4. Szybka metoda mnożenia z Indii Niekonwencjonalne, szybkie

Wyniki ankiety
1. Jakich sposobów używasz do
liczenia podczas sprawdzianów?
10%
5%
2. Często korzystasz z kalkulatora do
mnożenia 2 i 3 cyfrowych liczb?
25%
40%
kalkulator
40%
pod kreskę
nie
w pamięci
45%
tak
czasami
na palcach
35%
3. Z jakimi działaniami masz
najwięcej problemów?
4. Jakie znasz inne sposoby
liczenia liczb?
dodawanie
25%
żadnych
15%
30%
odejmowan
45%
ie
25% mnożenie
35%
metoda
japońska
na palcach
10%
dzielenie
15%
kalkulator
Co to jest liczba?
Skąd wzięła się matematyka?
W jaki sposób liczyli nasi przodkowie, zarówno ci z czasów
starożytnych, ale także i ci bliscy nam – nasi rodzice,
dziadkowie, pradziadkowie?
Są to pytania, które być może część z was stawiała sobie
ucząc się matematyki.
Człowiek potrafił liczyć już w epoce pierwotnej,
choć nie znał jeszcze cyfr. Wyniki swoich obliczeń
zapisywał na kościach, nacinając na nich kreski.
Za najstarszy zapis liczby uważa się 55 nacięć na
kości wilka sprzed 30 tysięcy lat. Kość tę
znaleziono w Czechach w 1937r. W latach 60
ubiegłego wieku w Afryce znaleziono kości z
wyrytymi na nich karbami liczące ponad 25 000 lat.
W dzisiejszych czasach, kiedy musimy wykonać jakieś skomplikowane obliczenia,
sięgamy po kalkulator lub włączamy komputer. Pierwszy daje nam możliwość
wykonywania raczej prostszych obliczeń , za to za pomocą bardzo
zaawansowanych programów komputerowych obliczenia te mogą być już bardzo
skomplikowane.
Oczywiście możemy liczyć na palcach, w pamięci, lub za pomocą kartki i ołówka,
jednak maszyny liczące są zdecydowanie szybsze i wygodniejsze. Jednak jak radzili
sobie z trudnymi rachunkami ludzie w czasach, gdy nie znano jeszcze elektroniki?
Dalszy rozwój matematyki wiąże się z
rozwojem cywilizacji i można go podzielić na
dwa nurty: praktyczny oraz teoretyczny.
Wiadomo, że potrzeba liczenia brał a się
z problemów czysto praktycznych, takich jak
budowanie mostów, domów, maszyn
oblężniczych, czy rozszyfrowywanie zagadek
astronomicznych.
Warto teraz rozważyć w jaki sposób rozwijały się „ maszyny”
liczące. Pierwszym znanym, poza palcami, narzędziem
wspomagającym liczenie były używane przez Chińczyków
patyczki. Rachowanie za ich pomocą pozwalało dodawać i
odejmować . W celu zsumowania dwóch liczb układano dwie
kupki z ilością patyczków odpowiadającą dodawanym liczbom,
a następnie po połączeniu ich liczono patyczki ponownie.
Innym urządzeniem wspomagającym obliczenia było inkaskie
kipu, którego użycie polegał o na wiązaniu supełków w
odpowiednich miejscach. Niestety ich odczytanie do tej pory
nie jest całkowicie możliwe, dlatego nie znamy w pełni jego
możliwości obliczeniowych.
Kolejnym, tym razem dużo bardziej
zaawansowanym urządzeniem liczącym
było
liczydło. Wykorzystywano je już w
starożytnej Gracji, Chinach oraz Japonii.
Jest ono tak
proste w obsłudze, a zarazem pozwala w
bardzo krótkim czasie wykonywać
dodawanie,
odejmowanie, mnożenie, a najbardziej
wprawionym użytkownikom nawet
dzielenie, że przetrwał o próbę czasu i jest
wykorzystywane do dziś .
Uniwersalizm liczydła spowodował przestój
w rozwoju maszyn liczących. Przez
wieki rozwijał y się przeróżne metody
rozwiązywania równań , układów równań ,
które pozwalały w coraz to szybszy i
dokładniejszy sposób znajdować
rozwiązania problemów, lecz wszystkie
one wymagały liczenia bądź w pamięci,
bądź za pomocą kartki lub liczydła.
Rozwój urządzeń liczących rozpoczęło na nowo
wynalezienie w XVII w. suwaka logarytmicznego. Jest to
rodzaj linijki z wysuwanym środkiem działają ca na
zasadzie
dodawania logarytmów, dzięki której można mnożyć,
dzielić , obliczać kwadraty, sześciany , odwrotności liczb,
a także sinusy i tangensy. Funkcjonuje na zasadzie
przesuwania
podziałki. Był używany zwłaszcza przez inżynierów
jeszcze w latach osiemdziesiątych XX w, a niektórzy
korzystają z niego nawet dziś . Dobrze wprawiony
użytkownik potrafił
wykonywać skomplikowane obliczenia szybciej niż na
kalkulatorze.
