Filozofia przypadku

1
Filozofia
przypadku
2
3
Michał Heller
Filozofia
przypadku
Kosmiczna fuga
z preludium i codą
KRAKÓW 2011
4
ISBN 978-83-62259-20-5
© Copyright by Michał Heller & Copernicus Center Foundation
Kraków 2011
Opracowanie wydawnicze:
Bernadeta Lekacz
Barbara Pawlikowska
Agata Mościcka
Wydawca:
Konsorcjum Akademickie
Wydawnictwo WSE w Krakowie, WSIiZ w Rzeszowie i WSZiA w Zamościu
ul. mjr H. Sucharskiego 2; 35-225 Rzeszów
tel. (017) 86 61 144
e-mail: [email protected]
5
Spis treści
Wstęp..............................................................................................................9
Część I. PRELUDIUM................................................................... 13
Rozdział 1. Od starożytności do Pascala i Fermata..............................19
1. Hazard w starożytności i potem....................................................19
2. „To, co się zdarza, ale nie zawsze, ani z konieczności, ani
najczęściej”........................................................................................20
3. Od przypadkowości do przygodności..........................................23
4. Prekursorzy.......................................................................................27
5. Geometria przypadku......................................................................29
Rozdział 2. Małe i wielkie stawki.............................................................33
1. „Logika z Port Royal”.....................................................................33
2. Inspiracje i treść...............................................................................34
3. „Zakład”............................................................................................36
4. Huygens – jak oczekiwać wygranej?.............................................39
Rozdział 3. Teologia i prawdopodobieństwo.........................................41
1. Pośmiertne dzieło Jakuba Bernoulliego.......................................41
2. Boża wszechwiedza i prawo wielkich liczb..................................42
3. Prawdopodobieństwo......................................................................45
4. Moralne spory..................................................................................47
5. Bernoulli i Leibniz. Logika zdarzeń przygodnych......................48
6. Polityczna arytmetyka......................................................................50
Rozdział 4. Przypadek i organizacja świata............................................53
1. Zasada najmniejszego działania.....................................................53
2. Polemiki akademika.........................................................................54
3. Jak funkcjonuje Wszechświat?.......................................................55
6
Spis treści
4. Sprawa Königa.................................................................................57
5. Zasada najmniejszego działania we współczesnej fizyce...........59
6. Czy w całce jest więcej tajemnicy niż w różniczce?....................61
7. Przypadek i Inteligencja..................................................................63
Rozdział 5. Poskramianie przypadku.......................................................65
1. Dlaczego przypadki wymagają poskromienia?............................65
2. Przypadki a strategia stworzenia....................................................66
3. Eksperymentowanie z przypadkiem.............................................67
4. Moralność a rachunek prawdopodobieństwa..............................68
5. Teologia – nauka – teologia............................................................69
6. Perspektywy......................................................................................70
Część II. FUGA...............................................................................73
Rozdział 6. Rewolucja probabilistyczna..................................................77
1. Wprowadzenie..................................................................................77
2. Prawdopodobieństwo i astronomia..............................................79
3. W kierunku teorii miary..................................................................80
4. Mechanika statystyczna...................................................................81
5. Ruchy Browna..................................................................................84
6. Kołmogorow....................................................................................86
7. Interpretacje – von Mises...............................................................87
8. Interpretacje – de Finetti................................................................88
9. Prawdopodobieństwo jako miara..................................................91
10. Probabilistyka a strukturalizm matematyczny.............................91
11. Po Kołmogorowie...........................................................................92
Rozdział 7. Co to jest przypadek?............................................................95
1. Uwagi wprowadzające.....................................................................95
2. Wstępne określenia..........................................................................95
3. Subiektywne źródła prawdopodobieństw....................................97
4. Obiektywne źródła prawdopodobieństw.....................................98
5. Niestabilność i ignorancja.............................................................100
6. Strategia przyrody..........................................................................102
7. Przypadki i racje wystarczające....................................................103
8. Uwagi na zakończenie...................................................................105
Rozdział 8. Uogólnione rachunki prawdopodobieństwa...................107
1. Wprowadzenie................................................................................107
2. Trochę historii................................................................................108
3. Trochę matematyki: niektóre własności algebr von Neumanna.. 109
Spis treści
7
4. Program von Neumanna..............................................................111
5. Trochę rachunku prawdopodobieństwa.....................................112
6. Nieprzemienna teoria prawdopodobieństwa.............................114
7. Wolny rachunek prawdopodobieństwa.......................................116
8. Konsekwencje.................................................................................117
Rozdział 9. Prawdopodobieństwo w strukturze Wszechświata........121
1. Prawdopodobieństwo – od zastosowań do teorii.....................121
2. Miara i prawdopodobieństwo......................................................123
3. Interpretacje....................................................................................124
4. Struktura przypadku......................................................................126
Część III. CODA........................................................................... 129
Rozdział 10. Krótka historia antyewolucyjnego fundamentalizmu.....133
1. Początki fundamentalizmu...........................................................133
2. Małpie procesy...............................................................................134
3. Inteligentny Projekt.......................................................................137
4. Bóg czy czysty przypadek?...........................................................139
Rozdział 11. Pokusa manicheizmu.........................................................141
1. Dawne spory w nowej postaci.....................................................141
2. Gnostycy, czyli „wiedzący”...........................................................142
3. Matematyka przeciw gnozie.........................................................144
4. Czy Bóg jest Panem wszystkiego?...............................................146
Rozdział 12. Ex casu et fortuna.................................................................149
1. „Przeciw poganom”......................................................................149
2. Skąd zło?.........................................................................................150
3. Przygodność i wolna wola............................................................151
4. Spotkanie na rynku........................................................................152
5. Przestroga św. Augustyna.............................................................153
Rozdział 13. Bóg prawdopodobieństw.................................................155
1. Ontologia prawdopodobieństwa ................................................155
2. Problem małych prawdopodobieństw........................................156
3. Problem dużych prawdopodobieństw........................................158
4. Zasada obojętności........................................................................160
Rozdział 14. Jedno z włókien kosmicznej ewolucji.............................163
1. Splot zagadnień, któremu poświęca się zbyt mało uwagi........163
2. Ściek bałaganu................................................................................164
3. Naturalna historia węgla...............................................................165
4. Układy dynamiczne.......................................................................167
8
Spis treści
5. Dynamika życia..............................................................................169
6. Dobór naturalny.............................................................................171
Rozdział 15. Inteligentny Projekt czy Zamysł Boga?.........................175
1. Dwie strategie.................................................................................175
2. Konieczność i przypadek..............................................................176
3. Czy biologia winna budzić emocje metafizyczne? . .................179
4. Zamysł Boga...................................................................................182
5. Gra hazardowa zwana życiem......................................................184
6. Wielka Matryca...............................................................................186
Indeks osób...............................................................................................187
Indeks rzeczowy.......................................................................................189
9
Wstęp
Jeżeli miałbym tę książkę komuś zadedykować, zadedykowałbym ją Richardowi Dawkinsowi i Williamowi Dembskiemu. Dzieli ich prawie wszystko,
ale łączy jeszcze więcej. Różni ich pogląd na teorię ewolucji. Dawkins uważa,
że to „ślepy zegarmistrz”, który wyjaśnia wszystko; Dembski sądzi, że jest
ona pełna „nieredukowalnie złożonych sytuacji”, które świadczą o Inteligentnym Projekcie. Łączy ich pasja w propagowaniu swoich poglądów, stawianie
na jedną kartę. W książce, którą teraz przedkładam Czytelnikowi, proponuję
własne stanowisko, równie odległe od poglądów jednego, jak i drugiego. Nie
chciałbym jednak dołączyć do klubu zelotów w głoszeniu swoich idei, dlatego
pragnę rozważyć zagadnienie w szerszej perspektywie i w szerszym kontekście, a dyskusję z obu panami traktuję marginalnie i trochę nadrzędnie jako
przykład ukazujący aktualność poruszanych zagadnień.
