sad11hipotezy

TESTOWANIE HIPOTEZ
Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące
nieznanej własności rozkładu prawdopodobieństwa
badanej cechy populacji.
Przykłady
 (a) Producent opon twierdzi, że nowy typ opony ma
trwałość większą niż 60000 km. Jeśli  (km) oznacza
wartość średnią trwałości opon, to hipotezą producenta
jest H :   60000
 (b) Socjolog twierdzi, że dzieci w miastach mają
lepsze wyniki w nauce niż dzieci poza ośrodkami
miejskimi. Niech p1 ( p 2 ) oznacza proporcję dzieci w
miastach (poza miastami) o średnich ocenach rocznych
co najmniej dobrych. Hipotezą socjologa jest
H : p1  p2
 (c) Producent twierdzi, że średni czas bezawaryjnej
pracy drukarki to 200 godzin. Wówczas
H :   200
 (d) Fizycy przypuszczają, że ilość cząstek
emitowanych przez substancję radioaktywną w
przedziałach czasu o danej długości jest zmienną
losową o rozkładzie Poissona. Wówczas
H : X ~ P( ),   0.
 (e) Sprzedawca przypuszcza, że miesięczna wartość
sprzedaży ma rozkład normalny. Wówczas
H : X ~ N (  ,  ),      , 0     .
Hipotezę nazywamy parametryczną, jeśli jest
stwierdzeniem dotyczącym nieznanego parametru
liczbowego lub wektorowego rozkładu cechy populacji,
np. hipotezy (a), (b), (c).
W przeciwnym przypadku hipoteza jest
nieparametryczną, np. hipotezy (d), (e).
W zadaniach testowania hipotez występują 2 hipotezy:
Hipoteza zerowa – hipoteza testowana celem
ewentualnego odrzucenia, oznaczana przez H 0 .
Hipoteza alternatywna – hipoteza, która będzie
przyjęta, jeśli odrzucimy hipotezę zerową, oznaczana
przez H1 .
Hipotezy wykluczają się: nie mogą być jednocześnie
prawdziwe, np. niech p  (0,1) oznacza
prawdopodobieństwo sukcesu w doświadczeniu
Bernoulli’ego. Możliwe są hipotezy:
H0 : p 
1
2
H1 : p 
1
lub
2
1
1
H 0 : p  , H1 : p  , ale niemożliwe jest sytuacja gdy
2
2
1
1
1
H 0 : p  , H1 : p  , bo wartość p  jest
2
3
2
parametrem z zakresu H 0 i H1 jednocześnie. Zbiory
parametrów wymieniane w obu hipotezach nie są
rozłączne.
Rola hipotez
H0
i
H1 nie jest symetryczna:
Hipoteza alternatywna, to ta którą zaakceptujemy, jeśli
próbka dostarczy nam dostatecznych dowodów jej
prawdziwości, ta o której sądzimy, że jest prawdziwa i
szukamy potwierdzenia w próbce, to ta na której nam
zależy aby była prawdziwa.
Hipoteza zerowa to ta co do której prawdziwości nie
jesteśmy przekonani w sytuacji gdy nie możemy
zaakceptować na podstawie próbki hipotezy
alternatywnej, ta którą poddajemy w wątpliwość.
Przykład. Załóżmy, że skuteczność pewnej terapii
medycznej wynosi p1  100% . Zaproponowano nową
terapię, której nieznana skuteczność p2  100% nie jest
gorsza, tzn. wiemy, że p2  p1. Nowa terapia będzie
szeroko stosowana, jeśli będziemy mieli po badaniach
wstępnych dostatecznie dużą „pewność”, że p2  p1 .
Wówczas
H 0 : p1  p2 ,
H1 : p2  p1 .
Przykład. Nowa technologia produkcji może zmniejszyć
dobowy poziom emisji zanieczyszczeń do atmosfery.
Chcielibyśmy wiedzieć, czy zmniejsza ona poziom
zanieczyszczeń? Wówczas:
H0 :
Nowa technologia nie zmniejsza dobowego
poziomu emisji zanieczyszczeń atmosfery, tzn. nie jest
lepsza od starej technologii.
H1 :
Nowa technologia zmniejsza dobowy poziom
emisji zanieczyszczeń atmosfery, tzn. jest lepsza.
Zadanie testowania powyższych hipotez polega na
podjęciu poniższych decyzji, na podstawie obserwacji
dobowych poziomów emisji zanieczyszczeń,:
Możliwe decyzje:
 Nie ma dostatecznych dowodów aby odrzucić H 0 ,
tzn. przyjąć H1 : na podstawie obserwacji nie możemy
stwierdzić, że nowa technologia zmniejsza poziom
zanieczyszczeń.
 Obserwacje dostarczają dostatecznych dowodów,
aby przyjąć H1 , równoważnie odrzucić H 0 , tzn.
stwierdzamy, iż można uznać, że nowa technologia
zmniejsza poziom zanieczyszczeń.
Model matematyczny:
Załóżmy, że
 (a)
0
= znany średni poziom dobowy emisji
przy starej technologii
 (b)
 = nieznany średni poziom dobowy emisji
przy nowej technologii
 (c)
wiemy, że    0 . Chcielibyśmy
stwierdzić, że nowa technologia zmniejsza
poziom emisji. Zatem:
H 0 :   0 ,
H1 :   0
 (d) w ciągu n losowo wybranych dni obserwujemy
dobowe poziomy emisji przy nowej
technologii: X1 , X 2 ,..., X n
 (e) zmienne losowe X1, X 2 ,..., X n są niezależne o
jednakowym rozkładzie N (  ,  ) , gdzie  jest
znane
Decyzję: „ przyjąć H1 ” lub „ nie można odrzucić
H 0 ” rozsądnie jest oprzeć na podstawie realizacji
średniej z próby losowej X , tzn. średniej z próbki x .
Uzasadnienie:
Rozkładem X jest rozkład N (  ,

