Odwracalne mnożenie

Mnożenie?
:)
Odwracalne
mnożenie
Literatura:
Szczepan Jeleński, „Lilavati”.
Prowadzący:
Edyta Kapelańska
Patrycja Godlewska
czynni
iloczyn
ki
Mnożenie jest skróconym zapisem dodawania tych
samych składników.
+
+
+
=4∙
 Liczba 1 jest elementem neutralnym mnożenia,
432 ∙ 1 = 432
np.:
 Mnożenie jest przemienne: a ∙ b = b ∙ a, np.:
12 ∙ 2 =2 ∙ 12 = 24
 Mnożenie jest łączne: a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c, np.:
3 ∙ (4 ∙ 5) =(3 ∙ 4) ∙ 5 = 60
 Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania:
a⋅ (b + c) = a⋅ b + a ⋅ c, np.:
5 ∙ (2 + 7) = 5 ∙ 2 + 5 ∙ 7 =45
8 ∙ 2 = 16
7∙9
= 63
8 ∙ 7 = 56
14 ∙ 12 = 168
1458 ∙ 100 = 145800
25 ∙ 1000 = 25000
28 ∙ 3 = 84
25 ∙ 9 = 225
Krótka
powtórka z
tabliczki
mnożenia.
Znasz wynik?
Tak nazywa się mnożenie liczb, które po
„odwróceniu” ( czyli czytane wspak) dają
iloczyny dwóch czynników, jakby w lustrze
odbitych.
Konstrukcja tego mnożenia jest niezwykle
prosta. Działanie mnożenia należy czytać
wspak, czyli od prawej do lewej. Warto
jednak wspomnieć, że iloczyn tylko
wybranych liczb ma taką własność.
12 ∙ 3 = 36 63 = 3∙ 21
Zasady konstrukcji przykładów
Aby odnaleźć inne liczby, których mnożenie
jest „odwracalne” musimy pamiętać aby
unikać cyfr, których iloczyn jest większy od 9.
25 * 27
=
675
|
576 = 72
*
52
Oczywiście, że to nie jest
prawdą!
72 * 52 = 3744
Odwracalne kwadraty liczb
dwucyfrowych.
12 ∙ 12 = 144, a 21 ∙ 21 = ?
12
∙
12 = 144
|
=
∙
Sprawdźmy na kalkulatorze czy
to prawda.
TAK JEST! :)
Tak, to jest prawdą.
21 ∙ 21 = 441
Odwracalne kwadraty
liczb trzycyfrowych
10 2
∙
1 0 2 = 1 0 4 0 4|
=
∙
Sprawdźmy przy pomocy kalkulatora
czy to prawda.
HUUURA!
Oczywiście, że jest to prawdą.
Omówienie kwadratów liczb
prawie „odwracalnych”.
Liczby niezupełnie „odwracalne” lecz
zbliżone do nich są kwadraty liczb, które
składają się z tych samych cyfr, tylko w
innej kolejności.
Omówmy przykłady takich liczb.
132 = 1 6 9
142 =
Wiemy, że 132 = 169, a 142
A teraz liczby trzycyfrowe
913 2 = 833569, a 914 2=?
9132 = 833569
9142 =
Sześciany tego rodzaju
3453 = 41 063 625
Sprawdźmy kwadrat liczby 384.
3453 = 4 1 0 6 3 6 2 5
3843 =
Sprawdźcie sami (jako ćwiczenie) liczbę 405.
Znaczne ciekawsze pary
liczb.
Mamy również liczby bardziej „przebojowe”,
ponieważ nie tylko kwadraty, ale i „kwadraty
kwadratów” składają się z tych samych cyfr.
Sprawdźmy na przykładach.

322 = 1 0 2 4
492 =
324 = 1 0 4 8 5 7 6
494 =
Liczby „spowinowacone”
Mamy również inny rodzaj liczb cyfrowo
„spowinowaconych”, są to pary liczb o
takiej własności, że ich iloczyn składa się z
cyfr danych liczb.
Również sprawdźmy to na przykładach.
15 ∙ 93 = ?
1 5 ∙ 93 =
35 ∙ 41= ?
35
∙
4 1=
Znalezienie takich kolejnych liczb jest
bardzo trudne, czasochłonne… a
niestety
żadnej nagrody Abela lub innej z tego
powodu nie dostaniemy :)
Ciekawostka
Pewien matematyk francuski nadesłał w roku
1948 do amerykańskiego miesięcznika
matematycznego American Monthly zadanie i
żądał w nim znalezienia takiej liczby naturalnej
n, która spełnia warunek:
n3 = 19000458461599776807277716631
A także prosił o sprawdzenie, że nie tylko sama
ta 29-cyfrowa liczba dzieli się przez n ale i także
z dwudziestu ośmiu jej przedstawień cyklicznych
dzieli się przez n bez reszty.
Aby ułatwić pracę wyrażamy przypuszczenie,
że chodzi tu o liczbę n = 2668423111.
Co przez to rozumieć?
n 3 = 266842311 ∙ 266842311 ∙ 266842311 =
19000458461599776807277716631
Zatem się zgadza :)
Sprawdźmy teraz czy kolejne przestawienia
cykliczne 29-cio cyfrowej liczby dzielą się
przez naszą liczbę n bez reszty.
Przestawiamy 1 na koniec naszej długiej
liczby, czyli mamy:
19000458461599776807277716631
i dzielimy przez 2668423111.
Wynik to:
3.3729502733270911201 ∙ 10^19 =
33729502733270911201, czyli wynika z tego,
że dzieli się bez reszty.
Dalej przestawiamy 9 na koniec ( zera
znikają), więc nasza liczba wygląda
następująco:
9 0004584615997768072777166311
Dzielimy ją przez naszą liczbę n,
otrzymujemy wynik:
1.7180993444663929 ∙ 10^16 =
17180993444663929,
czyli też dzieli się bez reszty.
Powtarzając dalej taką czynność okazuje się, że
każde z dwudziestu ośmiu przestawień liczby:
19000458461599776807277716631
dzieli się przez 2668423111 bez reszty.
Krótkie podsumowanie
Dowiedzieliśmy się o ciekawych
własnościach mnożenia niektórych par
liczb, czy kwadratów niektórych liczb, jak
również powtórzyliśmy wiadomości na
temat mnożenia liczb.
Dziękujemy za uwagę.
Wesołych świąt!