Edward Musiał Oddział Gdański SEP Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje niemal wyłącznie obliczenia przybliżone i powinien mieć nieustannie na względzie dokładność, jaką chce uzyskać i jaką może uzyskać. Dane wyjściowe do obliczeń, pochodzące z pomiarów, z innych, wcześniejszych obliczeń, z danych katalogowych urządzeń lub z oszacowań, charakteryzują się określoną dokładnością. Nie można uzyskać dokładności wyników obliczeń większej niż dokładność wprowadzonych danych. Niecelowe jest też wykonywanie obliczeń z dokładnością większą niż jest to potrzebne. Kto bez zastanowienia podaje – jako wynik obliczeń – przesadnie liczne cyfry wskazane przez kalkulator lub komputer, naraża się na zarzut, że nie zdaje sobie sprawy z koniecznej i/lub możliwej do uzyskania dokładności albo na zarzut nieuczciwego sugerowania nieosiągalnej dokładności. Błąd przybliżenia. Jeśli zamiast wartości dokładnej (liczby dokładnej) x operuje się jej przybliżeniem (liczbą przybliżoną) a, to: jest błędem bezwzględnym przybliżenia, x–a x-a a jest błędem względnym przybliżenia. Jeżeli przy tym wiadomo, że zawsze i bez zbędnego nadmiaru jest spełniona nierówność |x – a| < Δa, to: Δa jest górnym kresem błędu bezwzględnego rozpatrywanego przybliżenia, Δa = δa a jest górnym kresem błędu względnego rozpatrywanego przybliżenia. Miarą błędu przybliżenia, a zatem i miarą dokładności, jest wartość błędu względnego. Zwykle wyraża się ją w procentach. Przykład Liczba 1,41 jest przybliżeniem wartości 2 z błędem 0,004213… Za górny kres błędu bezwzględnego można przyjąć 0,0043, a za górny kres błędu względnego 0,0043:1,41 = 0,0030 = 0,30 %. Cyfry znaczące (cyfry wartościowe) przybliżenia dziesiętnego, tzn. podanego w postaci liczby dziesiętnej, są to wszystkie jego cyfry z wyjątkiem zer stojących po lewej stronie przybliżenia. Przykłady Trzy cyfry znaczące mają następujące liczby: 200 20,0 2,00 0,00200 185 18,5 1,85 0,185 0,000185 Sześć cyfr znaczących mają następujące liczby: 300 000 245 000 19,5396 14,3700 0,00200150 0,00400000 Cyfry pewne. Jeżeli błąd bezwzględny przybliżenia a nie przekracza jednostki (a bardziej rygorystycznie: połowy jednostki) ostatniego rzędu dziesiętnego (cyfry znaczącej ostatniej z prawej strony) liczby a, to w liczbie a występują tylko cyfry pewne. Przybliżenia dziesiętne należy pisać z zachowaniem jedynie cyfr pewnych; inaczej mówiąc należy odrzucić te cyfry znaczące, które nie są 1 pewne. To właśnie liczba cyfr pewnych w danym przybliżeniu dziesiętnym określa stopień dokładności tego przybliżenia. Przykłady Następujące przybliżenia mają trzeci stopień dokładności (trzy cyfry pewne): 1 stopa sześcienna = 0,0283 m3, l cal = 2,54 cm. '' Trzecim stopniem dokładności charakteryzuje się obliczony prąd zwarciowy początkowy: I k = 27,4 kA albo I k'' = 27,4 ⋅ 103 A . Zapis 27400 A nie jest właściwy, bo zawiera 5 cyfr