STEROWANIE UKŁADAMI NIELINIOWYMI–LABORATORIUM

STEROWANIE UKŁADAMI NIELINIOWYMI–LABORATORIUM.
ZESTAW ZADAŃ DO KARTKÓWKI 4
PIOTR GRABOWSKI
1
Celem stabilizacji układu liniowego
(
(1.1)
ẋ1 = bx2 + u1
ẋ2 = dx2 + u2
)
zastosowano ujemne sprzężenie zwrotne
u1
f1 (x1 )
u=
=−
.
u2
f2 (x1 )
Wzorując się na przykładzie [1, Example 4.1], przedstawionym na wykładzie, podać uogólnione, globalne warunki Hurwitza i uzasadnić, że po uzupełnieniu ich warunkiem analogicznym do [1, Formula (4.9)], gwarantują one globalną asymptotyczną stabilność zerowego
punktu równowagi układu zamkniętego.
2
Każdy z poniższych układów sprowadzić do postaci oscylatora Liénarda:
(
)
ẋ1 = x2 − F (x1 )
(2.1)
,
ẋ2 = −g(x1 )
podając wzory na transformację oraz funkcje g i F .
(
)
ẋ = u + by
(2.2)
,
ẏ = cx + dy
(2.3)
(
ẋ = ax + u
ẏ = cx + dy
)
,
u = −f (x )
u = −f (y ) .
3
Znaleźć równoważne rozwiązanie zadania 1 poprzez sprowadzenie układu zamkniętego do
postaci oscylatora Liénarda i skorzystanie z uogólnionych, globalnych warunków Hurwitza
znanych dla tego oscylatora ze wcześniejszych wykładów.
1
2
PIOTR GRABOWSKI
4
Potraktować oscylator Liénarda (2.1) jako układ sterowania
(
)
ẋ1 = x2 + u1
(4.1)
,
ẋ2 = u2
z ujemnym sprzężeniem zwrotnym
u=
u1
u2
=−
F (x1 )
g(x1 )
.
Wzorując się na przykładzie [1, Example 4.1], przedstawionym na wykładzie, zidentyfikować
wszystkie macierze w układzie rozwiązujących równań Lurie [1, Formula (4.4)]. Czy można
zastosować lemat [1, Lemma 4.1] do stwierdzenia, czy układ rozwiązujących równań Lurie
posiada rozwiązanie – trójkę (H, G, V )? Wyliczyć, zdefiniowaną wzorem [1, Formula (4.12)],
macierzową funkcję Popova Π(jω) dla tego zadania.
5
Rozważyć układ
(5.1)
(
ẋ1 = x2
ẋ2 = −u − x1 − x2
)
z ujemnym, nieliniowym sprzężeniem zwrotnym: u = −x13 . Zapisać nierówność
x12 1 − x12 − x1 x2 ≥ 0
w formie [1, Formula (4.2)], tj. w formie kwadratowego ograniczenia nakładanego na stan i
sterowanie, identyfikując: wymiary r i n, macierze M = M T , L i N = N T oraz zbiór otwarty
Ω. Przyjmując zerową macierz Q, zastosować twierdzenie [1, Theorem 4.1] najpierw do
wyznaczenia funkcjonału Lapunowa, a potem – obszaru atrakcji zerowego punktu równowagi
w zamkniętym układzie sterowania. Wypisać drugi, tzn. potencjałowy składnik w prawej
stronie wzoru [1, Formula (4.5)] jeśli Q 6= 01.
Literatura
[1] P. Grabowski, Nonlinear Control Systems, http://www.ia.agh.edu.pl/~pgrab/grabowski_files/
nonlinear/nonlinearse4.xml#x18-60004
1
Celowo założono Q = 0, gdyż w tym zadaniu dodanie składnika potencjałowego nie powoduje uzyskania
lepszej estymaty obszaru atrakcji.