Weryfikacja hipotez (Testy istotności) 1. WERYFIKACJA HIPOTEZ O ŚREDNIEJ Hipoteza zerowa H0 : µ = µ0 MODEL I Badana cecha populacji ma rozkład normalny N (µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Hipoteza alternatywna H1 Zbiór krytyczny W H1 : µ 6= µ0 W = −∞, −u(1 − α2 ) ∪ u(1 − α2 ), ∞ H1 : µ > µ0 W = [u(1 − α), ∞) H1 : µ < µ0 W = (−∞, −u(1 − α)] gdzie u(1 − α2 ) i u(1 − α) są kwantylami rzędu 1 − α 2 i 1 − α (odpowiednio) rozkładu N (0, 1). Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową: U= x − µ0 √ n, σ gdzie x, n - to średnia i liczebność próby. MODEL II Badana cecha populacji ma rozkład normalny N (µ, σ) o nieznanych parametrach µ, σ. Hipoteza alternatywna H1 Zbiór krytyczny W H1 : µ 6= µ0 W = −∞, −t(1 − α2 , n − 1), ∪ t(1 − α2 , n − 1), +∞ H1 : µ > µ0 W = [t(1 − α, n − 1), +∞) H1 : µ < µ0 W = (−∞, −t(1 − α, n − 1)] gdzie t(1 − α2 , n − 1) i t(1 − α, n − 1) są kwantylami rzędu 1 − n − 1 stopniach swobody. α 2 i 1 − α (odpowiednio) rozkładu Studenta o Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową: t= x − µ0 √ n − 1, s gdzie x, s, n - to średnia, odchylenie standardowe i liczebność próby. MODEL III Badana cecha populacji ma dowolny rozkład o nieznanych parametrach µ i σ. Liczebność próby jest duża n ­ 100. Weryfikację hipotezy H0 przeprowadzamy testem analogicznym jak w MODELU I DLA ŚREDNIEJ. Jako nieznaną wartość σ przyjmuje się odchylenie standardowe s wyznaczone z próby. 1 2. WERYFIKACJA HIPOTEZ O WARIANCJI Hipoteza zerowa H0 : σ 2 = σ02 MODEL I Badana cecha populacji ma rozkład normalny N (µ, σ) o nieznanych parametrach µ i σ. Liczebność próby jest mała n < 50. Hipoteza alternatywna H1 H1 : σ2 6= H1 : σ 2 > H1 : σ 2 < Zbiór krytyczny W W = 0, χ2 ( α2 , n − 1) ∪ χ2 (1 − α2 , n − 1), +∞ σ02 σ02 σ02 W = χ2 (1 − α, n − 1), +∞ W = 0, χ2 (α, n − 1) gdzie χ2 ( α2 , n − 1), χ2 (1 − α2 , n − 1), χ2 (1 − α, n − 1), χ2 (α, n − 1) są kwantylami rzędu (odpowiednio) rozkładu chi-kwadrat o n − 1 stopniach swobody. α 2, 1 − α2 , 1 − α, α Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową: χ2 = ns2 , σ02 gdzie s2 , n - to wariancja i liczebność próby. MODEL II Badana cecha populacji ma rozkład normalny N (µ, σ) o nieznanych parametrach µ i σ. Liczebność próby jest duża n ­ 50. Hipoteza alternatywna H1 H1 : σ2 6= H1 : σ 2 > H1 : σ2 < Zbiór krytyczny W W = −∞, −u(1 − α2 ), ∪ u(1 − α2 ), +∞ σ02 σ02 σ02 W = [u(1 − α), +∞) W = (−∞, −u(1 − α)] gdzie u(1 − α2 ) i u(1 − α) są kwantylami rzędu 1 − α 2 i 1 − α (odpowiednio) rozkładu N (0, 1). Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową: s U= 2ns2 √ − 2n − 3, σ02 gdzie s2 , n - to wariancja i liczebność próby. 2 3. WERYFIKACJA HIPOTEZ O RÓWNOŚCI DWÓCH ŚREDNICH Hipoteza zerowa H0 : µ1 = µ2 MODEL I Badana cecha ma w dwóch populacjach rozkłady normalne N (µ1 , σ1 ) i N (µ2 , σ2 ) o nieznanych parametrach µ1 i µ2 i znanych parametrach σ1 i σ2 . Hipoteza alternatywna H1 Zbiór krytyczny W H1 : µ1 6= µ2 W = −∞, −u(1 − α2 ) ∪ u(1 − α2 ), ∞ H1 : µ1 > µ2 W = [u(1 − α), ∞) H1 : µ1 < µ2 W = (−∞, −u(1 − α)] gdzie u(1 − α2 ) i u(1 − α) są kwantylami rzędu 1 − α 2 i 1 − α (odpowiednio) rozkładu N (0, 1). Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową: x1 − x2 U=r , σ12 σ22 n1 + n2 gdzie x1 , x2 , n1 , n2 - to średnie i liczebności pobranych prób. MODELl II Badana cecha ma w dwóch populacjach rozkłady normalne N (µ1 , σ1 ) i N (µ2 , σ2 ) o nieznanych, ale jednakowych parametrach σ1 i σ2 tzn. σ1 = σ2 . Hipoteza alternatywna H1 Zbiór krytyczny W H1 : µ1 6= µ2 W = −∞, −t(1 − α2 , n1 + n2 − 2) ∪ t(1 − α2 , n1 + n2 − 2), +∞ H1 : µ1 > µ2 W = [t(1 − α, n1 + n2 − 2), +∞) H1 : µ1 < µ2 W = (−∞, −t(1 − α, n1 + n2 − 2)] gdzie t(1 − α2 , n1 + n2 − 2) i t(1 − α, n1 + n2 − 2) są kwantylami rzędu 1 − α2 i 1 − α (odpowiednio) rozkładu Studenta o n1 + n2 − 2 stopniach swobody. Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową: t= r x1 − x2 n1 s21 +n2 s22 n1 +n2 −2 · , n1 +n2 n1 n2 gdzie x1 , x2 , s21 , s22 , n1 , n2 - to średnie, wariancje i liczebności pobranych prób. MODEL III Badana cecha ma w dwóch populacjach rozkłady normalne N (µ1 , σ1 ) i N (µ2 , σ2 ) o nieznanych parametrach. Liczebności prób są duże n1 ­ 100 i n2 ­ 100. Weryfikację hipotezy H0 przeprowadzamy testem analogicznym jak w MODELU I RÓWNOŚCI DWÓCH ŚREDNICH. Jako nieznane wartości σ12 i σ22 przyjmuje się wariancje s21 i s22 wyznaczone z prób. 3 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ O WSKAŹNIKU STRUKTURY POPULACJI Hipoteza zerowa H0 : p = p0 Badana cecha populacji ma rozkład dwupunktowy zero-jednynkowy z nieznanym parametrem p. Liczebność próby jest duża n ­ 100. Hipoteza alternatywna H1 Zbiór krytyczny W H1 : p 6= p0 W = −∞, −u(1 − α2 ), ∪ u(1 − α2 ), +∞ H1 : p > p0 W = [u(1 − α), +∞) H1 : p < p0 W = (−∞, −u(1 − α)] gdzie u(1 − α2 ) i u(1 − α) są kwantylami rzędu 1 − α 2 i 1 − α (odpowiednio) rozkładu N (0, 1). Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową: U=p m − np0 , np0 (1 − p0 ) gdzie m - liczba elementów w próbie, które posiadają wyróżnioną cechę, n - liczebność próby. 5. WERYFIKACJA HIPOTEZ O RÓWNOŚCI WSKAŹNIKÓW STRUKTURY DWÓCH POPULACJI Hipoteza zerowa H0 : p1 = p2 Badana cecha ma w dwóch populacjach rozkład dwupunktowy z nieznanymi parametrami p1 , p2 (odpowiednio). Obie próby są o dużej liczebności n1 ­ 100 i n2 ­ 100. Hipoteza alternatywna H1 Zbiór krytyczny W H1 : p1 6= p2 W = −∞, −u(1 − α2 ) ∪ u(1 − α2 ), +∞ H1 : p1 > p2 W = [u(1 − α), +∞) H1 : p1 < p2 W = (−∞, −u(1 − α)] gdzie u(1 − α2 ) i u(1 − α) są kwantylami rzędu 1 − α 2 i 1 − α (odpowiednio) rozkładu N (0, 1). Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową: p∗ − p∗2 U = q 1∗ , ∗ p (1−p ) n∗ gdzie p∗1 = m1 ∗ m2 ∗ m1 + m2 ∗ n1 n2 , p2 = , p = , n = , n1 n2 n1 + n2 n1 + n2 m1 , m2 - liczby elementów w próbach, które posiadają wyróżnioną cechę. 4