n
) skoncentrowany
wokół  . Zatem dostatecznie małe wartości X
sugerują, że H1 :   0 jest prawdziwa, ponieważ
 (1) jeśli H 0 :   0 jest prawdziwa, to wartości
X skupiają się wokół  0 , statystyka
Z
X  0
~ N (0,1)
/ n
 (2) jeśli H1 :   0 jest prawdziwa:   1  0 ,
to wartości X skupiają się wokół 1 .
Wówczas Z jest sumą zmiennej o rozkładzie N (0,1)
oraz stałej ujemnej:
X  1 1  0
.
Z

/ n / n
(1) i (2) sugerują sposób testowania: niech c będzie
odpowiednio dobraną stałą, a x wartością X obliczoną
dla próbki, wówczas
x  0
 c , to przyjmujemy H1 .
/ n
(i)
jeśli z 
(ii)
jeśli z 
x  0
 c , to nie ma podstaw do
/ n
odrzucenia H 0 .
Wybór c: Niech  będzie małą liczbą z (0,1), np.
  0,05 lub 0, 01 lub 0,1, ...
Niech
c  z   z1 . Wówczas jeśli H 0 :   0
prawdziwa, to
PH 0 (Z  z )   .
Stąd  jest prawdopodobieństwem błędnej decyzji
(przyjęcia H1 ) w przypadku gdy hipoteza H 0 jest
prawdziwa.  = prawdopodobieństwo błędu I rodzaju,
nazywane poziomem istotności testu.
Zbiór C  {z : z  z } nazywamy zbiorem
krytycznym, bo jest to zbiór wartości statystyki testowej
Z dla których odrzucamy H 0 na korzyść H1 .
Błędy testowania
Podjęta decyzja
Akceptacja H 0
Stan natury
(
H0
?
Odrzucenie H 0
nie (Akceptacja H1 )
odrzucamy H 0 )
H 0 prawdziwa
Decyzja
Błąd I rodzaju
prawidłowa
H1 prawdziwa
Błąd II rodzaju
(? )
Decyzja
prawidłowa
I. Testowanie hipotez o wartości średniej
rozkładu normalnego, gdy znana jest wariancja
Niech X1, X 2 ,..., X n będzie prostą próbą losowa z
rozkładu N (  ,  ) ,  - znane.
H 0 :   0 .
Statystyka testowa:
Z
X  0
X     0
=
.

