POLE MAGNETYCZNE: PRAWO GAUSSA, B
advertisement
POLE MAGNETYCZNE: PRAWO GAUSSA, B-S TRANSFORMACJE RELATYWIST. POLA E-M STACJONARNE RÓWNANIA MAXWELLA Wprowadzenie Pole magnetyczne, jedna z postaci pola elmg: wytwarzane przez zmiany pola elektrycznego w czasie, lub przez układ poruszających się ładunków Pole magnetyczne działa na poruszające się ładunki (prąd elektryczny). Pole magnetyczne charakteryzują wektory: H, B Oddziaływanie pola magn. z pojedynczym ładunkiem - siła Lorentza Prąd płynący w przewodniku wytwarza pole magnetycznego - prawo Ampère’a Pole magnetyczne wytwarzane przez obwód z prądem określa prawo Biota-Savarta Pole magnetyczne (bez czasu) można opisać równ. Maxwella (stacjonarne) divB = 0 i rotB = μ0j 2 Właściwości pola magnetycznego Pole magnetyczne nie jest polem r zachowawczym, ponieważ cyrkulacja B wektora po konturze zamkniętym jest różna od zera Pole magnetyczne jest polem wirowym. 3 Strumień magnetyczny Def.:Strumień magnetyczny, strumień Φ wektora natężenia pola magnetycznego H lub indukcji magnetycznej B , przenikający przez powierzchnię S, określony odpowiednio wzorami: ΦH r r = ∫ H ⋅ dS ⋅ S r r Φ B = ∫ B ⋅ dS S gdzie n - wersor normalny do powierzchni S 4 Strumień magnetyczny Jednostką strumienia magnetycznego w układzie SI jest weber, w układzie CGS makswel. [ΦB] = Wb = T·m2 = N·m/A = V·s Gdy: r r B || dS ⇒ ΦB r r B ⊥ dS ⇒ ΦB = 0 ma wartość maksymalną 5 r r Strumień magnetyczny Φ B = ∫ B ⋅ dS S Prawo Gaussa: Strumień magnetyczny przez dowolną zamkniętą powierzchnię równa się zeru. r r B ⋅ d S = 0 ∫ SV V SV 6 Postać różniczkowa prawa Gaussa r r ∫ B ⋅ dS = S r ∫ div B ⋅ dV V ∫ divB ⋅ dV = 0 V r divB = 0 oZmieniamy całkę powierzchniową na objętościową oTen warunek jest słuszny dla każdej objętości w przypadku gdy funkcja podcałkowa jest w każdym punkcie pola równa zeru. A więc dywergencja pola magnetycznego jest równa zeru, (jest to jedno z równań Maxwella) 7 Transformacje r v relatywistyczne pól B, E. Przypadek 1: 9 W układzie laboratoryjnym (x,y) nie mamy pola magnetycznego: r B=0 (I = 0 ) 9Istnieje pole elektryczne y λ X y’ r E≠0 λ E= 2πε o r V X’ λ– liniowa gęstość elektronów przewodnika 8 Transformacje r v relatywistyczne pól B, E. 9 Ruchomy obserwator zaobserwuje, że w przewodniku popłynie prąd (w kierunku –x), którego wartość możemy wyrazić wzorem: I =λ ⋅ v ' 9 ' Wynikiem czego będzie pojawienie się pola: r μ o λ' ⋅ v = μ oε o v ⋅ E ' B= 2π y ' λ gdzie : E ' = 2πε o y 9 Transformacje r v relatywistyczne pól B, E. B = ε o μ o vE ' 9 ' 1 gdzie : ε o μo = 2 c Z przekształceń otrzymujemy wzór na pole magnetyczne: r r v r B = 2 ×E c 10 Transformacje r v relatywistyczne pól B, E. Przypadek 2: 9 W układzie laboratoryjnym (x,y) nie mamy pola elektrycznego: v E=0 (λ = 0) y X y’ 9Istnieje pole magnetyczne r B≠0 (I ≠ 0 ) I V X’ 11 Transformacje r v relatywistyczne pól B, E. 9 Ruchomy obserwator zaobserwuje, że w przewodniku pojawi się pole elektryczne, którego wartość możemy wyrazić wzorem: r r r E = −v × B 12 Prawo Biota – Savarta Pozwala obliczyć B z rozkładu prądu (I = const.). Obliczenia są proste gdy rozkład prądów jest symetryczny. W innym przypadku to dzielimy prądy na nieskończenie małe elementy (rysunek) Stosujemy prawo Biota-Savarta obliczamy pole takich elementów, a następnie sumujemy je żeby uzyskać wypadkowy