Document

Zadania przygotowawcze do Konkursu matematycznego dla uczniów gimnazjów
Zestaw I
1. Na imieniny od koleżanek, Magda dostała bukieciki kwiatów: goździki, róże, stokrotki,
tulipany, groszki. Jakie kwiaty wręczyła Magdzie każda z koleżanek, jeśli wiadomo, że:





Janka nie przyniosła róż, groszków ani stokrotek
Wanda nie dała tulipanów ani róż
Ewa nie kupiła stokrotek ani tulipanów
Maria przyniosła goździki
Natalia nie wręczyła groszków ani stokrotek.
2. Na kolonie przyjechało 100 dzieci. 90 z nich zapomniało wziąć z domu kalosze, 85 nie
wzięło latarki, 75 przyjechało bez żadnego długopisu, a 60 zostawiło w domu legitymację
szkolną. Ile co najmniej dzieci nie miało ani kaloszy, ani latarki, ani długopisu, ani
legitymacji?
3. Weź dowolną liczbę, np. 80. Pomnóż ją przez siebie: 80 80 = 6400.
Do 80 dodaj i odejmij 1. Pomnóż obie liczby: 79 81 = 6399.
Otrzymaliśmy liczbę o 1 mniejszą od 6400.
Do 80 dodaj i odejmij 2. Pomnóż te liczby: 78 82 = 6396.
Wynik jest o 3 mniejszy od ostatniej odpowiedzi.
Sprawdzaj dalej. Jaka tu jest regularność? Przedstaw ją. Sprawdź dla innych liczb.
4. Wybierz trzy różne liczby naturalne, np. 7, 11, 124.
Utwórz wszystkie dodatnie różnice tych liczb: 11 - 7, 124 - 7, 124 - 11,
a następnie ich iloczyn: (124 - 11) × (124 - 7) × (11 - 7).
Zauważ, że ten iloczyn jest podzielny przez 2.
Jeśli dorzucisz jeszcze jedną liczbę, np. 47, to tym razem, iloczyn wszystkich różnic:
(124 - 47) × (124 - 11) × (124 - 7) × (47 - 11) × (47 - 7) × ( 11 - 7)
będzie podzielny przez 3.
Jak myślisz, jest to reguła, czy przypadek? Wybierz inne, najpierw trzy, a potem cztery
liczby. Czy nadal tak jest? Jeśli sądzisz, że to reguła, spróbuj ją najpierw sformułować a
następnie udowodnić.
Ile co najmniej trzeba wziąć liczb, aby iloczyn wszystkich ich różnic dzielił się przez 5?
5. Spróbuj obliczyć, ile trójkątów jest na każdym z rysunków:
6. Czy potrafisz podać najmniejszą liczbę pięciopolowych figur (o takim samym kształcie)
jak umieszczone na rysunku, niezbędnych do zbudowania prostokąta? Narysowany
prostokąt nie musi zapełnić całej ramki.
1
7. Zastanów się, jakie działania zastosowano przy pisaniu liczb w kratkach, a następnie
uzupełnij odpowiednimi liczbami puste kratki.
8. Co jest większe, trzecia część z 357, czy trzecia część z 929. Odpowiedź uzasadnij.
9. Zbadaj, która liczba jest większa:
10. Na dwóch prostopadłych odcinkach zaznaczono punkty, jak na
rysunku Ile różnych trójkątów można uzyskać łącząc punkty A, B, C,
D z punktami E lub F? Przypuśćmy, że na poziomej linii znajduje się
5 punktów -- ile teraz trójkątów można uzyskać? A ile będzie
trójkątów, gdy do punktów E, F dodamy jeszcze punkt G? Rozważ
ten problem dodając punkty na obu osiach. Czy widzisz jakieś
regularności?
11. Z wieży kontrolnej lotniska o wysokości 25 m widać samolot, stojący na pasie startowym
pod kątem depresji 10°. Oblicz odległość samolotu od wieży.
12. Kąty a, b, c, d, e pięcioramiennej gwiazdy są znane. Korzystając z rysunku, oblicz miary
kątów α, α1, β, β1, w zależności od miar znanych kątów.
13. Kąt 260° podziel na trzy części tak, aby każdy następny kąt był trzy razy większy od
poprzedniego.
14. Oblicz pole figury, wiedząc, że a = 5 cm.
2
15. Kolorowe figury są kwadratami. Powierzchnia kwadratu
żółtego wynosi 4 m2. Jakie są pola pozostałych kwadratów?
W jakiej skali wykonano rysunek, jeśli bok niebieskiego
kwadratu wynosi 7,5 cm?
4 m2
16. Każde z poniższych zadań zapisz w postaci równania, a następnie znajdź jego
rozwiązania.
a. „Ta reszta jabłek, która została waży 50 kg podzielone przez połowę ich wagi” –
zastanawiał się kupiec – „To właściwie, ile kilogramów jabłek mi zostało?”
b. Znajdź taką liczbę, której ośmiokrotność dodana do jej kwadratu jest równa 48.
c. Pole kwadratu wynosi 32,49 dm2. Oblicz obwód tego kwadratu.
17. Pewien Eskimos przed ośmiodniową podróżą psim zaprzęgiem zastanawia się, ile psów
powinien zabrać. Obliczenia nie są łatwe. On sam waży 80 kg, jego rzeczy i jedzenie 70
kg. Każdy pies może uciągnąć 25 kg. Trzeba zabrać także jedzenie dla psów -- dzienna
porcja dla jednego psa waży 1 kg. A zatem ile psów powinien zabrać Eskimos?
18. W afrykańskim buszu żyje 13 małp, które codziennie jedzą po 13 bananów, a po ich
zjedzeniu mogą przebyć 13 m. Pewnego dnia małpom zagroziło niebezpieczeństwo i
muszą uciekać z buszu. Oblicz, ile bananów będzie potrzebne małpom do przebycia
1,3 km buszu.
19. Za gry komputerowe "Quake 2" i "Descent: Freespace" zapłacono 290 zł. Gdyby
"Descent: Freespace" był o 10% tańszy a "Quake 2" o 10% droższy, to ich ceny byłyby
równe. Ile kosztowała każda z nich?
20. Dwie liczby różnią się o 3, a różnica ich kwadratów jest o 1 mniejsza od czterokrotności
większej liczby. Jakie to liczby?
21. Określ wagę ryby wiedząc, że ogon jej ważył 1 kg, głowa ważyła tyle, ile ważył ogon i
pół tułowia, a tułów ważył tyle, ile głowa i ogon razem.
22. W sali ustawiono krzesła i trzyosobowe ławki do siedzenia. Razem tych sprzętów było
268. Do sali weszło 460 osób. Po zajęciu miejsc okazało się, że stosunek liczby osób
stojących do liczby osób siedzących był równy 1 : 4. Ile było krzeseł, a ile ławek w tej
sali?
23. W liczbie dwucyfrowej cyfra jedności jest równa 2. Jaka to może być liczba, jeśli po
przestawieniu jej cyfr otrzymamy liczbę większą od 27?
24. Pan Kowalski postanowił obsiać 1/3 swojej posesji dwoma gatunkami traw: na tereny
zacienione i nasłonecznione. Nasiona traw pakowane są w paczki po 1 kg, 2 kg, i 5 kg. Ile
3
kilogramów i w jakich opakowaniach nasion każdego gatunku musi kupić pan Kowalski,
aby zapłacić najtaniej? Posesja ma 0,3ha, a powierzchnia terenów zacienionych to 20%
terenów słonecznych. Na 1 m2 potrzeba 0,04 kg nasion.
Ceny nasion traw:
na tereny zacienione:
opakowanie 1kg kosztuje 60 zł
opakowanie 2 kg kosztuje 95 zł
opakowanie 5 kg kosztuje 150 zł
na tereny słoneczne:
opakowanie 1 kg kosztuje 45 zł
opakowanie 2 kg kosztuje 85 zł
opakowanie 5 kg kosztuje 222 zł.
25. Dwie drużyna A i B ścigają się, jednak każda z nich startuje z innego punktu i w innym
miejscu zmienia zawodnika. Wiedząc, że:
 meta jest w punkcie (4,4),
 zawodnicy poruszają się z taką samą prędkością,
 drużyna A startuje z punktu (-2,-1) i zmienia zawodników w punktach (-3,2) i (-1,8),
 drużyna B startuje z punktu (-2,3) i zmienia zawodników w punktach (1,2) i (3,-4).
Odpowiedz, która drużyna zamelduje się na mecie pierwsza. Pamiętaj! Narysuj układ
współrzędnych i punkty połącz liniami.
26. Zabłądziłeś w labiryncie. Aby znaleźć z niego wyjście musisz odszukać rozwiązanie
literowej przeplatanki. Jeśli rozwiążesz równanie, to otrzymasz podpowiedź. Pierwiastek
równania oznacza ilość liter, które należy za każdym razem przeskakiwać:
(2x - 3)2 - (x + 1)(x - 1) + x = (3x - 1)2 + (1 - 2x)(2x + 1) - 9.
AHJUMZŁKCWPŁKDLAUMCDPO
MROZAÓMPIWPIKNWZMANASŃ
4
27. Wykonaj obliczenia. Otrzymane wyniki odszukaj w tabelce i przyporządkuj im
odpowiednie litery. Odczytaj hasło.
28. Podaj przykład takich liczb dwucyfrowych, które dzielą się przez trzy, a ich cyfra jedności
jest równa a.
5
29. Suma trzech liczb jest rozwiązaniem równania:
Znajdź te liczby wiedząc, że druga z nich jest dwa razy większa od pierwszej, a trzecia jest o
2 mniejsza od pierwszej.
30. Wiedząc, że a jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność:
rozwiąż równanie:
