Ekonomia matematyczna

Ekonomia matematyczna
3.1. Model zachowania konsumenta
3.2. Wzajemna zamienialność dóbr
3.3. Równanie Słuckiego
3.4. Elastyczność cenowa i dochodowa. Paradoksy Giffena i Yeblena
3.1. Model zachowania konsumenta
W teorii konsumpcji zakłada się, że konsument zawsze dąży do tego, żeby
maksymalizować użyteczność dla swoich ograniczonych możliwości
max ux   max ux 
xB X
px m
(3.1)
Zakładamy, że punkt, który jest rozwiązaniem zadania (3.1) należy do dziedziny
dostępnych koszyków x  X . Więc dla rozwiązania (3.1) musimy obliczyć bezwarunkowe
maksimum funkcji Lagranżego
*
Lx  ux    px  m
(3.2)
Lokalne warunki lokalnego ekstremum to są
n
p x
j 1
j
*
j
 m,
L u *

x  * pi  0 , i  1, n .
xi xi
 
(3.3)
(3.4)
Z (3.4) widać, że stosunek krańcowych stóp substytucji równa się stosunkowi cen
na odpowiednie dobra
u *
x
xi
p
 i .
u *
pj
x
x j
 
 
(3.5)
*
Rozwiązując (3.3) i (3.4) odnośnie x otrzymujemy funkcję popytu
x *  x *  p, m .
Definicja 3.1. Funkcję
(3.6)
x  x  p, m uzależniającą popyt konsumenta na towary
*
*
od cen towarów i dochodu konsumenta nazywamy funkcję popytu konsumpcyjnego.
Definicja 3.2. Krzywa zapotrzebowania x  x
*
*
 m, p 
(o)
(czyli krzywa ekspansji
dochodu) przedstawia optymalny wybór konsumenta przy różnych poziomach dochodu, ale
przy stałych cenach
p(o) .
Definicja 3.3. Krzywe Engla x  x
*
*
 m, p 
(o)
- są wykresy zależności popytu na
jedno dobro jako funkcji dochodu przy założeniu stałości wszystkich cen
p(o) .
3.2. Wzajemna zamienialność dóbr
Rozpatrzymy funkcję popytu xi 
m
. Widać, że popyt na i-te dobro maleje wraz
npi
ze wzrostem ceny na i-te dobro, rośnie wraz ze wzrostem dochodu i nie zależy od ceny na
j-te dobro.
Definicja 3.4. Jeżeli popyt na i-te dobro maleje wraz ze wzrostem ceny na i-te
dobro i jednocześnie rośnie popyt na j-te dobro to takie dobra nazywają się wzajemnie
zamienialne.
Definicja 3.5. Jeżeli popyt na i-te dobro maleje wraz ze wzrostem ceny na i-te
dobro i jednocześnie maleje popyt na j-te dobro ta takie dobra nazywają się wzajemnie
dopełniające się.
W rzeczywistości wraz ze wzrostem ceny na i-te dobro może występować
zakłócenie w postaci ogólnego obniżenia dochodu konsumenta, co może doprowadzić do
obniżenia popytu na wzajemnie zamienialne j-te dobro. Dla usunięcia takiego zakłócenia
wprowadza się
Definicja 3.6. Budżet dostosowany to jest taki budżet, który zachowuje siłą
nabywczą konsumenta. Inaczej mówiąc budżet , który dozwala nabyć równoznaczny
koszyk.
CB- Efekt dochodowy
AC - Efekt substytucyjny
AB – Efekt ogólny
Stara linia budżetu
Nowa linia budżetu
Skompensowana linia budżetu
Krzywe obojętności
Rys. 4.1


