WdO1-14c
advertisement
Optyka współczesna pojedyncze jony i atomy ultraprecyzyjna Ultrazimne spektroskopia Elektrodynamika atomy i molekuły, kwantowa BEC (QED) Quantum Optyka Lasery Enhanced kwantowa Technologies Czas Metamateriały telekomunikacja, światłowody, optyka zintegrowana Impulsy femtoi attosekundowe optyka nieliniowa Literatura • Goodman, „Optyka Statystyczna” • Physics 285b. Modern Atomic and Optical Physics II, http://lukin.physics.harvard.edu/teaching.htm • Allen, Eberly, Rzążewski, "Rezonans optyczny" • Mechanika kwantowa : teoria nierelatywistyczna, L. D. Landau, E. M. Lifszic • Nonlinear optics, Robert W. Boyd Program części "O" 1. Pole E-M: przypomnienie i rozszerzenie, (nie)spójność i jej propagacja 2. Kwantowe pole E-M interferencja "kwantowa", parametryczny podział częstości 3. Atom izolowany w klasycznym polu polaryzacja, w tym nieliniowa, efekty spójne 4. Nobel 2012: inżynieria kwantowa na styku fotonów i atomów Podejście zorientowane na model kompletność (czy nie należy czegoś uwzględnić?) przewiduje znane zjawiska MODEL prostota (czy można coś pominąć?) pozwala opisać nowe pozwala zaprojektować eksperyment (lub jego część) Pole elektromagnetyczne: w stronę fotonów • • • • • • • Interferencja 2 wiązek gaussowskich Płytka 50/50 Impuls gaussowski Emisja dipola Mody wnęki Propagacja przez ośrodek z P Formalna analogia z oscylatorami harmonicznymi Interferencja 2 wiązek monochromatycznie, częstość 𝜔0 𝑥 𝐸1 𝑡 ∝ 𝛼1 + 𝛼1∗ 1 𝑖𝑘 𝑥 −𝑥 2/𝑤2 𝑢1 𝑥 = 𝑒 1 𝑒 𝑁 𝛼1 ~𝑒 −𝑖𝜔0𝑡 𝑘1 =? 𝛼2 𝐸 𝑥 ∝ 𝛼𝑛 𝑡 𝑢𝑛 𝑥 + 𝑐. 𝑐. 𝑛 f f Interferencja 2 wiązek 2 1 𝑖𝑘 𝑥 −𝑥 2/𝑤2 𝑢𝑛 𝑥 = 𝑒 𝑛 𝑒 𝑁 𝑘1 𝐸 𝑥 ∝ 𝛼𝑛 𝑡 𝑢𝑛 𝑥 + 𝑐. 𝑐. 