Moim szerszym kontekstem jest „filozofia przypadku” nie tylko (a może
nawet nie głównie) w teorii biologicznej ewolucji, lecz również w strukturze
i ewolucji całego Kosmosu, a moją szerszą perspektywą jest perspektywa historyczna. Wprawdzie nie zamierzam pisać historii pojęcia przypadku (gdybym zamierzał, musiałoby to być dzieło znacznie większych rozmiarów),
pragnę jednak skupić uwagę przynajmniej na niektórych epizodach historii
nauki i filozofii – tych mianowicie, które odegrały ważniejszą rolę w formowaniu się tego pojęcia i jego przeobrażeniach. Historia wyjaśnia szereg
zagadnień, także takich, z którymi borykamy się i dziś, często tylko dlatego,
że nie przyszło nam na myśl, by sięgnąć do ich dziejów.
Przyglądając się ewolucji pojęć związanych z prawdopodobieństwem
i przypadkiem, zobaczymy już na samym początku, dlaczego pojęcie przypadku (rozumiane jeszcze bardzo intuicyjnie) zrosło się w naszych skojarzeniach
z załamaniem się racjonalności. Skojarzenie to znacznie utrudniło proces
10
Wstęp
oswajania zdarzeń przypadkowych. Bo czy można zrozumieć coś, co nie jest
racjonalne? Pomoc – ale w skali długich okresów czasu – przyszła z dwu źródeł: z rozważań teologicznych – bo nie może być tak, żeby przypadek wyłamywał się spod rządów Opatrzności, i z praktyki gier hazardowych – bo chcąc
wygrać, trzeba jakoś zapanować nad losowością przypadku. Dzięki ludzkiej
namiętności do hazardu w wymianie listów między Pascalem i Fermatem narodziły się podstawy późniejszego rachunku prawdopodobieństwa, ale już wkrótce w ten nurt włączył się wątek teologiczny i to w kluczowym punkcie: samo
pojęcie prawdopodobieństwa przedryfowało z teologicznych sporów hiszpańskich kazuistów do rodzącego się rachunku prawdopodobieństwa. Dalszy
ciąg zdarzeń toczył się coraz szybciej. Wprawdzie w swojej podstawowej pracy Jakub Bernoulli ciągle jeszcze dużo mówi o grach hazardowych, ale coraz
wyraźniej ustępują one miejsca autentycznie matematycznym twierdzeniom.
O pewnej dojrzałości rachunku prawdopodobieństwa świadczą także jego
zastosowania. Statystyki umieralności pozwoliły opanować problem epidemii
w wielkich miastach (bo tam głównie prowadzono w miarę dokładnie rejestry
zmarłych), a zastosowanie metod statystycznych do systemu rent i emerytur
zaczęło przynosić zyski bankowcom. W ten sposób dobiegł końca pierwszy
etap oswajania przypadku i na tym kończy się pierwsza część tej książki.
Potem następuje luka. Gdybym chciał pisać historię rachunku prawdopodobieństwa, musiałbym w tym miejscu dodać kilka rozdziałów o tym, co działo się od Laplace’a (włącznie) do początku XX w. Byłoby to niewątpliwie interesujące i mogłoby rzucić sporo światła na wiele szczegółów, oddaliłoby mnie
jednak od głównego celu tej książki – filozofii przypadku. Właśnie dlatego
przeskakuję do XX stulecia. Od początku tego wieku zaczęły w matematyce
przebiegać procesy o zasadniczym znaczeniu dla rozumienia przypadku i pojęć z nim związanych. Rachunek prawdopodobieństwa szybko przeobrażał się
ze zbioru stwierdzeń i reguł użytecznych w różnych zastosowaniach w teorię
nowoczesnej matematyki. Dostrzeżenie związku między prawdopodobieństwem a matematyczną teorią miary i wkrótce potem formalne ujęcie rachunku prawdopodobieństwa przez Andrieja Kołmogorowa sprawiły, że pojęcie
prawdopodobieństwa wyzwoliło się wreszcie z intuicyjnych skojarzeń i stało
się skutecznym narzędziem formalnych analiz. Dzięki temu teoria prawdopodobieństwa jako szczególny przypadek teorii miary weszła w intensywne
oddziaływanie z innymi teoriami matematycznymi, awansując do roli jednego
z kluczowych działów matematyki współczesnej. Pozostały problemy interpretacyjne, tak przecież istotne dla „filozofii przypadku”, ale i tu formalizacja
okazała się pomocna, pozwoliła bowiem łatwiej dostrzec granicę pomiędzy
czysto formalną strukturą a jej interpretacyjnymi uwarunkowaniami.
Wstęp
11
Postęp w matematyce zwykle prowadzi do uogólnień. Fakt, że prawdopodobieństwo pojawiło się w mechanice kwantowej niejako w nowej
roli, nie tylko wzmógł spory interpretacyjne, lecz również stał się zapowiedzią (a nawet stanowił wstępny etap) uogólnienia tego pojęcia. Proces raz zapoczątkowany przebiegał szybko. Dysponujemy dziś szeregiem
uogólnień teorii prawdopodobieństwa (dokładniej – miary probabilistycznej), z których do najbardziej spektakularnych należą tzw. nieprzemienne
miary probabilistyczne. Spektakularność polega na tym, że uogólnione pojęcia prawdopodobieństwa mają szereg własności zupełnie zaskakujących
z punktu widzenia naszych myślowych przyzwyczajeń.
Pojęcie przypadku w oczywisty sposób wiąże się z pojęciem prawdopodobieństwa. Zdarzenie nazywamy przypadkowym, jeżeli uznajemy, iż prawdopodobieństwo (a priori) jego pojawienia się jest niewielkie (w każdym razie
mniejsze niż jeden). Jeżeli zgodzimy się przyjąć tę intuicję jako podstawę dla
definicji przypadku, to natychmiast rodzi się pytanie: o jakie prawdopodobieństwo chodzi? W sytuacjach z życia codziennego nie mamy wątpliwości,
że chodzi o standardowe prawdopodobieństwo, mniej lub bardziej takie, jak
zostało zdefiniowane przez Kołmogorowa. Ale w dyskusjach filozoficznych
i światopoglądowych nie sposób uniknąć zejścia do poziomu podstawowego (poniżej progu Plancka), gdyż tam – jak sądzimy – rozgrywa się zagadnienie struktury Wszechświata. Jeżeli ten poziom jest probabilistyczny, jak
wszystko zdaje się na to wskazywać, to w jakim sensie? Mamy przecież wiele
miar probabilistycznych. Od odpowiedzi na to pytanie zależy zarówno rozumienie przypadku, jak i jego roli w strukturze Całości.
W ten sposób prawie niespostrzeżenie przeszliśmy do trzeciej części
książki, w której zagadnienie „filozofii przypadku” pojawia się w całej ostrości. Wracamy więc do spięcia pomiędzy Dawkinsem a Dembskim. To ono
pomoże nam nakreślić własne rozwiązanie. Sformułujmy zatem problem
kontrastowo, tak jak czynią to zwolennicy Inteligentnego Projektu: Bóg czy
czysty przypadek? Ale podchodzimy do tego pytania uzbrojeni w solidną
dawkę wiadomości o rachunku prawdopodobieństwa i wyposażeni w rozumienie przypadku w jego kontekście. Musimy jednak uzupełnić naszą wiedzę o pewne quantum informacji z historii teologii, okazuje się bowiem, że
dawni mistrzowie, mimo że w wielu dziedzinach nie dysponowali wiedzą
taką jak nasza, mieli ogromne wyczucie teologiczne (które my w znacznej
mierze zaprzepaściliśmy po drodze), postaramy się więc połączyć jedno
i drugie – naszą wiedzę i nawiązujący do tradycji zmysł teologiczny.
