1. WERYFIKACJA HIPOTEZ O ŚREDNIEJ Hipoteza zerowa H0 : µ

Weryfikacja hipotez (Testy istotności)
1. WERYFIKACJA HIPOTEZ O ŚREDNIEJ
Hipoteza zerowa
H0 : µ = µ0
MODEL I
Badana cecha populacji ma rozkład normalny N (µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ.
Hipoteza alternatywna H1
Zbiór krytyczny W
H1 : µ 6= µ0
W = −∞, −u(1 − α2 ) ∪ u(1 − α2 ), ∞
H1 : µ > µ0
W = [u(1 − α), ∞)
H1 : µ < µ0
W = (−∞, −u(1 − α)]
gdzie u(1 − α2 ) i u(1 − α) są kwantylami rzędu 1 −
α
2
i 1 − α (odpowiednio) rozkładu N (0, 1).
Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową:
U=
x − µ0 √
n,
σ
gdzie x, n - to średnia i liczebność próby.
MODEL II
Badana cecha populacji ma rozkład normalny N (µ, σ) o nieznanych parametrach µ, σ.
Hipoteza alternatywna H1
Zbiór krytyczny W
H1 : µ 6= µ0
W = −∞, −t(1 − α2 , n − 1), ∪ t(1 − α2 , n − 1), +∞
H1 : µ > µ0
W = [t(1 − α, n − 1), +∞)
H1 : µ < µ0
W = (−∞, −t(1 − α, n − 1)]
gdzie t(1 − α2 , n − 1) i t(1 − α, n − 1) są kwantylami rzędu 1 −
n − 1 stopniach swobody.
α
2
i 1 − α (odpowiednio) rozkładu Studenta o
Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową:
t=
x − µ0 √
n − 1,
s
gdzie x, s, n - to średnia, odchylenie standardowe i liczebność próby.
MODEL III
Badana cecha populacji ma dowolny rozkład o nieznanych parametrach µ i σ. Liczebność próby jest duża
n ­ 100.
Weryfikację hipotezy H0 przeprowadzamy testem analogicznym jak w MODELU I DLA ŚREDNIEJ. Jako
nieznaną wartość σ przyjmuje się odchylenie standardowe s wyznaczone z próby.
1
2. WERYFIKACJA HIPOTEZ O WARIANCJI
Hipoteza zerowa
H0 : σ 2 = σ02
MODEL I
Badana cecha populacji ma rozkład normalny N (µ, σ) o nieznanych parametrach µ i σ. Liczebność próby
jest mała n < 50.
Hipoteza alternatywna H1
H1 :
σ2
6=
H1 : σ 2 >
H1 : σ 2 <
Zbiór krytyczny W
W = 0, χ2 ( α2 , n − 1) ∪ χ2 (1 − α2 , n − 1), +∞
σ02
σ02
σ02
W = χ2 (1 − α, n − 1), +∞
W = 0, χ2 (α, n − 1)
gdzie χ2 ( α2 , n − 1), χ2 (1 − α2 , n − 1), χ2 (1 − α, n − 1), χ2 (α, n − 1) są kwantylami rzędu
(odpowiednio) rozkładu chi-kwadrat o n − 1 stopniach swobody.
α
2,
1 − α2 , 1 − α, α
Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową:
χ2 =
ns2
,
σ02
gdzie s2 , n - to wariancja i liczebność próby.
MODEL II
Badana cecha populacji ma rozkład normalny N (µ, σ) o nieznanych parametrach µ i σ. Liczebność próby
jest duża n ­ 50.
Hipoteza alternatywna H1
H1 :
σ2
6=
H1 : σ 2 >
H1 :
σ2
<
Zbiór krytyczny W
W = −∞, −u(1 − α2 ), ∪ u(1 − α2 ), +∞
σ02
σ02
σ02
W = [u(1 − α), +∞)
W = (−∞, −u(1 − α)]
gdzie u(1 − α2 ) i u(1 − α) są kwantylami rzędu 1 −
α
2
i 1 − α (odpowiednio) rozkładu N (0, 1).
Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową:
s
U=
2ns2 √
− 2n − 3,
σ02
gdzie s2 , n - to wariancja i liczebność próby.
2
3. WERYFIKACJA HIPOTEZ O RÓWNOŚCI DWÓCH ŚREDNICH
Hipoteza zerowa
H0 : µ1 = µ2
MODEL I
Badana cecha ma w dwóch populacjach rozkłady normalne N (µ1 , σ1 ) i N (µ2 , σ2 ) o nieznanych parametrach
µ1 i µ2 i znanych parametrach σ1 i σ2 .