Kiedy cena dobra ulega zmianie, pojawiają się dwa rodzaje efektów:
zmienia się stosunek, według którego wymienia się jedno dobro na drugie;
zmienia się ogólna siła nabywcza dochodu konsumenta;
Na przykład, jeżeli cena pierwszego dobra zmieniła się od
cen zmienia się od
p1
p2
do
p '1
p2
p1 do p '1 , to stosunek
, a ogólna siła nabywcza (budżet) zmienia się od
m do
m ' (Rys. 4.1).
Definicja 3.7. Pierwszy efekt – zmiana popytu z tytułu zmiany stopy
wymiany między dwóma dobrami – jest nazywany efektem substytucyjnym.
Definicja 3.8. Drugi efekt – zmiana popytu z tytułu osiągnięcia innej
(większej lub mniejszej) siły nabywczej - jest nazywany efektem dochódowym.
U x1 , x2   x1 x2 , budżet 60, ceny
m
dóbr odpowiednio 10 i 2. Więc funkcje popytu mają postać xi 
, i  1, 2 . Wtedy
2 pi
60
60
p
 3 , x 2p 
 15 i funkcja użyteczności
wybór początkowy konsumenta będzie x1 
20
4
przyjmie wartość U x1 , x2   45 . Niech teraz cena dobra drugiego wzrośnie do 7. Żeby
Rozpatrzymy funkcję użyteczności dwóch dóbr
kupić ten sam koszyk konsument musi wydać dodatkowo (7-2)15=75 jednostek
pieniężnych. Ale wraz ze wzrostem ceny zmieni się stopa wymiany dóbr i więc musimy
kupić nie ten sam koszyk tylko koszyk równoznaczny tj. koszyk dla którego U x1 , x2  45 .

Obliczymy budżet dostosowany
x1 

m' . Mamy:
m'
m'
m' m'
 45 Stąd m'  112,25 .
, x2 
, wtedy. U  x1 , x 2   x1 x 2 
20
14
20 14
Więc dodatkowo musimy wydać tylko 52,25.
Zapiszemy teraz rozwiązanie w ogólnej postaci. Po wzroście ceny z
p1 do zp1
funkcje popytu mają postać
x'1 
gdzie
m'
m'
i x' 2 
,
2 zp1
2 p2
m' jest to budżet dostosowany. Warunek równej użyteczności
m' m'
m m

.
2 zp1 2 p 2 2 p1 2 p 2
Stąd
m'  z m i x'1 
x1
z
, x' 2 
z x2 .
W przypadku budżetu dostosowanego popyt na pierwsze dobro zmaleje w z razy (jeżeli
budżet nie jest dostosowany to w z razy), natomiast popyt na drugie dobro wzrośnie w
z razy.
Więc
 x 2 


 0.
 p1  subst
(3.7)
Dolny indeks subst oznacza, że jest usunięty efekt dochodowy i zostaje się tylko
efekt substytucyjny.
Dla wzrostu ceny na drugie dobro mamy analogicznie
 x1 


 0.
 p 2  subst
(3.8)
Warunek (3.7) lub (3.8) to jest warunek tego, że dobra są wzajemnie zamienialne.
Warunek
 x 2 


0

p
 1  subst
(3.9)
i warunek
 x1 


0

p
 2  subst
(3.10)
to warunki wzajemnie dopełniających się dóbr. Obliczymy cząstkowe pochodne. Mamy
odpowiednio przyrosty:
x1 
x1
z
 x1 , x 2  z x 2  x 2 ,. p1  zp1  p1
Stąd
x1


 x1
 x1 
x 1 z
x1
x
m
z


 lim
 lim 1
 lim 
 1  2 ,
p1 2
4 p1
p1 z z  1
z 1 zp1  p1
z 1 p1 z  z  1
z 1
 p1  subst
 x2 
z x2  x2
x z 1
x2
x
m


.
 lim
 lim 2
 lim
 2 
zp1  p1
p1 z  1
z  1 2 p1 4 p1 p 2
z 1
z 1
z 1 p1
 p1  subst






