0 Pojęcia wstępne dla równań różniczkowych zwyczajnych

0. Pojęcia wstępne
0
0–1
Pojęcia wstępne dla równań
różniczkowych zwyczajnych
Umowa. Symbole I, J będą oznaczać przedziały (a, b), [a, b), (a, b], lub
[a, b], gdzie a < b (dopuszczamy przedziały nieograniczone). Dla funkcji
(odwzorowania, przekształcenia, itp.) symbol D(f ) będzie oznaczać
dziedzinę f .
Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu (w postaci normalnej)
nazywamy zależność typu
(0.1)
x(n) = f (t, x, x0 , x00 , . . . , x(n−1) ),
gdzie x = x(t) jest szukaną funkcją zmiennej niezależnej t, zaś f jest zadaną
funkcją n + 1 zmiennych.
Niekiedy będziemy rozpatrywać też równanie różniczkowe zwyczajne n-tego
rzędu w postaci uwikłanej :
(0.2)
F (t, x, x0 , x00 , . . . , x(n−1) , x(n) ) = 0,
gdzie x = x(t) jest szukaną funkcją zmiennej niezależnej t, zaś F jest
zadaną funkcją n + 2 zmiennych.
Przez rozwiązanie równania (0.1) na I będziemy rozumieć funkcję
ϕ : I → R, n-krotnie różniczkowalną na I, i taką, że
(t, ϕ(t), ϕ0 (t), ϕ00 (t), . . . , ϕ(n−1) (t)) ∈ D(f )
dla każdego t ∈ I
oraz
ϕ(n) (t) = f (t, ϕ(t), ϕ0 (t), ϕ00 (t), . . . , ϕ(n−1) (t))
dla każdego t ∈ I.
Analogicznie, rozwiązanie równania (0.2) na I to funkcja ϕ : I → R,
n-krotnie różniczkowalna na I, i taka, że
(t, ϕ(t), ϕ0 (t), ϕ00 (t), . . . , ϕ(n−1) (t), ϕ(n) (t)) ∈ D(F )
dla każdego t ∈ I
oraz
F (t, ϕ(t), ϕ0(t), ϕ00 (t), . . . , ϕ(n−1) (t), ϕ(n) (t)) = 0
dla każdego t ∈ I.
Łatwo zauważyć, że gdy prawa strona f równania (0.1) jest funkcją ciągłą,
to rozwiązanie ϕ tego równania jest funkcją n-krotnie różniczkowalną w
sposób ciągły na I.
0–2
Skompilował Janusz Mierczyński
Przykład . Rozpad promieniotwórczy.
Niech t oznacza czas, zaś m(t) masę substancji promieniotwórczej w chwili
t. Ponieważ jądra atomowe rozpadają się niezależnie od siebie, szybkość
rozpadu substancji promieniotwórczej jest wprost proporcjonalna do jej
ilości, czyli
(0.3)
m0 = −km,
gdzie k > 0 jest stałą (niezależną od t ani od m).
Każda funkcja m(t) = Ce−kt , gdzie C jest stałą, jest rozwiązaniem równania
(0.3). (Oczywiście, rozwiązania z C < 0 nie mają interpretacji fizycznej.)
Załóżmy, że wiemy, że w chwili początkowej t0 masa substancji
promieniotwórczej wynosiła m0 > 0.
m0 = m(t0 ) = Ce−kt0 ,
stąd C = m0 ekt0 .
Podstawiając wyliczoną wartość stałej C do wzoru na rozwiązanie
równania, otrzymujemy funkcję
m(t) = m0 e−k(t−t0 ) .
Przykład ten pozwoli lepiej zrozumieć sens poniższej definicji. Rozpatrzmy
równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
(0.4)
x0 = f (t, x),
gdzie D(f ) jest otwartym podzbiorem R2 . Warunek
(0.5)
x(t0 ) = x0 ,
gdzie t0 i x0 są zadanymi liczbami takimi, że (t0 , x0 ) ∈ D(f ), nazywamy
warunkiem początkowym dla równania (0.4).
Zagadnieniem początkowym dla równania (0.4) nazywamy zadanie
polegające na znalezieniu rozwiązania równania (0.4) takiego, że t0 ∈ I oraz
x(t0 ) = x0 (inaczej, rozwiązanie zagadnienia początkowego (0.4)+(0.5) to
rozwiązanie równania różniczkowego (0.4) na przedziale I 3 t0 takie, że
ϕ(t0 ) = x0 ).