Układy dynamiczne, chaos deterministyczny

Układy dynamiczne i całkowanie równań
różniczkowych zwyczajnych , układy nieliniowe i
chaotyczne
Zagadnienia:
•
•
•
•
Układy dynamiczne – przykłady
Całkowanie równań ruchu (Euler, Runge-Kutta)
Wykładniki Lyapunowa, chaos
Równanie logistyczne
Przykłady układów dynamicznych:
•
•
•
•
Oscylator harmoniczny, wahadło, Słońce – Ziemia (układ dwuciałowy)
Oscylator anharmoniczny, Słońce – Ziemia – Księżyc (układ trójciałowy)
Oscylator van der Pola (nieliniowe obwody elektroniczne) , atmosfera,
Turbulencja, rynki finansowe, ekosystemy
Całkowanie równań różniczkowych (zwyczajnych)
Ewolucja wielu układów opisywana jest równaniami różniczkowymi zwyczajnymi .
Numeryczne techniki całkowania tych równań bazują na metodzie Eulera:
Algorytm Eulera:
Rozpatrzmy równanie I rzędu:
Z warunkiem początkowym
𝑦 = 𝑦0 dla 𝑥 = 𝑥0
Algorytm Eulera
• Efektywność/dokładność algorytmu zależy od Δx i od tego na ile uzasadnione jest
liniowe przybliżenie w interwałach o długości Δx
• Trudno jest ustalić (w ogólności) jak małe musi być Δx aby osiągnąć zadaną
dokładność
Przykład:
Niech
z warunkiem początkowym
dla
(Ścisłym rozwiązaniem jest y(x)= x2 czyli y(2)=4)
Oblicz y dla x=2
Zmodyfikowany algorytm Eulera
𝑑𝑦
W zagadnieniach postaci 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 użyteczna jest modyfikacja algorytmu, gdzie f(x)
obliczane jest w połowie odcinka między 𝑥𝑛 a 𝑥𝑛+1:
𝑦𝑛+1
∆𝑥
= 𝑦𝑛 + ∆𝑥𝑓 𝑥𝑛 +
2
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + Δ𝑥
𝑑𝑦
Czy modyfikację tą można zastosować do zagadnień postaci 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 ?
Ważną rolę odgrywa całkowanie równań różniczkowych drugiego rzędu:
𝑎 = 𝐹(𝑦, 𝑣, 𝑡)/𝑚 (II zasada dynamiki Newtona)
Lub równoważnie:
𝑑2𝑦
𝑑𝑦
=
𝐹(𝑦,
, 𝑡)/𝑚
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
Dla równań II rzędu algorytm Eulera można zapisać jako:
Modyfikacje:
(A)
Euler-Cromer (pochodna liczona w tn+1 zamiast w tn)
Integrator symplektyczny – zachowuje energię układu
(B)
Euler - Richardson
Problem: Rozważ zagadnienie oscylatora 1-wymiarowego:
Niech k=m=1. Znajdź rozwiązanie metodą Eulera w przedziale 0<t<20. Wykreśl je.
Znajdź rozwiązanie zmodyfikowaną metodą Eulera:
- Najpierw (z użyciem zwykłej metody Eulera) znajdujemy wartości w połowie
ekstrapolowanego odcinka Δt/2:
- A otrzymane wartości używamy do obliczenia propagacji o Δt
Znajdź rozwiązanie w przedziale 0<t<20. Wykreśl je.
Zmodyfikowana metoda Eulera jest równoważna tzw. metodzie Runge-Kutta (R-K)
drugiego rzędu. W praktyce często wykorzystywana jest metoda R-K czwartego rzędu:
Czułość na warunki początkowe
• Niekiedy mała zmiana r lub x0 czyni ogromną
zmianę wyniku po n generacjach (“efekt
motyla”).
• Układ jest nieprzewidywalny!!
Wahadło z poziomym wymuszaniem
12
Ilościową miarą czułości na warunki początkowe jest wykładnik Lapunowa.
∆𝑥0 (𝑥0 , 𝑡) = ∆𝑥0 𝑒 l𝑡
l - wykładnik Lapunowa
Chaos : l > 0
(mała różnica w warunkach szybko narasta z czasem)
W jakich układach można spodziewać się l < 0?
Cechy chaosu
• Atraktory układów chaotycznych mają zwykle
strukturę fraktalną.
