Analiza matematyczna dla informatyków 1 -maple

Analiza matematyczna dla informatyków 1 -maple
Ogólne działania:
Digits := liczba
Ustawia wewn trzny wska nik ilo ci miejsc po przecinku np. Digits := 10;
restart
Kasuje wewn trzne ustawienia.
abs ( liczba )
Oblicza warto bezwzgl dn z liczby np. abs(-10) = 10
binomial ( liczba , liczba )
Oblicza wynik dwumianu Newtona z podanych argumentów. Np. binomial( 17 , 15 ) = 136
cot ( liczba )
Oblicza cotangens z liczby np. cot(Pi) = -1
cos ( liczba )
Oblicza cosinus z liczby np. cos(Pi/3) = ½
denom ( ułamek )
Zwraca licznik ułamka np. denom(13/45)= 45
evalf ( wyra enia , dokładno )
Oblicza wyra enie (liczb ) z podan dokładno ci Np. evalf(Pi/2,12) = 1.57079632680
floor ( liczba )
Zaokr gla liczb w dół , auntie, cało . Np. floor(3.2) = 3
frac(liczba)
Zwraca cz
niecałkowit z liczby. np. frac(6.123) = .123
ithprime (argument=liczba )
Zwraca kolejne liczby pierwsze. dla 1 = 2 ., 2 = 3 , 3 = 5 , 4 = 7 np. ithprime(4) = 7
isprime ( liczba )
Sprawdza czy podana liczba jest liczb pierwsz Np. isprime(11) = true
log [podstawa] ( liczba ) , ln ( liczba ) , log10 ( liczba )
Kolejno logarytm, logarytm naturalny I logarytm dziesi tny. Zwracaj warto z argumentu
Liczba e
Wyznaczenie liczby e uzyskujemy dzieki funkcji exp(1) np. evalf(exp(1));
nextprime (liczba)
Podaje nast pn po danej liczbie liczb pierwsz Np. nextprime(5) = 7
numer ( ułamek )
Zwraca mianownik ułamka np. denom(13/45)= 13
sqrt ( liczba )
Oblicza pierwiastek kwadratowy z liczby. Np. sqrt(4) = 2
sin ( liczba )
Oblicza sinus liczby. Np. sin(Pi/2) = 1
sum(ci g/funkcja,przedział)
Oblicza sum jakiego wyra enia na podstawie jakiego przedziału np. sum(2^n,n=1..6)
surd ( liczba , stopie )
Oblicza pierwiastek n-tego stopnia z liczby. Np. surd(8,3) = 2
for i from 11234 by 1 to 11300 do i:nextprime(i); printf(i); od;
Działania na wielomianach:
Okre lanie wielomianów:
W1 := 2*(x^2)-7*x+13;
Mo na je dodawa , odejmowa , mno y i dzieli . A wynik osi gamy poprzez evalf();
coeff ( wielomian , zmienna^potega )
Pokazuje współczynnik przy pot dze. Np. coeff(x^3+4*x+6, x^3) = 1
divide ( wielomian , wielomian , zmienna)
Sprawdza czy pierwszy wielomian jest podzielny przez drugi. Je li tak to zwraca warto true je li ni to false.
Je eli podamy 3 argument to warto dzielenia zostanie zapisany do zmiennej o tej nazwie. np.
divide(x^2+2*x*y+y^2,x-y) = false
expand (wyra enia)
Dokonuje oblicze podanych jako argument. Dokonuje działa na liczbach lub wielomianach jednocze nie
skracaj c. Np. expand((x+1)*(x+2)) = x^2 + 3 x + 2
factor ( wyra enie )
Rozkłada na czynniki pierwsze podane wyra enie Np. factor(6*x^2+18*x-24) = 6*(x+4)*(x-1)
iqou ( wyra enie , wyra enie )
Wyznacza ilo całkowitych podziele a1 przez a2
qou(wielomian,wielomian,zmienna_wielomianu)
Zwraca wynik dzielenia wielomianu przez wielomian. Je eli jest reszta to j pomija np. quo(x^4,x^2,x) = x^2
rem(wielomian,wielomian,zmienna_wielomianu)
Zwraca reszte z dzielenia wielomianu przez wielomian. np. rem(x^2+x,x^2+2,x) = x - 2
irem ( wyra enie , wyra enie )
Oblicza reszt z dzielenia a1 przez a2. Np. irem(-23,4) = -3
ifactor ( wyra enie )
Rozkłada na czynniki pierwsze podane wyra enie Np. ifactor( 60 ) = 2^2, 3, 5
normal ( wyra enie )
Dokonuje działa na danym wyra eniu skracaj c je a czasem rozwi zuj c Np.