Istnienie przypadków w strukturze Wszechświata jest faktem niepodważalnym. Przypadki nie są czymś wyjątkowym. Struktura Wszechświata
12
Wstęp
jest cała poprzetykana przypadkami. Ale ich rozmieszczenie w tej strukturze nie jest przypadkowe. Są one istotną częścią „matrycy Wszechświata”.
Pojawiają się jako warunki początkowe różnych praw fizyki i jako fluktuacje atakujące różne procesy dynamiczne zachodzące we Wszechświecie.
Bez warunków początkowych prawa przyrody nie mogłyby funkcjonować,
a bez zewnętrznych fluktuacji nieliniowe procesy dynamiczne nie byłyby
w stanie wytwarzać autentycznych nowości. Ewolucja biologiczna jest takim procesem dynamicznym, a dobór naturalny, jeden z jej podstawowych
mechanizmów, polega na oddziaływaniu wewnętrznej wrażliwości ewoluującego układu na małe zaburzenia z zaburzającymi fluktuacjami otoczenia. Ewolucja biologiczna jest jednym z włókien ewolucji kosmicznej.
Na tę przedziwną symfonię Kosmosu możemy spoglądać z różnych
punktów widzenia. Możemy jak Dawkins tłumaczyć wszystko ślepym przypadkiem. Możemy jak Dembski w szczególnie misternych detalach kosmicznej struktury dopatrywać się interwencji Inteligentnego Projektanta.
Obydwie te próby są jednak chybione, trzeba niemałej intelektualnej ekwilibrystyki, by je utrzymać. Przypadki niczego nie wyjaśniają, bo same wymagają wyjaśnienia. Są tak subtelnie wplecione w strukturę Wszechświata, że
bez niej tracą sens i nie mogą istnieć. A odwoływanie się do szczególnych
miejsc w strukturze Całości jako śladów Projektanta jest dla tego Projektanta zniewagą dokładnie z tego samego powodu, dla którego trzeba odrzucić wyjaśniającą moc czystych przypadków. W Kosmicznej Matrycy nie ma
szczególnych miejsc (obojętne, czy nazwiemy je działaniem przypadku, czy
nadzwyczajną interwencją); wszystko jest jedną Wielką Matrycą. Nazwałbym ją Inteligentnym Projektem, ale ta piękna nazwa została skompromitowana, dlatego wolę użyć określenia często powtarzanego przez Einsteina:
the Mind of God – Zamysł Boga. Celem nauki jest odcyfrować ten Zamysł.
***
Pragnę wyrazić wdzięczność mojemu Przyjacielowi Janowi Jaworowskiemu, emerytowanemu profesorowi matematyki Uniwersytetu w Bloomington
w stanie Indiana, za to, że zechciał przeczytać komputerowy wydruk tej książki.
Jego cenne uwagi pozwoliły wyeliminować wiele nieścisłości, a nawet błędów.
Za te, które mimo wszystko pozostały, tylko ja ponoszę odpowiedzialność.
Dziękuję również paniom z wydawnictwa Konsorcjum Akademickie:
Bernadecie Lekacz, Barbarze Pawlikowskiej i Agacie Mościckiej. Bez ich
udziału książka nie wyglądałaby tak ładnie.
Tarnów, 17 maja 2011 r.
Część I. Preludium
13
Część I
PRELUDIUM
14
Część I. Preludium
Część I. Preludium
15
Preludium może być samodzielną formą muzyczną, ale – niejako ze swej
natury – jest raczej wstępem do czegoś większego. Często bywa prologiem
do sonaty kameralnej lub suity. Wprawdzie początki były skromne, ale historia pokaże, że preludium rozwinie się w coś naprawdę wielkiego – w coś,
co pod względem kunsztu i rozmachu porównałbym do fugi. Ale nie uprzedzajmy wypadków. Jesteśmy na samym początku. Droga będzie długa i mozolna, choć niepozbawiona prawdziwie artystycznych epizodów.
W starożytności i średniowieczu (rozdz. 1) nie istniało jeszcze pojęcie prawdopodobieństwa (w dzisiejszym rozumieniu), a o przypadku mówiono w sensie intuicyjnym, próbując to pojęcie okiełznać, oplatając je
dyskursem filozoficznym, a potem także teologicznym. Pojęcie nabiera
odniesień znaczeniowych w kontaktach z innymi pojęciami. Dla przypadku partnerami były pojęcia przyczynowości i przygodności. I tak już
pozostanie: te pokrewieństwa – nieważne, czy na zasadzie podobieństwa,
czy kontrastu – na zawsze wpiszą się do zestawu wyobrażeń, jakie do dziś
wiążemy z przypadkiem. Ale istnieje i inne oblicze przypadku. Ujawniło się ono w pierwszych zestawieniach danych statystycznych. Zdarzenia
przypadkowe (losowe) układają się w ciągi, których kolejne wyrazy można
przewidywać i czerpać z tego wymierne korzyści.
Losowość i nadzieja związana z przewidywaniem spotykają się ze
sobą w grach hazardowych, a chęć zysku staje się potężną siłą napędową.
W momencie, gdy hazardzista, kawaler de Méré zwrócił się do Pascala
z prośbą o ekspertyzę, jak rozwiązać pewną łamigłówkę związaną z grami
hazardowymi, rachunek prawdopodobieństwa odnalazł swoją matematyczną ścieżkę rozwoju.
Dalej wypadki potoczyły się szybciej (rozdz. 2). W życiu często kierujemy się przesłankami opartymi na prawdopodobieństwie. Czy powinniśmy to robić, posługując się tylko intuicją i instynktem? Logicy związani
ze środowiskiem Port Royal podjęli próbę usystematyzowania tych intuicji
i ujęcia ich w karby logicznych wynikań. Stąd już tylko krok do gry o stawkę najwyższą. Słynny zakład Pascala: czy opłaca się ryzykować, wybierając
„Boga nie ma”, bo są dwie możliwości: albo „Bóg jest”, albo „Boga nie
ma”? A potem Huygens przejmuje inicjatywę: próbuje podsumować i rozwinąć wszystkie dotychczasowe osiągnięcia dotyczące expectatio – przewidywania. Używał tego terminu w znaczeniu technicznym, ale zostanie ono
potem wyparte przez termin „prawdopodobieństwo”.
Nad pierwszą prawdziwie matematyczną pracą z rachunku prawdopodobieństwa trzeba się pochylić z większą uwagą. Jest to pośmiertnie
16
Część I. Preludium
opublikowane dzieło Jakuba Bernoulliego. Tu po raz pierwszy pojawiło
się twierdzenie wraz z dowodem (pierwsze graniczne twierdzenie Bernoulliego), prawdziwe zawsze, niezależnie od takiego czy innego kontekstu.
Twierdzenie Bernoulliego mówi o przewidywaniu wyników w długich (teoretycznie nieskończenie długich) ciągach zdarzeń losowych. Czy zdarzenia
przypadkowe są mimo wszystko zdeterminowane? Bernoulli był gorliwym
kalwinistą i dla niego pytanie: „jak daleko sięga predestynacja?” było istotne.
W pracy Bernoulliego pojawia się wreszcie termin „prawdopodobieństwo” w jego technicznym rozumieniu. Tu również matematyka zaciągnęła dług u teologii. Terminem tym od dawna posługiwali się teologowie-moraliści, zastanawiając się, w jakim stopniu jest rzeczą etyczną kierować
się w postępowaniu przesłankami, które są tylko prawdopodobne, i jak
mierzyć stopień ich prawdopodobieństwa. Bernoulli dobrze znał te teologiczne spory i zagadnienie miary stopnia prawdopodobieństwa przeniósł
do swoich rozważań matematycznych.
W matematyce teoria w naturalny sposób prowadzi do zastosowań.
