modelowanie wymiany pędu i ciepła w

PRAWO FOURIERA - KIRCHOFFA
WYKŁAD 12
Dariusz Mikielewicz
Politechnika Gdańska
Wydział Mechaniczny
Katedra Techniki Cieplnej
Prawo Fouriera-Kirchhoffa
Założenia upraszczające równanie F-K:
1. zagadnienie stacjonarne, ∂/∂τ
2. zagadnienie izobaryczne, p≈const
3. brak generacji wewnętrznych źródeł ciepła, qv=0
4. ciało w stanie stałym, w=0
5. stałe wartości własności fizycznych ciała, cp,µ,λ,ρ=0
Bardzo często mamy do czynienia z zagadnieniem ciała w stanie
stałym, procesem izobarycznym, gdzie własności fizyczne są stałe.
Gęstość strumienia ciepła q=-λ grad T
ρ cp
∂T
= (qv − ∇q )
∂τ
Prawo Fouriera-Kirchhoffa
⎞
⎛∂ p
⎞
⎛ ∂T
+ (w∇ ) p ⎟
+ (w∇ )T ⎟ = (q v − ∇q ) + ⎜
⎠
⎝ ∂τ
⎠
⎝ ∂τ
ρ cp ⎜
1. Równanie Fouriera
⎛ ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T
∂T
= a⎜⎜ 2 + 2 + 2
∂τ
∂y
∂z
⎝ ∂x
2. Równanie Poissona
∇ T =−
2
3. Równanie Laplace’a
∇ 2T = 0
qv
λ
⎞
⎟⎟ = a∇ 2T
⎠
Prawo Fouriera-Kirchhoffa
Układ walcowy
1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ 1 ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T 1 ∂T 1 ∂ 2T ∂ 2T
⎜⎜ r
⎟⎟ + 2
∇T=
+ 2 = 2 +
+ 2
+ 2
2
2
r ∂ r ⎝ ∂ r ⎠ r ∂θ
r ∂ r r ∂θ
∂z
∂r
∂z
2
Układ sferyczny
⎡ ∂ ⎛ 2 ∂T ⎞
1 ∂ 2T ⎤
1 ∂ ⎛
∂T ⎞
⎜⎜ sin θ
⎟⎟ +
⎟⎟ +
⎢ ⎜⎜ r
2
2⎥
∂ θ ⎠ sin θ ∂ φ ⎦
⎣ ∂ r ⎝ ∂ r ⎠ sin θ ∂ θ ⎝
∂ 2T 2 ∂T 1 ∂ 2T 1
∂T
1
∂ 2T
= 2+
+ 2
+ 2 ctgθ
+ 2 2
2
∂r
∂ θ r sin θ ∂ φ 2
r ∂ r r ∂θ
r
1
∇ 2T = 2
r
Prawo Fouriera-Kirchhoffa
Warunki jednoznaczności problemu
Charakterystyczne własności zjawiska wraz z równaniem różniczkowym to warunki
jednoznaczności problemu. Warunki te obejmują rozkład temperatury w chwili
początkowej, geometrię ciała oraz wzajemne oddziaływanie cieplne rozważanego
układu z otoczeniem.
Opis rozkładu temperatury w obszarze w chwili rozpoczęcia analizy nosi nazwę
warunków początkowych. Rozkład temperatury na brzegach analizowanego obszaru
nosi nazwę warunków brzegowych.
Dodatkowo, zagadnienia konwekcji opisane są ponadto równaniami ciągłości strugi i
równaniami stanu.