Dalszy rozwój maszyn służących do liczenia
związany jest z urządzeniami i działającymi
na zasadzie kół zębatych oraz przekładni,
czyli z użyciem mechaniki.
Pierwsze takie maszyny powstały pod
koniec XVII w, więc w okresie zbliżonym do
wynalezienia suwaka logarytmicznego.
Końcową formę przybrały suwaki w XIX w.,
otrzymując nazwę „ arytmometr” , lub
potocznie „ kręciołek” . Nazwa wzięła się
stąd, że dodawanie i odejmowanie przy jego
pomocy, polegał o na wielokrotnym
pokręcaniu korbki. Najpóźniejsze formy tego
narzędzia potrafiły nawet wyliczać
pierwiastki. Arytmometr był bezpośrednim
poprzednikiem kalkulatora i używany był do
drugiej połowy XX w, zwłaszcza przez
księgowych.
W czasach nam współczesnych pojawia
się elektronika, która pozwala wykonywać
ogromną ilość obliczeń w bardzo krótkim
czasie. Pojawiły się kalkulatory będące
podstawą dzisiejszych rachunków oraz
komputery. Ciekawe jakie urządzenia
wymyślą następne pokolenia?
O to kilka przykładów
różnych metod liczenia:
1. Szybka tabliczka mnożenia metoda graficzna
- sposób japoński mnożenie (źródło:
http://www.youtube.com/watch?v=e-P5RGdjICo)
2. Mnożenia dowolnej cyfry przez 9.
Wyciągnij przed siebie obie dłonie i szeroko rozsuń palce.
1. Aby pomnożyć szybko 9 przez dowolną cyfrę od 1 do
10, wystarczy, że zegniesz odpowiadający jej palec
(licząc od lewej), np. jeśli chcesz pomnożyć przez 4,
zegnij czwarty palec od lewej strony.
2. Zwróć uwagę, że po lewej stronie od zgiętego palca
pozostały 3 wyprostowane, natomiast po prawej stronie
pozostało 6 wyprostowanych. Jak by nie patrzeć,
wynikiem mnożenia 4 x 9 musi być 36!
3. Spróbuj sam dla innych kombinacji.
3. Mnożenie przez 6,7 i 8
Oto sposób mnożenia na palcach liczb większych od 5. Chcąc
skorzystać z tej metody, musimy dobrze już mnożyć do 25. Mamy
wykonać mnożenie: 7 x 8
Ale 7 = 5 + 2, a 8 = 5 + 3, to znaczy
7 • 8 = (5 + 2) • (5 + 3)
Należy podnieść 2 palce u jednej ręki i 3 palce u drugiej ręki. Suma
palców podniesionych (2 + 3) wskaże cyfrę dziesiątek iloczynu (5), a
jedności iloczynu otrzymamy mnożąc liczbę zgiętych palców jednej ręki
przez liczbę palców drugiej ręki: 3 x 2 = 6
4. Szybka metoda mnożenia z Indii
Hinduski sposób mnożenia liczb opiera się na tabelce.
Rozpowszechniony był w Europie w późnym Średniowieczu i w
czasach Odrodzenia.
69 x 24
Mnożymy liczbę dwucyfrową 69 przez dwucyfrową
24.
Potrzebny będzie kwadrat 2 x 2.
Pierwszy czynnik (69) wpisujemy u góry, drugi
czynnik (24) wpisujemy z prawej strony od góry.
Wykonujemy kolejno mnożenie wpisując wyniki do
tabeli i sumujemy cyfry wzdłuż przekątnych.
Przy wykonywaniu dodawania „na ukos” w drugiej
linii dostaliśmy 15. Ponieważ jest to liczba
dwucyfrowa, dlatego cyfrę dziesiątek (1) przenosimy
do kolejnego rzędu. Dostajemy 1656. Zatem 69 x 24
= 1656
6
1
9
1
1
8
2
2
6= 1 + 5
3
4
4
16556
1
5
2
4
6
Niekonwencjonalne,
szybkie metody
liczenia w pamięci
5. TABLICZKA MNOŻENIA OD 11 DO
19
Aby pomnożyć dwie liczby od 11 do 19 dodajemy do jednej z liczb cyfrę
jedności drugiej liczby i dopisujemy zero. Do tego wyniku dodajemy wynik
mnożenia cyfr jedności z obydwu liczb, np.:
17 x 19 = (19 + 7) x 10 + 9 x 7 = 260 + 63 = 323
lub:
(17 + 9) x 10 + 7 x 9 = 323
11
12
13
14
15
16
17
18
19
11
121
132
143
154
165
176
187
198
209
12
132
144
156
168
180
192
204
216
228
13
143
156
169
182
195
208
221
234
247
14
154
168
182
196
210
224
238
252
266
15
165
180
195
210
225
240
255
270
285
16
176
192
208
224
240
256
272
288
304
17
187
204
221
238
255
272
289
306
323
18
198
216
234
252
270
288
306
324
342
19
209
228
247
266
285
304
323
342
361
6.PODNOSZENIE DO KWADRATU LICZB
DWUCYFROWYCH
Aby podnieść do kwadratu liczbę dwucyfrową należy
wykonać trzy proste działania:
• Podnieść do kwadratu cyfrę jedności
• Pomnożyć obydwie cyfry i podwoić ten wynik
• Podnieść do kwadratu cyfrę dziesiątek
• np.:
23^2 = 529
1.