Bernoulli myślał o nich, ale brak mu było danych statystycznych, na których mógłby oprzeć swoje rachunki. Dane takie – ale już następnym badaczom – podsunęło samo życie. Spisy zmarłych podczas zarazy i bankowe wykazy ubezpieczeń nie tylko dostarczały materiału do zastosowania teorii, lecz również odpowiednio wykorzystane stały się źródłem
materialnych korzyści.
Niemal każda bujnie rozwijająca się dziedzina nauki prędzej czy później budzi zainteresowanie filozoficzne. Nie inaczej było z rachunkiem
prawdopodobieństwa. W czasie, gdy czynił on szybkie postępy, dość powszechne były poglądy znane potem pod nazwą fizykoteologii. Zgodnie z nimi wiele elementów struktury świata i jego funkcjonowania (np.
precyzyjne ruchy planet, budowa oka jako skomplikowanego przyrządu optycznego itp.) wskazywało na racjonalnego Stwórcę. Ale czy nie
można by tych wszystkich kunsztownych detali przypisać przypadkowi
działającemu zgodnie z zasadami rachunku prawdopodobieństwa? Na
takie twierdzenie odważył się Pierre Louis de Maupertius. Uzupełnił je
ważnym spostrzeżeniem: przypadek na ogół produkuje niepożądane,
a nawet monstrualne skutki, ale są one potem eliminowane. Przeżywają
tylko te, które okazały się korzystne. Czy Maupertuis był prekursorem
idei doboru naturalnego? Czy Darwin znał jego prace? Maupertuis był
na terenie fizyki odkrywcą zasady najmniejszego działania, ale przypisywał jej znaczenie uniwersalne. Uważał, że Stwórca nie zniża się do pro-
Część I. Preludium
17
jektowania szczegółowych rozwiązań, wolał bowiem ustanowić ogólną
zasadę – zasadę najmniejszego działania – która wymusza ogólny plan
i w jego ramach koordynuje wszystkie szczególne przypadki. De Maupertuis mógłby osiągnąć znacznie więcej, gdyby nie było mu zbyt spieszno do wielkich uogólnień i gdyby nie uwikłał się w intrygi w celu zapewnienia sobie pierwszeństwa odkrycia zasady najmniejszego działania.
Pora na podsumowanie (rozdz. 5). Długi czas prowadzący do ukonstytuowania się rachunku prawdopodobieństwa można uznać za czas oswajania czy wręcz poskramiania przypadku: od Arystotelesa, który twierdził,
że przypadek stanowi wyłom w racjonalności i dlatego nauka jest wobec
niego bezsilna, do Jakuba Bernoulliego, który sformułował i matematycznie udowodnił twierdzenie o długiej serii przypadkowych zdarzeń. Postęp
nauki polega na tym, że stopniowo wyostrzają się metody, wyostrza się
także nasza racjonalność i to, co było kiedyś poza jej zasięgiem, teraz staje
się przedmiotem racjonalnego badania. Ale każde rozszerzenie racjonalności rodzi nowe zagadnienia interpretacyjne i filozoficzne. Droga nie jest
zakończona. To dopiero preludium.
18
Część I. Preludium
19
Część I. Preludium
Rozdział 1
Od starożytności
do Pascala i Fermata
1. Hazard w starożytności i potem
Istnieje stereotypowe przekonanie, że historia rachunku prawdopodobieństwa rozpoczęła się od słynnej wymiany listów pomiędzy Pascalem i Fermatem z 1654 r. Ian Hacking1 ilustruje to następującym faktem. W 1865 r. Isaac
Todhunter opublikował książkę A History of Mathematical Theory of Probability
from the Time of Pascal to That of Laplace. Książka ta na długo stała się autorytatywnym źródłem w tej dziedzinie. Liczy ona 618 stron, lecz jedynie 6 (sześć!)
jest poświęconych temu, co w rachunku prawdopodobieństwa działo się przed
Pascalem. Hacking zdaje się uważać tę proporcję za uzasadnioną.
Przed Pascalem – pisze – prawie nie było żadnej historii godnej
odnotowania; natomiast po Laplasie prawdopodobieństwo było tak
dobrze rozumiane, że sprawozdanie strona po stronie z opublikowanych prac stało się prawie niemożliwe.
Hacking uważa2, że nauka rozwija się dzięki dwom mechanizmom:
dzięki problemom, które sama generuje, i dzięki problemom, które zostały
1
2
The Emergence of Probability, wyd. 2, Cambridge University Press, Cambridge 2006, s. 1.
Tamże, s. 4.
20
Część I. Preludium
na niej wymuszone z zewnątrz. Teoria prawdopodobieństwa sama stawia
sobie problemy do rozwiązania od całkiem niedawna, w zasadzie dopiero
od początku XX w. Za czasów Pascala i Fermata czynnikiem zewnętrznym, który zapoczątkował naukowe myślenie o prawdopodobieństwie,
były gry hazardowe. Dopiero po czasach Laplace’a motywacji było coraz
więcej i miały one coraz głębsze powiązania zarówno z celami praktycznymi (ubezpieczenia i renty, potrzeby gospodarki), jak i teoriami naukowymi
(fizyka statystyczna, teoria pomiarów, także w astronomii).
Ale gry hazardowe istniały od prawie tak dawna jak sama ludzkość. Dokumentacja tego ogólnego stwierdzenia dla starożytności jest ogromna. Wiadomo na przykład, że pierwszymi kośćmi do gry były autentyczne kości z okolicy kostki lub pięty szybko biegających zwierząt, takich jak konie czy jelenie.
Dobrze wypolerowane, a potem także ładnie zdobione, miały tę właściwość,
że rzucone zawsze padały na jedną z czterech powierzchni. Takie kości znajduje się w archeologicznych wykopaliskach starożytnego Egiptu, a nagrobne
ilustracje wymownie świadczą o tym, że służyły one do gry. Wiadomo także,
iż cesarz Marek Aureliusz (skądinąd filozof) tak często zabawiał się rzucaniem
kości, że w podróże zabierał ze sobą specjalnego służącego, który służył mu
za rodzaj krupiera. Jednakże to wczesne zamiłowanie do hazardu nie stworzyło potrzeby matematycznego myślenia o prawdopodobieństwie. Nie w tym
obszarze należy szukać poprzedników Pascala i Fermata.
2. „To, co się zdarza, ale nie zawsze,
ani z konieczności, ani najczęściej”
Grecy mieli jednak naturę filozofów. Bardziej ich pasjonowały spekulacje nad naturą świata i poznania niż gry hazardowe. To właśnie w filozoficznych dociekaniach należy szukać tych wątków, które z czasem stworzą
odpowiedni klimat do postawienia właściwych pytań dotyczących prawdopodobieństwa. Rozważania na temat fatum, chaosu i przypadku zajmują
poczesne miejsce w greckim krajobrazie filozoficznym, nie będziemy jednak iść tropem rozproszonych uwag i opinii. Sięgnijmy raczej do autora,
który problem przypadku stawia explicite i w miarę systematycznie.
W II Księdze Fizyki Arystoteles zagadnienie przypadku porusza w związku z analizą przyczyn i przyczynowości, przypadek bowiem, jego zdaniem,
wyłamuje się spod przyczynowości. Niektóre zdarzenia „powstają zawsze”;
„inne przynajmniej najczęściej powstają w ten sam sposób”. Natomiast
C oz ęz śdćz iIa.ł P1r. e O
R
l udd i sutm
arożytności do Pascala i Fer mata
21
przypadek czy przypadkowe zdarzenie nie może być uznane za
przyczynę żadnej z powyższych ewentualności, tzn. ani tego, co jest
konieczne i zawsze się zdarza, ani tego, co najczęściej się zdarza3.
Systematyczną analizę Arystoteles rozpoczyna swoim zwyczajem od wyliczenia głównych stanowisk wobec problemu przypadku. Wyróżnia ich trzy.