Więc mamy wzajemnie zamienialne dobra.
3.3. Równanie Słuckiego
Jednym z podstawowych równań w teorii wyboru konsumpcyjnego jest równanie
Słuckiego, które było udowodnione w 1915 r. Rosyjskim matematykiem Słuckim.
Równanie Słuckiego pokazuje zależność pomiędzy efektami substytucyjnym i dochodowym
a ogólnym popytem. Zapiszemy bez dowodu Równanie Słuckiego:
xi  xi

p j  p j

 x 

  i  x j , i  1,2 , j  1,2 .

 subst  m 
(3.10)
Pierwszy składnik w prawej części opisuje efekt substytucyjny, drugi efekt
dochodowy, z lewej strony zapisana jest ogólna zmiana popytu z tytułu strukturalnej
zmiany popytu i zmiany realnego dochodu konsumenta.
Definicja 3.9. Jeżeli popyt rośnie wraz ze wzrostem dochodu tj.
xi
0
m
to takie dobro nazywa się dobrem luksusowym (wyższego rzędu).
Wtedy według (3.10)
xi  xi

p j  p j



 subst
co oznacza, że jeżeli popyt rośnie wraz ze wzrostem ceny, to on rośnie szybciej
jeżeli mamy kompensację i jeżeli popyt maleje wraz ze wzrostem ceny, to on maleje w
mniejszym stopniu jeżeli mamy kompensację. Może stać się, że
 x
xi
0, i 0 i
 p
p j
 j

 ,

 subst
co oznacza, że dobra i-te i j-te są wzajemnie zamienialne, natomiast bez
kompensacji są wzajemnie dopełniające się.
Rozpatrzymy równanie Słuckiego dla i  j .
xi  xi

