WYK£AD 09a

Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
106
W Y K Ł A D IX
Grawitacja.
Siły grawitacyjne są najsłabsze z pośród czterech podstawowych sił przyrody. Są całkowicie zaniedbywalne
w oddziaływaniach między atomami i nukleonami w jądrze atomowym. Nie grają równieŜ roli w przyciąganiu
ciał o zwykłych rozmiarach, takich jak na przykład oddziaływanie grawitacyjne bloku mieszkalnego na
samochód. Jednak, kiedy wziąć pod uwagę bardzo duŜe obiekty: księŜyce, planety, gwiazdy, to siły grawitacji
odgrywają podstawową rolę. Z codziennego doświadczenia wiemy, Ŝe Ziemia przyciąga nas i otaczające
przedmioty. To siła grawitacji zmusza Ziemią i inne planety do ruchu w wokół Słońca. Siła grawitacji jest
odpowiedzialna za ewolucję gwiazd i ma określony wpływ na rozwój poznawalnego wszechświata.
10-1 Prawa Keplera.
Od zarania dziejów ludzkości widok
nocnego nieba z migoczącymi gwiazdami
Merkury
Wenus
Ziemia
Mars
Jowisz
zawsze fascynował człowieka. Jednak
dopiero w szesnastym wieku pokuszono
się o naukowy sposób opisania ruchu
planet. W roku 1543 powstało słynne
dzieło Kopernika „De
Uran
Rysunek 10-1
revolutionibus
orbium coelestium” („O obrotach ciał
Neptun
niebieskich”).
Pluton
Kopernika i inne dane analizujące ruch
planet
W
Kepler
oparciu
o
sformułował
prace
trzy
podstawowe prawa:
Pierwsze prawo :
Wszystkie planety poruszają się po orbitach eliptycznych i w jednym z ognisk tych elips
leŜy Słońce.
Drugie prawo :
Trzecie prawo :
Linia łącząca dowolną planetę ze Słońcem zakreśla jednakowe pole w jednostce czasu.
Okres obiegu danej planety wokół Słońca podniesiony do kwadratu jest proporcjonalny do
sześcianu wielkiej półosi orbity, po której porusza się planeta.
Rysunek 10-1 przedstawia orbity planet krąŜących wokół Słońca.
Elipsa jest miejscem geometrycznym punktów, dla których suma odległości od dwu ognisk jest stała, jak jest to
pokazane na rysunku 10-2. Rysunek 10-3 przedstawia poruszającą się planetę po orbicie eliptycznej i Słońce
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
107
znajdujące się w jednym z ognisk tej elipsy. Orbita Ziemi jest praktycznie okręgiem. Największe zbliŜenie Ziemi
do Słońca (peryhelium) wynosi 1,48 x 1011m, a najdalej Ziemia znajduje się w odległości 1,52 X 1011m od
Słońca (aphelium). Średnia odległość Ziemi od Słońca, równa długości duŜej półosi elipsy, wynosi 1,50 X
1011m. Ta średnia odległość jest jednocześnie równa jednostce astronomicznej:
1 j.a. = 1,50 x 1011m
10-1
Planeta
Słońce
Rysunek 10-2
Rysunek 10-3
Rysunek 10-3
Rysunek 10-4 ilustruje drugie prawo Keplera – prawo równych pól. Planeta porusza się szybciej, jeŜeli jest
bliŜej Słońca niŜ wtedy, kiedy jest dalej od niego. Zakreślone powierzchnie w czasie
∆t mają jednakowe pola.
Jest to związane z zasadą zachowania momentu pędu i będzie to pokazane dalej.
Planeta
Trzecie prawo Keplera moŜna zapisać
w postaci:
T 2 = Cr 3
Słońce
gdzie
Rysunek 10-4
r
10-2
oznacza średnią odległość
planety od Słońca, a
C
jest stałą,
jednakową dla wszystkich planet. Prawo
to jest konsekwencją faktu, iŜ siła wywierana przez Słońce na planetę jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu
odległości dzielącej te ciała.
10-2 Prawo grawitacji.