znaczących i mylnie sugeruje piąty stopień dokładności, a tylko trzy pierwsze cyfry są pewne. Informacja, iż w określonym miejscu systemu moc zwarciowa wynosi 2 GVA nie jest tożsama z informacją, iż wynosi ona 2000 MVA. n -n W zapisie mnożnika 10 lub 10 wskazane jest posługiwanie się wykładnikiem potęgowym będącym wielokrotnością cyfry trzy, co czyta się: atto-, femto-, piko-, nano-, mikro-, mi1i-, kilo-, mega-, giga-, tera-, peta-, eksa-. Inżynier woli zapis I k'' = 27,4 ⋅ 103 A , który odczytuje jako: dwadzieścia siedem i cztery dziesiąte kiloampera, chociaż matematyk za równoważne uzna zapisy: I k'' = 274 ⋅ 102 A , I k'' = 2,74 ⋅ 104 A , I k'' = 0,274 ⋅ 105 A , I k'' = 0,0274 ⋅ 106 A itd., z których każdy zawiera te same trzy cyfry znaczące pewne. Jeżeli przybliżenie a ma n cyfr znaczących pewnych, to jego błąd względny δa spełnia nierówność: δa ≤ 1 , z ⋅ 10n -1 w której z jest pierwszą cyfrą znaczącą danego przybliżenia a. Przybliżenie a z błędem względnym δa ma n cyfr znaczących pewnych, przy czym n jest największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność (1 + z ) ⋅ δa ≤ 101− n . Przykład Kalkulator wyświetlił jako wynik końcowy obliczeń wykonywanych z błędem względnym δa = 1 % wartość a = 2,553762184. Ile cyfr n tego wyniku jest pewnych? (1 + 2) ⋅ 0,01 ≤ 101− n → 0,03 ≤ 101− n → n = 2. Pewne są dwie cyfry. Zatem wynik końcowy obliczeń należy zapisać jako a = 2,6; gdyby to był wynik pośredni obliczeń, wtedy należałoby zapisać się jedną (zapasową) cyfrę znaczącą więcej: a = 2,56. Przykład ten zarazem wyjaśnia, że odrzucanie cyfr niepewnych nie powinno się odbywać odruchowo i bezmyślnie, lecz wymaga respektowania podanych niżej zasad zaokrąglania liczb. Zapisywanie liczb dokładnych. Jeżeli trzeba zaznaczyć, że dana liczba jest dokładna, to po tej liczbie należy zamieścić w nawiasie słowo dokładnie lub ostatnią cyfrę znaczącą liczby należy drukować czcionką grubą (bold). Dopuszcza się, zwłaszcza w rękopisach, podkreślanie ostatniej cyfry liczby dokładnej. Przykłady l litr = l dm3 (dokładnie) l kWh = 3600000 J (dokładnie) l kWh = 3600000 J l kWh = 3600000 J Zaokrąglanie liczb [5]. Jeżeli liczba przybliżona zawiera zbędne lub niepewne cyfry, należy ją zaokrąglić zachowując tylko cyfry pewne i tylko tyle cyfr, ile potrzeba. l. Jeśli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest mniejsza niż 5, to ostatnia 2 pozostająca cyfra nie ulega zmianie, np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 14,24 → 14,2. 2. Jeżeli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest większa niż 5, to ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o jednostkę. np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 26,48 → 26,5. 3. Jeśli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równa 5 i następuje po niej co najmniej jeszcze jedna cyfra inna niż zero, to ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o jednostkę, np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 1,050020 → 1,1. 