normal( (x^2-y^2)/(x-y)^3 ) = (x + y) / (x - y)^2
rationalize ( wyra enie )
Dokonuje działa na danym wyra eniu skracaj c je a czasem rozwi zuj c Np.
rationalize 1/(1-sqrt(2)) + 1/(sqrt(2)+1) + 1/(1-sqrt(3)) ) = -5/2-1/2*3^(1/2);
Działania na funkcjach:
Okre lanie funkcji:
W := x-> 2*x^3 + 3*x^2 -5
Mo na je dodawa , odejmowa , mno y i dzieli np. F := x -> H(x) + G(x)
Zło enie funkcji:
skladanie: H(G(x)) lub zapis superpozycji H := F@G
Funkcja odwrotna
np.: sin@@(-1)
Rysowanie wykresów
plot(tan(x),x=-10..10,y=-20..20,discont=true,color=blue);
plot(1/x,x=-10..10,y=-10..10);
Działania na ci gach:
Okre lenie ci gów
Ci gi zapisujemy w takiej samej postaci jak funkcje, czyli np. H := n-> n^2-2001*n+2000 i dokonujemy na nich
te same operacje
Wykres ci gu
K := k->2*k^2+11; plot([[k,K(k)] $ k=1..10],style=point);
Mo emy te nakaza wypisanie n pocz tkowych wyrazów ci gu urzywaj c funkcji print().
np. print(k^2 $ k=1..30); Ten ci g wypisze wszystkie potegi wyrazów od 1 do 30
Gdy chcemy by warto ci bardziej zło onego ci gu zostały policzone mósimy u y składni:
np. evalf(sin(k) $ k=1..20); a wykres plot([[k,sin(k)] $ k=1..20], style=point);
Gdy chcemy obliczy przedziały w których ciag lub funkcja s rosn ce a w których malej ce, u ywamy funkcji:
solve(wyra enie,parametr) –Wykonuje działanie
np.:
H := x-> x^2-2001*x+2000;
solve(H(k)-H(k-1)<0,k); RealRange(-infinity, Open(1001))
solve(H(k)-H(k-1)=0,k); 1001
solve(H(k)-H(k-1)>0,k); RealRange(Open(1001), infinity)
Ci g mo emy równie zapisa za pomoca funkcji:
seq(wyra enie_ci gu,przedział)
Oblicza warto ci ci gu na podstawie parametrów np. seq(sin(Pi*n/6), n=0..6) = 0, 1/2, 1/2*3^(1/2), 1,
1/2*3^(1/2), 1/2, 0
Funkcja solve słu y tak e do rozwi zywania równa . (ta sama składnia), a oto przykłady:
solve(4*x+3=7,x)
=
1;
solve(abs(3*x-5)=17,x) =
22/3, -4;
solve(3*x+4*y=17,x)
=
-4/3*y+17/3;
f solve(wyra enie,parametr)
Oblicza to samo co solve ale zaokraja wyniki tylko do liczb rzeczywistych np.
fsolve(x^3-x^2+x+1,x) =
-.543689012692076361570855971802
Mo na ich u y tak e do bardziej skomplikowanych oblicze np.
roz := solve({x+2*y=3, y+1/x=1}, {x,y}) =
roz := {y = 2, x = -1}, {x = 2, y = 1/2}
roz
=
{y = 2, x = -1}, {x = 2, y = 1/2}
roz[1]
=
{y = 2, x = -1}
roz[2]
=
{x = 2, y = 1/2}
Mo na tak e oblicza inne wyra enia:
np. fsolve(sqrt(2*x+1)=sqrt(x-4),x)
Działania na granicach:
=
-5
Limit – obliczanie granicy funkcji, ci gu
Aby obliczy granicefunkcji lub ci gu nale y u y funkcji limit np. limit(1-(1/n^2)^n,n=infinity) = 1
Jako pierwszy parametr podajemy wyra enie okre laj ce funkcje lub ci g, jako drugi parametr podajemy do
czego d y nasza zmienna.