Dla jakich x wartości liczbowe wyrażeń:
oraz
a. są równe
b. wartość pierwszego wyrażenia jest mniejsza od wartości drugiego
c. połowa wartości pierwszego wyrażenia jest większa od wartości drugiego wyrażenia
zmniejszonego o 12x2 .
31. Suma dwóch liczb x i y jest równa
Oblicz wartość wyrażenia
, zaś ich różnica wynosi
.
32. Dla jakich wartości parametru k rozwiązaniem układu równań:
a. jest para liczb dodatnich
b. jest para liczb ujemnych
33. Opisz za pomocą wzoru następujące przyporządkowanie:
a. Każdej liczbie przyporządkowujemy jej kwadrat pomniejszony o 2.
b. Każdej liczbie przyporządkowujemy podwojony kwadrat tej liczby powiększony o
trzykrotność tej liczby.
c. Każdej liczbie przyporządkowujemy kwadrat różnicy tej liczby i liczby 3.
d. Każdej liczbie przyporządkowujemy jej odwrotność.
34. Sprawdź, które z punktów: (-1; 2), (0; 4), (4; 0), (2; 8), (-1; 5) należą do wykresu funkcji
y = x2 + 4.
35. Masz przed sobą prawidłowo wykonane wykresy funkcji kwadratowych – brakuje jedynie
osi układu współrzędnych. Gdzie powinien być początek układu współrzędnych?
6
36. Opisz za pomocą nierówności zaznaczone zbiory punktów.
37. Oblicz pole figury ograniczonej wykresami: y = 3, y = x + 4 oraz osiami układu
współrzędnych. Co to za figura?
Zestaw II
1. Oblicz.
5
5
5
5
a) 2001  2002  2000  2003 
19
19
19
19
b) Znajdź cyfrę jedności liczby 20032003.
2. Gdy liczbę 4373 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 8. Gdy liczbę 826
podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 7. Wyznacz n.
3. Symbol n! gdzie n jest liczbą naturalną , oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1
do n. Dodatkowo przyjmujemy, że 0! = 1 i 1! = 1
a) Znajdź dwie ostatnie cyfry liczby 1!2!3!...  20! .
b) Znajdź największą liczbę naturalną n, dla której 25! jest podzielne przez 10 n .
Odpowiedzi uzasadnij.
4. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej k > 3, liczba postaci k3 + 3k2 – 4k – 12 jest
iloczynem, co najmniej czterech liczb pierwszych.
7
5. Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b spełniony jest warunek:
a2+ab+b2 > 0
6. Cena brutto kolorowej odbitki ksero wynosi 3,05 zł. W cenę tę wliczony jest 22% podatek
VAT. Przy zamówieniu większym niż 100 odbitek klient dostaje pewien rabat liczony od
ceny netto (bez podatku VAT) zamówienia. Ile procent wynosi rabat, jeżeli za 150 odbitek
zapłacono 411,75 zł?
7. Rzekł Twardowski raz do żaka: „Niech umowa będzie taka: gdy przebiegniesz most ten
cały, zdwoję twoje kapitały, Ty zaś potem mi w nagrodę po 8 groszy rzucaj w wodę!”
Żaczek chętnie przez most leci raz i drugi, potem trzeci. Nagle woła: „ Jakaś zdrada! Ani
grosza nie posiadam!” Czy obliczysz – (wnet zobaczę) ile groszy (na początku) miał ten
żaczek?
8. Jeden stop zawiera dwa metale w stosunku 1:2, a drugi, te same dwa metale w stosunku
2:3. W jakim stosunku należy zmieszać te stopy, aby otrzymać stop zawierający te metale
w stosunku 17:27?
9. Trzeba 5,5 litra miodu rozlać do słoików o pojemności 0,5 litra i 0,75 litra nalewając do
pełna. Ile słoików i o jakiej wymienionej pojemności należy wykorzystać, aby zgromadzić
tę ilość miodu?
10. W klasie jest 32 uczniów.
a) Czy w tej klasie może być o 7 dziewcząt więcej niż chłopców? Odpowiedź uzasadnij.
b) Jaka liczba może być różnicą liczby dziewcząt i liczby chłopców w tej klasie? Wyznacz
wszystkie te liczby lub podaj ogólny warunek.
11. Jurek wybrał się na wycieczkę rowerową. Całą trasę podzielił na dwa odcinki równej
długości. Pierwszy odcinek pokonał z szybkością 30 km/h, a całą trasę ze średnią
szybkością 24 km/h. Oblicz, z jaką szybkością przejechał drugi odcinek trasy.
12. Dziedziną funkcji f jest zbiór tych liczb całkowitych dodatnich, dla których istnieje
225  n
wartość wyrażenia
. Funkcja f każdej liczbie n należącej do dziedziny
5
przyporządkowuje cyfrę jedności liczby 2 n  3 n .
a) Określ zbiór argumentów oraz zbiór wartości funkcji f.
b) Naszkicuj wykres funkcji dla argumentów niewiększych od 10.
c) Podaj wartość funkcji f dla argumentu n = 199.
x+
13. Funkcja f określona jest wzorem:
f(x) =
1
dla x ≤  3
2
x2 – 4 dla x   2,  1, 0, 1, 2 
 x + 6 dla x  3
a) narysuj wykres funkcji,
8
b) podaj wszystkie argumenty, dla których wartości tej funkcji spełniają warunek:
 4 < f(x) ≤ 1.
14. Funkcja f określona jest na zbiorze liczb naturalnych (N = {0,1,2,3,....}) wzorem:
n – 3, gdy n jest liczbą nieparzystą,
f(n) =
1
n, gdy n jest liczbą parzystą.
2
a) Oblicz wartość tej funkcji dla n = 5.
b) Czy podana funkcja ma miejsca zerowe? Odpowiedź uzasadnij.
c) Jaka jest najmniejsza, a jaka największa wartość tej funkcji (o ile istnieje)? Odpowiedź
uzasadnij.
d) Narysuj wykres tej funkcji dla 1 < n < 10.
15. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru A = 0,1,...17 resztę z dzielenia tej
liczby przez 7, a każdej liczbie ze zbioru B = 18,19,...31 resztę z dzielenia tej liczby
przez 5.
a) Podaj miejsca zerowe funkcji f.
b) Czy prawdą jest, że dla każdej liczby x 14,15,16,17,18,19,20 zachodzi warunek
f x   f 1  f x  1 ? Odpowiedź uzasadnij.
c) Rozwiąż nierówność f ( x)  3 , gdy x  0,1,...31
16. Z dwóch przeciwległych wierzchołków prostokąta ABCD poprowadzono odcinki
prostopadłe do przekątnej AC. Odcinki te podzieliły przekątną na trzy części o
długościach: 4cm, 8cm, 4cm. Oblicz obwód prostokąta ABCD.
17. W kwadracie ABCD punkt M jest środkiem boku BC, a punkt N jest środkiem boku AD.
Okrąg o środku N przechodzący przez punkt M przecina bok CD w punkcie P. Ile stopni
ma kąt PNM? Wykonaj odpowiedni rysunek.
18. Jeżeli każdy bok prostokąta zwiększymy o 2 cm, to jego pole wzrośnie o 18 cm2. O ile
cm2 zmieni się pole danego prostokąta, jeżeli każdy jego bok zmniejszymy o 1 cm?
19. Dany jest kwadrat o boku długości a. Na bokach tego kwadratu, na zewnątrz, zbudowano
trójkąty równoboczne. Wierzchołki kolejnych trójkątów, niebędące wierzchołkami danego
kwadratu połączono odcinkami. Oblicz pole otrzymanego czworokąta. Wykonaj
odpowiedni rysunek pomocniczy.
20. Dany jest kwadrat ABCD oraz trójkąt równoboczny AED. Wyznacz miarę kąta BEC.
9
D
A
E
B
C
21. W trójkącie równoramiennym o obwodzie 10 cm, ramię ma długość x cm, a podstawa ma
długość y cm.
a) Opisz wzorem zależność między x i y.
b) Sporządź wykres funkcji, w której argumentowi x przyporządkowujemy wartość y.
22. Trójkąt równoboczny ABC o boku długości 5 podzielono na dwa trójkąty przystające
ADC i DBC. Oblicz odległość między środkami okręgów wpisanych w trójkąty ADC i
DBC.
23. W trójkącie ABC o bokach długości AB = 8, BC = 6, AC = 4 poprowadzono prostą
równoległą do boku AB i przecinającą pozostałe boki trójkąta w punktach D i E. Prosta
podzieliła trójkąt ABC na trójkąt CDE i trapez ABED o równych polach. Oblicz długości
boków trójkąta CDE.
24. Długości krawędzi prostopadłościanu, wyrażone w centymetrach, są liczbami
naturalnymi. Jedna ze ścian ma pole 18 cm2, a druga 45 cm2. Jakie wymiary może
mieć ten prostopadłościan?
25. Średnica AB i cięciwa CD tego samego okręgu przecinają się w takim punkcie K, że kąt
CKB ma 104o, a kąt środkowy wsparty na łuku BC ma 116 o. Oblicz miary kątów w
trójkątach ACK i KOC. Punkt O jest środkiem okręgu.
26. Beczka ma kształt walca o promieniu podstawy r i
wysokości 2r. Ustawiono ją jak na rysunku i nalano wody
tak, że sięga do wysokości równej połowie promienia. Jaką
część objętości beczki stanowi nalana woda?
 7 1