4. Jeżeli pierwsza, licząc od lewej strony, z odrzuconych cyfr jest równa 5, i nie następuje po niej żadna cyfra inna niż zero, to ostatnią pozostawioną cyfrę powiększa się o jednostkę, jeśli jest to cyfra nieparzysta, a nie zmienia się jej, jeśli jest to cyfra parzysta (zero uważa się za cyfrę parzystą). Inaczej mówiąc, w takim przypadku ostatnia pozostawiona cyfra powinna być parzysta, np. przy zaokrąglaniu do pierwszego miejsca dziesiętnego: 0,05 → 0,0; 0,15 → 0,2; 0,25 → 0,2; 0,45000 → 0,4. Jest to rezultat konwencji przyjętej w skali międzynarodowej [5] po to, aby wykonywane w różnych ośrodkach, pracowniach i laboratoriach obliczenia, wykorzystujące te same dane wyjściowe (np. identyczne wyniki pomiarów), dawały ten sam wynik końcowy. 5. W przypadku odrzucania więcej niż jednej cyfry, nie należy liczby zaokrąglać w kilku etapach, lecz od razu odrzucić wszystkie zbędne cyfry zgodnie z podanymi powyżej zasadami. Przykład źle 15,4546 → 15,455 → 15,46 → 15,5 → 16 dobrze 15,4546 → 15 6. Liczby całkowite należy zaokrąglać zgodnie z zasadami od l do 5 z tym, że zamiast cyfry odrzucać, należy je zastępować przez zero. Przykłady zaokrąglanie do setek 1234 → 1200 zaokrąglanie do dziesiątek 126 → 130 7. Jeśli liczbę zaokrągla się do 50, 5, 0,5 lub 0,05 itd., to najpierw należy ją podwoić, otrzymany iloczyn zaokrąglić odpowiednio do 100, 10, l, 0,1 itd. zgodnie z zasadami od 1 do 6, a następnie podzielić przez dwa. Przykłady Aby zaokrąglić liczbę 60,25 do 0,5, należy podwoić ją (120,50), zaokrąglić do jedności (120) i podzielić przez dwa (60). W rezultacie: 60,25 → 60. Podobnie postępując z liczbą 60,75, otrzyma się następujące wyniki: 60,75 → (121,5 → 122) → 61. 8. Jeżeli liczbę zaokrągla się do 2, 0,2 lub 0,02 itd., to najpierw należy ją pomnożyć przez pięć, otrzymany iloczyn zaokrąglić odpowiednio do 10; l; 0,1 itd. zgodnie z zasadami od 1 do 6, a następnie podzielić przez pięć. Przykład Aby zaokrąglić liczbę 8,30 do 0,2, należy pomnożyć ją przez pięć (41,50), zaokrąglić do jedności (42) i podzielić przez pięć (8,4). W rezultacie: 8,30 → 8,4. Błąd działania na liczbach przybliżonych [1]. Wynik działań na liczbach przybliżonych jest także liczbą przybliżoną. Błąd wyniku może być wyrażony przez błędy poszczególnych danych. Zwykle oblicza się górny kres błędu w konwencji the worst case, tzn. przy założeniu, że poszczególne błędy składowe kumulują się w sposób najbardziej niekorzystny, mają największą możliwą wartość bezwzględną i ten sam znak, co prowadzi do następujących wniosków. a) Górny kres błędu bezwzględnego sumy lub różnicy przybliżeń równa się sumie górnych kresów błędów bezwzględnych poszczególnych składników, na przykład: 3 Δ(a – b + c – d) = Δa + Δb + Δc + Δd b) Błąd względny sumy przybliżeń