Metoda prądów oczkowych I
advertisement
Metody analizy obwodów elektrycznych Wykłady z podstaw elektrotechniki i elektroniki Paweł Jabłoński Na tym wykładzie Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Cel: poznanie podstawowych metod analizy obwodów elektrycznych. Zakres: Metoda równań Kirchhoffa Metoda prądów oczkowych Metoda potencjałów węzłowych 2 Przypomnienie 1 Liczba oczek, gałęzi i węzłów Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Pomiędzy liczbą oczek, gałęzi i węzłów zachodzi zależność gałąź węzeł oczko g ( w 1) o g − liczba gałęzi, o – liczba oczek, w − liczba węzłów. 3 W przykładowym obwodzie pokazanym obok g = 6, o = 3, w = 4. elementy 6 (4 1) 3 Przypomnienie Prawo Ohma Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Natężenie prądu płynącego przez przewodnik w stałej temperaturze jest wprost proporcjonalne do napięcia występującego na przewodniku i odwrotnie proporcjonalne do rezystancji tego przewodnika. U I R 4 I R U Przypomnienie I prawo Kirchhoffa (prądowe) Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Suma algebraiczna prądów w gałęziach schodzących się w węźle jest równa zeru (Ii ) 0 I1 I5 I2 I4 I3 i Alternatywnie Suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów z niego wypływających (I ) (I ) 5 I1 I 2 I 3 I 4 I 5 0 I 2 I 4 I 5 I1 I 3 Przypomnienie II prawo Kirchhoffa (napięciowe) Suma algebraiczna wszystkich napięć w oczku jest równa zeru Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki (U , E) 0 U2 E1 U3 Przy sumowaniu napięć przyjmujemy U1 U4 pewien kierunek obiegu oczka i napięcia zastrzałkowane zgodnie z tym kierunkiem bierzemy ze znakiem plus, a E2 napięcia zastrzałkowane przeciwnie bierzemy ze znakiem minus. E1 U 2 U 3 U 4 E2 U1 0 E1 R2 I 2 R3 I 3 R4 I 3 E2 R1I1 0 6 Metoda równań Kirchhoffa 2 Metoda równań Kirchhoffa Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 7 Metoda równań Kirchhoffa wywodzi się bezpośrednio z praw Kirchhoffa i w związku z tym jest fundamentalną metodą rozwiązywania obwodów elektrycznych. Ponieważ poszukujemy prądów gałęziowych, których jest g, należy ułożyć właśnie tyle niezależnych równań. Z zależności g = (w − 1) + o wynika, że możemy do tego celu wykorzystać w – 1 równań ułożonych dla w – 1 węzłów wg pierwszego prawa Kirchhoffa oraz o równań ułożonych dla wszystkich oczek wg drugiego prawa Kirchhoffa. Metoda równań Kirchhoffa Tok postępowania 1. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 2. 3. 8 Strzałkujemy dowolnie prądy gałęziowe. Strzałkujemy napięcia na rezystorach przeciwnie do prądu. Strzałkujemy napięcia na źródłach prądowych (najlepiej zgodnie z prądem). E1 R2 I 2 I1 I3 R1 R3 U J5 I4 I5 I6 E4 E6 J5 R6 Metoda równań Kirchhoffa Tok postępowania – c.d. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 4. Pomijając jeden dowolnie obrany węzeł, układamy dla pozostałych równania wg pierwszego prawa Kirchhoffa. E1 R2 I 2 I1 I3 R1 R3 U J5 I4 I5 I6 Uwaga: jeżeli w obwodzie występują źródła prądu, to prąd gałęziowy jest znany i można od razu zamiast niego używać prądu źródłowego. 9 E4 E6 J5 I1 I 2 I 3 0 I 4 I3 J 5 0 J5 I2 I6 0 R6 I5 J5 Metoda równań Kirchhoffa Tok postępowania – c.d. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 5. Dla wszystkich oczek układamy równania wg drugiego prawa Kirchhoffa. E1 R2 I 2 I1 I3 R1 R3 U J5 I4 I5 I6 E4 E6 J5 R6 E1 R3 I 3 E4 R1I1 0 R3 I 3 R2 I 2 U J 5 0 10 E4 U J 5 R6 I 6 E6 0 Metoda równań Kirchhoffa Tok postępowania – c.d. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 6. Powstały układ równań rozwiązujemy ze względu na niewiadome (prądy gałęziowe i napięcia na źródłach prądowych). I1 I 2 I 3 0 I I J 0 5 4 3 J 5 I 2 I 6 0 E1 R3 I 3 E4 R1I1 0 R3 I 3 R2 I 2 U J 5 0 E4 U J 5 R6 I 6 E6 0 I1 , I 2 , I 3 , I 4 , U J 5 , I 6 11 Metoda równań Kirchhoffa Przykład Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Wyznaczyć rozpływ prądów metodą równań Kirchhoffa. 1Ω 18 V 12 2Ω 3Ω 2A Metoda równań Kirchhoffa Przykład – c.d. (układanie równań) I1 1 Ω I2 2 A Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki I1 2 I 3 0 18 1 I1 3 I 3 0 3 I 2 2 U 0 J 3 13 2Ω I2 I3 18 V 3Ω UJ 2A Metoda równań Kirchhoffa Przykład – c.d. (rozwiązywanie) I1 1 Ω I2 2 A Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki I1 2 I 3 0 18 1 I1 3 I 3 0 3 I 2 2 U 0 J 3 I 3 I1 2 3I 3 I1 18 I2 I3 18 V () : 4 I 3 20 3Ω I1 I 3 2 5 2 3 A U J 3 I3 2 2 3 5 2 2 19 V 14 2Ω I3 UJ 20 5A 4 2A Metoda prądów oczkowych 3 Prądy oczkowe i gałęziowe Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 15 Prądem oczkowym nazywamy umyślony prąd zamykający się w obrębie oczka. Prąd gałęziowy jest wypadkową prądów oczkowych płynących w danej gałęzi. Prądy oczkowe numerujemy indeksami rzymskimi I, II, III, IV, …, a prądy gałęziowe – arabskimi 1, 2, 3, .... W metodzie oczkowej równania układa się tylko dla oczek, a niewiadomymi są prądy oczkowe. I1=II I2=III III II I3=II−III I4=II−IIII I5=III−IIII IIII I6=IIII Metoda prądów oczkowych Strzałkowanie prądów oczkowych Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 16 Prądy oczkowe można strzałkować dowolnie, ale wtedy układanie równań niepotrzebnie się komplikuje. Ponieważ prądy oczkowe są tworami fikcyjnymi, mającymi jedynie znaczenie pomocnicze, najlepiej jest zastrzałkować je jednakowo w całym obwodzie (wszystkie albo w prawo, albo w lewo). Jednakowe zastrzałkowanie ułatwia układanie równań. III R2 E1 II R3 IIII R1 IIV R4 E2 IV Metoda prądów oczkowych Rezystancja własna i wspólna Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Rezystancją własną Rk,k oczka k nazywamy sumę rezystancji w oczku, np. III R2 RIII,III R1 R2 R3 R4 E1 II 17 Rezystancję wspólną Rk,l oczek k i l nazywamy sumę rezystancji w gałęzi dzielącej oczka k i l, np. RIII,I R1 RIII,II R2 RIII,IV R3 R4 RIII,V 0 R3 IIII R1 IIV R4 E2 IV Metoda prądów oczkowych Napięcie źródłowe oczka Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Napięcie źródłowe oczka k oznaczamy Ek i nazywamy sumę algebraiczną napięć źródłowych w oczku. W sumie tej poszczególne napięcia bierzemy ze znakiem plus, jeżeli są zastrzałkowane zgodnie ze zwrotem prądu oczkowego, a ze znakiem minus, gdy przeciwnie, np. EIII E1 E2 18 III R2 E1 II R3 IIII R1 IIV R4 E2 IV Metoda prądów oczkowych Równanie oczkowe Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Przy założeniu, że wszystkie prądy oczkowe zastrzałkowano jednakowo, równanie dla k-tego oczka ma postać III R2 E1 II Rk ,k I k Rk ,l I l Ek l R3 IIII R1 IIV R4 E2 IV ( R1 R2 R3 R4 ) I III R1I I R2 I II ( R2 R3 ) I IV E1 E2 19 Metoda prądów oczkowych Wyprowadzenie równania oczkowego Zastrzałkujmy dowolnie prądy gałęziowe i ułóżmy dla oczka równanie wg drugiego prawa Kirchhoffa: Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki E1 R2 I 2 R3 I 3 R4 I 3 E2 R1I1 0 I2 R2 E1 II Prądy gałęziowe wyrażamy przez oczkowe: I1 I III I I III I 2 I III I II I1 IIII R1 I4 I 3 I IV I III R3 I3 R4 E2 Po podstawieniu i uporządkowaniu IV ( R1 R2 R3 R4 ) I III R1 I I R2 I II ( R3 R4 ) I IV E1 E2 20 RIII, III RIII, I RIII, II RIII, IV EIII IIV Metoda prądów oczkowych Tok postępowania 1. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 2. Strzałkujemy jednakowo wszystkie prądy oczkowe. Dla każdego oczka układamy równanie oczkowe. E1 R1 II E4 Uwaga: w napięciu źródłowym oczek uwzględniamy również źródła prądowe, przy czym napięcia na nich są na razie niewiadome. 21 R2 I R3 U II J5 IIII E6 J5 R6 ( R1 R3 ) I I R3 I II E1 E4 ( R2 R3 ) I II R3 I I U J 5 R I E U E 4 J5 6 6 III Metoda prądów oczkowych Tok postępowania – c.d. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 3. Dla każdego źródła prądowego (jeżeli takie są w obwodzie) układamy równanie wiążące prąd źródłowy z prądami oczkowymi. E1 R1 II E4 R2 I R3 U II J5 IIII E6 J5 J 5 I III I II 22 R6 Metoda prądów oczkowych Tok postępowania – c.d. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 4. Powstały układ równań rozwiązujemy ze względu na prądy oczkowe i napięcia na źródłach prądowych. ( R1 R3 ) I I R3 I II E1 E4 ( R R ) I R I U 2 3 II 3 I J5 R6 I III E4 U J 5 E6 J 5 I III I II 23 I I , I II , I III, U J 5 E1 R1 II E4 R2 I R3 U II J5 IIII E6 J5 R6 Metoda prądów oczkowych Tok postępowania – c.d. 5. E1 Wyznaczamy prądy gałęziowe. I3 II Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki R1 I1 I I I 2 I II I 3 I I I II I 4 I III I I I5 J5 24 R2 I 2 I1 I 6 I III I R3 U II J5 I4 I5 E4 IIII E6 I6 J5 R6 Metoda prądów oczkowych Przykład Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Wyznaczyć rozpływ prądów metodą oczkową. 1Ω 18 V 25 2Ω 3Ω 2A Metoda prądów oczkowych Przykład – c.d. (układanie równań) I1 1 Ω I2 2 A Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki (1 3) I I 3I II 18 (2 5) I II 3I I U J I 2 II 26 2Ω I2 I3 18 V II 3Ω III UJ 2A Metoda prądów oczkowych Przykład – c.d. (rozwiązywanie) I1 1 Ω I2 2 A Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki I2 I3 (1 3) I I 3I II 18 (2 5) I II 3I I U J I 2 II 27 2Ω 18 V II 3Ω III UJ 2A (1 3) I I 3I II 18 I II 2 4 I I 3 (2) 18 (2 3) I II 3I I U J U J 3 3 5 (2) 9 10 19 V II 3 A Metoda prądów oczkowych Przykład – c.d. (prądy gałęziowe) I1 1 Ω I2 2 A Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki I2 I3 (1 3) I I 3I II 18 (2 3) I II 3I I U J I 2 II 28 2Ω 18 V II 3Ω III UJ 2A (1 3) I I 3I II 18 I II 2 4 I I 3 (2) 18 (2 3) I II 3I I U J U J 3 3 5 (2) 9 10 19 V I1 I I 3 A I2 2 A II 3 A I3 I I I II 3 (2) 5 A Metoda potencjałów węzłowych 4 Potencjały węzłowe Przypomnienie: napięcie UAB między dwoma punktami A i B jest różnicą ich potencjałów A Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki U AB VA VB 29 Każdy punkt w obwodzie ma pewien potencjał, a w szczególności – każdy węzeł ma pewien potencjał. Węzły numerujemy wielkimi literami łacińskimi A, B, C, … . W metodzie potencjałów węzłowych równania układa się tylko dla węzłów, a niewiadomymi są potencjały węzłowe. B C D Metoda potencjałów węzłowych Potencjały a rozpływ prądów Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie elektrycznym nie zależy od bezwzględnej wartości potencjałów, lecz jedynie od ich różnic. A 1020 V B 1000 V 30 C 1010 V A 20 V 1030 V D B 0V C 10 V 30 V D Metoda potencjałów węzłowych Węzeł odniesienia Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 31 WNIOSEK: Jednemu dowolnie obranemu punktowi obwodu można przypisać zupełnie dowolny potencjał (potencjały pozostałych węzłów i punktów będą określone przez napięcia na elementach). Węzeł taki nazywamy węzłem odniesienia. Potencjał węzła odniesienia najwygodniej jest przyjąć równy zeru, gdyż uproszcza to równania. Na schemacie węzeł odniesienia oznacza się symbolem uziemienia. A B C D Metoda potencjałów węzłowych Konduktancja gałęzi Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 32 Przypomnienie: rezystancja wewnętrzna idealnego źródła napięciowego wynosi zero, a idealnego źródła prądowego – nieskończoność. A Konduktancją GK,L gałęzi łączącej węzły K i L nazywamy konduktancję tej gałęzi po odłączeniu jej od innych gałęzi oraz po zastąpieniu źródeł ich rezystancjami wewnętrznymi, np. 1 1 GCA GCB GCD 0 R3 R1 R2 B R1 R2 R3 J5 D C E4 R4 E GCE 1 R4 Metoda potencjałów węzłowych Prąd źródłowy węzła B Prądem źródłowym węzła nazywać będziemy wyrażenie Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki I K ( E K , L GK , L , J K , L ) R1 R2 L 33 gdzie EK,L oznacza napięcie źródłowe A źródła napięciowego w gałęzi K-L, a JK,L oznacza prąd źródłowy źródła prądowego w gałęzi K-L. Wielkości te bierzemy ze znakiem plus, gdy są strzałka EK,L lub JK,L zwrócona jest do węzła, a minus – w przeciwnym razie, np. E4 IC J5 R4 R3 J5 D C E4 R4 E Metoda potencjałów węzłowych Równanie potencjałów węzłowych B Równanie węzłowe dla węzła K ma postać R1 Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki VK GK , L GK , LVL I K L L R2 A R3 D C E4 34 J5 1 1 1 1 VC V A 0 R4 R4 R3 R3 R1 R2 E 1 1 1 VB 0 VD VE E 4 J5 R1 R2 R4 R4 Metoda potencjałów węzłowych Wyprowadzenie równania węzłowego Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki I1 I 3 J 5 I 4 0 Z prawa Ohma prądy wyrażamy przez napięcia, a te przez różnice potencjałów I1 U12 1 (VB VC ) R1 R2 R1 R2 I3 U3 1 (VC V A ) R3 R3 U E4 U 1 I 4 4 EC (VE VC E4 ) R4 R4 R4 35 B Strzałkujemy prądy gałęziowe i układamy dla węzła C równanie wg I prawa Kirchhoffa Po wstawieniu i uporządkowaniu R1 U12=UBC A R3 R2 I1 U3=UCA I3 D C I4 E4 R4 J5 UEC U4 E 1 1 1 1 1 1 1 0 VC VA VB VE E4 J5 R R R R R R R R R 1 2 4 3 1 2 4 4 3 Metoda potencjałów węzłowych Tok postępowania 1. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 2. 3. 36 Oznaczamy wszystkie węzły. Jeden z węzłów obieramy za węzeł odniesienia i przypisujemy mu potencjał 0 V. Dla każdego z pozostałych węzłów układamy równanie węzłowe. Uwaga: w prądzie źródłowym węzła uwzględniamy również źródła napięcia, przy czym prądy przez nie płynące są na razie niewiadome. E1 R2 A R1 R3 B C D I4 E4 E6 J5 ( 1 1 1 )V A 1 VC 1 VD R3 R2 R1 R3 R2 1 1 ( ) V R3 C R3 V A I 4 J 5 1 1 1 1 ( R2 R6 )VD R2 V A J 5 R6 E6 R6 1 R1 E1 Metoda potencjałów węzłowych Tok postępowania – c.d. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 4. Jeżeli istnieją gałęzie o zerowej rezystancji (zawierające tylko idealne źródła napięcia), to układamy dla nich równania wiążące potencjały ich końców. E1 R2 A R1 R3 B C D I4 E4 E6 J5 VC VB E4 E4 0 37 R6 Metoda potencjałów węzłowych Tok postępowania – c.d. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 5. Układ równań rozwiązujemy ze względu na potencjały węzłowe oraz prądy w gałęziach o zerowej konduktancji. ( R1 1 1 R3 1 )V A R2 1 V R3 C 1 R2 VD ( R1 )VC R1 V A I E 4 J 5 3 3 ( R12 R16 )VD R12 V A J 5 R16 E6 VC E4 38 V A , VC , VD , I 4 1 R1 E1 R2 A R1 E1 (VB 0, VC E4 ) R3 B C D I4 E4 E6 J5 R6 Metoda potencjałów węzłowych Tok postępowania – c.d. Strzałkujemy i wyznaczamy prądy gałęziowe E1 V A R1I1 E1 V A I1 R1 E1 Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 6. R2 I 2 V A VD I 3 I1 I 2 V A VD I2 R2 V A VC R3 I5 J 5 39 I6 I 2 I5 E6 VD R6 I1 R2 I 2 A I3 R1 R3 B I5 C I4 E4 E6 J5 D R6 I6 Metoda potencjałów węzłowych Przykład Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Wyznaczyć rozpływ prądów metodą potencjałów węzłowych. 1Ω 18 V 40 2Ω 3Ω 2A Metoda potencjałów węzłowych Przykład – c.d. (układanie równań) I2 2 A Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 1 1 1 0 VA 18 2 1 1 3 I1 1 Ω 2Ω A I3 18 V 3Ω B 41 I2 UJ 2A Metoda potencjałów węzłowych Przykład – c.d. (rozwiązywanie) I2 2 A Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 1 1 1 0 VA 18 2 1 1 3 20 VA 4 15 V 3 42 I1 1 Ω 2Ω A I2 I3 18 V 3Ω B UJ 2A Metoda potencjałów węzłowych Przykład – c.d. (prądy) I2 2 A I1 1 Ω Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 1 1 1 0 VA 18 2 1 1 3 20 VA 4 15 V 2Ω A I2 I3 18 V 3Ω UJ 2A B 3 18 1 I1 VA I 3 I1 I 2 3 2 5 A 43 18 15 I1 3A 1 lub 3 I 3 VA VA I3 5A 3 Porównanie 5 Cechy charakterystyczne Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 44 Metoda równań Kirchhoffa wykorzystuje bezpośrednio prawa Kirchhoffa i jest fundamentalną metodą rozwiązywania obwodów dowolnego rodzaju. W metodzie oczkowej równania układa się tylko dla oczek, gdyż równania węzłowe eliminuje się przez wprowadzenie fikcyjnych prądów oczkowych. W metodzie potencjałów równania układa się tylko dla węzłów, gdyż równania oczkowe eliminuje się przez zastosowanie potencjałów węzłowych. Metoda oczkowa jak i metoda potencjałów węzłowych zawsze generują mniejszy układ równań niż metoda równań Kirchhoffa. Porównanie metod Kiedy stosować daną metodę? Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 45 Stosowanie tej czy innej metody jest kwestią drugorzędną, gdyż wszystkie trzy metody są równoważne i prowadzą do takich samych wyników. Nakład obliczeń jest najmniejszy, jeżeli układ równań jest najmniejszy, czyli o wyborze metody może decydować to, czy w danym obwodzie jest mniej oczek (wtedy wybieramy metodę oczkową), czy węzłów (wtedy wybieramy metodę potencjałów węzłowych). Bilans mocy 6 Bilans mocy Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki Poprawność obliczeń można sprawdzić, przeprowadzając bilans mocy. Przypomnienie: – – – – 46 Suma mocy oddawanych przez źródła musi być równa sumie mocy pobieranych przez rezystancje. Moc źródła napięcia: P = EI (lub −EI). Moc źródła prądu: P = UJ (lub –UJ). Moc rezystora: P = RI2 = U2/R. Bilans mocy Przykład – bilans mocy Wykorzystując wcześniejsze wyniki, przeprowadzić bilans mocy. Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki I1 1 Ω 2Ω I2 I1 3 A I3 18 V 3Ω I2 2 A UJ 2A I3 5 A U J 19 V Pźr 18 I1 U J 2 18 3 2 19 54 38 92 W Podb 1 I12 2 I 22 3 I 32 1 32 2 22 3 52 9 8 75 92 W 47 Pźr Podb Podsumowanie Czego się nauczyliśmy? Paweł Jabłoński, Podstawy elektrotechniki i elektroniki 48 Wiemy, jak znaleźć prądy w dowolnym obwodzie elektrycznym prądu stałego zawierającym źródła napięcia, źródła prądu i rezystory. Poznaliśmy trzy główne metody rozwiązywania obwodów elektrycznych. Dowiedzieliśmy się co to są prądy oczkowe i potencjały węzłowe i jak z nich skorzystać. Wiemy, że poprawność obliczeń możemy sprawdzić przeprowadzając bilans mocy.
