa
Wartość popełnianego błędu zaokrąglenia jest limitowana dostępną dla danej maszyny wartością precyzji
ε, definowanej jako taka liczba ε, dla której ∀ 1 + δ = 1. W programie Matlab wartość ta jest dostępna
δ<ε
w zmiennej predefiniowanej
>>eps
Wartość tę można również znaleźć iteracyjnie w sposób przybliżony, korzystając z definicji - startujemy
od pewnej wartości poszukiwanej zmiennej, np. epsilon = 1, a następnie dzielimy ją na pół tak długo,
aż po dodaniu do jedności wynik nie zmieni się (tzn 1 + epsilon = 1). Należy napisać skrypt Matlaba
wyznaczający precyzję maszynową wykonywanych obliczeń.
12. Błąd obcięcia, błąd względny i bezwzględny
Rozwinięcie funkcji sin(x) w szereg Maclaurina ma postać:
sin(x) = x −
x5
x3
+
+ ...
3!
5!
Dla małych wartości zmiennej x (x < 1) można aproksymować wartość funkcji sin(x) ≈ x (obcięcie rozwinięcia w szereg do pierwszego wyrazu). Należy napisać skrypt Matlaba rysujący wykres błędu względnego
i bezwzględnego popełnianego podczas takiej aproksymacji w zakresie x ∈ [−0.3 .. 0.3] przy założeniu, że
bierzemy pod uwagę odpowiednio pierwsze 1, 2 i 3 człony rozwinięcia funkcji w szereg. Wskazówka – błąd
bezwzględny definiujemy jako ∆ = α − α̂, gdzie: α̂ – wartość obliczona, α – wartość rzeczywista; błąd
względny definiujemy jako δ = ∆
α . Dla obcięcia rozwinięcia funkcji sin(x) do pierwszego wyrazu:
∆ = sin(x) − x
δ=
2
sin(x) − x
x
=1−
sin(x)
sin(x)