/ n
/ n / n
Jeśli H 0 prawdziwa, to ZZZ ~ N (0,1) .
Model 1.
H 0 :   0
H1 :   0 .
Wówczas przyjmujemy C = {z : z  z1 } = obszar
krytyczny testu hipotezy H 0 przeciw H1 na poziomie
istotności  , gdzie
PH 0 (Z  C )  PH 0 (Z  z1 )   .
Model 2.
H 0 :   0
H1 :   0
Wówczas przyjmujemy C = {z : z   z1 } - obszar
krytyczny, gdzie
PH 0 (Z  C )  PH 0 (Z   z1 )   .
Model 3.
H 0 :   0
H1 :   0
Wówczas
C ={z : z  z1 / 2 } - obszar krytyczny, gdzie
PH 0 ( Z   z1 / 2 )   / 2 
PH 0 ( Z  C )  PH 0 ( Z  z1 / 2 )  
Zadanie. Dotychczasowa dzienna wartość sprzedaży
pewnego artykułu miała rozkład normalny o średniej
1000 ($) i standardowym odchyleniu 100 ($). Po serii
reklam telewizyjnych w ciągu 9 losowo wybranych dni
uzyskano następujące wartości sprzedaży:
1280, 1250, 990, 1100, 880, 1300, 1100, 950, 1050.
Czy, na poziomie istotności   0,01 , można twierdzić,
że reklamy spowodowały zwiększenie sprzedaży, jeśli
można założyć, że wartości dziennych sprzedaży są
niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie normalnym ?
Rozwiązanie:
1. H 0 :   1000
2. H1 :   1000
3. Statystyka testowa: Z 
X  1000
/ n
4.   0,01 , 1    0,99 , z 0,99 = 2,33.
Obszar krytyczny C = {z : z  2,33}
5.   100 , n  9 , z obliczeń x  1100 , stąd wartość
statystyki testowej
z
6.
x  1000 1100  1000

 3.
/ n
100 / 3
3  2,33 , więc odrzucamy H 0 .
Odpowiedź: Na poziomie istotności   0,01
stwierdzamy, że średnia wartość sprzedaży wzrosła po
serii reklam.
II. Testowanie hipotez o wartości średniej rozkładu
normalnego, gdy nieznana jest wariancja
Niech X1, X 2 ,..., X n będzie prostą próbą losowa z
rozkładu N (  ,  ) ,  - nieznane.
H 0 :   0 .
Statystyka testowa:
X  0
X     0
=
.
T

S/ n
S/ n S/ n
Jeśli H 0 prawdziwa, to T ~ t n1.
Model 1.
H 0 :   0
H1 :   0
Wówczas przyjmujemy C = {t : t  t1 , n 1} = obszar
krytyczny testu hipotezy H 0 przeciw H1 na poziomie
istotności  , gdzie
PH 0 ( Z  C )  PH 0 (T  t1 , n 1 )   ,
t1 , n 1 = kwantyl rzędu 1   rozkładu t – Studenta z
n  1 stopniami swobody.
Model 2.
H 0 :   0
H1 :   0
Wówczas C = {t : t  t1 , n 1} - obszar krytyczny,
gdzie
PH 0 (T  t1 , n 1 )   .
Model 3.
H 0 :   0
H1 :   0
Wówczas
C = {t : t  t1 / 2, n 1} - obszar krytyczny, gdzie
PH 0 (T  t1 / 2, n 1 )   / 2  PH 0 ( T  t1 / 2, n 1 )  
Zadanie. Producent twierdzi, że jego nowy model
samochodu ma wartość średnią przebiegu nie
wymagającą żadnej interwencji 12000 (mil). W teście
dla 4 losowo wybranych samochodów uzyskano
następujące przebiegi nie wymagające żadnego serwisu:
11000, 12000, 11800, 11200. Czy można zaprzeczyć
twierdzeniu producenta, przyjmując   0,05 oraz
rozkład normalny przebiegu.
Rozwiązanie:
1. H 0 :   12000
2. H1 :   12000
3. Statystyka testowa: T 
X  12000
S/ n
4.   0,05 , 1    0,95 , liczba stopni swobody =
n  1  4  1  3 , t 0,95,3 = 2,353.
Obszar krytyczny
C = {t : t  2,353} .
5. n  4 , z obliczeń x  11500 , s 2 
680000
 226667,
4 1
stąd wartość statystyki testowej
t
6.
x  12000 11500  12000