Są więc tacy, którzy kwestionują istnienie przypadków.
Twierdzą mianowicie, że nic nie dzieje się przypadkiem lub trafem
i że to wszystko, co nazywamy przypadkiem, ma swoją określoną
przyczynę4.
Na przykład ktoś powodowany jakąś konkretną przyczyną udaje się na
rynek i tam spotyka człowieka, którego chciał spotkać. Nazywa to przypadkiem, choć to przypadkiem nie jest, bo tamten człowiek przyszedł na
rynek zapewne z jakiegoś konkretnego powodu.
Są też i tacy, którzy twierdzą, że przypadek jest przyczyną wszystkiego,
bo z przypadku wywodzi się wir i ruch, który oddzielił elementy
i ukształtował obecny porządek wszechcałości5.
Arystoteles ma tu oczywiście na myśli atomistów, ale zdecydowanie nie
podziela ich stanowiska. Wyznaje, że dla niego „bardziej prawdopodobne
byłoby twierdzenie przeciwne”6.
Jest jeszcze trzecia grupa myślicieli, którzy twierdzą,
że przypadek jest przyczyną, tylko że niedostępną dla umysłu z tej
racji, iż jest czymś boskim i nadnaturalnym7.
Jaki jest pogląd samego Arystotelesa? Wynika on z tego, co – jego
zdaniem – należy rozumieć przez przypadek. Oto odpowiedni tekst (tym
razem z Metafizyki):
Mówimy, że albo wszystko istnieje zawsze i z konieczności (nie chodzi tutaj o konieczność wymuszoną, lecz o konieczność, do której odwołujemy się w dowodach), albo najczęściej, albo ani zawsze
i z konieczności, ani najczęściej, ale jak się przytrafi [...]8.
Fizyka, II, 196b. Ten i inne cytaty według wydania: Biblioteka Klasyków Filozofii,
PWN, Warszawa 1968 w przekładzie K. Leśniaka.
4
Tamże, II, 196a.
5
Tamże.
6
Tamże, II, 196b.
7
Tamże.
8
Metafizyka, XI, 1064b; według wydania: Biblioteka Klasyków Filozofów, PWN, Warszawa 1983 w przekładzie K. Leśniaka.
3
22
Część I. Preludium
To prowadzi do określenia przypadku: „Przypadkiem jest zatem to,
co się zdarza, ale nie zawsze, ani z konieczności, ani najczęściej”9. Dlatego też „nauka o przypadku nie jest nawet możliwa, (...) bo wszelka
wiedza naukowa dotyczy tego, co istnieje zawsze albo najczęściej, a przypadek nie jest ani jednym, ani drugim”10. Dopowiedzenie, ale istotne,
znajdujemy ponownie w Fizyce:
A zatem słuszne zajmuje stanowisko, kto twierdzi, że przypadek jest
zdarzeniem nieobliczalnym, albowiem to, co da się obliczyć, należy do
dziedziny rzeczy zawsze albo najczęściej istniejących, podczas gdy przypadek należy do tych, które właśnie w tamtych stanowią wyjątek11.
Przypadek jest więc niematematyzowalny i znajduje się całkowicie
poza obszarem racjonalności. Wedle Arystotelesa nauka ze swej istoty
jest przyczynowa, a przypadek stanowi zerwanie związku przyczynowego, nie może więc być przedmiotem nauki. Ta kwalifikacja przypadku
okazała się niezwykle trwała. Jej wyraźnym śladem jest rozpowszechnione dzisiaj przekonanie, że biologicznej teorii ewolucji nie można pogodzić z wiarą religijną, ponieważ teoria ewolucji istotną rolę w genealogii
życia i człowieka przypisuje przypadkowi, a przypadek stanowi wyłom
w racjonalności stwórczego planu.
Jeżeli jednak przypadek wyłamuje się całkowicie spod władzy racjonalności, to dlaczego w pewnych obszarach, w których przypadek zdaje
się rządzić niepodzielnie, można jednak wykrywać pewne prawidłowości?
Takimi obszarami są medycyna i sądownictwo. W obu tych dziedzinach
Grecy rozwinęli znaczny kunszt w stawianiu diagnoz i prognozowaniu.
Autorzy ze szkoły Hipokratesa stworzyli rodzaj nauki
opierającej się – jak pisze Crombie – na powiązaniach i prawidłowościach zdarzeń, które występują najczęściej, choć nie w sposób stały
lub konieczny, jeśli obserwuje się ich odpowiednią liczbę. Ofiarowała
ona obiektywną opisową wiedzę, którą można było ustalić na drodze
indukcji, bez konieczności poznawania przyczyn, przez obserwację i rejestrowanie owych stałych, przypadkowych prawidłowości12.
Tamże, XI, 1065 a.
Tamże.
11
Fizyka, II, 197a.
12
A.C. Crombie, Style myśli naukowej w początkach nowożytnej Europy, tłum. P. Salwa, PAN,
Instytut Filozofii i Socjologii, Warszawa 1994, s. 86.
9
10
C oz ęz śdćz iIa.ł P1r. e O
R
l udd i sutm
arożytności do Pascala i Fer mata
23
Podobna sytuacja ma często miejsce w rozprawach sądowych, kiedy
to na podstawie poszlak trzeba zrekonstruować przebieg jakichś zdarzeń. A w przemowach wobec sądu, jak w każdej retoryce, chodzi przede
wszystkim o przekonanie słuchaczy, w tym przypadku sędziów. Platon
w Fajdrosie pisze:
Nikt bowiem w sądach nie dba zgoła o prawdę w tych sprawach, lecz
o urabianie przekonań. Tym zaś, co człowiek, który chce przemawiać
umiejętnie, powinien mieć na względzie, jest prawdopodobieństwo13.
Pozostawmy historykom nauki zadanie katalogowania i porządkowania
greckich reguł rozumowań na podstawie objawów i poszlak14. Chodzi mi
tylko o zasygnalizowanie faktu, że początków zorganizowanego myślenia
o prawdopodobieństwie należy szukać już w starożytności. Wprawdzie droga od Greków do Pascala i Fermata będzie jeszcze długa i żmudna, ale przecież to samo dotyczy drogi od Fizyki Arystotelesa do Principiów Newtona.
Crombie twierdzi, że dla większości filozofów starożytnych konieczność argumentacji odwołującej się do prawdopodobieństwa „wypływała
z niepewności związanej nie z samą przyczynowością natury, lecz z naszą
wiedzą o niej”15 i dopiero epikurejska doktryna o przypadkowych zderzeniach atomów, dzięki którym powstał cały porządek przyrody, wprowadziła „wewnętrzną nieokreśloność do greckich koncepcji natury rzeczy”.
Tak chyba będzie długi czas. Przekonanie o „koniecznym porządku natury” pozostanie na długo zakorzenione w europejskim myśleniu. Dopiero
mechanika kwantowa zrobi w nim potężny wyłom.
3. Od przypadkowości do przygodności
Kosmos starożytnych Greków był harmonijny i uporządkowany, bo
rządziła w nim konieczność. Wprawdzie Arystoteles zastrzegał się, że nie
chodzi tu o „konieczność wymuszoną, lecz o konieczność, o której decyduje
się w dowodach”, w niczym to jednak nie zmienia faktu, że wyraz ananke, którym greccy filozofowie posługiwali się na oznaczenie konieczności
13
Fajdros, DE 272, Biblioteka Klasyków Filozofii, PWN, Warszawa 1993, s.71; w przekładzie L. Regnera.
14
Por. np. A.C. Crombie, dz. cyt., ss. 81-93.
15
Tamże, s. 92.