ChociaŜ prawa Keplera były waŜnym krokiem w kierunku zrozumienia ruchu planet, były jednak tylko
empirycznymi (doświadczalnymi) wzorami otrzymanymi na podstawie obserwacji astronomicznych. Dopiero
Newton powiązał przyspieszenia, jakie doznają planety ze szczególnym rodzajem sił wywieranych na nie przez
Słońce. Udowodnił on, Ŝe siła, która zmienia się odwrotnie proporcjonalnie wraz z kwadratem odległości planety
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
108
od Słońca wywołuje jej ruch po elipsie takiej, jaką przewidział Kepler. Newton przyjął śmiałe załoŜenie, Ŝe tego
rodzaju siła występuje między dowolnymi dwoma obiektami we wszechświecie. Prawo grawitacji Newtona
mówi, Ŝe siła przyciągania między dowolną parą ciał jest proporcjonalna do iloczynu mas tych ciał i odwrotnie
proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi. Ciało o masie
m1 działa na ciało o masie m2 oddalone o
od niego o r siłą daną wzorem:
F=
gdzie
Gm1m2
r2
10-3
G jest uniwersalną stałą grawitacyjną, której wartość wynosi :
G = 6 ,67 × 10 −11 N ⋅ m 2 / kg 2
10-4
Newton opublikował swoją pracę w roku 1686, ale dopiero sto lat później Cavendish doświadczalnie obliczył
G . JeŜeli połoŜenie masy m1 określa promień wodzący r1 , a połoŜenie m2 promień r2
r
10-5 ) , to siła F1,2 wywierana przez masę m1 na masę m2 moŜe być zapisana następująco:
wartość
r
Gm1m2
F1,2 = −
r̂1,2
r12,2
( Rysunek
10-5
Prawo grawitacji.
r
r1,2 jest wektorem skierowanym od masy m1 do masy m2
jednostkowym skierowanym od masy m1 do masy m2 . Siła
r
F 2 ,1 wywierana przez masę m2 na m1 , zgodnie z trzecią
zasadą dynamiki, jest taka sama co do wartości bezwzględnej, ale
r
przeciwnie skierowana niŜ F1,2 .
Znając G moŜemy policzyć siłę grawitacji między dwa
gdzie
i r̂1,2
r
= r1,2 / r1,2
zwykłymi ciałami.
Ćwiczenie. Znajdź siłę oddziaływania grawitacyjnego między 65cio kilowym chłopcem, a 50-cio kilową dziewczyną znajdującymi
się w odległości 0,5m od siebie. Przyjmij, ich masy za punktowe.
(Odpowiedź: 8,67 x 10-7N)
PowyŜsze ćwiczenie pokazuje, Ŝe siły oddziaływania między
ciałami posiadającymi zwykłe rozmiary są wyjątkowo małe. Dla
porównania; cięŜar osoby 50-cio kilogramowej wynosi 491N, co
stanowi około pół miliarda razy więcej niŜ siła obliczona w
Rysunek 10-5
jest wektorem
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
109
powyŜszym ćwiczeniu. Siła grawitacji zaczyna odgrywać waŜną rolę tylko wtedy, gdy chociaŜ jedno z ciał ma
duŜą masę na przykład, gdy Ziemia przyciąga człowieka.
W celu sprawdzenia słuszności proporcjonalności siły grawitacji do odwrotności kwadratu odległości
Newton porównał przyspieszenie orbitalne (dośrodkowe) KsięŜyca z przyspieszeniem przedmiotów w pobliŜu
powierzchni Ziemi (takimi jak legendarne jabłko). ZałoŜył on, Ŝe w obu przypadkach Ziemia wywołuje te
przyspieszenia. Przyjął, Ŝe Ziemię i KsięŜyc moŜna traktować jako punkty materialne. Siła działająca na cząstkę
o masie
m
znajdującą się w odległości
F=
r
od środka Ziemi jest równa:
GM Z m
r2
10-6
Z drugiej zasady dynamiki wynika, Ŝe przyspieszenie wynosi:
a=
F GM Z
= 2
m
r
10-7
Dla ciał znajdujących w pobliŜu powierzchni Ziemi
g=
r = RZ , a przyspieszenie wynosi g :
GM Z
RZ2
10-8
PoniewaŜ odległość do KsięŜyca jest około 60 razy większa niŜ promień Ziemi, to przyspieszenie w pobliŜu
powierzchni Ziemi (g = 9,81m/s2) powinno być 602 = 3600 razy większe niŜ przyspieszenie na KsięŜycu.