Hipoteza alternatywna H1
Zbiór krytyczny W
H1 : µ1 6= µ2
W = −∞, −u(1 − α2 ) ∪ u(1 − α2 ), ∞
H1 : µ1 > µ2
W = [u(1 − α), ∞)
H1 : µ1 < µ2
W = (−∞, −u(1 − α)]
gdzie u(1 − α2 ) i u(1 − α) są kwantylami rzędu 1 −
α
2
i 1 − α (odpowiednio) rozkładu N (0, 1).
Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową:
x1 − x2
U=r
,
σ12
σ22
n1 + n2
gdzie x1 , x2 , n1 , n2 - to średnie i liczebności pobranych prób.
MODELl II
Badana cecha ma w dwóch populacjach rozkłady normalne N (µ1 , σ1 ) i N (µ2 , σ2 ) o nieznanych, ale jednakowych parametrach σ1 i σ2 tzn. σ1 = σ2 .
Hipoteza alternatywna H1
Zbiór krytyczny W
H1 : µ1 6= µ2
W = −∞, −t(1 − α2 , n1 + n2 − 2) ∪ t(1 − α2 , n1 + n2 − 2), +∞
H1 : µ1 > µ2
W = [t(1 − α, n1 + n2 − 2), +∞)
H1 : µ1 < µ2
W = (−∞, −t(1 − α, n1 + n2 − 2)]
gdzie t(1 − α2 , n1 + n2 − 2) i t(1 − α, n1 + n2 − 2) są kwantylami rzędu 1 − α2 i 1 − α (odpowiednio) rozkładu
Studenta o n1 + n2 − 2 stopniach swobody.
Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową:
t= r
x1 − x2
n1 s21 +n2 s22
n1 +n2 −2
·
,
n1 +n2
n1 n2
gdzie x1 , x2 , s21 , s22 , n1 , n2 - to średnie, wariancje i liczebności pobranych prób.
MODEL III
Badana cecha ma w dwóch populacjach rozkłady normalne N (µ1 , σ1 ) i N (µ2 , σ2 ) o nieznanych parametrach.
Liczebności prób są duże n1 ­ 100 i n2 ­ 100.
Weryfikację hipotezy H0 przeprowadzamy testem analogicznym jak w MODELU I RÓWNOŚCI DWÓCH
ŚREDNICH. Jako nieznane wartości σ12 i σ22 przyjmuje się wariancje s21 i s22 wyznaczone z prób.
3
4. WERYFIKACJA HIPOTEZ O WSKAŹNIKU STRUKTURY POPULACJI
Hipoteza zerowa
H0 : p = p0
Badana cecha populacji ma rozkład dwupunktowy zero-jednynkowy z nieznanym parametrem p. Liczebność
próby jest duża n ­ 100.
Hipoteza alternatywna H1
Zbiór krytyczny W
H1 : p 6= p0
W = −∞, −u(1 − α2 ), ∪ u(1 − α2 ), +∞
H1 : p > p0
W = [u(1 − α), +∞)
H1 : p < p0
W = (−∞, −u(1 − α)]
gdzie u(1 − α2 ) i u(1 − α) są kwantylami rzędu 1 −
α
2
i 1 − α (odpowiednio) rozkładu N (0, 1).
Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową:
U=p
m − np0
,
np0 (1 − p0 )
gdzie m - liczba elementów w próbie, które posiadają wyróżnioną cechę, n - liczebność próby.
5. WERYFIKACJA HIPOTEZ O RÓWNOŚCI WSKAŹNIKÓW STRUKTURY DWÓCH POPULACJI
Hipoteza zerowa
H0 : p1 = p2
Badana cecha ma w dwóch populacjach rozkład dwupunktowy z nieznanymi parametrami p1 , p2 (odpowiednio). Obie próby są o dużej liczebności n1 ­ 100 i n2 ­ 100.
Hipoteza alternatywna H1
Zbiór krytyczny W
H1 : p1 6= p2
W = −∞, −u(1 − α2 ) ∪ u(1 − α2 ), +∞
H1 : p1 > p2
W = [u(1 − α), +∞)
H1 : p1 < p2
W = (−∞, −u(1 − α)]
gdzie u(1 − α2 ) i u(1 − α) są kwantylami rzędu 1 −
α
2
i 1 − α (odpowiednio) rozkładu N (0, 1).
Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę testową:
p∗ − p∗2
U = q 1∗
,
∗
p (1−p )
n∗
gdzie p∗1 =
m1 ∗ m2 ∗ m1 + m2 ∗
n1 n2
, p2 =
, p =
, n =
,
n1
n2
n1 + n2
n1 + n2
m1 , m2 - liczby elementów w próbach, które posiadają wyróżnioną cechę.
4