Sposób obliczania wartości indukcyjności L (pojemności C)

Sposób obliczania wartości indukcyjności L (pojemności C), na
podstawie danych uzyskanych w ćwiczeniu
Pomiary Oscyloskopowe
Obliczenia na liczbach zespolonych są dość skomplikowane i nie polecam wykonywania ich
„ręcznie”. Wygodny w użyciu może stać się darmowy program matematyczny Scilab, który można
pobrać ze strony http://www.scilab.org/, lub program Octave http://www.gnu.org/software/octave/.
Zapis liczby zespolonej w programie Scilab, następuje przy użyciu symbolu %i:
Proszę spróbować zdefiniować zmienną a :a = 5+5*%i
Po zdefiniowaniu zmiennej a, możemy jej używać jak zwykłej liczby
Polecenie abs(a), lub abs(5+%i*5) obliczy moduł liczby zgodnie z wzorem abs(5+5*%i) =
5 252 =7.0711
Polecenie atan(imag(a),real(a)) oblicza kąt wektora dla danej liczby zespolonej (wynik jest w
Część Urojona
radianach), zgodnie z wzorem =arctan
Część Rzeczywista
Zapis liczby zespolonej w programie Octave, następuje przy użyciu symbolu i:
Proszę spróbować zdefiniować zmienną a :a = 5+5*i
Po zdefiniowaniu zmiennej a, możemy jej używać jak zwykłej liczby
Polecenie abs(a), lub abs(5+i*5) obliczy moduł liczby zgodnie z wzorem abs(5+5*i) =
5 252 =7.0711
Polecenie atan(imag(a),real(a)) oblicza kąt wektora dla danej liczby zespolonej (wynik jest w
radianach)
Wielkość elektryczna w dziedzinie czasu zapisywana jest w postaci u, np.: u = Um sin(ωt), przy
czym Um to amplituda danej wielkości.
Postać zespolona danej liczby powinna być zapisywana z podkreśleniem np.: U
postać czasowa napięcia w ćwiczeniu:
u=U m sin  t
(1)
postać zespolona:
(2)
U t=U m e j  t=U m e j e j t
wielkość e j t inaczej zapisuje się w postaci:
j t
(3)
e =cost  j⋅sint 
jak więc widać przejście z zapisu w postaci u do postaci U(t) następuje według wzoru u = Im
(U(t)) (czyli część urojona)
Z oscyloskopu odczytywane były wartości maksymalne przebiegów, przekształcane na wartość
skuteczną U.
Wartość prądu obliczana z przebiegu napięcia na rezystorze według wzoru I = U/R, była jednak
przesunięta w stosunku do napięcia. W przypadku, gdy obwód składał się z szeregowo połączonych
indukcyjności, oraz oporu – napięcie wyprzedza prąd, a zatem przesunięcie kątowe traktujemy z
minusem. W przypadku obwodu z szeregowo połączonymi oporem i pojemnością, kąt traktujemy
ze znakiem +.
Dla obwodu z indukcyjnością L
wartość prądu:
I t=I e j  e j t
(4)
Obliczenie impedancji przy określonej wartości napięcia oraz określonej wartości natężenia prądu
w zapisie wykładniczym (składowe czasowe skracają się):
U
U j
Z = −j  = e
(5)
I
Ie
lub w zapisie zespolonym
Z =Z cos  j⋅sin 
(6)
np.: przyjmijmy, że wartość skuteczna napięcia wynosiła U = 20V, natężenie prądu I = 0,005e-jφ,
gdzie wartość odczytana z oscyloskopu φ = 30º. Częstotliwość f = 5000 Hz, pulsacja ω = 31416 .
Wartość obliczonej impedancji:
Z = 4000ej30º = 4000 cos(30º) + jsin(30º) = 3464,1 + j 2000.
Wzór ogólny na impedancję szeregowo połączonych oporu i indukcyjności, ma postać:
Z =R j L
(7)
A zatem otrzymany wynik to część rzeczywista Re(Z) = 3464,1Ω, odpowiadająca oporowi
mierzonego obwodu, Im(Z) = 2000, odpowiadające reaktancji elementów biernych użytych w
obwodzie. Obliczenie indukcyjności:
Im Z  Im  Z 
L=
=
(8)

2 f
Obliczone wartości oporu R i indukcyjności L, powinny być zbliżone do nastaw na odpowiednich
elementach w laboratorium.
U
I
UR
UL
Rysunek 1: Wykres wektorowy obwodu RL
Wykres wektorowy, wymaga znajomości wartości napięć i prądów w całym obwodzie:
UR = RI = 3464,1 ·0,005e-jφ = 17,32 e-j30º
UL = j ωL ·I = 2000 ·0,005e-j30ºej90º = 10 ej60º
Jak widać na rysunku przedstawiającym sumę napięć, w postaci wektorowej, wartość skuteczna jest
użyta jako długość odpowiedniego wektora, a kąt – nachylenie wektora w stosunku do osi
rzeczywistej (w dziedzinie liczb zespolonych, wykresy tego typu składają się z osi rzeczywistej i
osi urojonej). Suma wektorów dała w wyniku 20V, co zgadza się z napięciem zasilającym
przyjętym do obliczeń.
Dla obwodu z pojemnością C
Obliczenia są analogiczne w stosunku do obliczeń dla obwodu z indukcyjnością. Różnice to:
(9)
Z=
U
U
= e− j
j
I
Ie
co zostało wcześniej wyjaśnione, przesunięcie kątowe należy traktować dla prądu ze znakiem +.
Wzór ogólny na impedancję szeregowo połączonych oporu i indukcyjności, ma postać:
1
Z =R− j
(10)
C
Wzór na pojemność:
(11)
C=
1
1
=
Im Z  Im  Z  2  f
Analogicznie przedstawia się również wykres wektorowy – pamiętać należy o znaku – przy
napięciu dla kondensatora.