Przyspieszenie dośrodkowe KsięŜyca moŜna policzyć znając jego odległość od środka Ziemi r = 3,84 X 108m i
okres obrotu T = 27,3 dni = 2,36 X 106s:
(
)
v 2 (4π / T )2 4π 2 r 4π 2 3 ,84 × 10 8 m
aK =
=
= 2 =
= 2 ,72 × 10 − 3 m / s 2
2
r
r
T
2 ,36 × 106 s
(
)
Porównując przyspieszenia:
g
9 ,81m / s 2
=
= 3607 ≈ 60 2
−3
2
aK 2 ,27 × 10 m / s
Przytaczając słowa Newtona: „W związku z tym porównałem siłę wymaganą do utrzymania KsięŜyca na
swojej orbicie z siłą grawitacji na powierzchni Ziemi i stwierdziłem, Ŝe odpowiadają sobie wzajemnie.”
Przyjęcie załoŜenia, Ŝe Ziemia i KsięŜyc mogą być traktowane jako punkty materialne wydaje się do
zaakceptowania ze względu na duŜą odległość dzielącą te ciała. Jednak w przypadku Ziemi i ciała w pobliŜu jej
powierzchni ten warunek nie jest oczywiście spełniony. Newton, w wyniku przeprowadzonych obliczeń,
udowodnił, Ŝe siła wywierana przez dowolne ciało o symetrii sferycznej na punkt materialny znajdujący się na
lub nad tą powierzchnią jest taka sama jak gdyby cała masa ciała była skupiona w środku sfery.
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
PoniewaŜ
110
g = 9 ,81m / s 2 jest łatwo mierzalne, a promień Ziemi jest znany, to równanie 10-8 moŜe
słuŜyć do obliczenia albo stałej grawitacji G , albo do wyznaczenia masy Ziemi
wielkość jest znana. Newton obliczył wartość
G na
MZ
w zaleŜności , która
podstawie oszacowania masy Ziemi. Sto lat później
Cavendish wyznaczył stałą grawitacji mierząc siły działające między stosunkowo małymi kulami o znanych
masach. Nazwał on swoje doświadczenie „waŜeniem Ziemi”.
Cavendish uŜył przyrządów pokazanych na rysunku 10-6. Jego pomiary były później wielokrotnie
powtarzane z wieloma udoskoleniami. Jednak ze względu na słabość sił grawitacji wyniki pomiarów róŜniły się
za kaŜdym razem od siebie. Obecnie mimo stosowania bardzo czułych przyrządów dokładność pomiaru
G
wynosi tylko 1/10000.
Równowaga
Drut spręŜysty
PołoŜenie 1
PołoŜenie
równowagi
PołoŜenie 2
Rysunek 10-6 (a) Dwie małe kule kaŜda o masie m2 znajdują się na końcu lekkiego pręta przymocowanego
do cienkiej spręŜystej nici. Dokładne pomiary pozwalają ustalić jaki jest wymagany moment siły aby obrócić
pręt o określony kąt. Następnie umieszczane są dwie duŜe kule o masach m1 w pobliŜu małych kul i pręt obraca
się o niewielki kąt θ. (b) Widok z góry. Następnie zmienia się połoŜenie duŜych kul tak jak jest to pokazane linią
przerywaną – zajmują one połoŜenie z drugiej strony połoŜenia równowagi. W ten sposób moŜna zmierzyć kąt
2θ i w konsekwencji z większą dokładnością określić θ. Znając kąt θ i stałe skręcalności drutu moŜna obliczyć
siły działające między kulami, a znając ich masy m1 i m2 łatwo juŜ znaleźć G. Caendish określił stała grawitacji
G z dokładnością do 1% w stosunku do obecnie przyjętej wartości G danej równaniem 10-4.
Wyprowadzenie praw Keplera.
