Rozdział 1 Statystyki

Rozdział 1
Statystyki
Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego
X = (X1 , . . . , Xn ).
Uwaga 1 Statystyka jako funkcja wektora zmiennych losowych jest zmienną losową lub
wektorem losowym. Wyznaczenie rozkładu statystyki jest często bardzo trudnym zadaniem.
Przykład 1 (Momenty z próby) Momentem rzędu k z próby X = (X1 , . . . , Xn ) nazywamy
statystykę
n
1∑
Ak =
Xik .
n i=1
(1.1)
W szczególności, moment rzędu 1 z próby X = (X1 , . . . , Xn ) nazywamy średnią z próby
i oznaczamy przez X̄, czyli
X̄ =
n
1∑
Xi .
n i=1
(1.2)
Momentem centralnym rzędu k z próby X = (X1 , . . . , Xn ) nazywamy statystykę
Mk =
n
1∑
(Xi − X̄)k .
n i=1
(1.3)
W szczególności, moment centralny rzędu 2 z próby X = (X1 , . . . , Xn ) nazywamy wariancją z próby i oznaczamy przez S02 , czyli
S02
n
1∑
=
(Xi − X̄)2 .
n i=1
(1.4)
Często za definicję wariancji z próby przyjmuje się statystykę postaci
S2 =
n
1 ∑
n
S 2.
(Xi − X̄)2 =
n − 1 i=1
n−1 0
1
(1.5)
Twierdzenie 1 Jeżeli X = (X1 , . . . , Xn ) jest próbą z rozkładu normalnego N (µ, σ 2 ), to
(i) średnia X̄ z próby X ma rozkład normalny N (µ, σ 2 /n);
(ii) (n − 1)S 2 /σ 2 ma tzw. rozkład χ2 o n − 1 stopniach swobody;
(iii) zmienne losowe X̄ i S 2 są niezależne;
(iv) zmienna losowa
X̄ √
n
S
ma tzw. rozkład t-Studenta o n − 1 stopniach swobody.
Przykład 2 (Statystyki pozycyjne) W praktyce duże znaczenie mają tzw. statystyki pozycyjne z próby X = (X1 , . . . , Xn ). Statystykę Xi:n , której wartość jest równa i-tej co do
wielkości wartości w uporządkowanym rosnąco ciągu zmiennych losowych X1 , . . . , Xn nazywamy i-tą statystyką pozycyjną. Najczęściej wyznacza się pierwszą statystyką pozycyjną
(minimum), która jest postaci
X1:n = min{X1 , . . . , Xn }
(1.6)
oraz n-tą statystyką pozycyjną (maksimum), która jest postaci
Xn:n = max{X1 , . . . , Xn }.
2
(1.7)