 2,10 .
s/ n
226667 / 4
 2,10  2,353 , więc nie ma podstaw do
odrzucenia H 0 na poziomie istotności 0,05.
Odpowiedź: Na poziomie istotności   0,05
stwierdzamy, że nie można odrzucić twierdzenia
producenta.
Definicja.
Najmniejszy
poziom
istotności,
przy
którym
zaobserwowana wartość statystyki testowej prowadzi do
odrzucenia hipotezy zerowej nazywamy p-wartością
przeprowadzonego testu.
Np. w ostatnim zadaniu
t  2,10 ,
PH 0 (T  t1 , n 1 )  
PH 0 (T  2,10)  0,063.
Im mniejsza jest p-wartość, tym mocniejsze staje się
przekonanie testującego o fałszywości hipotezy zerowej i
prawdziwości hipotezy alternatywnej.
III. Testowanie hipotez o wariancji rozkładu
normalnego, gdy nieznana jest wartość średnia
Niech X1, X 2 ,..., X n będzie prostą próbą losowa z
rozkładu N (  ,  ) ,  , - nieznane.
H 0 :  2   02 .
Statystyka testowa:
2 
(n  1) S 2
 02
( n  1) S 2  2
=
 2
2

Jeśli H 0 prawdziwa, to  2 ~  n21.
0
Model 1.
H 0 :  2   02
Wówczas przyjmujemy C =
H1 :  2   02
2
{ obl
:
(n  1) s 2
 02
  12 ,n 1 }
= obszar krytyczny testu hipotezy H 0 przeciw H1 na
poziomie istotności  , gdzie
PH 0 (  2  C )  PH 0 (  2  12 , n 1 )   ,
12 , n 1 = kwantyl rzędu 1   rozkładu  n21.
Model 2.
H 0 :  2   02
2
:
Wówczas C = { obl
(n  1) s 2
 02
H1 :  2   02
 2 , n 1} - obszar
krytyczny, gdzie
PH 0 (  2  C )  PH 0 (  2  2 , n 1 )   .
Model 3.
H 0 :  2   02
H1 :  2   02
Wówczas obszar krytyczny C =
2
{ obl
:
(n  1) s 2
 02

2
 / 2 }  { obl
2
:
(n  1) s 2
 02
 12 / 2 } ,
gdzie 2 / 2  2 / 2, n 1 , 12 / 2  12 / 2, n 1 .
Zadanie. Zmierzono czas życia 15 losowo wybranych
żarówek z bieżącej produkcji. Policzono standardowe
odchylenie próbkowe s  13 (godz. ). Czy na poziomie
istotności   0,05 ( 5%) można twierdzić, że
odchylenie standardowe czasu życia losowo wybranej
żarówki jest różne od 10 ( godz.)
Rozwiązanie.
1.
H 0 :   10
2.
H1 :   10
( n  1) S 2
3. Statystyka testowa:  
102
4.   0,05 ,  / 2  0,025, 1   / 2  0,975,
2
n  15 , liczba stopni swobody n  1  15  1  14 ,
2 / 2, n 1   02,025,14  5,629,
12 / 2, n 1   02,975,14  26,119.
Reguła decyzyjna ( na podstawie obszaru krytycznego ):
odrzuć H 0 , jeśli obliczona wartość statystyki
2
2
 5,629 lub  obl
 26,119 .
 obl
5. s =13, stąd wartość statystyki testowej
2
 obl
=
(n  1) s 2 (14)(132 )

 23,66 .
100
100
6. 5,629  23,66  26,119 , więc nie ma podstaw do
odrzucenia H 0 .
Odpowiedź. Na poziomie istotności 0,05, brak jest
dostatecznych dowodów aby twierdzić, że   10.
IV. Testy o różnicy wartości średnich dwóch
rozkładów normalnych
Niech X1 , X 2 ,..., X n1 oraz Y1 , Y2 ,...,Yn2 będą dwiema
niezależnymi prostymi próbami losowymi z rozkładów
normalnych N ( 1 ,  1 ) oraz N (  2 ,  2 ) , odpowiednio.
Model 1. ( znane odchylenia standardowe  1 ,  2 )
H 0 : 1   2 ,
lub równoważnie
H 0 : 1   2  0 .
Statystyka testowa:
Konstrukcja oparta na analizie X  Y .
Statystka
X  Y ma rozkład normalny o wartości
średniej 1   2 i wariancji
 12
n1