pi  pi

 x 

  i  xi .
 subst  m 
(3.11)
Dla spełnionych dodatkowych założeń 1) – 3)
 xi

 pi


0
 subst
Definicja 3.10. Jeżeli popyt rośnie wraz ze wzrostem ceny tj.
xi
0
pi
wtedy takie dobro nazywa się dobrem Giffena.
Definicja 3.11. Jeżeli popyt maleje wraz ze wzrostem dochodu tj.
xi
 0,
m
wtedy takie dobro nazywa się. drugorzędnym dobrem (niższego rzędu).
Więc dobro Giffena jest zawsze drugorzędnym dobrem.
Dobra normalne
xi
0
m
xi
Drugorzędne dobra
0
m
Dobra luksusowe
xi
0
pi
Dobra Giffena
xi
0
pi
Luksusowe samochody
Jabłka.
Chleb, ziemniaki.
3.4. Elastyczność cenowa i dochodowa. Paradoksy Giffena i Yeblena
Z matematycznego punktu widzenia, jeśli dana jest funkcja Y = f(X1, X2, ... , Xn),
to elastycznością zmiennej Y względem zmiennej Xj nazywamy wyrażenie:
EX j 
Xj
f ( X 1 , X 2 ,..., X n )
.
X j
f ( X 1 , X 2 ,..., X n )
(3.12)
Główną zaletą badania popytu przy użyciu pojęcia elastyczności jest fakt, że
elastyczności są niezależne od jednostek, w jakich mierzy się poszczególne zmienne.
Istnieje zatem możliwość porównania wyników analizy popytu na dane dobro nawet w
różnych krajach (wartości pieniężne wyrażone w innych walutach) bądź też popytu na
różne dobra mierżono w odmiennych jednostkach fizycznych. Elastyczności popytu nie
zawsze są wielkościami stałymi względem zmian w poziomach ceny i dochodu. W pewnych
przypadkach rozsądnym wydaje się jednak przyjęcie założenia o stałości elastyczności, tzn.
uznanie, iż z każdego procenta przyrostu dochodów konsumenci przeznaczają pewną stałą
(w przybliżeniu) część na dodatkowy zakup określonego dobra bądź też, że każdy procent
wzrostu ceny. tego dobra powoduje jednakowy co do wartości spadek popytu na nie.
Pojęcie elastyczności odgrywa w analizie popytu podstawową rolę. Praktycznie rzecz
biorąc, elastyczność popytu na pewne dobro względem danej zmiennej jest to procentowy
przyrost (lub spadek) popytu wywołany przyrostem wartości tej zmiennej o 1%. Jest to
zatem pewna miara siły wpływu danej zmiennej na poziom popytu. Informacja o poziomie
elastyczności popytu na pewne dobro względem ceny tego dobra, czy dochodu
konsumentów może być więc bardzo cenna dla podejmowania konkretnych decyzji
gospodarczych.
Definicja 3.12..Wartość
 ic 
xi pi
pi xi
nazywa się elastyczność popytu względem ceny (elastyczność cenowa)
Definicja 3.13.. Wartość
 im 
xi m
m xi
nazywa się elastyczność popytu względem dochodu (elastyczność dochodowa).
Zrozumiałe jest, że zwykle elastyczność dochodowa jest wielkością dodatnią (wzrost
dochodów wywołuje wzrost popytu), a cenowa - ujemną (wzrost ceny danego dobra
powoduje spadek popytu na dobro). Istnieją jednakże wyjątki od tej reguły znane w
literaturze pod nazwą paradoksów Giffena i Yeblena. Pierwszy z nich mówi, że popyt na
takie dobra, jak chleb czy ziemniaki, może wzrastać ze zwiększeniem się cen tych dóbr, co
tłumaczy się tym, że ludność biedna reaguje na wyższą cenę, np. chleba, zmniejszeniem
wydatków na żywność wyższego rzędu (np. mięso) nabywając więcej chleba. Zjawisko to
zaobserwowano w Irlandii. Paradoks Yeblena polega na tym, że w pewnych grupach
społecznych o wysokich dochodach wyższa cena na niektóre dobra powoduje (ze względów
snobistycznych) zwiększenie popytu na te dobra. Inną anomalią, już nie paradoksalną, jest
spadek popytu na niektóre dobra niższego rzędu (np. margarynę) w miarę wzrostu
dochodów. Popyt kieruje się po prostu do dóbr wyższego rzędu (np. masło).
Z tego co powiedzieliśmy o elastyczności wynika, że dobra można klasyfikować w
zależności od poziomu elastyczności dochodowej (oznaczmy ją przez Eq). i cenowej (Ep). I
tak: powiemy, że popyt na pewne dobro jest nieelastyczny względem dochodu, jeśli Eq
< 1, elastyczny, jeśli Eq > l. Podobnie: popyt uznamy za nieelastyczny względem
ceny, jeśli Ep > -1, elastyczny, jeśli Ep < -1. Z drugiej strony powiemy, że dobro jest
niższego rzędu, gdy Eq < 0, jest dobrem podstawowym, jeśli 0 < Eq < 1 oraz jest
dobrem luksusowym, jeśli Eq > 1.
Prócz elastyczności cenowej i dochodowej pewną rolę w badaniach popytu odgrywa
elastyczność mieszana popytu na pewne dobro względem ceny innego dobra. Jest to
zwykle wielkość dodatnia, gdy mamy do czynienia z dobrami substytucyjnymi i ujemna
— jeśli są to dobra komplementarne.
Sprawdzimy równanie Słuckiego dla naszego przykładu. Mamy:
x1
x
x 2
m
1
,
 2 , 1 
 0,
p1
2 p1 m 2 p1 p1
 x1 
m  x 
m


.
  2 ,  2 

4 p1  p1  subst 4 p1 p 2
 p1  subst
Więc dobro
x1 jest dobro luksusowe, popyt na niego rośnie wraz ze wzrostem dochodu
konsumenta i maleje wraz ze wzrostem ceny p1 .
Podstawiając cząstkowe pochodne w (3.11) i (3.10) mamy:

m
m
1 m
1
 2 
 2 ;
2
2 p1
4 p1 2 p1 2 p1
2 p1
0
m
1 m

 0.
4 p1 p 2 2 p 2 2 p1