jest zawarty między najmniejszym i największym z błędów względnych poszczególnych składników. Na przykład, jeżeli δa < δb < δc < δd, to błąd względny sumy spełnia nierówność: Δa Δ (a + b + c + d ) Δd < < a a+b+c+d d c) Błąd względny iloczynu lub ilorazu przybliżeń jest równy sumie błędów względnych tych przybliżeń: ⎛a⎞ δ⎜ ⎟ = δa + δb ⎝b⎠ δ(a ⋅ b ) = δa + δb d) Błąd względny m-tej potęgi liczby przybliżonej jest m razy większy niż błąd względny podstawy potęgi, co wynika z poprzedniej zasady: ( ) δ a m = m ⋅ δa e) Błąd względny pierwiastka stopnia m z liczby przybliżonej równa się 1/m błędu względnego liczby podpierwiastkowej: δ ( a ) = m1 ⋅ δa m Przykłady Określić błąd wyniku obliczenia wykonanego według wzoru V = r 2 ⋅ h Błąd względny: δV = 2⋅δr + δh Błąd bezwzględny: ⎛ Δr Δh ⎞ ΔV = V ⋅ δV = V ⋅ ⎜ 2 + ⎟ h ⎠ ⎝ r Określić błąd wyniku obliczenia wykonanego według wzoru z = x 1+ y 1 [δx + δ(1 + y )] 2 Błąd względny: δz = Błąd bezwzględny: Δz = z ⋅ δz = z ⎛ Δx Δy ⎞ ⎟ ⋅ ⎜⎜ + 2 ⎝ x 1 + y ⎟⎠ Zagadnienie odwrotne rachunku przybliżeń [1]. Chodzi o odpowiedź na pytanie: jaka powinna być dokładność wprowadzanych danych, aby otrzymany wynik obliczeń miał założoną dokładność? Aby na nie odpowiedzieć, należy wyprowadzić wzór określający błąd wyniku, po czym – posługując się podanymi wyżej prawidłami – obliczyć, jakie są dopuszczalne błędy danych wejściowych, by błąd nie przekraczał założonej wartości. Problem może mieć różne rozwiązania, zależnie od przyjętych założeń. Przykład Z jaką dokładnością powinny być zmierzone przyprostokątne trójkąta prostokątnego, z których jedna jest około trzy razy mniejsza od drugiej, aby błąd kąta wyznaczonego za pośrednictwem tangensa nie przekraczał l' (jednej minuty kątowej)? Kąt ma być obliczony ze wzoru: ϕ = arctg( a/b) z błędem względnym: Δϕ = Podstawiając b = 3⋅a oraz zakładając, że Δa = Δb, otrzymuje się Δϕ = 0,4 ⋅ 4 Δa = 0,4 ⋅ δa , a b ⋅ Δa + a ⋅ Δb a 2 + b2 Δa = 0,0007 = 0,07 % . Zatem przy założeniu a jednakowych błędów bezwzględnych pomiaru obu przyprostokątnych, dopuszczalny błąd względny pomiaru mniejszej z nich wynosi 0,07 %. a ponieważ założono Δϕ = l' = 0,0002909 rd, wobec tego: δa = Obliczenia przybliżone bez dokładnego uwzględniania błędów [1]. Przy wykonywaniu zwykłych obliczeń inżynierskich nie określa się błędu każdego wyniku z osobna, lecz przestrzega się prostych reguł zapewniających, że wyniki mają na ogół wszystkie cyfry pewne, a błąd nie przekracza kilku jednostek ostatniego rzędu. Poniższe zasady mają znaczenie fundamentalne przy wykonywaniu wszelkich praktycznych obliczeń. l) Przy dodawaniu i odejmowaniu przybliżeń dziesiętnych należy zachować w wyniku tyle cyfr po przecinku, ile ich jest w tym przybliżeniu, które ma najmniejszą liczbę cyfr po przecinku. Przykłady 142,7 + 37,084 – 0,72727 = 179,1 142,7 – 0,00475 = 142,7 2) Przy mnożeniu i dzieleniu przybliżeń