27. Iloczyn 

 2 
A. mniejszą od 1.
28. Liczba 2003
A. ujemna.
2003
 7 1

 

 3 
B. równą 1.
2003
jest liczbą
C. większą od 1 i mniejszą od 2.
D. równą 2.
17
17
17
17
 2004
 2002
 2005
jest
113
113
113
113
B. równa 0.
C. równa 2.
29. Cyfra jedności liczby 5533 – 7717 jest równa
A. 8
B. 6
C. 4
D. równa
17
.
113
D. 2
10
30. Odwrotność sumy odwrotności dodatnich liczb a i b jest równa
2
ab
ab
A.
B.
C.
ab
ab
ab
31. Liczba 2 40  1 nie jest podzielna przez
A. 1023
B. 33
C. 31
D. a+ b
D. 29
32. Ile różnych dzielników ma liczba 23 . 34 . 55?
A. 4 . 5 . 6
B. 3 + 4 + 5
C. 3 . 4 . 5
D. 2 + 3 + 5
7
33. 155 – tą cyfrą po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby
jest
13
A. 1
B. 6
C. 4
D. 5
34. Reszta z dzielenia liczby 7778 ∙ 7779 ∙ 7780 ∙ 7781 przez 7 jest równa
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
35. Wartość wyrażenia 2  411 + 3  412 + 8  410 jest równa wartości wyrażenia
D. 226
A. 13  410
B. 13  433
C. 7  411
36. Liczba
1
2 1
A. większa od 1.

1

1
jest
3 2 2 3
B. mniejsza od 1.
C. naturalna .
37. Wyrażenie 4x2 + 1 + 4x4 można zapisać w postaci
B. (2x2 + 1 )2
C. (2x + 1 )2
A. (2x2 + 2x)2
1 1 1
 
można otrzymać
x y
f
fy
f y
B. x =
C. x =
f y
fy
D. niewymierna.
D. (2x2 + 2)2
38. Wyznaczając x ze wzoru
A. x =
y f
fy
D. x =
fy
y f
39. Za dziesięć lat dwie siostry i dwaj bracia będą mieli razem 100 lat. Za pięć lat ich łączny
wiek będzie równy
A. 105 lat.
B. 120 lat.
C. 95 lat.
D. 80 lat.
40. W styczniu pensja pracownika wynosiła 1000 zł. W każdym kolejnym miesiącu pracy
pracownik otrzymywał dziesięcioprocentową podwyżkę. Pensja tego pracownika w
kwietniu wyniosła