Prawo Fouriera-Kirchhoffa
Zagadnienia niestacjonarne – warunek Cauchy’ego, dla τ=0
( ) ()
T r ,0 = T0 r
W przypadkach, gdy temperatura ciała w chwili początkowej τ=0 jest stała
( )
T r ,0 = T0 = const
Warunki brzegowe opisujące wymianę ciepła na brzegu rozpatrywanego obszaru,
definiowane są w jeden z czterech następujących sposobów:
Określony jest rozkład temperatury na brzegu A w dowolnej chwili, warunek brzegowy
pierwszego rodzaju, warunek Dirichleta:
T ( A,τ ) = T (τ )
Określona jest wartość gęstości strumienia cieplnego na brzegu A w dowolnej chwili,
warunek brzegowy drugiego rodzaju, warunek Neumana:
⎛ ∂T ⎞
⎟⎟ = q(τ )
− λ ⎜⎜
⎝ ∂ n ⎠A
Prawo Fouriera-Kirchhoffa
Określona jest temperatura otaczającego ośrodka oraz zależność, która opisuje
wymianę ciepła pomiędzy ciałem a otoczeniem na drodze konwekcji i promieniowania,
warunek brzegowy trzeciego rodzaju, warunek Newtona:
⎛ ∂T ⎞
⎟⎟ = α (Tw − T f
− λ ⎜⎜
n
∂
⎠A
⎝
)
Określone są równe sobie temperatury układu i otoczenia na ich styku – wówczas na
brzegu układu zachodzi równość gęstości strumieni ciepła dla układu i stykającego się
z nim otoczenia, warunek brzegowy czwartego rodzaju:
'
''
⎛ ∂T ⎞
⎛ ∂T ⎞
⎟⎟
⎟⎟ = −λ'' ⎜⎜
− λ' ⎜⎜
⎝ ∂ n ⎠A
⎝ ∂ n ⎠A
PRZEWODZENIE CIEPŁA W CIAŁACH O MAŁYM
OPORZE PRZEWODZENIA
WYKŁAD 4
Dariusz Mikielewicz
Politechnika Gdańska
Wydział Mechaniczny
Katedra Techniki Cieplnej
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Przewodzenie w ciałach o małym oporze cieplnym (Lumped Capacity Method) jest
potężnym narzędziem w obliczeniach niestacjonarnej wymiany ciepła.
Przyjmijmy, że ciało ma objętość V, powierzchnię A, gęstość właściwą ρ, oraz ciepło
właściwe c. Jego temperatura T, jest jednakowa w całej objętości, i zmienia się na
skutek wymiany ciepła z otaczającym je płynem o stałej w czasie temperaturze T∞.
powierzchnia A
objętość, V
ρ, c, T(t)
dU
= − qA
dt
olej w temp.
U = Vρc(T − T0 )
T∞
q = α (T − T∞ )
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Podstawiając powyższe wyrażenia do równania bilansu energii:
Vρ c
Warunki brzegowe:
dT
= − Aα (T − T∞ )
dt
dla t = 0
T = T0
dT
αA
=−
dt
T − T∞
ρ cV
Po przekształceniach:
τ
αA
dT
∫T T − T∞ = − ρcV ∫0 dt
0
T
Rozwiązanie równania ma postać:
αA
ln
T − T∞
αA
=−
τ
ρcV
T0 − T∞
τ
−
τ
−
T − T∞
= e ρcV = e τ 0
T0 − T∞
Cieplna stała czasowa:
τ0 =
ρ cV
αA
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Zdefiniujmy bezwymiarową temperaturę oraz czas:
T* =
T* =
T − T∞
T0 − T∞
τ* =
τ α Aτ
=
τ 0 ρcV
Umożliwia to nam analizę
przypadków gdzie występuje
gwałtowna zmiana
temperatury
T − T∞
T0 − T∞
τ* =
τ αAτ
=
τ 0 ρcV
Aby teoria przewodzenia ciepła miała zastosowanie musi być spełniony warunek, że
opór przewodzenia w ciele stałym musi być dużo mniejszy od oporu przejmowania
ciepła na zewnątrz
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Ciała stałe
opór przewodzenia wewnąewn L / (λA) αl
≈
=
opór konwekcji na zewnąewn 1 / (αA) λ
Bi =
Zdefiniujmy bezwymiarową liczbę Biota:
αl
λ
Wymiar charakterystyczny, l, jest wyrażony stosunkiem V/A
Teorię można stosować w przypadku, gdy Bi<0.1 dla płaskich płyt, walców, kul.
Wymiary charakterystyczne dla różnych przypadków:
1.
Płyta o grubości l:
L=l/2
2.
Walec o promieniu R:
L=R/2
3.
Kula o promieniu R
L=R/3
4.
Sześcian o krawędzi l
L=l/6
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Równanie można przedstawić w postaci zależności pomiędzy liczbami
podobieństwa. W tym celu wykładnik liczby e należy przekształcić do postaci:
l
α Aτ α l aτ l
Bi
Fo
=
=
(
)(
)
L
c p ρV λ l 2 V
A
Zdefiniujmy bezwymiarową liczbę Biota:
Bi =
αl
λ
i Fouriera
Fo =
aτ
l2
Wymiar charakterystyczny, l, jest wyrażony stosunkiem V/A
Teorię można stosować w przypadku, gdy Bi<0.1 dla płaskich płyt, walców, kul
T − T∞
= e −( Bi ) ( Fo )l / L
T0 − T∞
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Wyznaczmy jeszcze strumień ciepła przepływający przez powierzchnię ciała.