dziesiętnych należy zachować w wyniku tyle cyfr znaczących, ile jest ich w tym przybliżeniu, które ma najmniejszą liczbę cyfr znaczących. Przykłady 1,33333 ⋅ 2 = 3 1,33333 ⋅ 2 = 2,66666 13,74 ⋅ 2,03333 = 6,8 4,1 3) Przy podnoszeniu przybliżenia dziesiętnego do kwadratu lub sześcianu należy wziąć w wyniku tyle cyfr znaczących, ile ma ich dane przybliżenie, czyli należy zachować jego stopień dokładności. Przykłady 3,003 = 27,0 3,5412 = 12,54 Błąd względny kwadratu i sześcianu przybliżenia dziesiętnego jest odpowiednio około 2 i 3 razy większy niż błąd względny samego przybliżenia, a więc błąd wyniku potęgowania może przekraczać jednostkę ostatniego zachowanego w nim rzędu. 4) Przy wyciąganiu pierwiastka kwadratowego lub sześciennego z przybliżenia dziesiętnego należy zachować w wyniku tyle cyfr znaczących, ile ma ich dane przybliżenie. Przykłady 270 = 16,4 3 10000 = 21,544 Błąd względny takiego pierwiastka jest odpowiednio 2 lub 3 razy mniejszy niż błąd względny samego przybliżenia. 5) We wszystkich obliczeniach pośrednich należy zachować o jedną cyfrę znaczącą więcej niż to wynika z powyższych prawideł; dopiero przy zapisywaniu końcowego wyniku obliczeń tę zapasową cyfrę należy odrzucić. 6) Jeśli pewne przybliżenia dziesiętne mają w dodawaniu i odejmowaniu więcej cyfr po przecinku, a w mnożeniu i dzieleniu, potęgowaniu i pierwiastkowaniu więcej cyfr znaczących niż inne przybliżenia, to przed wykonaniem obliczeń należy je zaokrąglić do poziomu dokładności pozostałych przybliżeń z zachowaniem cyfry dodatkowej (zapasowej); w końcowym wyniku tę zapasową cyfrę należy odrzucić. 7) Jeżeli można brać dane z dowolną dokładnością, to – dla otrzymania wyniku o k cyfrach znaczących pewnych – należy wziąć te dane z taką liczbą cyfr znaczących, która zgodnie z zasadami od l do 4 daje w wyniku (k + l) cyfr pewnych. 5 Przykład obliczeń przybliżonych Obliczyć początkowy prąd zwarciowy przy zwarciu trójfazowym na szynach 15 kV stacji, jak na rysunku. 110 kV SkQ" = 1500 MVA 110/16,5 kV/kV 16 MVA ukr = 0,11 15 kV Na błąd końcowego wyniku składają się: błąd z tytułu pominięcia rezystancji obwodu (tu błąd mniejszy niż 0,5 %), błąd z tytułu przybliżenia wartości mocy zwarciowej na szynach 110 kV (tu błąd znacznie mniejszy niż 0,5 %), błąd przybliżenia wartości napięcia zwarcia transformatora (według PN-83/E-06040 górny kres błędu względnego przy pracy z przekładnią znamionową wynosi 10 %, a przy innym położeniu przełącznika zaczepów błąd może być większy). Ten ostatni błąd ma znaczenie decydujące i sprawia, że można oczekiwać w końcowym wyniku najwyżej dwóch cyfr znaczących pewnych. Reaktancja systemu poprzedzającego: XQ = cmax ⋅ U n2 " S kQ 2 ⋅ ϑT2 = 1,10 ⋅ 1102 ⎛ 16,5 ⎞ 1,10 ⋅ 16,52 ⋅⎜ = 0,19965 → 0,200 Ω ⎟ = 1500 1500 ⎝ 110 ⎠ trzy cyfry znaczące Reaktancja transformatora: X T = ukr ⋅ 2 U nT 16,52 = 0,11 ⋅ = 1,87 Ω S nT 16 trzy cyfry znaczące Początkowy prąd zwarciowy na szynach 15 kV: I k" = cmax ⋅ U n ( 3 ⋅ XQ + XT ) = 1,10 ⋅ 15 3 ⋅ (0,20 + 1,87 ) = 4,6 kA dwie cyfry znaczące Zasady poprawnej prezentacji obliczeń l) Wpisując wartości liczbowe do wzoru należy je wpisywać dokładnie w tej kolejności, w tych miejscach, gdzie występują odpowiadające im oznaczenia wielkości w poprzedzającym wzorze ogólnym. 