• Czułość na warunki początkowe – punkty,
które początkowo są blisko siebie w chwili
późniejszej stają się bardzo odległe.(Dodatnie
wykładniki Lyapunowa)
14
Chaos jest wszędzie
• Układy idealne to często nieważkie liny,
powierzchnie be tarcia, czy idealna próżnia.
Dla takich układów niekiedy otrzymujemy
eleganckie (podręcznikowe) rozwiązania.
• W rzeczywistych układach tarcie, opory
powietrza czy niesymetrycznośc prowadzi
często do nieprzewidywalności.
15
Przykłady chaosu
•
•
•
•
•
•
•
Astronomia (ruch planet i gwiazd)
Inżynieria (dynamika statków, ruch uliczny)
Turbulencja
Praca serca, mózgu
Biologia populacyjna, reakcje chemiczne
Pogoda
Ekonomia – szeregi czasowe, analiza rynków
finansowych
Implikacje filozoficzne (nieprzewidywalność, demon Laplace’a,…)
16
Różne typy wzrostu
Arithmetic Growth
y = 2x + 10
70
60
50
y
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
x
17
Quadratic Growth
y = x 2 - 2E-13x
1200
1000
y(x)
800
600
400
200
0
0
5
10
15
20
25
30
35
x
18
Cyclic Growth & Decay
1.5
1
y(x)
0.5
0
0
1
2
3
4
-0.5
-1
-1.5
x
5
6
7
Geometric Growth
y = e0.4055x
45
40
35
y(x)
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
x
20
Wzrost populacji
• Każdego roku populacja ryb w jeziorze
przyrasta o 10%.
– Nn liczebność populacji w n-tej generacji.
– r=1.1 stała wzrostu .
– Równanie różnicowe: Nn+1=rNn.
• Dla N1=100 w kolejnych generacjach
otrzymujemy 110, 121, 133, 146, 161, …
21
Rozwiązanie analityczne
• Prędkość zmiany N :
dN
 N
dt
• Separacja zmiennych:
• Obustronne całkowanie:
dN
 dt
N
N
t
dN '
N N '  0 dt '
0
 N 
  t
ln 
 N0 
22
Wzrost populacji – c.d.
• Odwrócenie logarytmu:
 N  t

  e
 N0 
• Daje:
t
N  N 0e
• W tym przykładzie mamy wzrost geometryczny
23
Te systemy są przewidywalne
• Wzrost arytmetyczny, kwadratowy,
geometryczny czy cykliczny są
przewidywalne (z analitycznymi
rozwiązaniami)
• Stan x(t) w czasie t może być przewidziany
w oparciu stan układu w chwili t=0 (z
użyciem prostych wzorów).
• Pożyczka w banku na stały procent,
napełnianie wodą pojemnika czy wahadło
to przykłady układów przewidywalnych.
24
Liniowość
• Układy liniowe są łatwe do zrozumienia:
zwiększ wejście 2 razy to wyjście również
wzrośnie 2 razy.
25
Nieprzewidywalność
• Nie wszystkie systemy są przewidywalne.
• Dla pewnych systemów rozwiązania
analityczne nie istnieją.
• Rozważymy teraz przykład takiego procesu
– tzw. Wzrost logistyczny.
• Wzrost logistyczny to przykład
nieliniowego układu dynamicznego
26
Wzrost logistyczny
• Opisuje zachowanie się populacji w
warunkach ograniczonych zasobów
(pożywienie, woda, energia).
• Wzrost populacji jest ograniczony przez
pojemność środowiska K.
• Populacja przyrasta, lecz wzrost się nasyca
w miarę osiągania pojemności środowiska.
27
Co w granicy?
• Chcielibyśmy znać liczebność populacji N w
miarę zbliżania się do pojemności środowiska
K.
• Czy nasyci się dla N=K ? N<K ?
• Może przekroczy wartość K i potem zacznie
spadać?
• Może pojawią się oscylacje?
• „Coś” innego?
28
Wzrost logistyczny
• Wprowadźmy zmienną x taką, że:
N
x
K
• x to “ułamek pojemności środowiska”.
29
Równanie różnicowe
• Zakładamy, że stała wzrostu nie jest stała, lecz jest
proporcjonalna do 1 - xn
• Stała wzrostu: r (1-xn).