A. 1000  1 
1

10 
3
B. 1200
41. Funkcja określona w R wzorem: f ( x) 
A. jest rosnąca, gdy m < 0.
C. jest stała, gdy m =1.
C. 2000
D. 1000  1,13
mx  4
2
1
.
2
D. jest rosnąca, gdy m > 0.
B. jest malejąca, gdy m 
11
42. Jeden z dwóch kątów, jakie tworzą o godzinie 820 wskazówki zegara, godzinowa i
minutowa, ma miarę
A. 90o
B. 130o
C. 120o
D. 135o
43. Który z poniższych rysunków nie przedstawia siatki sześcianu?
A.
B.
C.
D.
44. Wyspa ma kształt trójkąta różnobocznego. Punktem najbardziej oddalonym od morza jest
punkt przecięcia
A. wysokości trójkąta.
B. dwusiecznych kątów trójkąta.
C. symetralnych boków trójkąta.
D. środkowych trójkąta.
45. Każdy kąt dwunastokąta foremnego ma miarę
A.108o
B.120o
C.150o
D.180o
46. Temperatura topnienia lodu jest równa 32 w skali Fahrenheita, a temperatura wrzenia
wody jest równa 212 w tej samej skali. Zależność między temperaturą TC w skali
Celsjusza a temperaturą T F w skali Fahrenheita wyraża wzór
A. 5  TF  9TC  32 B. 9  TC  5TF  32 C. TC  TF
D. 5  TC  9  TF
47. Jeżeli S jest polem prostokąta, a 2p jego obwodem, to
A. p 2  4S
B. p 2  4S
C. p 2  3S
D. p 2  3S
48. Obszar A na mapie w skali 1:100 000 ma pole 4 cm2. Ten sam obszar na mapie w skali
1:80 000 ma pole równe
A. 5 cm2
B. 550 mm2
C. 6.5 cm2
D. 625 mm2
49. Punkt O jest środkiem przeciwprostokątnej BC trójkąta prostokątnego
1
ABC, odcinek AO ma długość równą 10 , a odcinek AB długość 18.
2
Pole trójkąta ABC jest równe
C
O
B
A
A. 27 13
B. 30 13
C. 94,5
D. 189
50. Pięć pająków łapie pięć much w ciągu pięciu godzin. Zakładając, że każdy pająk łapie tyle
samo much w ciągu godziny, sto pająków łapie sto much w ciągu
A. 400 godzin.
B. 100 godzin.
C. 20 godzin.
D. 5 godzin.
51. Kąt wpisany w okrąg o promieniu r ma miarę 60o. Cięciwa, na której oparty jest ten kąt
ma długość równą
3
3
D. r
B. r
C. r
A. r 3
2
2
52. Średnica AB i cięciwa CD okręgu przecinają się w punkcie M. Kąt CMB ma miarę 75, a
kąt środkowy oparty na łuku BC miarę 58. Miara kąta ACD wynosi
A. 17
B. 37,5
C. 46
D. 29
12
53. Dwa okręgi styczne zewnętrznie są równocześnie styczne wewnętrznie do
trzeciego okręgu o promieniu 3 cm, jak na rysunku. Obwód trójkąta,
którego wierzchołkami są środki tych okręgów jest
A. mniejszy od 6 cm.
C. większy od 6 cm.
B. równy 6cm.
D. równy 9 cm.
54. Kartka papieru ma kształt prostokąta o przekątnej 120 cm. Zginamy ją na cztery równe
części wzdłuż jednego z boków oraz na trzy równe części wzdłuż drugiego boku. Po
takim złożeniu kartki otrzymujemy kwadrat. Krótszy bok tej kartki ma długość
A. 24 cm.
B. 96 cm.
C. 72 cm.
D. 180 2 cm.
55. Wysokość trójkąta ABC o wierzchołkach A(0; 0), B(8; 8), C(3; 6) nie ma długości równej
8 5
3 2
8 3
24 29
A.
B.
C.
D.
29
5
2
3
56. Podstawy trapezu równoramiennego mają długości odpowiednio równe 4 cm i 2 cm.
Przekątna trapezu dzieli kąt przy dłuższej podstawie na dwa kąty przystające. Pole tego
trapezu jest równe
A. 3cm2
B. 3 3 cm2
C. 3 5 cm2
D. 6 3 cm2
57. Dany jest kwadrat o boku 1. W dwóch sąsiednich wierzchołkach tego
kwadratu umieszczono środki kół o promieniu 1, które nie pokrywają
całego kwadratu. Pole figury zaznaczonej na rysunku jest równe