 22
n2
( gdyż
średnie z obu prób losowych X , Y są niezależnymi
zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych
2
1
) , N (2 ,
) , odpowiednio ). Stąd, po
n1
n2
standaryzacji mamy
N ( 1 ,
Z
( X  Y )  ( 1   2 )
 12
/ n1   22
/ n2
~ N (0,1) .
(a) H 0 : 1   2  0 ,
H 1 : 1   2  0 .
Jeśli H 0 prawdziwa, to
Z
X Y
 12
/ n1   22
~ N (0,1) .
/ n2
Przyjmujemy C = {z : z  z1 } = obszar krytyczny
testu hipotezy H 0 przeciw H1 na poziomie istotności  ,
gdzie
PH 0 (Z  C )  PH 0 (Z  z1 )   ,
z1 = kwantyl rzędu 1   rozkładu N (0,1) .
(b) H 0 : 1   2  0 ,
H 1 : 1   2  0 .
Przyjmujemy C = {z : z  z } = obszar krytyczny.
(c) H 0 : 1   2  0 ,
H 1 : 1   2  0
Przyjmujemy C = {z : z  z1 / 2 } = obszar krytyczny.
Przykład. Średnia waga losowo wybranych 15
Europejczyków wyniosła x = 154 (funty), podczas gdy
dla próbki 18 Amerykanów otrzymano y = 162 (funty).
Z poprzednich badań wiadomo, że wariancje wag
losowo wybranego Europejczyka i Amerykanina
wynoszą, odpowiednio:  12  100 i  22  169 . Czy
można twierdzić, że średnie wagi w populacji
Europejczyków i Amerykanów są różne? Przyjąć
  0,05 oraz rozkład normalny wag.
1.
H 0 : 1   2  0 .
2. H1 : 1   2  0
3. Statystyka testowa: Z 
X Y
 12 / n1   22 / n2
4.   0,05 , 1   / 2  0,975, z0,975  1,96 .
Obszar krytyczny C = {z : z  1,96} .
5. Mamy x =154, y =162,  12  100 ,  22  169 , n1  15 ,
n2  18 . Stąd wartość statystyki testowej
z
xy
 12
/ n1   22

/ n2
154  162
8

= - 2.
100 / 15  169 / 18
16,056
6.  2  2  1,96 , więc odrzucamy H 0 .
Odpowiedź: Na poziomie istotności   0,05
stwierdzamy, że średnia waga Europejczyka różni się od
średniej wagi Amerykanina, przy czym dane sugerują, że
średnio Amerykanie ważą więcej niż Europejczycy.
Model 2. ( nieznane odchylenia standardowe  1 ,  2 )
Założenie dodatkowe:  1   2   ,  - nieznane.
H 0 : 1   2 ,
lub równoważnie
H 0 : 1   2  0 .
Statystyka testowa:
Jeśli H 0 prawdziwa, to
Z
X Y
X Y
=
~ N (0,1) .
2
2

1
/
n

1
/
n
 1 / n1   2 / n2
1
2
1 1
Var( X  Y ) =  2    ,
 n1 n2 
Niech
1 n1
1 n2
2
2
2

 ( X i  X ) , S2 
 (Yi  Y ) n1  1 i 1
n2  1 i 1
nieobciążone estymatory  2 .
Estymatorem nieobciążonym  2 , opartym na dwu
próbach łącznie, jest statystyka
S12
S 2p
(n1  1) S12  (n2  1) S 22
.

n1  n2  2
Wówczas we wzorze na Z podstawiając S p  S 2p
zamiast  otrzymujemy statystykę
T
X Y
1 1
Sp

n1 n2
~ tn1 n2  2 .
Dla trzech przypadków możliwych hipotez
alternatywnych (a), (b), (c) z modelu 1 mamy
analogiczne obszary krytyczne, przy czym kwantyle
rozkładu N (0,1) zastępujemy kwantylami rozkładu
tn1 n2  2 .
Przykład. Klasyczne tranzystory domieszkowane
złotem ( występujące w układach scalonych ) mają tzw.
czas magazynowania ładunku rzędu 7 ns. Producent ma
nadzieję, że pewna zmiana technologii zmniejszyła czas
magazynowania. Producent chciałby przetestować
hipotezę H 0 : 1   2 przeciw H1 : 1   2 , gdzie 1
oznacza średni czas magazynowania przy starej
technologii a  2 przy nowej technologii. Z poprzednich
badań wiadomo, że obie technologie dają w przybliżeniu
normalne rozkłady czasu magazynowania, oraz że
odchylenia standardowe obu rozkładów są takie same.
Producent pobrał 2 niezależne 50 elementowe próbki
tranzystorów, produkowanych starą i nowa technologią.
Średnie czasy magazynowania dla obu próbek wyniosły
x  6,6 , y  6,3 oraz s p  0,5 .
Statystyka testowa
X Y
T
.
1 1
Sp

