Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie I Lp

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w klasie I
Lp.
I.
1.
Tematyka zajęć
Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory
Język matematyki. Zdanie logiczne, koniunkcja, alternatywa, negacja zdania.
Twierdzenie, założenie, teza, dowód.
2.
Zbiory, działania na zbiorach.
3.
Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb całkowitych (liczby pierwsze, liczby złożone, cechy
podzielności).
Zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb niewymiernych. Rozwinięcie dziesiętne liczby
wymiernej.
Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych. Ćwiczenia – działania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Relacje zachodzące pomiędzy podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych. Działania na
zbiorach.
Potęga o wykładniku całkowitym. Notacja wykładnicza.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
II.
1.
2.
3.
4.
III.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
2
2
2
2
3
3
3
Wzory skróconego mnożenia: (a + b) , (a – b) , a – b , (a + b)3, (a – b) , a + b .
Przekształcanie wyrażeń zawierających wzory skróconego mnożenia.
Pierwiastek, w tym pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej ujemnej.
Potęga o wykładniku wymiernym. Prawa działań na potęgach o wykładniku wymiernym.
Obliczenia procentowe. Procenty i punkty procentowe, lokaty i kredyty – obliczenia
praktyczne.
Przedziały liczbowe i działania na nich.
Wartość bezwzględna i jej interpretacja geometryczna, rozwiązywanie równań i
nierówności z wartością bezwzględną typu x – a = b, x – a < b, x – a > b.
Przybliżenia, pojęcie względnego i bezwzględnego błędu przybliżenia oraz szacowanie
wyników obliczeń.
Pojęcie logarytmu i własności logarytmów, logarytm iloczynu i logarytm ilorazu,
Wektory
Wektory w prostokątnym układzie współrzędnych. Współrzędne wektora,
wektory równe, długość wektora.
Własności wektora, wektory przeciwne.
Dodawanie wektorów, reguła równoległoboku. Mnożenie wektora przez liczbę.
Działania na wektorach w układzie współrzędnych.
Funkcja i jej własności
Pojęcie funkcji. Sposoby opisywania funkcji.
Wykres funkcji. Dziedzina i zbiór wartości funkcji.
Wzór funkcji. Dziedzina i zbiór wartości funkcji.
Monotoniczność funkcji. Badanie monotoniczności.
Odczytywanie własności funkcji z wykresu.
Rysowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach.
Zastosowanie wiadomości o funkcjach w zadaniach praktycznych.
Zadania
Zad. 1). Dane są zbiory: A={-3; -1; 1; 3; 7; 9; 10}, B - zbiór naturalnych dzielników liczby 18. Wyznacz AB, AB,
A\B, B\A.
Zad. 2). Dane są zdania logiczne: p – Liczba 7 jest parzysta i q – 8 jest liczbą większą od 22. Oceń wartość logiczną
tych zdań. Zbuduj koniunkcję i alternatywę tych zdań i oceń ich wartość logiczną.
5 5
2 .
Zad. 3). Wiedząc, że 2,2< 5 <2,3, oszacuj wartość wyrażenia
Zad. 4). Zamień liczbę 1,0(23) na ułamek zwykły.
Zad. 5). Zapisz wyrażenie:
Zad. 6).
Zad. 7). Dal jakich liczb a, c zachodzą poniższe równości?
a). {2; 3; 5}{a; 1; 2; 3}={2; 3} b). {-1; -4; 2}\{c; 2}={-1}
Zad. 8). Oceń prawdziwość zdań r, s, rs; ps.
p: Zbiór wszystkich wielokrotności liczby 5 nie mniejszych od 0 i jednocześnie mniejszych od 65 ma 13
elementów.
r:
.
s: Notacją wykładniczą liczby 0,00001 jest liczba 2,410-5.
Zad. 9). Oblicz: a).
; b).
Zad. 10). Usuń niewymierność z mianownika ułamka:
.
Zad. 11). Uzasadnij, że suma czterech kolejnych liczb całkowitych parzystych jest podzielna przez 4.
Zad. 12). Dane są zbiory: A(-2; 5> i B={ xR;-3<x<4 }. Wyznacz AB, AB, A-B, B-A.
Zad. 13). Zapisz przedział <-8;6> za pomocą wartości bezwzględnej.
Zad. 14). Kalkulator z 7% podatkiem VAT kosztował 37,45 zł. Podatek wzrósł do 22%. Wyznacz nową cenę
kalkulatora i oblicz o ile ona wzrosła.
Zad. 15).
błąd względny i bezwzględny dla tego przybliżenia.
Zad. 16). Oblicz
.
Zad. 17). Dwaj klienci niezależnie od siebie założyli lokaty o takiej samej wartości 4500 zł w dwóch różnych
bankach, gwarantujących coroczną kapitalizację odsetek. Pierwszy – założył lokatę w banku dającym
oprocentowanie 5% w pierwszym roku jej trwania o 1 punkt procentowy mniej w drugim roku trwania
lokaty. Oprocentowanie lokaty drugiego klienta w pierwszym roku wynosiło 4%, a w drugim o jeden punkt
procentowy więcej niż w pierwszym roku. O ile procent różnić się będą odsetki dopisane po drugim roku
do kwoty bazowej obu klientów? Wynik podaj z dokładnością do 1%.
Zad. 18). Jaki błąd względny i bezwzględny popełniamy przyjmując 1,41 za przybliżenie ?
Zad. 19). Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności. Wyznacz sumę, część wspólną i obie różnice zbiorów rozwiązań
tych nierówności. Opisz wyniki działań symbolicznie, przyjmując: A – zbiór rozwiązań nierówności z
podpunktu a), B – zbiór rozwiązań nierówności z podpunktu b).
a). |x-3|<5
b).
Zad. 20). Oblicz:
;
.
Zad. 21). Zadanie 1. Dane są punkty A=(-1;2), B=(2;4) i C=(1;5). Wyznacz współrzędne wektorów:
Zad. 22). Zadanie 2. Narysuj w układzie współrzędnych wektor
. Oblicz jego długość.
Zad. 23). Zadanie 1. Dane są punkty A=(1;-2), B=(-2;3) i C=(1;3). Wyznacz współrzędne wektorów:
Zad. 24). Zadanie 2. Narysuj w układzie współrzędnych wektor
Zad. 25). Przyporządkowania f, g, h określone są wykresami:
. Oblicz jego długość.
a) Oceń, które z przyporządkowań f, g, h jest funkcją.
b) Dla przyporządkowania, które jest funkcją odczytaj dziedzinę i zbiór wartości.
c) Jeśli któreś z danych przyporządkowań nie jest funkcją, uzasadnij dlaczego.
Zad. 26). Wyznacz dziedzinę i miejsca zerowe funkcji:
.
Zad. 27). Funkcja określona jest wzorem f(x)=|x|-2, xR.
a) Wskaż dwie liczby, z których jedna jest wartością funkcji, a druga nie. Odpowiedź uzasadnij.
b) Wyznacz największą lub najmniejszą wartość tej funkcji.
Zad. 28). Funkcja f określona jest wzorem
,
. Zbadaj monotoniczność tej
funkcji.
Zad. 29). Suma długości boku rombu i długości jego wysokości odpowiadającej temu bokowi jest równa 6. Długość
boku rombu wyraża się liczbą całkowitą nie mniejszą niż 2. Pr=a·h
a) Zbadaj, jak zmienia się pole rombu w zależności od długości jego boku. Podaj wzór tej zależności,
dziedzinę, zbiór wartości, określ jej monotoniczność.
Zad. 30). Podaj przykład przyporządkowania, które jest funkcją używając tabelki, wzoru lub opisu słownego.
Zad. 31). Funkcja h przedstawiona jest za pomocą
wykresu.
1. Odczytaj wszystkie znane Ci własności
funkcji.
2. Zbadaj, o ile różni się wartość tej funkcji
dla argumentów -7 i -5.
3. Czy są takie dwa inne argumenty, też
różniące się o 2, dla których różnica
wartości funkcji h jest taka sama, jak dla
argumentów -7 i -5
Zad. 32). Liczby -4 i 2 to jedyne miejsca zerowe funkcji y=f(x), x(-; -3)(-3; 5) (5; +). Napisz wzór funkcji f.
Ile takich wzorów możesz napisać?
LICZBY, ICH ZBIORY (przykładowe zadania maturalne z klasy I)
I. ZADANIA ZAMKNIĘTE
2
1. Wskaż liczbę, która jest równa 2 3 .
A. 2 2
1
B.  
2
3
2. Czwarta część liczby
A.
ab  0
3. Przewód długości