2
3
1
3

A.
B.  
C.  
D.
3
4
6
3
3
2
58. Naczynie w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 4 cm, 5 cm, 6 cm postawiono na
stole, na jednej ze ścian i nalano wody. Następnie zanurzono pewien przedmiot a poziom
wody w naczyniu podniósł się o 1,5 cm. Objętość zanurzonego przedmiotu nie może
wynosić
A. 45 cm3
B. 40 cm3
C. 36 cm3
D. 30 cm3
59. Jeżeli x 
A. 12
1
1
 4 , to x 2  2 jest równe
x
x
B. 14
C. 16
D. 18
60. Układ równań 2x + y – 5 = 0
2y + 4x = k
A. k = 0
ma nieskończenie wiele rozwiązań dla
C. k = – 5
B. k = 5
61. Funkcja f określona wzorem f(x) =
D. k = 10
5
 3 przyjmuje największą wartość równą
3x  4
2
13
A. 3  2
2
3
C. 2  3
D.  1
4
7
2
62. Dana jest funkcja o równaniu f (x ) = x + 3. Wartość f(–2) – f( 5 ) jest równa
A. –21
B. –1
C. –7
D. 4 – 5
B.  2
Zestaw III
1. Wybieramy jedną przekątną dziewięciokąta. W ilu co najwyżej punktach mogą ją przeciąć
inne przekątne?
2. W pewnym sześciokącie każde dwa kolejne boki są prostopadłe. Długości tych boków są
liczbami 3, 5, 6, 8, 10, 16. Oblicz pole tego sześciokąta.
3. Wzdłuż prostoliniowej drogi stoją cztery domy. Gdzie wybudować studnię, aby suma
odległości od niej do każdego z domów była najmniejsza? Jaka jest odpowiedź, gdy
domów jest pięć?
4. Jak od kawałka materiału o długości
2
m
3
odciąć kawałek o długości
1
m
2
nie mając przy
sobie linijki?
5. Wiedząc, że
a
m
ab
oblicz
b
ab
6. W pewnym miesiącu trzy niedziele wypadły w dni parzyste. Jaki dzień tygodnia wypadł
dwudziestego tego miesiąca?
7. W antykwariacie ustala się cenę książki równą
2
3
ceny książki w momencie jej wydania.
Dostarczający książkę otrzymuje 70% nowej ceny. Jaki to stanowi procent starej ceny?
8. Wśród 15 monet jednakowych na wygląd jedna jest fałszywa (różniąca się od pozostałych
ciężarem). Jak przy pomocy nie więcej niż dwóch ważeń, na wadze szalkowej bez
odważników , ustalić czy jest ona cięższa czy lżejsza od pozostałych?
9. Mikołaj ma pewną ilość batonów (więcej niż 7). Do każdej paczki wkłada 3 lub 5
batonów. Czy zawsze może zrobić tak, aby nie pozostał mu ani jeden baton?
10. W trójkącie długość jednego boku wynosi 6,31 m, a długość drugiego boku 0,82 m. Ile
wynosi długość trzeciego boku, jeżeli wiadomo, że wyraża się ona całkowitą ilością
metrów?
11. Suma 13 różnych liczb naturalnych różnych od 0 wynosi 92. Znaleźć te liczby.
12. Kierownik grupy wycieczkowej podał w hotelu, że wycieczka liczy 100 osób; z tego 78
osób pije herbatę, 71 kawę, a 48 osób i herbatę, i kawę. Kierownik hotelu powiedział, że
tak być nie może. Dlaczego?
14
1
6
13. W klasie liczba nieobecnych uczniów stanowi
jeden uczeń i teraz liczba nieobecnych stanowi
1
5
liczby obecnych. Po przerwie wyszedł
obecnych. Ilu uczniów jest w klasie?
14. Znaleźć odjemną i odjemnik zastępując gwiazdki odpowiednimi cyframi:
* * * *  * **  2
15. W trójkącie
M
AM  AC.
ABC
bok
AB
jest dłuższy od boku
Wiadomo, że dwusieczna kąta
miarę kąta
BMC
AC .
Na boku obrano punkt
jest równoległa do prostej
AC .
taki, że
Wyznaczyć
BAC .
16. Czy istnieje liczba trzycyfrowa podzielna przez 11, której pierwsza cytra jest większa od
drugiej, a druga od trzeciej?
17. Mamy 6 kul jednakowych na wygląd: 2 żółte, 2 białe i 2 czerwone. W dwóch parach
jednokolorowych kule ważą po 100g, a w trzeciej parze jedna kula waży 99g, a druga
101g. Przy pomocy dwóch ważeń na wadze szalkowej znaleźć kulę ważącą 99g.
18. Przy zalesianiu pracowało 116 uczniów jednej szkoły i 39 uczniów drugiej szkoły.
Uczniowie drugiej szkoły pracowali dłużej i każdy z nich posadził 3 razy więcej drzew
niż każdy uczeń pierwszej szkoły. Uczniowie, której szkoły posadzili więcej drzew?
19. Na stole leżały trzy kartki z różnymi cyframi. Ułożono z nich dwie liczby trzycyfrowe:
największą i drugą co do wielkości . Okazało się, że ich suma wynosi 1233. Jakie cyfry
były na kartkach?
20. Obliczyć miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC
AB i BC
istnieją punkty
MiN
takie, że odcinki
AN i MN
 C  90  , jeżeli na bokach
0
dzielą trójkąt
ABC
na trzy
przystające trójkąty.
21. Czy istnieje prostokąt, którego długości dwóch boków wynoszą odpowiednio
3
8
i
2
17
długości obwodu tego prostokąta?
22. Jaka jest cyfra jedności iloczynu:
a) 247  234
b) 328  49  31  235
c) 765  8976  234  9
d) 47
e) 3426
f) 24513
23. W Ustroniu odbywały się zawody: 10% wszystkich uczestników biegało, ½ skakała w dal,
a 6 osób rzucało dyskiem. W wymienionych konkurencjach brało udział 30 osób, reszta
grała w grach zespołowych. Ile osób uczestniczyło w zawodach?
15
24. Oblicz ilu uczniów jest w Gimnazjum wiedząc, że 10% wszystkich uczniów interesuje się
tylko matematyką, 1/5 interesuje się tylko sportem, a 6 osób – tylko historią. Wymienieni
uczniowie stanowią grupę 30-osobową. Pozostali czekają na wakacje i… piszą wiersze.
25. Oblicz bez użycia kalkulatora sumę wszystkich liczb parzystych od 1 do 2005.
26. W jaki sposób przy pomocy dwóch miarek: 7 – litrowej i 3 – litrowej odmierzyć z dużego
pojemnika z mlekiem porcję 5 – litrową?
27. Trzy kwadranse temu było tyle minut po godzinie 10, ile teraz brakuje do 11. Która teraz
jest godzina?
28. Zegar z kukułką bije w połowie każdej godziny i o pełnej godzinie: w połowie godziny –
jedno „kuknięcie”, o pełnej godzinie liczba „kuknięć” jest zgodna z godziną w danej
chwili. Ile razy zegar ten bije w ciągu doby?
29. Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 73. Jeśli w pierwszym składniku skreślimy jedną
cyfrę, to otrzymamy drugi składnik. Jaki to składnik?
30. Pan i jego pies znajdują się w odległości 1 km od domu. Pan porusza się z prędkością 4
km/h, a pies – 20 km/h. Pies biegnie do domu, wraca do pana, znowu biegnie do domu,
wraca itd., aż do momentu, gdy razem znajdą się w domu. Jaką drogę pokonuje pies?
31. Czy kwadrat, którego wierzchołki leżą w punktach przecięcia kraty utworzonej z
kwadratów o boku 1 cm, może mieć pole równe 29 cm2?
32. Spośród podanych liczb wybierz podzielne przez 10. Odpowiedź uzasadnij:
a) 95 + 1
b) 95 – 1
c) 56 + 5
d) 56 - 5
33. Sprawdź, czy liczby są podzielne przez 5:
a) 18767 - 12215
b) 43217 - 8765
34. Dwa boki równoległoboku mają odpowiednio 6 cm i 9cm. Wysokość poprowadzona do
krótszego boku ma także 6 cm. Jaka jest długość drugiej wysokości tego równoległoboku?
35. Prostokąt o wymiarach 4 cm i 9cm podziel na dwie części tak, aby można z nich było
złożyć kwadrat.
36. Wśród prostokątów, których obwód wynosi 26 cm i boki mają długości będące liczbami
naturalnymi wyznacz te, które mają największe pole.
37. Wyznacz pole prostokąta, w którym jeden bok jest dwa razy dłuższy od drugiego, a liczba
wyrażająca pole jest równa liczbie wyrażającej obwód tego prostokąta.
16
38. Rozważmy prostopadłościany, których długości krawędzi są liczbami naturalnymi.
Wyznacz długość krawędzi takiego prostopadłościanu, który ma największą objętość i w
którym suma długości krawędzi wynosi 36.
39. Czy istniej graniastosłup, ostrosłup, który ma 1995 krawędzi?
40. Jakimi wielokątami są przekroje sześcianu płaszczyzną prostopadłą do przekątnej
sześcianu?
41. Dla jakich p wykres funkcji y = 2px + 4 przechodzi przez:
a) III i IV ćwiartkę układu współrzędnych,
b) I, II i III ćwiartkę układu współrzędnych,
c) I, II i IV ćwiartkę układu współrzędnych?
42. Znajdź wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność |x – 2| < 5. Rozwiązanie
zilustruj na osi liczbowej.
43. W okrąg wpisano trójkąt ABC, którego  A  40 0 ,  B  80 0 . Jaką część tego okręgu
stanowi łuk ACB?
44. Znajdź wszystkie liczby całkowite m, dla których ułamek m  7 jest liczbą całkowitą.
m2
45. Liczba całkowita a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. Wykaż, że kwadrat tej liczby
pomniejszony o 4 jest podzielny przez 5.
46. Uczniowie drugiej klasy gimnazjum napisali sprawdzian z matematyki. 10% uczniów
otrzymało ocenę bardzo dobrą, 20% ocenę dobrą, 1/3 ocenę dostateczną, 7 uczniów
otrzymało ocenę dopuszczającą, a pozostali uczniowie otrzymali ocenę niedostateczną.
Średnia arytmetyczna wszystkich ocen wyniosła 2,9. Ilu uczniów otrzymało ocenę dobrą,
a ilu niedostateczną?
47. Dzisiaj Wojtek obchodzi szesnaste urodziny. W jakim dniu tygodnia urodził się Wojtek?
Odpowiedź uzasadnij.
48. Pociąg o długości 70 m przejeżdża przez tunel z prędkością 60 km/h. Od momentu, w
którym lokomotywa wjeżdża do tunelu, do chwili, w której koniec ostatniego wagonu
opuszcza tunel, upływa 36 s. Oblicz długość tego tunelu.
49. Pewna liczba nieparzysta przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2. Oblicz resztę z dzielenia tej
liczby przez 6.
50. Określ zbiór liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie
x  1 ma sens liczbowy.
x( x 2  9)
17
Zadania z różnych etapów konkursu matematycznego
ZADANIE 1. (4 pkt )
Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie całkowitej większej od –5 i mniejszej od 3
połowę kwadratu tej liczby pomniejszoną o 2.
a) Podaj wzór tej funkcji.
b) Sporządź wykres tej funkcji.
c) Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.
d) Wyznacz miejsca zerowe tej funkcji.
ZADANIE 2. (5 pkt )
Po dwukrotnej obniżce ceny pewnego towaru, za każdym razem o tyle samo procent, jego cena
końcowa stanowiła 64% ceny początkowej. O ile procent każdorazowo obniżano cenę tego towaru?
ZADANIE 3. (3 pkt )
Suma dwóch ułamków wynosi
53
. Liczniki ułamków są w stosunku 5 : 7 , a mianowniki w stosunku
80
4 : 5. Znajdź te ułamki.
ZADANIE 4. (3 pkt )
Rozwiąż równanie:
111
 