24
Część I. Preludium
tkwiącej w przyrodnie, w swoim pierwotnym znaczeniu odnosił się do
wymuszania zeznań nawet za pomocą tortur16. W tym kontekście – jak
widzieliśmy – przypadki były albo czymś irracjonalnym, albo pochodziły
z naszej niewiedzy (jeśli pominąć poglądy atomistów, ale nigdy nie stały się
one w Grecji alternatywą dla bardziej modnych filozofii17).
Wszystko zmieniło się wraz z pojawieniem się chrześcijaństwa. Teologia chrześcijańska powstała ze spotkania myślenia według Biblii z filozofią
grecką18. Nawet jeśli Ojcowie Kościoła wprowadzili istotne korektury do
greckiego obrazu świata, czynili to obarczeni pełnym zestawem greckich
kategorii myślenia. A więc problem stosunku przypadku do konieczności pozostał, lecz musiał się zapoczątkować proces najpierw przesunięć
akcentów, potem stopniowa zmiana znaczenia poszczególnych terminów
i wreszcie całkiem nowe rozumienie zagadnienia. Crombie w następujący
sposób podsumowuje rezultat interesującego nas procesu:
Opatrznościowa teologia stworzenia świata, objawiona w pismach
hebrajskich, zakładała istnienie transcendentnego Stworzyciela,
którego wszechmocna wolność i niepoznawalność czyniła wszelkie
wydarzenia i ich związki definitywnie przypadkowymi z ludzkiego
punktu widzenia. Lecz w ramach takiej przypadkowości przypuszczenia na temat możliwych związków i ich prawdopodobnych konsekwencji znajdowały podstawę w pewności zakładającej jednorodną przyczynowość w przyrodzie19.
Z jednej strony, grecka racjonalność świata została tu w pełni zachowana, a nawet wzmocniona przez odwołanie się do racjonalności dzieła
stworzenia, ale z drugiej strony, dzieło to przestało być następstwem jakichś wewnętrznych konieczności, lecz stało się wynikiem wolnego zamysłu Stwórcy. Grecka irracjonalna przypadkowość została z czasem zastąpiona nowym pojęciem – przygodnością. Wszechświat jest przygodny
Por. O. Pedersen, The Two Books. Historical Notes on Some Interactions between Natural Science
and Theology, Vatican Observatory Foundation, Vatican City 2007, s. 9.
17
Poglądy atomistów na wzajemny stosunek przypadku i przyczynowości nie są do końca jasne. Pedersen cytuje w tym kontekście zdanie atomisty Leukipposa: „Nic nie zdarza
się przypadkowo (maten), lecz wszystko dzieje się dla jakiejś przyczyny (logos) i z konieczności (ananke)”. Obszerniej na ten temat por. O. Pedersen, dz. cyt., ss. 23-27.
18
Obszerniej pisałem o tym w: Teologia a nauki przyrodnicze w okresie Ojców Kościoła, [w:] M.
Heller, Z. Liana, J. Mączka, W. Skoczny, Nauki przyrodnicze a teologia. Konflikt i współistnienie,
OBI – Biblos, Kraków – Tarnów 2001, ss. 29-51.
19
A.C. Crombie, dz. cyt., s. 94.
16
C oz ęz śdćz iIa.ł P1r. e O
R
l udd i sutm
arożytności do Pascala i Fer mata
25
nie tylko dlatego, że Bóg mógł go stworzyć lub nie, lecz także dlatego, że
mógł go stworzyć takim lub innym. I tu rozpętała się burza dyskusji. Gorliwcy tacy jak Petrus Damiani twierdzili, że Bóg może wszystko, co tylko
zechce, nawet zmienić podstawowe prawdy matematyczne lub przeszłość
już dokonaną. Racjonaliści uważali, że brak jakichkolwiek ograniczeń prowadzi prosto w objęcia sprzeczności. Anzelm z Canterbury odpowiedział
Petrusowi Damianiemu, że Bóg, który może wszystko, co zechce, mógłby
np. zechcieć unicestwić samego siebie. Wyjściem z tego dylematu stało
się rozróżnienie zarysowane już przez Orygenesa na moc Boga absolutną
(potestas absoluta) i uporządkowaną (ordinata). Swoją mocą absolutną Bóg
może wszystko, co nie prowadzi do sprzeczności. Są jednak pewne rzeczy,
które swoją absolutną mocą Bóg mógłby uczynić, ale ich nigdy nie uczyni,
bo jest rozumny, sprawiedliwy i dobry. Te ograniczenia wyznaczają zakres
jego mocy uporządkowanej. To rozróżnienie – tu tylko zasygnalizowane
– stopniowo dojrzewało i nabierało klarowności w pismach Majmonidesa, Aleksandra z Halles, Piotra Lombarda, by w pełni skrystalizować się
w dziełach Tomasza z Akwinu.
Te teologiczne dyskusje mają swoje konsekwencje dla badania świata. Ograniczenia Bożej wszechmocy odciskają się – jeśli tak można powiedzieć – na strukturze Wszechświata. Grecki Wszechświat był skrajnie
racjonalistyczny; całą wiedzę o nim można było w zasadzie wydedukować
z pierwszych zasad metafizycznych. Przypadek w takim Wszechświecie był
obcym ciałem, był zaledwie tolerowany i czyniono wysiłki, by go zredukować wyłącznie do czynnika naszej niewiedzy. Jeżeli natomiast Bóg jest wolny
w swojej wszechmocy (choćby tylko ograniczonej do potentia ordinata), to
wszystkich własności świata nie da się wydedukować z pierwszych zasad,
trzeba więc dedukcję wspierać lub może nawet całkiem zastąpić uważnym
przyglądaniem się, jaki ten świat jest, jakim Bogu spodobało się go stworzyć.
Jak twierdzi Amos Funkenstein20, był to jeden z ważnych czynników, które
stworzyły sprzyjający klimat do powstania nauk empirycznych. Utrzymuje
on także, że ograniczenia Bożej wszechmocy przeniesione na świat dały początek formowania się nowożytnego pojęcia prawa przyrody. Wszechświat
widziany przez pryzmat takiej koncepcji niejako z założenia zawiera miejsce
na zdarzenia, których nie da się jednoznacznie przewidzieć. Świat przygodny jest światem otwartym na prawdopodobieństwo.
Por. na ten temat cały rozdział III w jego książce: Theology and Scientific Imagination from
the Middle Ages to the Seventh Century, Princeton University Press, Princeton 1986.
20
26
Część I. Preludium
Zauważmy, że moc Boża ordinata rozciąga się także na to, co Bóg mógł
stworzyć, ale nie stworzył. Temat ten był również obecny w scholastycznych dyskusjach. Gdy Leibniz mówił o „światach możliwych”, z których
nasz jest najlepszy, a które w jego filozofii zajmują tak ważne miejsce, był
spadkobiercą tamtej tradycji. Oczywiście, z czasem zmieniał się metodologiczny status możliwych światów. W scholastycznych dyskusjach były one
teologicznymi możliwościami, pod piórem Leibniza nabrały zabarwienia
logicznych alternatyw, we współczesnej filozofii nauki są narzędziami do
kontrfaktycznej analizy niektórych praw przyrody, a w dzisiejszych dyskusjach wokół kosmologii stają się rzeczywiście istniejącymi światami. Pojęcia
raz zrodzone zwielokrotniają się i mutują szybciej niż gatunki biologiczne.