Jest on zmienny w czasie, gdyż pomimo stałej wartości współczynnika
wnikania ciepła α, ulega zmianie różnica temperatur pomiędzy ciałem a
otaczającym je płynem zna skutek zmiany temperatury ciała.
Chwilowy strumień ciepła:
dT
Q& = c p ρV
dτ
αA
dT
αA − c p ρ V τ
= (T∞ − T0 )
e
dτ
c p ρV
Całkowita ilość ciepła wymienioną przez ciało, w czasie do dowolnej chwili:
l
− ( Bi )( Fo ) ⎤
⎡
L
Q = ∫ Q& dτ =αA(T∞ − T0 ) ⎢1 − e
⎥
⎣
⎦
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Hartowanie płyty stalowej
Płyta stalowa o grubości 1 cm zostaje wyjęta z pieca o temperaturze 600°C i
wrzucona do kąpieli olejowej o temperaturze 30°C. Jeżeli współczynnik
przejmowania ciepła ma wartość 400 W/m2K, ile czasu potrzeba aby schłodzić płytę
do temperatury 100°C? Założyć własności fizyczne materiału λ, ρ, c jak dla stali,
czyli 50 W/mK, 7800 kg/m3, oraz 450 J/kg K, odpowiednio.
Dane:
Szukane:
Założenia:
Płyta stalowa hartowana w oleju.
Czas schłodzenia z 600°C do 100°C.
Ciało o małym oporze przewodzenia.
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Sprawdzamy wartość liczby Biota:
V/A=WHL/2WH=L/2
Bi=α(L/2)/λ=400*0.005/50=0.04
czyli Bi = 0.04 < 0.1
Wynika stąd, że ciało ma mały opór cieplny
przewodzenia i można skorzystać z omawianej teorii
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Znajdźmy stałą czasową zagadnienia
Podstawiając dane zadania, tj.: T0=600oC, Tfinal=100oC, T∞=30oC
Rozwiązujemy ze względu na czas:
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Końcówka termopary, którą można modelować za pomocą kulki, jest używana do
pomiaru temperatury w przepływie gazu. Współczynnik przejmowania ciepła pomiędzy
powierzchnią końcówki a gazem wynosi α=400 W/m2K. Własności termofizyczne
końcówki wynoszą λ=20 W/mK, c=400 J/kgK, ρ=8500 km/m3. Wyznaczyć średnicę
końcówki termopary tak aby miała ona stałą czasową równą 1s. Zakładając, że
początkowo końcówka ma temperaturę 25oC i następnie jest użyta do pomiaru
temperatury gazu o temperaturze 200oC, ile czasu zajmie wskazanie przez końcówkę
temperatury 199oC?
końcówki termopary
α
złącze
termopary
λ
Przewodzenie w ciałach o małym oporze
Założenia:
1. Temperatura końcówki stała w każdej chwili czasu
2. Radiacyjna wymiana ciepła z otoczeniem do pominięcia
3. Przewodzenie ciepła przez końcówki do pominięcia
4. Stałe własności termofizyczne końcówki
1
1 ρπD 3
(ρcV ) =
τ0 =
c
αA
απD 2 6
D=
6ατ 0
ρc
V
πD 3
D
=
=
A 6πD 2 6
τ=
Bi =
αD
= 2.35 × 10 − 4
6λ
1
(ρcV ) ln Ti − T∞ = ρDc n Ti − T∞
6α T − T∞
T − T∞
αA
8500 × 7.06 × 10 −4 × 400 25 − 200
τ=
ln
≈ 5.2s ≈ 5τ 0
6 × 400
199 − 200
PRZEWODZENIE CIEPŁA W STANACH USTALONYCH
– PRĘTY I ŻEBRA
WYKŁAD 5
Dariusz Mikielewicz
Politechnika Gdańska
Wydział Mechaniczny
Katedra Techniki Cieplnej
Wstęp
CEL STOSOWALNOŚCI ŻEBER
Biorąc pod uwagę fakt, że wymiana ciepła poprawia się wraz ze
zwiększaniem powierzchni wymiany ciepła, jak również biorąc pod uwagę
fakt że opór cieplny pomiędzy powierzchnią wymiany ciepła oraz otoczeniem
jest często dużo większy od pozostałych oporów cieplnych to celem
intensyfikacji wymiany ciepła często używa się żeber.