2
3
C.
2
2
3
1
D.  
2

3
2
a jest równa 25% liczby b. Wynika stąd, że:
B.
ab
C. a  b  0
D.
a
0
b
25 m podzielono na dwie części w stosunku 2 : 3. Długości tak otrzymanych części są równe:
A. 5 m i 20 m
4. Suma liczb
A. 1
5
10
5. Liczba
A. 2
B. 12 m i 13 m
C. 10 m i 15 m
0, 9 i 0, 5jest równa:
14
B.
9
2 
3 5
135
C.
 2 9 jest równa:
72
B. 2
14
10
C.
D. 22 m i 3 m
D.
95
99
2 24
80 to p% liczby 110 , zatem:
A. p  72, (72)
B. p  70
D. 2
17
6. Liczba
7. Liczba y jest o
A. y  1,8 x
8. Liczba
A.
A.
80% większa od liczby x . Z tego wynika, że:
B. x  1,8 y
C. y  0,2 x
D. p  73
D. x  0,2 y
 7  5 jest równa:
7 5
9. Liczba
C. p  73
B.  7 
5
2 5
10  5
7
C.
5
7 5
D.
7 5
jest równa (wskazówka pomnóż licznik i mianownik przez
B.
7 5
7
C.
 5  10
3
x  6  0 jest:
A. zbiór liczb rzeczywistych
B. liczba 6
D.
:
5  10
3
10. Rozwiązaniem nierówności
C. zbiór pusty
D. liczba
6
II. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
11. Liczbę
3,14      3,14 zapisz w prostszej postaci (bez użycia znaku wartości bezwzględnej). Następnie oceń, czy
jest to liczba wymierna, czy niewymierna.
12. Dla pewnej liczby x prawdziwy jest wzór
6 x  14  6 x  14. Wyznacz maksymalny przedział, do którego należy liczba x
13. Pęd bambusa codziennie zwiększał swoją wysokość o 80%. Po ilu dniach jego wysokość przekroczyła 1 m, jeżeli
początkowo miał wysokość 10 cm?
14. Rozwiąż równanie
7 x  12
3
III. ZADANIA OTWARTE ROZSZERZONEJ ODPOWIEDZI
15. Dane są przedziały


A   , m 2  6 i B  6m,10 .
a) Dla m = -1 wyznacz A  B, A  B , B \ A.
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, przy których część wspólna tych jest zbiorem pustym.
16. Oblicz błąd bezwzględny i względny, jaki popełnimy, jeśli ułamek okresowy 0,3(48) przybliżymy z dokładnością do 0,0001