  x  4  4   4   1
555
 
ZADANIE 5. (6 pkt )
W trójkącie ABC wysokość CD i środkowa CE dzielą kąt ACB na trzy kąty o jednakowej
mierze. Wyznacz miarę kąta ACB.
ZADANIE 6. (4 pkt)
Otwarta prostopadłościenna skrzynia nie ma wieka. Długość i szerokość skrzyni mierzone na
zewnątrz mają 45 cm i 36 cm, a wysokość 27 cm. Skrzynia jest zrobiona z desek o grubości
1,5 cm. Oblicz pojemność wnętrza skrzyni.
Zadanie 1. ( 3 pkt.)
Naszkicuj wykres funkcji y 
2x | x |
, gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0.

|x| x
Zadanie 2. ( 4 pkt.)
Wysokość trapezu równoramiennego ma długość 2,4 dm, a jego przekątne są prostopadłe.
Oblicz pole tego trapezu.
Zadanie 3. ( 4 pkt.)
Komputer kosztował 2000 zł, drukarka 1200 zł i specjalne oprogramowanie 3000 zł.
Komputer zdrożał o 15%, a drukarka o 5%. O ile procent trzeba obniżyć cenę
oprogramowania, aby cena zestawu nie uległa zmianie?
18
E
Zadanie 4. ( 6 pkt.)
Państwo Kowalscy przeznaczyli 26 000 zł
na zakup działki. Do jednej z ofert
dołączono wykonany w skali 1:1000
rysunek dwóch przylegających do siebie
działek, P1 i P2. Jeden metr kwadratowy
każdej działki z tej oferty kosztuje 35 zł.
Oblicz, czy przeznaczona przez państwa
Kowalskich kwota wystarczy na zakup
działki P2.
D
P1
P
2
A
B
|AE| = 5 cm ,
C
|EC| = 13 cm ,
|BC| = 6,5 cm
Zadanie 5. ( 5 pkt.)
a) Sprawdź, że:
2
1
i
.
2  1
3  1
1 3
1 2
b) Przedstaw analogicznie 5 .
c) Przedstaw analogicznie n i wykaż prawdziwość zapisanej zależności.
| AC | 5
6. Odcinek AB długości 40 cm podzielono punktem C tak, że
= . Długość odcinka
| CB | 3
AC jest równa
A. 5 cm
B. 8 cm
C. 15 cm
D. 25 cm
7. Odcinkowi długości 3 cm narysowanemu na mapie w skali 1 : 500 000 odpowiada
w terenie odcinek długości
A. 150 km
B. 50 km
C. 15 km
D. 5 km
8. Miejscem zerowym funkcji f(x) = –2x + b jest 3 . Współczynnik b jest równy
A. 3
B. 2 3
C.  3
D.  2 3
9. Wyrażenie
1
| x | 4
A. | x | 4  0
10. Dane są liczby a 
A. – 4
ma sens liczbowy, gdy
B. | x | 4  0
32
i b
7
B. 0
C. | x | 0
D. | x | 0
32
ab
. Iloraz
ma wartość
ab
7
C. 4
D. 28
11. Bilet ze zniżką 36% kosztuje 36 zł. Taki sam bilet ze zniżką 20% kosztuje
A. 45 zł
B. 41,76 zł
C. 56,25 zł
D. 80 zł
D
12. Czworokąt ABCD jest równoległobokiem. Punkt E jest
środkiem boku AB i |ED| = |EB|. Kąt AED ma 80o.
Miara kąta BCD jest równa
A. 30o
B. 40o
C. 50o
A
C
E
B
D. 60o
13. Stosunek pola kwadratu do pola koła wpisanego w ten kwadrat jest równy
19
A.

4
B.
4

C.

2
D.
2

14. Jeśli p% ( p  0 ) liczby a wynosi k ( k  0 ), to liczba a jest równa
100 p
p
100 k
k
A.
B.
C.
D.
k
100 k
p
100 p
15. Wartość wyrażenia
A. 1
72 4  40 3
jest równa
24 7  25 2
3
B.
5
C.
1
15
D.
1
5
Zadanie 1 (4 pkt)
Przyjrzyj się układom równań:
2 x  y  4
 4 x  y  2
I. 
 3x  y  6
 6 x  y  3
II. 
0,5 x  y  0,6
 0,6 x  y  0,5
III. 
a) Podaj zasadę zgodnie z którą zbudowano te układy, oznaczając liczbę przy niewiadomej x
w pierwszym równaniu układu przez a, a w drugim równaniu przez b, gdzie a  b i wpisując
odpowiednie wyrażenia w miejsce znaków zapytania w podanym układzie.
ax  y  ?

bx  y  ?
b) Rozwiąż układy równań I, II, III. Przyjrzyj się otrzymanym rozwiązaniom. Opisz, jaką dostrzegasz
prawidłowość, wykorzystując oznaczenia przyjęte w podpunkcie a) tego zadania.
c) Udowodnij dostrzeżoną prawidłowość dotyczącą rozwiązań tego typu układów równań.
Zadanie 2 (3 pkt)
Sporządź wykres funkcji y =
2x  | x |
3x
wiedząc, że jest określona dla wszystkich tych