Wstęp
Wstęp
Zastosowania w elektronice
Teoria prętów – najprostszego żebra
Pręt umocowany do
powierzchni ciała stałego
celem rozwinięcia
powierzchni
Teoria prętów
αP∆x (T-Tf)
Teoria prętów
Rozpatrzmy bilans ciepła dla elementarnej objętości kontrolnej ∆x
dq ⎞
⎛
qA − ⎜ qA + A ∆x ⎟ − αP∆x (T − T f ) = 0
dx ⎠
⎝
Wykorzystując prawo Fouriera, q=-λ grad , oraz zakładając stałą wartość λ:
d 2T
λA 2 − αP (T − T f ) = 0
dx
Otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami:
d 2T
2
(T − T f ) = 0
−
m
2
dx
m2 =
αP
λA
Można je rozwiązać zakładając następujące warunki brzegowe:
T
x =0
= T0
dT
−λ
dx
(
−α T
x=L
x=L
)
− Tf = 0
lub
dT
dx
≈0
x =0
Teoria prętów
Dla warunków brzegowych dla x=L mamy następujące rozkłady temperatury:
−λ
dT
dx
(
−α T
x=L
Tx
Tf
x=L
)
dT
dx
− Tf = 0
Tx
Tf
≈0
x =0
Teoria prętów
Mając do rozwiązania równanie różniczkowe drugiego rzędu, wprowadzamy zmienną:
d 2T
2
(T − T f ) = 0
−
m
2
dx
m2 =
αP
λA
Ogólna postać równania do rozwiązania:
d 2ϑ
− m 2ϑ = 0
2
dx
Postać ogólna rozwiązania otrzymujemy metodą przewidywań:
ϑ = Ce mx + De − mx
lub
ϑ = E sinh(mx ) + F cosh(mx )
ϑ = T − Tf
Teoria prętów
Zakładając, że gradient temperatury na końcu pręta przyjmuje wartość 0, żebro
doskonale zaizolowane, mamy dla x=0:
ϑ0 = C + D
Zakładając, że żebro jest nieskończenie długie:
ϑ L = Ce mL + De − mL
Rozkład temperatury w żebrze przybiera postać:
ϑ T − T f cosh[m(L − x )]
=
=
ϑ0 T − T0
cosh (mL )
m2 =
αP
λA
Teoria prętów – strumień ciepła
Ciepło wymieniane przez żebro na drodze przewodzenia ciepła:
Q& = ∫ αP(T − T f dx )
L
0
Podstawiając profil temperatury dla żebra doskonale zaizolowanego:
ϑ T − T f cosh[m(L − x )]
=
=
ϑ0 T − T0
cosh (mL )
Otrzymujemy:
Q& =
αP(T − T f ) L
cosh(mL )
∫ cosh(mL )(L − x )dx
0
Aby rozwiązać powyższe równanie należy wykonać podstawienie:
ξ = m(L − x )
dx = −
dξ
m
Rozwiązanie końcowe:
αP
Q& =
(T − T )
m
αP
(T − T f ) sinh(0) − sinh(mL) αP
m
(T − T f )tgh(mL)
− (cosh(ξ )dξ ) = −
=
∫
m
cosh(mL ) 0
cosh(mL )
cosh(mL )
f
L
Teoria prętów – strumień ciepła
Podobne rozwiązanie można uzyskać z definicji strumienia ciepła:
dT
Q& = −λA
dx
x =0
d cosh[m(L − x )]
= −λA(T0 − T f )
dx cosh(ml ) x =0
= −λA(T0 − T f )
(− m sinh[m(L − x )]) x=0
= λA(T0 − T f )tgh(ml )
cosh(ml )
Jest to równoważne z zapisem poprzednio wyprowadzonym:
αP
(T − T f )tgh(mL) = λA(T − T f )tgh(mL)
Q& =
m
m2 =
αP
λA
Teoria prętów – sprawność żebra
Wymiana ciepła jest największa jest największa jeżeli żebro jest utrzymywane w
temperaturze podstawy. Sprawność żebra to stosunek rzeczywistego strumienia ciepła
wymienianego przez żebro do strumienia ciepła, które odpowiadałoby strumieniowi
ciepła żebra utrzymywanego w stałej temperaturze podstawy.
αP
(T − T f )tgh(mL ) tgh(mL )
&
&
Q
Q
m
η=
=
=
=
αPL(T − T f )
mL
Q& ideal αPL(T − T f )
η=
tgh(mL )
mL
mL
Żebro prostokątne
W praktyce inżynierskiej występuje szereg innych rodzajów żeber. Poniżej zostanie
omówionych kilka przykładów:
W praktyce inżynierskiej można korzystać ze wzorów
wyprowadzonych dla przypadków pręta, przy
wprowadzeniu oznaczeń jak obok:
Opór cieplny żebra:
Rth =
1
αP
m
tgh(mL )
=
1
αPLη
Sprawność powierzchni ożebrowanej
1
α (A − A f
)
1
αAη
1
1
=∑
R
i Ri
Całkowita sprawność powierzchni ożebrowanej:
Aη t = ( A − A f ) + η A f
Rozwiązując ze względu na sprawność całkowitą:
ηt = 1 −
Af
A
Opór cieplny powierzchni ożebrowanej:
Q& =
(1 − η )
Rth =
1
α Aη t
Tf 1 − Tf 2
δ
1
1
+
+
A1α1 A1λ A f α 2η
Celowość stosowania żeber
Stosowanie żeber jest celowe tylko w przypadku, gdy przez ożebrowanie
powierzchni osiąga się zwiększenie strumienia przejmowanego ciepła.
