Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki

Układ trójkąt - gwiazda
Układy sterowania i
regulacji
Połączenia rezystorów
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Połączenia specjalne
2

Istnieją układy rezystorów, w którym brak jest
połączeń szeregowych i równoległych, czyli nie
da się ich zredukować za pomocą poznanych
dotychczas wzorów.

Wtedy stosuje się tzw. zamianę „trójkątgwiazda” lub „gwiazda-trójkąt”.
Połączenia rezystorów
Połączenie w gwiazdę i w trójkąt
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki


Równoważność obydwu połączeń
wymaga, aby ich rezystancja
zastępcza względem każdej pary
zacisków AB, BC i CA była jednakowa.
Stąd mamy układ równań
R1 ( R2  R3 )
RAB :
 r2  r3
R1  R2  R3
R2 ( R3  R1 )
RBC :
 r3  r1
R1  R2  R3
3
R3 ( R1  R2 )
RCA :
 r1  r2
R1  R2  R3
C
Trójkąt ()
R3
A
R2
R1
B
C
Gwiazda (Y)
r1
r2
A
r3
B
Połączenia rezystorów
Zamiana trójkąt-gwiazda

C
Rozwiązując powyższy układ równań ze
względu na r1, r2 i r3, dostajemy wzory na
zamianę -Y
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
R2 R3
r1 
R1  R2  R3
R3 R1
r2 
R1  R2  R3
R3
A
R1
4
r1
Jeżeli R1 = R2 = R3 = R, to
RΔ
r1  r2  r3  rY 
3
B
C
R1R2
r3 
R1  R2  R3

R2
r2
A
r3
B
Połączenia rezystorów
Zamiana gwiazda-trójkąt

Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
R1  r2  r3 
R3  r1  r2 
5
r1
r2 r3
r1
r3r1
R2  r3  r1 
r2

C
Rozwiązując wcześniejszy układ równań
ze względu na R1, R2 i R3, dostajemy
wzory na zamianę Y-
r2
A
B
C
r1r2
r3
R3
Jeżeli r1 = r2 = r3 = rY, to
R1  R2  R3  RΔ  3rY
r3
A
R2
R1
B
Połączenia rezystorów
Przykład – mostek
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
Obliczyć rezystancję zastępczą RAB.
Wartości rezystancji w omach.
→Y
40
A
16
B
10
50
10  40
4
40  50  10
40
16
25
16
4
A
50
40  50
 20
40  50  10
6
B
10
A
25
50 10
5
40  50  10
20
B
5
25
RAB  20  (4  16) || (5  25)  20  20 || 30 
 20 
20  30
 20  12  32 Ω
20  30
Wybrane struktury obwodowe
5
Dzielnik napięcia

Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Dwa rezystory połączone szeregowo
stanowią tzw. dzielnik napięcia.
Z zależności podanych obok wynika, że:
–
U1  R1I
7
U 2  R2 I
U1
R2
U2
Prawo Ohma
U  U1  U 2  ( R1  R2 ) I
Napięcia na rezystorach połączonych
szeregowo mają się do napięcia zasilania tak
jak ich rezystancje do rezystancji zastępczej
R1
U1 
U,
R1  R2
R1
U
Napięcia na rezystorach połączonych
szeregowo rozkładają się proporcjonalnie do
wartości ich rezystancji
U1 R1

U 2 R2
–
I
R2
U2 
U
R1  R2
II prawo
Kirchhoffa
Dzielnik napięcia i dzielnik prądu
Dzielnik prądu


Dwa rezystory połączone równolegle stanowią
tzw. dzielnik prądu.
Z zależności podanych obok wynika, że:
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
–
Prądy płynące przez rezystory połączone
równolegle rozpływają się odwrotnie
proporcjonalnie do wartości ich rezystancji
I1 G1 R2


I 2 G2 R1
–
U
I1
I2
R1
R2
I1 
U
 G1U
R1
I2 
U
 G2U
R2
Prądy płynące przez rezystory połączone
równolegle mają się tak do prądu całkowitego jak I  I1  I 2  (G1  G2 )U
ich konduktancje do konduktancji zastępczej
I1 
8
I
G1
R2
I
I,
G1  G2
R1  R2
I2 
G2
R1
I
I
G1  G2
R1  R2
Dzielnik napięcia i dzielnik prądu
Przykład
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki

Jaki prąd płynie przez rezystor
R3 = 3 Ω, jeżeli R1 = 2 Ω, R2 = 6 Ω,
E = 12 V?
R2 R3
63
R23  R2 || R3 

2Ω
R2  R3 6  3
E
12
I1 

3A
R1  R23 2  2
R2
6
I3 
I1 
32A
R2  R3
3 6
9
R1
R2
E
I1
E
R1
R3
I3
R2
R3
Zależności energetyczne
6
Moc wydzielana na rezystancji

Przypomnienie: moc oddawana na odcinku, przez
który pływnie prąd I i pomiędzy końcami którego
panuje napięcie U, wynosi
Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki
P  UI

Za pomocą prawa Ohma (U = RI, I = U/R) możemy
ten wzór przekształcić do
2
U
P  RI 2 
R

10
Moc ta jest zawsze nieujemna, wskazując, że rezystor
pobiera energię elektryczną z obwodu i rozprasza ją
w innej formie (typowo w postaci ciepła).
I
U
R