n1 n2
Wartość statystyki testowej:
t
6,6  6,3
 3,0 .
1
1
0,5

50 50
H 0 : 1   2 , H1 : 1   2 . Stąd obszar krytyczny
C = {t : t  t1 / 2,98  z1 / 2 }.
oraz p-wartość testu wynosi PH 0 (T  3,0)  0,002.
Zatem, można przyjąć, że nowa technologia zmniejszyła
średni czas magazynowania ładunku.
V. Testy o różnicy wartości średnich rozkładów
brzegowych
Niech ( X1, Y1 ), ( X 2 , Y2 ),..., ( X n , Yn ) będzie prostą próbą
losową z rozkładu dwuwymiarowego. Niech
Di  X i  Yi , i  1,.., n, tworzą prostą próbę losową z
rozkładu normalnego o nieznanej średniej  D .
Hipoteza zerowa: H 0 :  D  0 ,
Hipotezy alternatywne możliwe:
(a)
H1 :  D  0 ,
(b)
H1 :  D  0
(c)
Statystyka testowa:
H1 :  D  0 .
T
D
.
SD / n
Jeśli H 0 prawdziwa, to T ~ tn 1.
Zatem, obszary krytyczne takie same jak przy
testowaniu hipotez o wartości średniej jednej populacji
normalnej przy nieznanym odchyleniu standardowym.
Przykład. Zmierzono ciśnienie tętnicze wśród losowo
wybranej grupy chorych na pewną chorobę przed i po
podaniu takiego samego leku każdemu z pacjentów.
Otrzymano następujące wyniki:
Pacjent:
1
2
3
4
5
6
7
Przed : 210 180 260 270 190 250 180
Po : 180 160 220 260 200 230 180
Czy można twierdzić, na poziomie istotności 0,05, że
lek powoduje zmniejszenie wartości średniej ciśnienia?
( podać odpowiednie założenia ).
1.
H 0 : 1  2  H 0 :  D  1  2  0
2.
H1 : 1   2
 H1 :  D  1   2  0
3. Statystyka testowa:
T
D
.
SD / n
4. di : 30, 20, 40, 10, -10, 20, 0, d  15,7 , s D = 15,9,
n = 7,
t
15,7
 2,24
15,9 / 7
5.   0,05, 1    0.95, n  1  7  1  6 ,
t0,95,6  1,94
6. 2,24 >1,94, więc odrzucamy hipotezę zerową.
Odpowiedź. Można twierdzić, że lek obniżył wartość
średnią ciśnienia w populacji pacjentów, na poziomie
istotności 0,05.
VI. Testowanie hipotezy o równości wariancji dwóch
rozkładów normalnych
Niech X1 , X 2 ,..., X n1 oraz Y1 , Y2 ,...,Yn2 będą dwiema
niezależnymi prostymi próbami losowymi z rozkładów
normalnych N ( 1 ,  1 ) oraz N (  2 ,  2 ) , odpowiednio,
H 0 :  12   22 .
Statystyka testowa:
S12
F 2
S2
Jeśli H 0 prawdziwa, to F ~ F Snedecora o
n1  1, n2  1 stopniami swobody.
(a) H1 :  12   22  0 ,
(b) H1 :  12   22  0 ,
(c) H1 :  12   22  0 .
W przypadkach (a), (b), (c) odrzucamy hipotezę zerową,
na poziomie istotności  , jeśli obliczona wartość
statystyki F Snedecora f spełnia nierówności,
odpowiednio:
(a) f  f1 , n1 1, n2 1,
(b) f  f ,n11,n2 1
(c) f  f / 2, n1 1, n2 1 lub f  f1 / 2,n11,n2 1,