Dla wyprowadzenia kryterium celowości stosowania żeber chłodzących
należy przyrównać do zera pochodną dQ/dh.
Celowość stosowania żeber określa teoretycznie warunek, Bi=αδ/λ<2
W praktyce zaleca się stosowanie żeber gdy Bi<0.4
Celowość stosowania żeber
Sprawdzić celowość stosowania żeber w przypadku cienkich żeber
stalowych omywanych gazem (δ=1mm, λ=45 W/mK, α=15W/m2K) oraz
żeber odlewanych omywanych wodą (δ=10 mm, α=2000 W/m2K).
Dla przypadku 1, Bi=αδ/λ=15*0.001/45=0.003
Dla przypadku 2, Bi=αδ/λ=2000*0.01/45=0.44
WNIOSEK: Stosowanie żeber ma sens w przypadku 2
Celowość stosowania żeber
W podsumowaniu rozważań dotyczących powierzchni ożebrowanych należy
stwierdzić że:
• stosowanie żebrowania powierzchni jest celowe, gdy współczynnik
wnikania ciepła po tej stronie przegrody jest mały,
• dla żeber prostych o przekroju prostokątnym, ożebrowanie powoduje
zwiększenie ilości wnikającego ciepła jeżeli spełniony jest warunek,
gdzie oznacza połowę grubości żebra,
• stosowanie ożebrowania powierzchni jest zwykle bardziej zasadne w
przypadku wymiany ciepła pomiędzy przegrodą a gazem niż pomiędzy
przegrodą a cieczą,
• przy doborze kształtu żeber należy brać pod uwagę względy konstrukcyjne,
oraz fakt, że ożebrowanie powierzchni powoduje zwiększenie oporu
przepływu czynnika omywającego tę powierzchnie,
• ożebrowanie powierzchni powoduje zwiększenie zużycia materiału na
wykonanie elementu z powierzchnią ożebrowaną.
Żebra o zmiennym przekroju
Elementarny bilans energii:
d (rtq )⎤
⎡
q (2π r )2t − ⎢q (2π r )2t + 4π
− α (2 )2πr∆r (T − T f
⎥
dr
⎣
⎦
Upraszczając:
−
Podstawiając prawo Fouriera:
Robimy podstawienie:
d (rtq )
− α r (T − T f
dr
)
dT
d 2T
r
r
+
− β 2 r 2 (T − T f
2
dr
dr
2
ϑ=
T − Tf
T0 − T f
)
z = βr
)
β 2 = m2 =
αP
λA
Żebra o zmiennym przekroju
dT
d 2T
2 2
r
β
r (T − T f
r
+
−
2
dr
dr
2
Równanie przewodzenia ciepła:
T − Tf
β 2 = m2 =
z = βr
Podstawienie:
ϑ=
Otrzymujemy równanie:
d 2ϑ
dϑ
z
+
z
− z2 ϑ = 0
2
dz
dz
Warunki brzegowe:
)
T0 − T f
2
r = r1
T = T0
⇒
z = z1 = βr1
r = r2
dT
=0
dr
⇒
z = z 2 = β r2
ϑ =1
dϑ
=0
dz
Możliwe jest znalezienie rozwiązania analitycznego w zależności od funkcji Bessela:
ϑ=
K1 (z 2 )
I (z )
I 0 (z ) + 1 2 K 0 (z )
F ( z1 , z 2 )
F ( z1 , z 2 )
Sprawność żebra okrągłego:
η=
F (z1 , z 2 ) = I 0 (z1 )K1 (z 2 ) + I 1 (z 2 )K 0 ( z1 )
(2r1 / β )
(r
2
2
− r12
)
K 1 (βr1 )I 1 (βr2 ) − I 1 (βr1 )K1 (βr2 )
K 0 (βr1 )I 1 (βr2 ) + I 0 (βr1 )K1 (βr2 )
αP
λA
Żebra o zmiennym przekroju
Żebra o zmiennym przekroju