𝑛 𝑘2 𝐼 𝑥 = 𝐸2 2𝜖0 𝑐2 𝑒 2𝑖𝑘𝑥 𝑥 ∝ 𝛼1 377Ω 2 𝑢1 2 + 𝛼2 2 𝑢2 2 + 2ℜ𝛼1 𝛼2∗ 𝑢1 𝑢2∗ 2|𝛼1 𝛼2 | cos(𝜙 + 𝑘𝑥 𝑥) ? Płaszczyzna odniesienia 𝛼1 𝑥 𝑧=0 oś 𝛼2 2|𝛼1 𝛼2 | cos(𝜙 + 𝑘𝑥 𝑥) f f Interferometr Macha-Zehndera 𝛼1 ekran 𝛼2 𝛼2′ = 𝛼2 𝑒 𝑖𝛿 Przestrzeń fazowa dla światła 𝐸2 𝐼 𝑥 = ∝ 𝛼1 2𝜖0 𝑐 2 uśrednianie • po czasie • wielu realizacjach 𝛼1 𝛼2∗ 2 𝑢1 2 + 𝛼2 2 𝑢2 2 + 2ℜ𝛼1 𝛼2∗ 𝑢1 𝑢2∗ p 𝛼1 = 𝑥1 + 𝑖𝑝1 2 𝛼2 x 𝐸1 (𝑡) = 𝑥1 cos 𝜔0 𝑡 + 𝑝1 sin 𝜔0 𝑡 Kwadratury pola E Uśrednianie – (nie)spójność wiele realizacji lub długi czas 𝛼1 𝜖 𝛼0 𝛼1 ′ p 𝛼1 ′ 𝛼2 𝜖 𝛼2′ = 𝛼2 𝑒 𝑖𝛿 | 𝛼1 ′ | < |𝛼1 | x 𝛼2 ’ ′ 𝛼1 𝛼2′∗ = 𝛼1 ′ 𝛼2′∗ - brak korelacji ekran Uśrednianie – (nie)spójność wiele realizacji lub długi czas 𝛼0 𝛼1 𝛼0 ′ 𝜖 𝛼1 ′ p 𝛼1 ′ 𝛼2 𝜖 𝛼2′ = 𝛼2 𝑒 𝑖𝛿 ekran | 𝛼0 ′ | < |𝛼0 | x 𝛼2 ’ ′ 𝛼1 𝛼2′∗ ≠ 𝛼1 ′ 𝛼2′∗ - korelacje, tutaj pełne Fizyka: interferometr mierzy różnicę faz Korelacje czasowe długi czas uśredniania 𝛼0 𝛼1 𝛼0 ′ 𝜖(𝑡) 𝛼1 ′ p 𝛼1 ′ 𝛼2 𝜖 | 𝛼0 ′ | < |𝛼0 | x 𝛼2 ’ 𝛼2′ = 𝛼2 𝑒 𝑖𝛿 ekran 𝛼1 ′𝛼2′∗ ∝ 𝛼0′ 𝑡 𝛼0′∗ 𝑡 + 𝜏 𝑡 = 𝐺1 𝜏 Fizyka: spójność czasowa, poszerzenie widma Przykład – światło termiczne jeden emiter 𝛼𝑛 𝑡 ∝ 𝑒 𝑖𝜙𝑛 𝑒 −𝑖𝜔0(𝑡−𝑡𝑛) 𝑒 −Γ(𝑡−𝑡𝑛)/2 dla 𝑡 > 𝑡𝑛 𝛼= 𝛼𝑛 𝛼 =0 𝑛 𝑡 𝐺1 𝜏 = 𝛼(0)𝛼 ∗ (𝜏) ∝ e𝑖𝜔0 𝜏−Γ𝜏/2 𝑒 Γtn 𝑛:𝑡𝑛 <0 𝑁 2 𝐼 𝜔 = 𝛼(𝜔) 2 = 𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜔𝑡 𝛼 𝑡 = ⋯ = ℱ 𝐺1 𝜏 ∝ 1 Γ 2 2 + (𝜔 − 𝜔0 )2 Fizyka: sumowanie natężeń a nie amplitud Stochastyczne zaburzenie fazy długi czas 𝐼(𝜔) 𝐺1 𝜏 = 𝛼0′ 𝑡 𝛼0′∗ 𝑡 + 𝜏 𝐺1 𝜏 = 𝛼0 𝛼0 𝑒 𝑖𝜔0 𝜖 𝑡 −𝜖 𝑡+𝜏 𝑡 𝜔 𝜔0 𝛼0 ′ 2 𝑡 𝜖(𝑡) 𝐼′(𝜔) 𝜋 𝜖(𝑡) 𝜏1 𝐺1 𝜏 ∝ 𝑃 𝑘, 𝜏 −1 𝜏3 𝑝 𝜏𝑛 ∝ 𝑒 −𝜏𝑛/𝑡𝑐 𝜔 𝜔0 𝜏2 𝑘 = 𝑒 −2𝑡/𝜏𝑐 𝑘 𝑘 przeskoków w czasie 𝜏 Zadanie 1. Sprawdzić tożsamość 𝐼 ′ 𝜔 = ℱ[𝐺1 𝜏 ] 2. Wyliczyć 𝐺1 𝜏 3. Wyliczyć 𝐼 𝜔 Dla przykładu z poprzedniego slajdu Impulsy częstość centralna 𝜔0 𝐸1 𝑡 ∝ ∫ 𝑑𝜔 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝛼1 𝜔 ∝ 𝑒 −𝜏 𝛼1 (𝜔) +c.c. 2 𝜔−𝜔0 2 /2 1 𝑖𝑘 𝑥 −𝑥 2/𝑤2 𝑢1 𝑥 = 𝑒 1 𝑒 𝑁 f f Impulsy prościej częstość centralna 1 𝑖𝑘 𝑥 −𝑥2/𝑤 2 −𝑡 2/2𝜏2 𝑢1 𝑥, 𝑡 = 𝑒 1 𝑒 𝑒 𝑁 𝐸1 𝑡 ∝ 𝛼1 𝑢1 (𝑡) +c.c. 