3^2 = 9
zapisujemy 9
2.
2 x 3 x 2 = 12
zapisujemy 2,
przenosimy dalej 1
3.
22 = 4
zapisujemy 5 (4 + 1 = 5)
7. PODNOSZENIE DO KWADRATU LICZB
Z 5 NA KOŃCU
Aby podnieść do kwadratu liczbę należy
wykonać dwa proste działania:
• Mnożymy liczbę dziesiątek przez liczbę o 1 od
niej większą
• Do otrzymanego wyniku dopisujemy 25
• np.:
35^2 = 1225
1. 3 x 4 = 12
zapisujemy 12
2. do otrzymanego wyniku dopisujemy 25
MNOŻENIE LICZB WIELOCYFROWYCH
PRZEZ 11
•
•
•
•
Aby pomnożyć jakąkolwiek wielocyfrową liczbę przez 11, wykonujemy
następujące działania:
Przepisujemy pierwszą cyfrę (poczynając od prawej strony liczby)
Dodajemy pierwszą i drugą cyfrę i zapisujemy wynik. Jeżeli jest on
dwucyfrowy, zapisujemy cyfrę jedności a dziesiątki przenosimy dalej.
Powtarzamy poprzednie działanie, dodając cyfry drugą i trzecią, trzecią i
czwartą itd.... aż dodamy przedostatnią i ostatnią.
Przepisujemy ostatnią cyfrę.
Np.:
1793 x 11 =
19723
1. Przepisujemy 3
2. 3 + 9 = 12
3. 9 + 7 = 16 ,
16 + 1 = 17
4. 7 + 1 = 8 , 8 + 1 = 9
5. przepisujemy 1
6. łączymy wszystkie cyfry:
19723
DZIELENIE PRZEZ 5
Aby podzielić jakąkolwiek liczbę przez 5 należy daną liczbę
pomnożyć przez 2 i dopisać przecinek, odliczając jedno
miejsce od końca wyniku, np.: 60 : 5 = 12,0
DZIELENIE PRZEZ 25
Aby podzielić jakąkolwiek liczbę przez 25 należy daną liczbę
pomnożyć przez 4 i dopisać przecinek, odliczając dwa miejsca
od końca wyniku, np.: 100 : 25 = 4,00
DZIELENIE PRZEZ 125
Aby podzielić jakąkolwiek liczbę przez 125 należy daną liczbę
pomnożyć przez 8 i dopisać przecinek, odliczając trzy miejsca
od końca wyniku, np.: 500 : 125 = 4,000
Wielu z nas chętnie żyłoby w świecie
bez matematyki i bez rozwiązywania
zadań rachunkowych. Jednak jej
historia pokazuje, ż e jest ona jedną
z gałęzi rozwoju cywilizacji, dzięki
niej możliwy był rozwój ludzkości.
Dzięki niej powstał a również
maszyna licząca, przed którą
siedzisz – komputer (bo pierwsze
komputery powstały w celu
wykonywania skomplikowanych
obliczeń ). Czy nadal chciał byś żyć
w czasach kiedy matematyka
dopiera powstawała, a wynalazcy
konstruowali liczydło?
Liczenie pieniędzy
• Kolejny dowód że
matematyka jest
potrzebna w
codziennym życiu
• Pieniądze można
przeliczać na różne
sposoby, w różnych
krajach spotykane są
przeróżne metody
liczenia pieniędzy
Źródło: http://www.milanos.pl/vid-24587-Sposoby-liczenia-pieniedzy-naswiecie.html
Autor: SAMIMYS
Bibliografia:
1. http://www.youtube.com/watch?v=e-P5RGdjICo
2. Źródło: http://www.milanos.pl/vid-24587-Sposobyliczenia-pieniedzy-na-swiecie.html
3. ŁUKASZ DAWIDOWSKI1”O historii matematyki i
liczenia”
4. Zajączkowski.org „Szybki algorytm mnożenia”