Przykładem obliczania granicy jest:
Limit((1-1/n^2)^n,n=infinity) = limit((1-1/n^2)^n,n=infinity) = 1;
Czasami chcemy obliczy granice jakie funkcji w punkcie w którym jest nieokre lona.
Limit(1/x,x=0) = limit(1/x,x=0); Limit(1/x,x = 0) = undefined
Wtedy obliczamy granice lewo I prawo stronne.
Limit(1/x,x=0,right) = limit(1/x,x=0,right) lim 1/x = infinity
Limit(1/x,x=0,left) = limit(1/x,x=0,left)
lim 1/x = -infinity
Badanie funkcji:
B d nam potrzebne funkcjie discont i iscont aby je załadowa urzywamy procedury readlib(nazwa funkcji).
discont( funkcja , zmienna funkcji )
Badamy czy funkcja ma jakie punkty podejrzane o nieci gło . np. discont(1/x,x) = {0}
iscont( funkcja , przedział )
Badamy czy funkcja jest ci gła w przedziale. np. iscont(1/x,x=2..infinity);
true
zmienna := piecewise( wyrazenia funkcyjne )
Je eli chcemy zbudowa funkcje skladajac si z ró nych ‘funkcji’ dla ró nych przedziałów urzywamy do tego
celu funkcji piecewise która zwaraca wyra enie funkcyjne, które mo emy bada pod wzgl dem ci gło ci
funkcjami iscont , discont, limit, aby z wyra enia stworzy funkcje urzywamy funkcji unapply(). np.
a := piecewise(x<-1,x,x<1,x^3,-x+2);
x
x < −1
a = x x ≥ −1 x < 1
− x + 2 x ≥1
3
zmienna := unapply(warto funkcyjna, zmienna funkcyjna)
Aby zmieni warto funkcyjn na funkcje zmiennej np. x np.
f := unapply(a,x) f := x -> piecewise(x < -1, x, x < 1, x^3 , -x + 2)
Pakiet student.
Aby wywoła okre lone funkcje do badania zmienno ci funkcji wpisujemy with(student)
Wykres stycznej do funkcji w pukcie x_0
Funkcja showtangent( funkcja , punkt , przedział rysunku ) rysuje styczn do wykresu. np.
showtangent( f(x) , 0.5 , x=-2..2);
Pochodna funkcji
Aby obliczy pochodn funkcji wywołujemy funkcje diff(funkcja,zmienna funkcji). Je eli chcemy zrobi z
pochodnej funkcje u ywamy składni np.
pochodna_f := unapply(diff(x^3,x),x);
pochodna_f := x -> 3 x^2
Badanie funkcji – wzór Taylora:
f := x -> sin(8*x);
taylor(f(x),x=0,3);
f := x -> sin(8 x)
8 x + O(x^3)
g1 := convert(",polynom);
g1 := 8 x
Pominiecie reszty
taylor(f(x),x=0,4);
8 x - 256/3 x^3 + O(x^4)
g2 := convert(",polynom);
g2 := 8 x - 256/3 x^3
taylor(f(x),x=0,6);
8 x - 256/3 x^3 + 4096/15 x^5 + O(x^6)
g3 := convert(",polynom);
g3 := 8 x - 256/3 x^3 +4096/15 x^5
plot([f(x),g1(x),g2(x),g3(x)],x=-0.5..0.5,y=-2..2);
Im dokladniesze przyblirzenie tym wykresy coraz bardziej sie przyklejaja do wykresu funkcji.