𝛼1 f f Pojęcie modu – kwestia umowna 𝑥 𝑢1 𝑥 =… 𝛼1 𝛼2 𝐸∝ 𝛼𝑛 𝑢𝑛 + 𝑐. 𝑐. 𝑛 Płytka 50/50 𝛼2 𝛽= ? ? ? ? ? ? 𝛼1 𝛽1 ? 𝛼 ? = 1 1 1 2 1 1 przesuwanie faz na wszystkich wejściach? energia? 𝛽2 1 1 −1 2 1 1 1 1 𝑖 2 𝑖 1 Pomiar interferencyjny 𝛽 "lokalny oscylator" I1 𝛼 I2 - Detekcja homodynowa 𝛽 "lokalny oscylator" I1 𝛼= 𝜙 𝑥 + 𝑖𝑝 2 I2 𝐼1 − 𝐼2 = 4ℜ𝛽 ∗ 𝛼 najbardziej bezpośredni pomiar pola tzw. detekcja homodynowa 𝛽 𝛼 Selektywność modowa: praca ciągła E 𝛽 𝑡 = 𝛽𝐿𝑂 𝑢0 (𝑡) LO 𝛼+𝛽 2 2 Detektor wolny w stosunku do impulsów 𝑄 = 2ℜ 𝑑𝑡 𝛽 ∗ 𝛼 𝛼 𝑡 = 𝛼𝑛 𝑢𝑛 (𝑡) 𝑛 𝛼−𝛽 2 2 Selektywność modowa: praca ciągła 𝛽 "lokalny oscylator" I1 𝛼= 𝑥 + 𝑖𝑝 2 I2 𝐼1 (𝑡) − 𝐼2 (𝑡) = 4ℜ𝛽 ∗ (𝑡)𝛼(𝑡) 𝜙 𝛽 𝛼 Przykład – detekcja homodynowa światła termicznego 𝑝 𝑥 = 𝑥0 =? jeden emiter 𝛼𝑛 𝑡 ∝ 𝑒 −𝑖𝜔0(𝑡−𝑡𝑛) 𝑒 −Γ(𝑡−𝑡𝑛)/2 dla 𝑡 > 𝑡𝑛 𝑝 𝑥𝑛 = 𝑥0 = 𝑑𝜃𝑑𝑡 𝛿 𝑒 −Γ𝑡/2 cos 𝜃 − 𝑥0 𝑡 𝑝 𝑥𝑛 = 𝑥0 = 𝑑𝑥1 𝑝(𝑥1 ) … 𝑑𝑥𝑁 𝑝(𝑥𝑁 ) 𝛿 𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥0 𝑝 𝑛 Centralne twierdzenie graniczne Wynikiem detekcji szum gaussowski Widmo szumu? 𝑥 Radio LO DSP Mody wnęki 2𝜋c 𝐿 R ! 𝑧=0 𝑧 = 𝐿/2 Wiązki gaussa-hermita zależność od z/t: fala stojąca (przesunięcie Gouy'a) x,y: gauss-hermit 𝑢𝑛 𝑘 = 𝑤0 −𝑘 2 𝑤02 /2 𝐻 𝑘𝑤 𝑒 𝑛 0 𝜋2𝑛 𝑛! Emisja dipola Dla momentu dipolowego oscylującego z częstościa w i amplitudą d daleko (strefa promieniowania) 𝜔2 1 𝐸=− 4𝜋𝜖0 𝑐 2 𝑟 𝑖 𝑐 −𝑡 𝜔 𝑒 𝑟 𝑛× 𝑛×𝑑 d~cos(! t) przyspieszenie elektronu moc emitowana Jackson, Elektrodynamika klasyczna, rozdz. 9.2 𝜔4 𝑑 2 𝑃= 12𝜋𝜖0 𝑐 3 Dipol impulsowy 𝑑𝜔 𝑢 𝜔 𝑟 𝑖𝜔 𝑐 −𝑡 𝑒 𝑟 Dipol zmienny 𝑑 𝑡 = ℜ𝜎 𝑡 𝑒 𝑖𝜔0 𝑡 𝜎 𝑡− Czy to jest emisja do wszystkich modów Czy tylko do niektórych? 