Physics of magnetics

Równanie Schrödingera
2
2
2
2







h
 2  2  2  2
8 m  x
y
z

  V (r )  

gdzie danymi są
•h stała uniwersalna Plancka
•m masa cząstki
•V(r) jej energia potencjalna
i wynikiem obliczeń jest
•{α, ω(α), ψα(r)}, zbiór rozwiązań indeksowanych przez α
(tzw. liczba kwantowa wskazująca stan α) dla energii ω i
funkcji falowej ψ.
Równanie Schrödingera
jest podstawowym narzędziem mechaniki kwantowej.
Komplet to równanie Schrödingera na szukane: energię ω
i funkcję falową ψ(r), oraz 5 warunków (stanowiących
integralną część metody) które musi spełnia funkcja
falowa ψ:
(1)ψ ma być funkcją ciągłą, (2)o ciągłych pochodnych,
(3)jednoznaczna, (4)ograniczona i (5)unormowana
1   dV 

2
Natomiast informacją wejściową dla RS (które jest
równaniem ruchu jak II zasada dynamiki Newtona) jest
energia potencjalna V(r) (lub siła F jak dla F=ma)
Od 1 atomu (gaz) do wielu
atomów (ciecz, ciało stałe)
gaz
V(atom)=V(gaz)
ciecz, c. stałe
V(c.stałe)=inne
Pasma energii: Δω << T << W
1 atom
 gaz=N atomów
 kryształ=N atomów
ω(α)=energia  to samo ω(α)
 pasmo: 0<ω<W
1 linia, W=0  1 linia wielokrotna  N linii, N=1024, W>0
Ciało stałe tworzą atomy ułożone ciasno, stąd inne V(r) niż w
atomie. Wynik to:
1)rozszczepienie=rozrzut poziomów ω, W=1eV=104 K,
stąd Δω=W/N=10-20 K, energia NIEMAL ciągła
2)większa szerokość W dla pasm o wyższych energiach
3)ciecz Fermiego=widmo niemal ciągłe + zakaz Pauliego
4)energia Fermiego, zamrożenie czy ruchliwość elektronów
5)przewodniki i izolatory, zachodzenie pasm
ZAKAZ Pauliego:
fermiony i bozony
stan układu:
energia:
α=(n,l,m,s)
ω(n,l)
Uwaga: np. dla α=(2,1,-1,1/2), β=(2,1,+1,-1/2), pomimo
że α i β są różne, to ω(α)= ω(β) i dlatego zakaz Pauliego
brzmi poprawnie n(α)=0,1 (błędnie ω(α)=0,1).
Gdy zakaz Pauliego:
nie obowiązuje, n(α)=0,1,2,3,...
to bozony
np. fotony
obowiązuje, n(α)=0,1
fermiony
np. elektrony
Od 1 atomu (gaz) do wielu
atomów (ciecz, ciało stałe)
ω
0
...na przykładzie rozkładu n=5 cząstek
FERMIONY
x
energia Fermiego x
stan wzbudzony
x x
BOZONY
...
x x
x
stan wzbudzony
x x
x
stan podstawowy x x
xxxxx x xx
temperatura T
0 T>0
0
T>0
zakaz Pauliego
tak
nie
Zachodzenie pasm
- czyli dlaczego magnez jest metalem
11Na=1s22s2p63s1 (f=1/2=50%) ==> spodziewany metal
tak 12Mg=1s22s2p63s2 (f=2/2=100%) ==> izolator, ???
pasmo 3p
pasmo 3s
11Na
3s1
pasmo 3s
12Mg
3s2
pasmo 3s
12Mg
3s1,4p0,6
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
Zachodzenie pasm
Przykład: (atom) magnez 12Mg=1s22s2p63s2 (f=2/2)
c. stałe (kryształ)
atomy (gaz)
3p
3s
3p
3s
11Na=3s13s1
12Mg=3s23s1,6p0,4
Na
Mg
Metale, izolatory i półprzewodniki
Mechanizm przewodnictwa σ(T), izolator to σ=0
metal
metal
półprzewodnik
0 ==== 0
- ===> +
T=0
T>0
0
T>0
- ====> +
xx0xxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
x
<== ==>
x0xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
0
xxx xx
xxxxxx
xxxxxx
xx xxx
xxxxxx
xxxxxx
x
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
Model silnego wiązania, pasma
Model silnego wiązania (TBM=Tight Binding Model) to b. dobry
przykład dla wyjaśnienia koncepcji pasm. TBM to przybliżone,
analityczne rozwiązanie dla potencjału V(r) w krysztale, który jest
stosunkowo bliski potencjałowi atomowemu.
Atom (pasmo=poziom, W=0)  TBM(pasmo, W>0)  model
elektronów swobodnych(pasmo Wnieskończoność).
Idea: periodyczny potencjał V(r) w krysztale zawsze daje energię ω
electronu postaci ω(kx,ky,kz), gdzie kx,ky,kz to tzw. wektor falowy
o dyskretnych wartościach, co czyni energię ω również dyskretną.
Np. dla 26Fe=3d7.24s0.8, możemy stosować TBM dla elektronów 3d.
Dla elektronów walencyjnych 4s, alternatywny model elektronów
swobodnych, V(r)=const, jest bardziej właściwy.
Model silnego wiązania, pasma

 (k )  0  2  [t x cos( k x ax )  t y cos( k y a)  t z cos( k z a / 2)]
...jest obliczoną dla tetragonalnej struktury krystalograficznej
energią TBM dla parametrów (tx,ty,tz) bezpośrednio związanych z
odległościami (ax,ay,az) między najbliższymi sąsiadami wzdłuż
osi krystalograficznych (x,y,z), t ~ a–5. (Wykładnik 5 dla np.
stanów 3d.) Z powyższego wzoru wynika szerokość pasma
W=4(tx+ty+tz).
Oczywiście t  0 jest limitem atomowym dla którego
otrzymujemy poziom energii ω=ω0, W=0, zamiast pasma.
Najczęściej dobieramy parametr ω0 tak, aby dno pasma k=0
opowiadało energii ω=0. Wówczas
ω0=2(tx+ty+tz).
Model silnego wiązania, pasma
Często występuje przypadek małej liczby N elektronów (np.
półprzewodniki) które zatem zajmują niskie poziomy energii
w pobliżu dna pasma k=0. Dla ilustracji rozpatrzmy np.
tx=ty=tz. Stosując przybliżenie
cos( x)  1  x2 / 2  [cos( k x a)  cos(k y a)  cos(kz a)]  3  k 2a 2 / 2
mamy
2
2 2
cos( x)  1 
x
/
2

[cos(
k
a
)

cos(
k
a
)

cos(
k
a
)]

3

k
a /2
x
y
z

a stąd (k )  0  Z  t  t  k 2a 2
Kwadratowa zależność ω(k) jest
dla modelu
 charakterystyczna

2
2
elektronów swobodnych, (k )  V0    k / 2m, dla V (r )  V0
Zatem dla modelu TBM możemy zidentyfikować tzw. masę
efektywną m*, zamiast parametru t. Np. dla Si: me=0,31m,
mh=0,38m. Pamiętamy a=F/m.