wektor B 13 Prawo Biota – Savarta c.d. Element przewodnika dl z prądem I daje przyczynę dB do indukcji magnetycznej dl r dB r r μo I dl × rˆ dB = 2 4π r 14 Prawo Biota – Savarta c.d. Stosując wzór transformacyjny przejdziemy od pola elektrostatycznego do pola magnetycznego. r E( r ) = 1 q ˆ r 2 4πε o r r r v r B = 2 ×E c Wzór opisujący pole elektrostatyczne – natężenie pola Wzór transformacyjny pól elektromagnetycznych 15 Prawo Biota – Savarta wyprowadzenie wzoru r vr ⎛ 1 q ⎞ B = 2 × ⎜⎜ rˆ ⎟ 2 ⎟ c ⎝ 4πε 0 r ⎠ r r μo v × rˆ ⋅q⋅ 2 B= 4π r 1 = ε o μo 2 c Różniczkujemy obustronnie równanie q → dq (w el. dl) r dl × rˆ r μo dB = ⋅ dq ⋅ dt 2 4π r 16 Prawo Biota – Savarta wyprowadzenie wzoru Wartość wynosi: Wartość - liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-Savarta μo I dl ⋅ sin ϕ dB = 2 4π r B wynosi: r r B = ∫ dB l 17 Prawo Biota – Savarta wyprowadzenie wzoru - W przypadku pola magnetycznego prostoliniowego przewodnika linie sił pola są, jak łatwo stwierdzić doświadczalnie, koncentrycznymi okręgami a ich zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej. 18 Przykład: Prostoliniowy przewodnik z prądem dl r Zastosujmy wzór do obliczenia pola pochodzącego od nieskończenie długiego przewodnika. B μo μr IdI sin φ dB = 2 4π r 19 Przykład: (c.d.) μo μr Idl sin φ μo μr dl sin φ = B=∫ I∫ 2 4π r 4π r2 r = ro sin φ dl = CD = rd ϕ dl = CD sin φ rd φ sin φ Podstawiamy te wartości do wzoru: = ro d φ sin 2 φ Przekształcamy: φ2 μo μ r μo μ r I (cos φ1 − cos φ2 ) B= I ∫ sin φdφ = 4π ro φ 4πro 1 20 Przykład: (c.d.) Dla wszystkich elementów nieskończenie długiego przewodnika kąt ϕ1=0, a kąt ϕ2=π. A więc indukcja magnetyczna wytwarzana przez prąd jest dana wzorem: μo μ r 2 I B= 4π ro 21 Natężenie pola magnetycznego Natężenie pola magnetycznego: H jest to wielkość wektorowa charakteryzująca pole magnetyczne. r r B r −M H= μo Gdzie: r r M = χm ⋅ H M to wektor namagnesowaniamagnetyzacja χm podatność magnetyczna ośrodków 22 Natężenie pola magnetycznego Podstawiając wyrażenie na wektor namagnesowania do równania wyjściowego, otrzymujemy: r H= r B μo r − χmH ⇒ r r B H= μ o (1 + χ m ) Podstawiając bezwymiarową wielkość: μr = (1 + χm) – nazywamy względną przenikalnością magnetyczną lub r H = r B μoμr przenikalnością magnetyczną. A [H ] = m 23 Natężenie pola magnetycznego Wektor H ma ten sam kierunek i zwrot co wektor B, lecz μομr mniejszy od niego co do wartości bez względnej (w ośrodkach anizotropowych wektor H i B nie mają w ogólności takich samych kierunków). Mając natężenie pola magnetycznego wyznaczymy pole magnetyczne: r r B = μoμr ⋅ H 24 Ze względu na właściwości magnetyczne ciała dzielimy na: diamagnetyki (μ<1) momenty indukowane wszystkie ciała (szczególnie z pm=0) np. woda μr=0,999991 paramagnetyki (μ>1) momenty własne pojedyncze atomy z pm np. glin μr=1,000008 magnetyki (np. ferromagnetyki) (μ>>1) kryształy z budową domenową np. stal μr=300 (zależy od natężenia pola) pm – magnetyczny moment dipolowy 25 Równania Maxwella dla pól stacjonarnych Prawo Gaussa dla pola elektrycznego r r Qwew ∫∫ E ⋅ dS = SV Prawo Gaussa dla pola magnetycznego ∫∫ Potencjalność pola elektrostatycznego Prawo Ampere’a εo r r B ⋅ dS = 0 r r E ≠ E (t ) r r B ≠ B(t ) r ρ wew div E = εo r divB = 0 SV r r ∫ E ⋅ dl = 0 l r r ∫ B ⋅ dl = μo I wew l r rotE = 0 r r rotB = μo j 26
