STEROWANIE UKŁADAMI NIELINIOWYMI–LABORATORIUM. ZESTAW ZADAŃ DO KARTKÓWKI 4 PIOTR GRABOWSKI 1 Celem stabilizacji układu liniowego ( (1.1) ẋ1 = bx2 + u1 ẋ2 = dx2 + u2 ) zastosowano ujemne sprzężenie zwrotne u1 f1 (x1 ) u= =− . u2 f2 (x1 ) Wzorując się na przykładzie [1, Example 4.1], przedstawionym na wykładzie, podać uogólnione, globalne warunki Hurwitza i uzasadnić, że po uzupełnieniu ich warunkiem analogicznym do [1, Formula (4.9)], gwarantują one globalną asymptotyczną stabilność zerowego punktu równowagi układu zamkniętego. 2 Każdy z poniższych układów sprowadzić do postaci oscylatora Liénarda: ( ) ẋ1 = x2 − F (x1 ) (2.1) , ẋ2 = −g(x1 ) podając wzory na transformację oraz funkcje g i F . ( ) ẋ = u + by (2.2) , ẏ = cx + dy (2.3) ( ẋ = ax + u ẏ = cx + dy ) , u = −f (x ) u = −f (y ) . 3 Znaleźć równoważne rozwiązanie zadania 1 poprzez sprowadzenie układu zamkniętego do postaci oscylatora Liénarda i skorzystanie z uogólnionych, globalnych warunków Hurwitza znanych dla tego oscylatora ze wcześniejszych wykładów. 1 2 PIOTR GRABOWSKI 4 Potraktować oscylator Liénarda (2.1) jako układ sterowania ( ) ẋ1 = x2 + u1 (4.1) , ẋ2 = u2 z ujemnym sprzężeniem zwrotnym u= u1 u2 =− F (x1 ) g(x1 ) . Wzorując się na przykładzie [1, Example 4.1], przedstawionym na wykładzie, zidentyfikować wszystkie macierze w układzie rozwiązujących równań Lurie [1, Formula (4.4)]. Czy można zastosować lemat [1, Lemma 4.1] do stwierdzenia, czy układ rozwiązujących równań Lurie posiada rozwiązanie – trójkę (H, G, V )? Wyliczyć, zdefiniowaną wzorem [1, Formula (4.12)], macierzową funkcję Popova Π(jω) dla tego zadania. 5 Rozważyć układ (5.1) ( ẋ1 = x2 ẋ2 = −u − x1 − x2 ) z ujemnym, nieliniowym sprzężeniem zwrotnym: u = −x13 . Zapisać nierówność x12 1 − x12 − x1 x2 ≥ 0 w formie [1, Formula (4.2)], tj. w formie kwadratowego ograniczenia nakładanego na stan i sterowanie, identyfikując: wymiary r i n, macierze M = M T , L i N = N T oraz zbiór otwarty Ω. Przyjmując zerową macierz Q, zastosować twierdzenie [1, Theorem 4.1] najpierw do wyznaczenia funkcjonału Lapunowa, a potem – obszaru atrakcji zerowego punktu równowagi w zamkniętym układzie sterowania. Wypisać drugi, tzn. potencjałowy składnik w prawej stronie wzoru [1, Formula (4.5)] jeśli Q 6= 01. Literatura [1] P. Grabowski, Nonlinear Control Systems, http://www.ia.agh.edu.pl/~pgrab/grabowski_files/ nonlinear/nonlinearse4.xml#x18-60004 1 Celowo założono Q = 0, gdyż w tym zadaniu dodanie składnika potencjałowego nie powoduje uzyskania lepszej estymaty obszaru atrakcji.