3
2x  | x |
wartości zmiennej x, dla których 2x – |x|  0.
Zadanie 3 (3 pkt)
Pole trójkąta ABC jest równe 21 cm2, |AC| = 6 cm, |AB| = 8 cm. Dwusieczna kąta BAC dzieli trójkąt
ABC na dwa trójkąty. Ile wynosi różnica pól trójkątów wyznaczonych przez tę dwusieczną?
Zadanie 4 (3 pkt)
Pole powierzchni bocznej prostopadłościennego kartonu jest równe 320 cm2. Wysokość kartonu
wynosi 11 cm, a pole jednej ze ścian bocznych jest równe 55 cm2. Ile maksymalnie soku można
zmieścić w tym w kartonie, jeśli objętość kartonu musi być o 5% większa od objętości soku?
Zadanie 5 (3 pkt)
Wafel do lodów ma kształt stożka o promieniu 2 cm i wysokości 6 cm. Do wafla włożono jedną porcję
lodów. Przyjmij, że porcja lodów ma kształt kuli o średnicy 4 cm. Znajdź odległość środka lodowej
kuli od wierzchołka waflowego stożka.
20
Zadanie 6 (5 pkt)
W ostrokątnym trójkącie ABC poprowadzono wysokości AA1, BB1, CC1. Wykaż, że wysokości te
zawierają się w dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta A1B1C1.
Zadanie 7 (1 pkt)
Liczba 2 jest największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność
A.
1 x 1 1


2
3
6
B.
3x
x
3
2
4
C.
3x 2 x

 1
4
5
D.
x  5 3x  1

4
3
Zadanie 8 (1 pkt)
Ile waży ryba, jeśli jej ogon waży 2 funty, głowa waży tyle, ile ogon i pół tułowia a tułów waży tyle,
ile głowa i ogon razem?
A. 8 funtów
B.12 funtów
C. 16 funtów
D. 24 funty
Zadanie 9 (1 pkt)
Ramiona kąta przecięto prostymi równoległymi. Stosunek długości
| AE | 5
 .
| ED | 7
Wynika z tego, że
| AE |
5
A.

| AD | 12
| AE | 5
C.

| AB | 7
D
| AB | 7
B.

| BC | 5
| ED | 12
D.

| BC | 5
E
A
B
C
Zadanie 10 (1 pkt)
Długość odcinka x w narysowanym trójkącie prostokątnym jest równa
A. 2
B. 2 21
C. 2 5
D. 2 17
4

10
x

8
Zadanie 11 (1 pkt)
Prostopadłościan o krawędziach 2, 4, 8 pocięto na mniejsze prostopadłościany o krawędziach 1, 2, 4.
Ile otrzymano mniejszych prostopadłościanów?
A. 64
B. 32
C. 8
D. 2
Zadanie 12 (1 pkt)
Wysokość walca wynosi 2 cm, a objętość
A.
3 cm
B. 1 cm
 3
cm . Średnica podstawy tego walca jest równa
2
C.
1
cm
2
D.
1
cm
4
Zadanie 13 (1 pkt)
Stalowy pręt, którego przekrój poprzeczny jest kołem o średnicy 3 cm waży 4 kg. Ile waży pręt
wykonany z takiej samej stali o tej samej długości, którego przekrój poprzeczny jest kołem o średnicy
6 cm?
21
A. 8 kg
B. 12 kg
C. 16 kg
D. 36 kg
Zadanie 14 (1 pkt)
Objętość ostrosłupa, którego siatkę przedstawiono na rysunku wynosi
B. 64
8
10
256
3
512
C.
3
A.
D. 192
8
10
82
82
Zadanie 15 (1 pkt)
80% gruntu o powierzchni 20 ha stanowią pola uprawne, a resztę łąki. Na wszystkich łąkach i części
pól uprawnych założono szkółkę leśną o powierzchni 12,8 ha. Jaki procent pól uprawnych
przeznaczono na szkółkę leśną?
A. 36%
B. 55%
C. 64%
D. 80%
Zadanie 16 (1 pkt)
Chłopcy uporządkowali boisko w ciągu kilku godzin. Gdyby było ich o 2 mniej, to pracowaliby
o 20 minut dłużej, a gdyby ich było o 4 więcej, to pracowaliby o pół godziny krócej. Ilu chłopców
porządkowało boisko i przez ile godzin? (Zakładamy, że wszyscy chłopcy pracowali z jednakową
wydajnością).
A. 12 uczniów przez 5 godzin
B. 15 uczniów przez 4 godziny
C. 20 uczniów przez 3 godziny
D. 30 uczniów przez 2 godziny
Zadanie 1. ( 5 pkt.)
Przyjmij, że proste a i b przedstawione na rysunku są równoległe.
a
A


B

C

b
D
Uzasadnij, że 1 + 2 = 1 + 2 .
Zadanie 2. ( 6 pkt.)
Symbolem f ( t ) oznaczamy wartość funkcji f obliczoną dla argumentu t.
Np. jeżeli funkcja liniowa g opisana jest za pomocą wzoru g (x) = – 3x + 1, to
g (2) = – 3 . 2 + 1 = – 5
Przyjmij, że funkcja f jest funkcją liniową taką, że:
22
f (1) + f (2) + f (3) = 21 i f (4) + f (5) = 26.
Oblicz f (6) + f (7).
Zadanie 3. ( 5 pkt.)
Długość boku ośmiokąta foremnego ABCDEFGH wynosi a. Oblicz pole czworokąta ACEG.
Zadanie 4. ( 4 pkt.)
55 5
5 5


...
  można obliczyć w następujący
Sumę S
1

6
6

11
11

16
111

116
116

121
sposób:
6

1
11

6
16

11
116

111
121

116
S


...
  czyli
6

1
11

6
16

11
116

111
121

116
6
111
6 1
11
1611
 116

S



 

...



 
  



6

16

1
11

611

6
16

11
16

11
116

111
116

111



 

116
11
11
1 1
121
 1


 




1




...







 
 
121

116
121

116
611
11
16
111
116

 6


 

1 1 1 1
1 120
1 1
 11111


1



...

1

 
116
121
11
16111
116
116
121
121
121

 6611
Postępując w analogiczny sposób, oblicz sumę:
222
2 2
R


...
 