Dziedziny, w których należało odwoływać się do prawdopodobieństwa,
obejmowały w średniowieczu nie tylko spekulacje na temat Bożej wszechmocy i przygodności, wkraczały także w obszary, w których refleksja filozoficzna mieszała się z codzienny życiem. Konieczność działania w konkretnych sytuacjach połączona z moralnym postulatem kierowania się zawsze
maksymalną pewnością prowadziła do wyróżnienia różnych stopni pewności. Odwoływano się tu do zasady pochodzącej od Arystotelesa, a głoszącej,
że rodzaj wiedzy powinien odpowiadać swojemu przedmiotowi. Inna jest
pewność matematyczna, a inna w medycynie lub etyce. Myśliciele średniowieczni rozwinęli subtelne klasyfikacje rozumowań i rodzajów pewności,
które na ich podstawie można osiągnąć. Crombie zwraca uwagę na wypowiedź św. Tomasza z Akwinu z jego Expositio super librum Boethii De Trinitate:
im bardziej jakaś nauka zbliża się do rzeczy jednostkowych, jak
dzieje się to w takich naukach praktycznych jak medycyna, alchemia
lub etyka, tym mniej może ona dawać pewności z powodu wielkiej
liczby rzeczy jednostkowych, które muszą być wzięte pod uwagę21.
Mówiąc dzisiejszym językiem, wypowiedź ta wskazuje na „rozrzut statystyczny” jako na jedno ze źródeł konieczności odwoływania się do rozumowań opartych na prawdopodobieństwie.
Opierając się na tego rodzaju klasyfikacjach rozumowań, średniowieczni myśliciele opracowali szereg systematycznych reguł odnoszących
się do zbierania danych i oceniania argumentów w dziedzinach takich, jak
postępowanie z heretykami, chorobami zakaźnymi czy lichwą. W tej ostatniej sferze analizy schodziły do porównań liczbowych. Chodziło np. o to,
21
A.C. Crombie, dz. cyt., s. 97.
C oz ęz śdćz iIa.ł P1r. e O
R
l udd i sutm
arożytności do Pascala i Fer mata
27
w jaki sposób pożyczkodawca winien obliczyć procenty proporcjonalnie
do pożyczonego kapitału i stopnia ryzyka. W XIV w. tego rodzaju rozważania weszły na dobre do kupieckiej praktyki i rozwijającego się stopniowo
systemu ubezpieczeń. Przeniesienie tego rodzaju analiz na teren gier hazardowych stanowiło już tylko konsekwencję tego procesu22.
4. Prekursorzy
Gerolamo Cardano (1501-1576) był namiętnym hazardzistą. Studiował
prawo i medycynę na uniwersytetach w Pawii i Padwie. Podczas studiów
zarabiał stawianiem horoskopów, a także uczeniem geometrii i astronomii.
I nierzadko również grami hazardowymi. A że w życiu różnie mu się powodziło, chętnie powracał do tego rodzaju zarobkowania. Wybierał gry losowe,
w których wszyscy gracze mieli równe szanse, a nie takie, które wymagały
jakiejś szczególnej strategii. Ponieważ wrodzony talent matematyczny pozwalał mu lepiej od innych oceniać szanse, przynosiło mu to całkiem wymierne dochody. Wynikiem tych doświadczeń stało się dziełko Liber de ludo
aleae (Księga o grach losowych)23. Była to pierwsza w historii książka (w istocie
zaledwie kilkanaście stron, ale sam autor nazwał ją księgą) na ten temat.
Jest to właściwie zbiór szkiców, które Cardano sporządzał w ciągu wielu
lat. Zostały one zebrane i wydane w jego Opera omnia dopiero w 1663 r., już
po opublikowaniu słynnej korespondencji pomiędzy Pascalem a Fermatem,
i to jest powodem, dla którego praca Cardana, choć historycznie pierwsza,
nie miała większego znaczenia w dziejach rachunku prawdopodobieństwa24.
Dziełko Cardana nie jest jednorodne. Obok rozważań – jakbyśmy dziś
powiedzieli – probabilistycznych zawiera opisy ówczesnych gier hazardowych, niemal osobiste notatki i spostrzeżenia. Pewne fragmenty można
odczytać jako próbę usprawiedliwienia hazardu (Cardano dość obszer-
Obszerniej na te tematy por. tamże, ss. 101-106. O powszechności tego rodzaju „probabilistycznych praktyk” w średniowieczu niech świadczy fakt, że na kilku stronach
książki Crombiego przypisy dokumentujące te praktyki zajmują więcej miejsca niż jego
oryginalny tekst.
23
Jego angielski przekład znajduje się w książce: O. Ore, Cardano, the Gambling Scholar,
Princeton University Press, Princeton 1953.
24
W historii matematyki Gerolamo Cardano jest bardziej znany ze swoich prac z algebry.
Jego głównym dziełem w tej dziedzinie jest Ars Magna (1545). On także pierwszy wprowadził liczby zespolone.
22
28
Część I. Preludium
nie omawia pożytki, ale też niebezpieczeństwa oddawania się hazardowi),
chociaż w książce jest też ustęp o tym, jak oszukiwać w grze. Ale podstawowym założeniem Cardana w jego analizach probabilistycznych jest
to, że gra odbywa się na uczciwych zasadach. W przeciwnym razie nie
można stosować matematycznych reguł przewidywania. Cardano szczegółowo rozważa gry polegające na rzucaniu dwu i trzech kostek. Zdaje sobie
sprawę z tego, że kluczową rolę odgrywa stosunek wyników pomyślnych
do wszystkich możliwych (ale nie nazywa tego prawdopodobieństwem),
a jego analizy sprowadzają się do wyliczeń wszystkich możliwych wyników
i obliczania ich częstości pojawiania się.
Hacking25 sugeruje, że u podstaw analiz przeprowadzanych przez Cardana leży przekonanie o tym, iż w zdarzeniach losowych pewną rolę odgrywa tendencja do takiego a nie innego przebiegu ciągu zdarzeń. Byłaby
tu więc pewna analogia z tzw. skłonnościową interpretacją (propensity interpretation) prawdopodobieństwa wysuniętą przez Karla Poppera, jednakże –
zdaniem Hackinga – analogii tej nie można posuwać zbyt daleko. O ile bowiem dzisiejsza interpretacja skłonnościowa ma za zadanie jakoś uzgodnić
losowość zdarzeń z koncepcją przyczynowości wymuszaną przez fizykę
kwantową, o tyle koncepcja przyczynowości obowiązująca w okresie renesansu skłaniała do całkiem innych skojarzeń. Gerolamo Cardano był
przede wszystkim medykiem (w niektórych okresach swojego życia bardzo wziętym) i to właśnie w jego koncepcjach medyczno-przyrodniczych
należy szukać jego przyczynowych wyobrażeń.
Analizę rzutów trzema kostkami (nie nawiązując jednak do Cardana) podjął Galileusz. Jego opiekun i mecenas, Wielki Książę Toskanii,
polecił mu rozwiązać następujący problem: dlaczego w rzutach trzema
kostkami suma dziesięciu oczek pojawia się częściej niż suma dziewięciu oczek? Książę musiał być bystrym obserwatorem, skoro zauważył tę
niewielką różnicę w częstościach. Rozwiązanie tego „paradoksu” Galileusz opisał w krótkiej nocie Considerazione sopra il Giuoco dei Dadi (1718).
Współczesny autor Leonard Mlodinow w następujący sposób wyjaśnia
rozwiązanie znalezione przez Galileusza:
Gdy rzucamy kostką, wtedy każda liczba oczek od 1 do 6 pojawia się z jednakowym prawdopodobieństwem równym 1/6. Jednak
gdy rzucamy dwukrotnie kostką do gry, wówczas różne sumy oczek
25
I. Hacking, The Emergence..., dz. cyt., ss. 54-56.
C oz ęz śdćz iIa.ł P1r. e O
R
l udd i sutm
arożytności do Pascala i Fer mata
29
wcale nie są równoprawdopodobne. Na przykład istnieje tylko jedna szansa na 36, że otrzymamy dwa oczka; prawdopodobieństwo,
że suma oczek będzie równa 3, jest dwukrotnie wyższe. Powodem
jest to, że sumę oczek 2 można otrzymać tylko na jeden sposób,
wyrzucając dwie jedynki, natomiast sumę oczek 3 – na dwa sposoby,
wyrzucając najpierw dwójkę, a potem jedynkę, albo najpierw jedynkę, a potem dwójkę26.