2) W miarę możności należy wpisywać do wzoru wartości przybliżone bez cyfr zbędnych (w ostatnim wzorze znalazła się wartość 0,20, a nie 0,200, bo ma być ona dodana do liczby 1,87 o dwóch cyfrach znaczących po przecinku). 3) Podstawiając dane liczbowe do wzoru należy wpisywać w arkuszach obliczeń i wprowadzać do kalkulatora lub komputera liczby dokładne: 3 , 2 , π, e…, a nie ich przybliżenia. 6 Pytania kontrolne 1. Podać zaokrąglenia następujących liczb, zawierające odpowiednio 6, 5, 4, 3 i 2 cyfry znaczące: π e 0,1735000 248789731 700001500 2 2/3 15,454601 (uważnie!) 2. Zaokrąglić do pierwszego miejsca dziesiętnego liczby: 0,05 0,75 0,85 0,450 1,17 3,25002 3. Obliczyć: 12,5 + 1,7432 = 12,5 – 1,7432 = 1,7432 – 12,5 = 2,5 – 0,0004 = 2,5 + 0,0004 = 8,74521⋅π = 8,745⋅π = 2 ⋅ 8,7452 = 2,12 ⋅ 8,7452 = 8,7452 : 2 = 8,7452 : 2,1 = 8,74522 = 8,74523 = 8,752 = 8,72 + 8,74522 + 2,1750 – 3,7 ⋅ 4,512 = 4. W przepisach o ochronie przeciwporażeniowej można napisać, że – w określonych warunkach – największy dopuszczalny czas trwania napięcia dotykowego 50 V wynosi 5,0 s albo można napisać, że wynosi on 5 s. Jakie są konsekwencje tej różnicy w zapisie wymagania przepisowego? 7 5. Która z podanych wersji zapisu warunków technicznych odbioru wyrobów jest niepoprawna? 1 2 3 a 17 ± 0,2 czy 17,0 ± 0,2 czy 17,00 ± 0,2 b 46,4 ± 0,15 czy 46,40 ± 0,15 czy 46,402 ± 0,15 c 80,555 kg ± 2 g czy 80,555 ± 0,002 kg d 5 mm ± 2 % czy 5,0 ± 0,1 mm 6. W przypadku wielkości związanych zależnością potęgową y = k ⋅ xm niewielka zmiana wielkości x o p [%] wywołuje zmianę w tym samym kierunku wielkości y w przybliżeniu o m⋅p [%]. Uzasadnić tę prawidłowość i określić popełniany błąd. Przykład: obniżenie napięcia zasilającego silnik indukcyjny o 3 % wywołuje ceteris paribus zmniejszenie momentu napędowego o około 2⋅3 = 6 %, jako że T = k⋅U2. 7. Dwoma woltomierzami analogowymi klasy 1,5, o zakresie pomiarowym 300 V, pomierzono jednocześnie napięcie na początku i na końcu linii, by określić występujący w niej spadek napięcia: 230 – 220 = 10 V. Określić górny kres błędu tego obliczenia, jego wartość bezwzględną i wartość względną). 