Newton wykazał, Ŝe jeŜeli ciała takie jak planeta, czy kometa poruszają się wokół źródła sił grawitacyjnych (
tzn. proporcjonalnych do1/r2)takiego jak Słońce, to torem ich ruchu jest elipsa, parabola lub hiperbola. JeŜeli
ciało
porusza
się
po
orbicie
parabolicznej albo hiperbolicznej, to
Planeta
zbliŜa się do Słońca i następnie oddala
się w nieskończoność. Orbity te nie są
orbitami zamkniętymi. Tylko orbity
eliptyczne są zamknięte. Tak więc,
pierwsze
prawo
Keplera
jest
Słońce
konsekwencją faktu, Ŝe na planety działa
Rysunek 10-7
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
111
siła grawitacyjna, która zgodnie z prawem grawitacji musi być proporcjonalna do 1/r2. Drugie prawo Keplera –
prawo równych pól wynika z faktu, Ŝe siły wywierane przez Słońce na planety są skierowane dokładnie w
kierunku Słońca. Siły takie nazywamy siłami centralnymi. Rysunek 10-7 przedstawia planetę poruszającą się
po orbicie eliptycznej wokół Słońca. W czasie
dt planeta
przebywa drogę
vdt i
zakreśla powierzchnię
pokazaną na rysunku. Jak widać, jest to połowa równoległoboku o bokach utworzonych przez
którego powierzchnia jest równa
r
r
w czasie
r r
r × v dt
r
r
i
r
v dt ,
. W rezultacie pole powierzchni zakreślone przez promień wodzący
dt wynosi :
dA =
r
1r r
1 r
r × vdt =
r × mv dt
2
2m
lub
1
Ldt
2m
dA =
10-9
r r
r
L = r × mv jest momentem pędu planety względem Słońca. Zatem powierzchnia zakreślona w
ciągu czasu dt jest proporcjonalna do momentu pędu L . PoniewaŜ siła działająca na planetę leŜy wzdłuŜ linii
gdzie
łączącej planetę ze Słońcem, to moment siły grawitacyjnej względem Słońca jest równy zero. A zatem moment
pędu jest zachowany, czyli
L jest stałe. W rezultacie powierzchnia zakreślana przez planetę w danym czasie
musi być jednakowa dla wszystkich części orbity tej planety – co jest treścią drugiego prawa Keplera.
JeŜeli przyjąć, Ŝe planeta porusza się po okręgu, to łatwo udowodnić trzecie prawo Keplera. RozwaŜmy
planetę poruszającą się po okręgu o promieniu
planeta doznaje przyspieszenia dośrodkowego
r
z prędkością
v
wokół Słońca. Siła grawitacji powoduje, Ŝe
v 2 / r . Z drugiego prawa dynamiki
F = mpa
otrzymujemy:
GM S m p
r2
gdzie
v2
= mp
r
10-10
M S jest masą Słońca, a m p jest masą planety. Wyznaczmy v 2 :
v2 =
GM S
r
PoniewaŜ planeta pokonuje drogę
v=
2πr
T
10-11
2πr
w czasie T , to jej prędkość jest równa:
10-12
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
112
Podstawiając to do równania10-11 otrzymamy:
4π 2 r 2 GM S
v =
=
r
T2
2
lub
4π 2 3
T =
r
GM S
2
10-13
Trzecie prawo Keplera
Równanie 10-13 jest takie samo jak równanie 10-2 ze stałą
C = 4π 2 / GM S
.
W przypadku bardziej ogólnym, kiedy planeta porusza się po elipsie dowód jest bardziej skomplikowany. W
tym przypadku promień
elipsy
r
jest średnią odległością planety od Słońca i jest jednocześnie równy duŜej półosi
a.
10-3 Grawitacyjna energia potencjalna.
W pobliŜu powierzchni Ziemi siła grawitacji wywierana przez Ziemię na ciało jest stała, poniewaŜ odległość
do środka Ziemi
r = RZ + h jest
praktycznie równa
potencjalna ciała w pobliŜu powierzchni Ziemi wynosi
wybrana na powierzchni Ziemi
RZ
ze względu na to, iŜ
mg (r − RZ ) = mgh ,
h << RZ . Energia
gdzie
U =0
została
r = RZ . Jednak kiedy znajdujemy się daleko od powierzchni Ziemi musimy
uwzględnić fakt, Ŝe siła grawitacyjna wywierana przez Ziemię nie jest stała, a maleje jak
1 / r 2 . Ogólna
definicja energii potencjalnej (Równanie 6-21b) ma postać
gdzie
r
F jest
r r
dU = − F ⋅ ds
siłą zachowawczą działającą na cząstkę, a
r
ds jest
wektorem przemieszczenia cząstki. W
przypadku siły grawitacyjnej, która jest siłą centralną, daną równaniem 10-6 otrzymamy:
r r
GM Z m
 GM Z m 
dU = − F ⋅ ds = − Fr dr = − −
dr
dr = +
2
r
r2


Całkując obustronnie to równanie otrzymujemy:
U =−
GM Z m
+ U0
r
gdzie U 0 jest stałą całkowania.
10-15
10-14
Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz
113