1

3
3

5
5

7 97

99
99

101
W zadaniach 5. - 12. tylko jedna odpowiedź jest poprawna.
5. Dany jest kwadrat o boku długości a. W prostokącie KLMN długość boku KL stanowi 70%
długości boku kwadratu, a długość boku KN jest o 50% większa od długości boku kwadratu.
Pole prostokąta KLMN jest o 11,25 cm2 większe od pola kwadratu. Długość przekątnej
kwadratu jest równa
A. 12 cm
B. 12 2 cm
C. 15 cm
D. 15 2 cm
N
6. W rombie ABCD figura KLMN jest kwadratem.
Przekątne rombu mają długości 6 i 8.
Pole kwadratu KLMN wynosi
D
M
A
C
K
L
B
A.
576
121
B.
144
49
C.
576
49
D.
576
25
7. Prostopadłościan ma wymiary: 20 cm, 40 cm, 80 cm. Jaka powinna być długość przekątnej
sześcianu, aby jego objętość była równa objętości danego prostopadłościanu?
23
A. 400 2 cm
C. 80 2 cm
B. 40 3 cm
D. 80 3 cm
8. Przekrój osiowy pewnego stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 6 cm.
Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi
A. 36  cm2
B. 18  cm2
C. 27  cm2
D. 6  cm2
9. Sekretarka firmy „Sigma” ma obliczyć średnią miesięczną płacę pracownika
w I kwartale. Dysponuje listą płac ujętą w tabeli:
Styczeń
Luty
Marzec
Adam Bronisław Celestyn Damian
Abacki Babacki Cabacki Dabacki
2514 zł
2843 zł
2633 zł
2864 zł
2492 zł
2758 zł
2614 zł
2820 zł
2538 zł
2835 zł
2640 zł
2851 zł
Prezes, dyrektor i księgowa udzielili sekretarce następujących rad:
Prezes: „zsumuj wszystkie miesięczne płace i podziel otrzymaną liczbę przez liczbę
zatrudnionych”,
Dyrektor: „oblicz średnie wypłaty w każdym miesiącu, zsumuj je i podziel przez 3”,
Księgowa: „oblicz sumę wszystkich wypłat i podziel ją przez liczbę wypłat”.
Którą radę powinna wybrać sekretarka?
A. Prezesa.
B. Żadną.
C. Dyrektora lub
księgowej.
D. Którąkolwiek, bo
każda jest dobra.
10. Liczby a i b są dodatnie oraz ab = 1. Wynika z tego, że
A. a + b  2
B. a + b  2
C. a + b > 2
D. a + b < 2
11. Liczba 5100 ma
A. nie więcej niż 70
cyfr
B. więcej niż 70, ale C. więcej niż 80, ale D. więcej niż 90, ale
nie więcej niż 80 cyfr nie więcej niż 90 cyfr nie więcej niż 99 cyfr
12. Zmieszano dwa roztwory o stężeniach 7% i 18% i otrzymano roztwór 13%.W jakim
stosunku zmieszano te roztwory?
A.
B.
C.
D.
7 części roztworu 18%
6 części roztworu 18%
6 części roztworu 18%
5 części roztworu 18%
i
i
i
i
6 części roztworu 7 %.
7 części roztworu 7 %.
5 części roztworu 7 %.
6 części roztworu 7 % .
24
Zadanie 1. ( 4 pkt )
Uzasadnij, że ułamek
jest liczbą naturalną.
Zadanie 2. ( 4 pkt )
Pewne działanie  zdefiniowano w zbiorze liczb wymiernych następująco:
a b =
ab
3
Znajdź x , jeżeli x  [( x – 1 )  ( x – 2 )] = x
Zadanie 3. ( 3 pkt )
Środkiem symetrii rombu jest punkt (0, 0). Jednym z jego wierzchołków jest punkt (2, -2).
Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu, jeśli jego pole wynosi 10.
Zadanie 4. ( 4 pkt )
Na kwadracie ABCD o boku długości 1 opisano okrąg,
a następnie wykreślono okrąg o środku w punkcie A i promieniu AB.
Oblicz pole zacieniowanej figury widocznej na rysunku.
Zadanie 5. ( 4 pkt )
Trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny wpisano
w okrąg, na którym opisano trójkąt równoboczny.
Przyjmując, że P1 oznacza pole dużego trójkąta,
P2 pole małego trójkąta, a S pole sześciokąta foremnego,
uzasadnij, że S2 = P1 . P2
Zadanie 6. ( 1 pkt )
Kwadrat połowy trzykrotności liczby jest równy trzykrotności połowy kwadratu tej liczby.
Własność ta jest spełniona dla
A. dowolnej
liczby.
B. liczby 0.
C. liczby 1.
D. liczby 0 i 1.
E. liczb
ujemnych.
Zadanie 7. ( 1 pkt )
Liczby a i b spełniają warunek a2 = – b2 . Wynika z tego, że
25
A. jedna z liczb jest dodatnia, a druga ujemna.
B. suma tych liczb jest dodatnia.
C. suma tych liczb jest ujemna.
D. obie liczby a i b są równe zero.
E. żadna z odpowiedzi A, B, C, D nie jest poprawna.
Zadanie 8. ( 1 pkt )
Trzy piąte fotografii było pokryte czarnym kolorem, a reszta białym kolorem. Fotografia
została powiększona trzykrotnie Jaki procent powierzchni powiększonej fotografii zajmuje
biały kolor?
A. 20%
B. 40%
C. 50%
D. 60%
E. Żadna z odpowiedzi A, B,
C, D nie jest poprawna.
Zadanie 9. ( 1 pkt )
Z pierwszego sprawdzianu z matematyki Staś dostał jedynkę, z pozostałych piątki. Z ilu
sprawdzianów dostał piątkę, jeżeli średnia arytmetyczna jego ocen ze sprawdzianów była
równa 4,5?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
Zadanie 10. ( 1 pkt )
W trójkącie ABC przedstawionym na rysunku długości boków AB i AC
są równe. Kąt BPC miarę 115o, a kąt ABP miarę 53o.
Jaka jest miara kąta PBC?
A. 17o
B. 16o
C. 7o
D. 6o
E. Żadna z odpowiedzi A,
B, C, D nie jest poprawna.
Zadanie 11. ( 2 pkt )
Suma pewnych pięciu kolejnych liczb nieparzystych jest o 2 większa od sumy następnych
trzech kolejnych liczb nieparzystych. Największa z tych ośmiu liczb nieparzystych jest równa
A. 27
B. 23
C. 17
D. 13
E. 9
Zadanie 12. ( 2 pkt)
Jakie jest pole powierzchni całkowitej sześcianu wpisanego w kulę o promieniu 1 cm?
A. 8 cm2
B. 8 2 cm2
C. 12 cm2
D. 8 3 cm2
E. Żadna z odpowiedzi A,
B, C, D nie jest poprawna.
26
Zadanie 13. ( 2 pkt )
Na rysunku przedstawiono siatkę pewnego
graniastosłupa.
Długości wszystkich boków podane są w centymetrach.
Ile dm3 ma objętość tego graniastosłupa?
A. 0,2
B. 200
C. 0,6
D. 600
E. Żadna z odpowiedzi A, B, C, D nie jest poprawna.
27
Zadanie 14. ( 2 pkt )
Pociąg ekspresowy jedzie ze średnią prędkością o wartości 90 km/h. Pociąg ten mija pociąg
pospieszny, który jedzie ze średnią prędkością o wartości 60 km/h. Pasażer pociągu
ekspresowego obserwował przez okno wagonu pociąg pospieszny. Obserwacja tego zdarzenia
trwała 6 s. Ile metrów długości ma pociąg pospieszny?
A. 900
B. 450
C. 250
D. 125
E. 50
Zadanie 15. (2 pkt )
Cena biletu na niedzielny mecz wynosiła 30 zł. Gdy na mecz w środę cenę biletu obniżono,
okazało się, że na ten mecz przyszło o 50% widzów więcej niż w niedzielę, a wpływy
uzyskane ze sprzedaży biletów na ten mecz wzrosły o 25% w stosunku do wpływów
uzyskanych za mecz rozegrany w niedzielę. O ile złotych obniżono cenę biletu?
A. O 25 zł.
B. O 20 zł.
C. O 15 zł.
D. O 10 zł. E. Żadna z odpowiedzi A, B,
C, D nie jest poprawna.
Zadanie 16. (2 pkt )
Tomek ustawił na stole prostopadłościan z 462 jednakowych klocków sześciennych. Jego
siostra Jola zdemontowała najwyższą warstwę składającą się z 77 klocków. Następnie jego
starszy brat Wojtek zdemontował warstwę z boku zawierającą 55 klocków. Na koniec jego
młodszy brat Jacek zdemontował warstwę sąsiadującą z warstwą, którą wybrał Wojtek. Ile
klocków pozostało w tak pomniejszonym prostopadłościanie?
A. 263
B. 256
C. 295
D. 300
E. 350
28