8 Odpowiedzi na pytania kontrolne 1. Podać zaokrąglenia następujących liczb, zawierające odpowiednio 6, 5, 4, 3 i 2 cyfry znaczące: 6 cyfr 5 cyfr 4 cyfry 3 cyfry 2 cyfry π = 3,14159265 3,14159 3,1416 3,142 3,14 3,1 e = 2,71828183 2,71828 2,7183 2,718 2,72 2,7 2 = 1,41421356 1,41421 1,4142 1,414 1,41 1,4 2/3 = 0,666666667 0,666667 0,66667 0,6667 0,667 0,67 0,1735000 0,173500 0,17350 3 0,1735 4 0,174 5 0,17 6 25⋅107 248789731 248790⋅10 24879⋅10 700001500 700002⋅103 70000⋅104 7000⋅105 700⋅106 70⋅107 15,454601 15,4546 15,455 15,45 15,5 15 2488⋅10 249⋅10 2. Zaokrąglić do pierwszego miejsca dziesiętnego liczby: 0,05 → 0,0 0,450 → 0,4 0,75 → 0,8 1,17 → 1,2 0,85 → 0,8 3,25002 → 3,3 3. Obliczyć: 12,5 + 1,7432 = 14,2 12,5 – 1,7432 = 10,8 1,7432 – 12,5 = – 10,8 2,5 – 0,0004 = 2,5 2,5 + 0,0004 = 2,5 8,74521⋅π = 27,4739 8,745⋅π = 27,47 2 ⋅ 8,7452 = 17,490 2,12 ⋅ 8,7452 = 18,5 8,7452 : 2 = 4,3726 8,7452 : 2,1 = 4,2 8,74522 = 76,479 8,74523 = 668,82 8,752 = 76,6 8,72 + 8,74522 + 2,1750 – 3,7 ⋅ 4,512 = 75,7 +76,4785 + 2,1750 – 16,7 = 137 9 4. W przepisach o ochronie przeciwporażeniowej można napisać, że – w określonych warunkach – największy dopuszczalny czas trwania napięcia dotykowego 50 V wynosi 5,0 s albo można napisać, że wynosi on 5 s. Jakie są konsekwencje tej różnicy w zapisie wymagania przepisowego? W pierwszym wypadku (5,0 s) niedopuszczalny jest czas trwania napięcia dotykowego, który – po zaokrągleniu do pierwszego miejsca dziesiętnego – byłby większy niż 5,0 s, tzn. czas t > 5,05 s. W drugim wypadku (5 s) niedopuszczalny jest czas trwania napięcia dotykowego, który – po zaokrągleniu do jedności – byłby większy niż 5 s, tzn. czas t ≥ 5,5 s. 5. Która z podanych wersji zapisu warunków technicznych odbioru wyrobów jest niepoprawna? Niepoprawne są wersje przekreślone (kolumny skrajne 1 oraz 3): 1 2 3 a 17 ± 0,2 17,0 ± 0,2 17,00 ± 0,2 b 46,4 ± 0,15 46,40 ± 0,15 46,402 ± 0,15 c 80,555 kg ± 2 g 80,555 ± 0,002 kg d 5 mm ± 2 % 5,0 ± 0,1 mm 6. W przypadku wielkości związanych zależnością potęgową y = k ⋅ xm niewielka zmiana wielkości x o p [%] wywołuje zmianę w tym samym kierunku wielkości y w przybliżeniu o m⋅p [%]. Uzasadnić tę prawidłowość i określić popełniany błąd. Jeżeli względna wartość wielkości x wynosi (1± p), to względna wartość wielkości y wynosi (1 ± p)m, co po rozpisaniu w szereg potęgowy Maclaurina daje wyrażenie: (1 ± p )m = 1 ± m ⋅ p + m ⋅ (m − 1) ⋅ p 2 ± m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2) ⋅ p 3 + m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2) ⋅ (m − 3) ⋅ p 4 ± ... 2! 3! 4! Uproszczenie, o którym mowa, polega na wzięciu z powyższego rozwinięcia tylko dwóch pierwszych wyrazów, polega na linearyzacji przebiegu badanej zależności w pobliżu wybranego punktu działania, na ogół w pobliżu znamionowych warunków pracy. Biegłe przyswojenie tych prawidłowości bardzo się przydaje, kiedy nie ma warunków do przeprowadzania ścisłych obliczeń, a duża dokładność nie jest konieczna. Pamiętać przy tym trzeba, że bada się wpływ zmiany tylko jednego parametru przy milczącym założeniu, że inne warunki działania pozostają niezmienne. Pamiętać też trzeba, że takie szacowanie jest dopuszczalne tylko przy niewielkich względnych odchyleniach od