Galileusz sam nie był hazardzistą i nad prawdopodobieństwem zastanawiał się tylko „na zamówienie”, ale raz puszczona w ruch ruletka obraca się
dalej... Na szczęście wśród hazardzistów są tacy, którzy stawiają trudne pytania.
5. Geometria przypadku
Antoine Gombauld, Chevalier de Méré et Sieur de Baussay był człowiekiem światowym i namiętnym hazardzistą. I miał przy tym w sobie coś
z zacięcia matematyka, choć na pewno bardziej interesowała go strategia
gry i szansa wygranej niż rozwiązywanie probabilistycznych zagadnień.
Gdy podczas towarzyskiego spotkania poznał Pascala, przedstawił mu
problem: oto toczy się gra w kości, ale niespodziewanie musi być przerwana. Jak podzielić stawki pomiędzy dwóch graczy, którzy nie mogą dokończyć partii? Pascal po zastanowieniu odpowiedział, że każdy z graczy powinien otrzymać sumę proporcjonalną do prawdopodobieństwa, że to on
wygrałby partię, gdyby została doprowadzona do końca. Puszka Pandory
została otwarta: Pascal nie mógł przestać myśleć o prawdopodobieństwie.
Por. L. Mlodinow, Matematyka niepewności. Jak przypadki wpływają na nasz los, tłum. P. Strzelecki, Prószyński i S-ka, Warszawa 2008, ss. 77-78. Wróćmy jednak do pytania Wielkiego
Księcia Toskanii. Okazuje się, że prawdopodobieństwo otrzymania 9 jako sumy oczek jest
25/216, podczas gdy prawdopodobieństwo otrzymania 10 jest 27/216 – niewiele, ale
trochę większe. Ta różnica jest spowodowana tym, że 10 można otrzymać jako sumę
trzech liczb od 1 do 6 na 27 sposobów, natomiast 9 można tak otrzymać tylko na 25
sposobów. Różnica ta występuje, jeżeli składniki sumy są liczbami większymi niż 2.
Wówczas 10 = 3 + 3 + 4 = 3 + 4 + 3 = 4 + 3 + 3, podczas gdy 9 ma tylko jeden rozkład
na składniki większe niż 2: 9 = 3 + 3 + 3.
Wszystkich możliwych trójek liczb od 1 do 6 jest 216. Liczba trójek, których suma jest 9,
wynosi 25, a liczba trójek, których suma jest 10, wynosi 27. Wobec tego prawdopodobieństwo otrzymania sumy 9 wynosi 25/216, a prawdopodobieństwo otrzymania sumy
10 wynosi 27/216.
26
30
Część I. Preludium
Swoje przemyślenia Pascal postanowił skonsultować z Fermatem.
Nigdy go osobiście nie spotkał, ale już wcześniej korespondował z nim
(w sprawie logiki indukcji). Wymiana listów pomiędzy Pascalem i Fermatem dotycząca prawdopodobieństwa trwała cztery letnie i jesienne miesiące 1654 r. Korespondencja obejmuje w sumie sześć listów. Niestety,
pierwszy z nich się nie zachował. Biograf Pascala William R. Shea pisze:
Jeżeli nawet pani Fortuna urodziła się w nieco podejrzanej atmosferze klubów hazardowych, to uzyskała potem szlachecki tytuł w fascynującej wymianie listów pomiędzy Pascalem a Fermatem27.
Nie będziemy śledzić tej korespondencji. Wystarczy, jeżeli zwrócimy
uwagę na jej główne osiągnięcia.
W trakcie wymiany listów Pascal i Fermat wynaleźli trzy metody
„oswajania przypadku”. Pierwsza była dziełem ich obydwu – jest to m e t o d a k o m b i n a t o r y c z n a. Dwóch graczy gra o wysoką stawkę.
Warunki stawki są znane: trzeba zdobyć pewną liczbę punktów. Gra zostaje przerwana, gdy jeden z graczy w dotychczasowych rzutach zdobył 2/3
punktów, a drugi 1/3 punktów. Metoda polega na określeniu maksymalnej
liczby rzutów potrzebnych do określenia zwycięzcy. Następnie należy wyliczyć wszystkie możliwe serie wyników we wszystkich tych ciągach, a to
już pozwoli wskazać zwycięzcę.
Pascalowi jednak nie podobało się żmudne wyliczanie wszystkich możliwości („kombinatoryka”) i dlatego zaproponował metodę, która bardzo
pomysłowo omijała tę konieczność. Nazwał ją m e t o d ą o c z e k i w a ń.
Nadal mamy przed sobą problem kawalera de Méré. Gra hazardowa zostaje przerwana i trzeba określić, jak podzielić stawki. Metoda Pascala polega
na tym, żeby niepewną przyszłość jakoś zastąpić pewną teraźniejszością.
Stawki wpłacane przez graczy do wspólnej puli przestają być ich własnością. Jak pisze Pascal, stawka jest ceną, którą gracz płaci za to, by móc się
spodziewać wygranej. Jak długo gra się toczy, każdy gracz ma prawa do
pewnej części pieniędzy znajdujących się w puli proporcjonalnie do dotychczasowych sukcesów w grze. Według tej proporcji należy podzielić
stawkę, jeśli gra zostanie przerwana. Przypadek, który miałby zadecydo-
W.R. Shea, Designing Experiments and Games of Chance, Science History Publications,
Watson Publishing International, Canton, Mass. 2003, s. 260. Korespondencja pomiędzy
Pascalem i Fermatem oraz wkład Pascala do rachunku prawdopodobieństwa są obszernie
omówione w rozdz. 11-13.
27
C oz ęz śdćz iIa.ł P1r. e O
R
l udd i sutm
arożytności do Pascala i Fer mata
31
wać o wyniku w przyszłości, zostaje zastąpiony strategią podejmowania
decyzji dotyczącej teraźniejszości. Oczywiście, tej strategii – podobnie jak
innym wypracowanym w korespondencji – towarzyszyły przykłady i techniki rachunkowe pozwalające przedstawić wyniki w postaci liczbowej. Do
tego celu Pascal obficie posługiwał się swoim słynnym trójkątem arytmetycznym (zwanym dziś trójkątem Pascala).
Trzecia metoda, m e t o d a b e z p o ś r e d n i e g o p r a w d o p o d o b i e ń s t w a (nazwana tak później; w korespondencji nigdzie nie pada
słowo „prawdopodobieństwo”), została zaproponowana przez Fermata.
Sprowadza się ona do wyliczenia wszystkich możliwości, które mogą się
zdarzyć, i przypisania każdej z nich wielkości ułamkowej, którą dziś nazwalibyśmy prawdopodobieństwem danego zdarzenia.
W jakim sensie korespondencję między Pascalem a Fermatem można
uznać za zapoczątkowanie dzisiejszego rachunku prawdopodobieństwa?
W takim sensie, w jakim zaczynają się wszystkie teorie matematyczne. Najpierw jest jakiś problem do rozwiązania. Potem – zależnie od różnych
okoliczności historycznych – po rozmaitych próbach i mniej lub bardziej
udanych przybliżeniach pojawiają się skuteczne metody rachunkowe.
Zwykle musi upłynąć dość dużo czasu, zanim zostaną one wkomponowane w elegancką strukturę matematyczną. Teoria staje się dojrzała, gdy tego
rodzaju struktura matematyczna zaczyna twórczo oddziaływać z innymi
strukturami matematycznymi.
W 1654 r. Pascal napisał list do Paryskiej Akademii, w którym przedstawił swoje wyniki dotyczące gier losowych. Łączą one, jak pisał, przypadkowości losu ze ścisłością geometrii i nie zawahał się ich nazwać „geometrą
przypadku”, ale droga do pełniej matematycznej teorii będzie jeszcze długa.