𝑟 𝑐 𝑟 𝑖𝜔0 𝑐 −𝑡 𝑒 𝑟 Moc wypromieniowana? Zanik dipola? Mody = byty niezależne Ortogonalne i zupełne • Fale płaskie • Mody wnęki • Fale sferyczne Prawie-zupełne? uzupełnialne? • Wiązki HG • Impulsy Rozkład pola E-M na mody • Klasyczne pola D(x,t) i B(x,t) można rozłożyć w bazie rozwiązań równań Maxwella (np. fal płaskich): 𝐷= −𝑝𝑛 𝑡 𝑢𝑛 (𝑥) 𝑛 𝐵= 𝑞𝑛 𝑡 𝑣𝑛 (𝑥) 𝑣𝑛 = 𝛻 × 𝑢𝑛 𝑛 wtedy współczynniki p i q spełniają równania oscylatora 𝑞𝑛 = 𝑝𝑛 /𝜖, 𝑝𝑛 = −𝜖𝜔𝑛2 𝑞𝑛 co oznacza przejście do innej bazy funkcji modowych? co z normalizacją? zamiana p na 2p itd.? zysk: uproszczenie do "czarnej skrzynki" I. & Z. Białyniccy, QED in Encyclopedia of Modern Optics, Elsevier Płytka 50/50: różne możliwości 𝛼2 Mody urywające się jak na rysunku Lub rozszczepiające się 𝛼1 𝛽1 𝛽2 Rozkład pola E-M na mody 2 • Klasyczne pola D(x,t) i B(x,t) można rozłożyć w bazie rozwiązań równań Maxwella (np. fal płaskich): 𝐷= −𝑝𝑛 𝑡 𝑢𝑛 (𝑥) 𝐵= 𝑞𝑛 𝑡 𝑣𝑛 (𝑥) 𝑣𝑛 = 𝛻 × 𝑢𝑛 𝑛 𝑛 wtedy współczynniki p i q spełniają równania oscylatora 𝑞𝑛 = 𝑝𝑛 /𝜖, 𝑝𝑛 = −𝜖𝜔𝑛2 𝑞𝑛 Chcemy, żeby problem stał się formalnie identyczny z zestawem oscylatorów harmonicznych, o częstościach wn i masach e. 𝐻= 𝑑3𝑟 𝐷2 𝐵2 + → 2𝜖 2𝜇 𝑘 𝑝𝑘2 𝜖𝜔𝑘2 𝑞𝑘2 + 2𝜖 2 wymusza to normalizacje modów u I. & Z. Białyniccy, QED in Encyclopedia of Modern Optics, Elsevier Rozkład pola 3 • Zapisaliśmy całe pole jako sumę modów • Każdy mod ewoluuje jak oscylator harmonicznym • Byty niezależne, hamiltonian sumą hamiltonianów • Łatwo kwantujemy 𝑝𝑘2 𝜖𝜔𝑘2 𝑞𝑘2 𝐻= + 2𝜖 2 𝑞𝑘 = 𝑝𝑘 /𝜖, 𝑝𝑘 = −𝜖𝜔𝑘2 𝑞𝑘 |3 𝑎𝑘 = |2 |1 |𝑛 𝑘 = 𝜖𝜔 𝑖𝑝𝑘 𝑞 + 2ℏ 𝑘 𝜖𝜔 𝑎𝑘†𝑛 𝑛! |0 |0 q 1 Oscylator harmoniczny Kwantowanie pola Kwantujemy każdy oscylator harmoniczny (osobno) wymuszamy wprowadzamy hamiltonian 𝑞𝑛 , 𝑝𝑚 = 𝑖ℏ𝛿𝑛𝑚 𝜖𝜔 𝑖𝑝𝑛 𝑞𝑛 + 2ℏ 𝜖𝜔 𝑎𝑛 = 𝐻= ℏ𝜔𝑘 𝑎𝑘 𝑘 operator pola 𝐷= † 1 𝑎𝑘 + 2 −𝑝𝑛 𝑡 𝑢𝑛 (𝑥) 𝑛 stany o ustalonej energii †𝑛 |𝑛𝑘 , 𝑛𝑙 , … 𝑛𝑚 = †𝑛𝑙 𝑎𝑘 𝑘 𝑎𝑙 †𝑛 … 𝑎𝑚 𝑚 𝑛𝑘 ! 