• Dla małych xn stała wzrostu ~r.
• Dla dużych xn stała wzrostu ~0.
• Liczebność populacji: xn+1 = r (1-xn)xn .
30
r=1.5
r = 1.5, N(0)=0.1, x(0)=0.1
4
3.5
Population
3
2.5
Geometric (N)
2
Logistic (x=N/K)
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Generations
31
Populacja osiąga stan równowagowy
• Dla r= 1.5 populacja dąży do granicznej
wartości x=0.33.
• Czy równowaga to atraktor również dla
innych wartości r ?
• Czy zmiana wartości początkowej zmienia
wartość asymptotyczną?
32
r=2.8
r = 2.8
0.8
0.7
x(n)
0.6
0.5
x(0)=0.1
0.4
x(0)=0.2
0.3
x(0)=0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
n
33
Atraktor
• Niezależnie od wartości x0 wartość graniczna
jest taka sama (r=2.8).
• Stan (w tym przypadku punkt) do którego
dąży układ niezależnie od x0 nazywamy
atraktorem.
34
Podwojenie okresu
r=3.14
r = 3.14
0.9
0.8
0.7
x(n)
0.6
x(0)=0.1
0.5
x(0)=0.2
0.4
x(0)=0.3
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
n
35
r=3.45
Growth rate is 3.45(1-xn)
x(n)
r = 3.45
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
x(0)=0.2
x(0)=0.3
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
n
Macquarie University
36
r=3.45
4-cykl
x(n)
r = 3.45
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
x=0.2
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
n
37
r=3.8
Brak regularności
x(n)
r = 3.8
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
x(0)=0.2
x(0)=0.3
0
20
40
60
80
100
n
38
Atraktory równania logistycznego
r = 2.8
r = 3.14
r = 3.45
r = 3.8
równowaga
2-cykl
4-cykl
aperiodyczne
stałe
oscylacje
oscylacje
przypadkowe
39
The Logistic Map
1.2
1
The Attractor
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
3.1
3.2
3.48
3.553
3.59
3.69
3.79
3.89
3.99
r
40
Uniwersalność
Measuring Feigenbaum's Number
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
r1
r2
r3
this length
0
1
2
this length
3
4
r
41
Stała Feigenbauma
• Stała Feigenbaum wynosi:
rn - rn-1
lim
 4.669201660910299097...
n  r
n 1 - rn
• Punkt Feigenbauma: r=3.5699456…
42
Uniwersalność – c.d.
• Stała Feigenbauma pojawia się również w
wielu innych układach chaotycznych.
• Obserwowana w rzeczywistych układach:
– Kapiący kran („Chaos in a dripping faucet”, Nunez
et al.)
– Oscylacje w ciekłym helu
– Ewolucje liczebności w pewnych populacjach ciem
43
Układy dynamiczne - przykłady
Klasyfikacja układów dynamicznych:
• Oscylator harmoniczny, Słońce – Ziemia (układ dwuciałowy)
Układy rozwiązywalne
• Oscylator anharmoniczny, Słońce – Ziemia – Księżyc (układ trójciałowy)
Przybliżalne przez układy rozwiązywalne
• Oscylator van der Pola , model atmosfery Lorenza, równanie logistyczne
Układy chaotyczne
• Turbulencja, rynki finansowe, ekosystemy
Układy stochastyczne
Chaos deterministyczny
Literatura
• Andi Klein and Alexander Godunov, Introductory
Computational Physics (Cambridge University Press 2006).
• Lorentz, Edward N., Deterministic Nonperiodic Flow, J.
Atmos. Sci. 20 (1963) 130-141.
• Li, Tien-Yien & Yorke, James A., Period 3 Implies Chaos,
American Mathematical Monthly 82 (1975) 343-344.
• Hénon, Michel, A two-dimensional mapping with a
strange attractor, Comm. Math. Phys. 50 (1976) 69-77.
• May, Robert M., Simple mathematical models with very
complicated dynamics, Nature 261 (1976) 459-467.
• Feigenbaum, Mitchell J., Quantitative universality for a
class of nonlinear transformations, J. Stat. Phys. 19 (1978)
25-52.
• Mandelbrot, Benoit B., Fractal aspects of the iteration of z
→ lz(1-z) for complex l and z, Annals NY Acad.
Sciences 357 (1980) 249-257.
46
Oscylator van der Pola