𝑛𝑙 ! … 𝑛𝑚 ! |0 |nk |2k |1k |0 statystyka i charakterystyka modowa "Całe" pole kx ky mody w pudełku L3 kz Baza fal płaskich Normalizacja w pudle: 𝑢𝑘,𝜆 = 𝑒𝑘,𝜆 𝑉 e𝑖𝑘 ⋅𝑥 𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝑖 𝑘,𝜆 ℏ𝜔𝑘 𝑎𝑘,𝜆 𝑡 𝑒𝑘,𝜆 e𝑖𝑘 ⋅𝑥 + 𝐻. 𝑐. 2𝜖𝑉 Normalizacja w przestrzeni: 𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝑖 𝑘,𝜆 𝑢𝑘,𝜆 = 𝑒𝑘,𝜆 2𝜋 3/2 e𝑖𝑘 ⋅𝑥 ℏ𝜔𝑘 2𝜖 2𝜋 3 𝑎𝑘,𝜆 𝑡 𝑒𝑘,𝜆 e𝑖𝑘 ⋅𝑥 + 𝐻. 𝑐. w obrazie oddziaływania 𝑎𝑘,𝜆 𝑡 = 𝑎𝑘,𝜆 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 Stan koherentny oscylatora 𝑝 𝑎|𝛼 = 𝛼|𝛼 ℏ𝜖𝜔 |𝛼 = 𝑒 − 𝛼2 † 2 𝑒 𝛼 𝑎 |0 𝛼𝑝𝛼 ℏ𝜖𝜔 = 𝑎 − 𝑎† 𝑖 2 = 𝛼 − 𝛼∗ 𝑖 2 𝑝 ℏ𝜖𝜔 𝑝 𝑞 𝜖𝜔 𝑞 − 𝑞 𝑞|𝛼 ∝ exp 𝑖 − ℏ ℏ 2 2 𝑞 𝜖𝜔 ℏ Ewolucja czasowa oscylatora 𝐻 = ℏ𝜔 𝑎† 𝑎 + 1 2 𝑝 𝑞(𝑡) 𝑞(0) = 𝑅(𝜔𝑡) 𝑝(𝑡)/𝜖𝜔 𝑝(0)/𝜖𝜔 ℏ𝜖𝜔 𝑎 𝑡 = 𝑎 0 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝑞 𝜖𝜔 ℏ Pole elektryczne w st. koherentnym 𝑝 𝑞 𝜖𝜔 𝑞 − 𝑞 𝑞|𝛼 ∝ exp 𝑖 − ℏ ℏ 2 2 𝐸(𝑥, 𝑡) = − 𝑛 p fluktuacje q 𝑝𝑛 𝑡 𝑢𝑛 (𝑥) 𝜖0 Detekcja homodynowa stanu koherentnego p q 𝑝 𝑞 𝜖𝜔 𝑞 − 𝑞 𝑞|𝛼 ∝ exp 𝑖 − ℏ ℏ 2 2 Jeden foton stan własny operatora całkowitej liczby wzbudzeń z wartością własną równą 1. Da się zapisać jako: 𝑘 𝑐𝑘 𝑎𝑘 † |0 |1 = 𝑘 𝑐𝑘 𝑘 𝑎 † 𝑘 𝑎𝑘 𝑛𝑡𝑜𝑡 = 2 =1 Pole od 1. fotonu 𝐸(𝑥, 𝑡) = − 𝑛 𝑝𝑛 𝑡 𝑢𝑛 (𝑥) 𝜖0 𝑝 ℏ𝜖𝜔 = 𝑎 − 𝑎† 𝑖 2 Funkcja falowa 1 stanu wzbudzonego oscylatora w reprezentacji pędowej 𝑝|1 = 𝜖𝜔𝑝2 2 𝜖𝜔𝜋ℏ exp − 2ℏ 𝜖𝜔 𝑝 ℏ prawd.(E) Czas? E 1 foton Lvovsky et al., Phys. Rev. Lett. 87, 050402 (2001) Nic? 𝐸(𝑥, 𝑡) = − 𝑛 𝑝 𝑝𝑛 𝑡 𝑢𝑛 (𝑥) 𝜖0 ℏ𝜖𝜔 = 𝑎 − 𝑎† 𝑖 2 Funkcja falowa stanu podstawowego oscylatora w reprezentacji pędowej 𝜖𝜔𝑝2 𝑝|0 ∝ exp − 2ℏ 𝛽 prawd.(E) I1 I2