stanu wyjściowego, na przykład nieprzekraczających ± 5 % przy zwykle spotykanych wartościach wykładników potęgowych. Przykład 1. Powszechnie wiadomo, że moment napędowy silnika indukcyjnego jest proporcjonalny do kwadratu napięcia (T = k⋅U2). Na pytanie, jak się wobec tego zmieni moment napędowy takiego silnika przy obniżeniu napięcia o 5 % można niekiedy usłyszeć pochopną i błędną odpowiedź, że zmniejszy się o 52 = 25 %. Poprawne oszacowanie brzmi, że zmniejszy się o m⋅p = 2⋅5 = 10 %. Ściślejsze obliczenie wykaże, że zmniejszy się o (1 – 0,952)⋅100 = (1 – 0,9025)⋅100 = 9,75 % → 9,8 %. Przykład 2: Inż. Józef Bonin z Instytutu Energetyki w Gdańsku wykazał, że w zakresie częstotliwości 50÷47,5 Hz moc czynna pobierana przez ogół napędów potrzeb własnych w pełni obciążonego bloku 360 MW Elektrowni Bełchatów (bez pompy wody zasilającej napędzanej turbiną parową) jest funkcją potęgową częstotliwości napięcia zasilającego o postaci P = k⋅f 2,715, a w przybliżeniu: P = k⋅f 2,7. Podobne zależności mają kapitalne znaczenie przy analizowaniu stabilności systemu w warunkach awaryjnego obniżenia częstotliwości, niedoboru mocy czynnej i zabiegów zmierzających do utrzymania pracy elektrowni. Na pytanie, jak zmieni się moc potrzeb własnych przy obniżeniu częstotliwości o 3 % (do poziomu 48,5 Hz) można odpowiedzieć błyskawicznie: zmaleje o m⋅p = 2,7⋅3 = 8,1 %. Odpowiedź jest wystarczająco trafna, skoro wynikiem dokładnego obliczenia jest wartość: (1 – 0,972,7)⋅100 = (1 – 0,921)⋅100 = 7,895 % → 7,9 %. 10 7. Dwoma woltomierzami analogowymi klasy 1,5, o zakresie pomiarowym 300 V, pomierzono jednocześnie napięcie na początku i na końcu linii, by określić występujący w niej spadek napięcia: 230 – 220 = 10 V. Określić górny kres błędu tego obliczenia, jego wartość bezwzględną i wartość względną). Spadek napięcia obliczono następująco: ΔU = U1 – U2 = 230 – 220 = 10 V Błąd bezwzględny pomiaru każdego z napięć wynosi 1,5 % zakresu pomiarowego 300 V (w mierniku analogowym decydujące znaczenie ma błąd tarciowy, praktycznie niezależny od wychylenia wskazówki, a zatem niezależny od wartości wskazywanej): Δ(U1) = Δ(U2) = 0,015⋅300 = 4,5 V Górny kres błędu obliczenia spadku napięcia wynosi: błąd bezwzględny: Δ(ΔU) = Δ(U1) + Δ(U2) = 4,5 + 4,5 = 9,0 V a błąd względny: Δ (ΔU ) 9,0 = = 0,9 = 90 % ΔU 10 Uzyskany wynik: ΔU = 10 ± 9 V, to znaczy ΔU = 1 ÷ 19 V, nie przedstawia żadnej wartości. Tak kończą się pomiary polegające na odejmowaniu dwóch wielkości o zbliżonej wartości. Literatura 1. Bronsztejn I. N., Siemiendiajew K. A.: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. PWN, Warszawa 1968. 2. Położy G. N. i inni: Metody przybliżonych obliczeń. WNT, Warszawa 1966. 3. Wilkinson J. H.: Błędy zaokrągleń w procesach algebraicznych. PWN, Warszawa 1967. 4. PN-68/N-01050: Podstawowe oznaczenia matematyczne (w roku 2007 norma nadal aktualna). 5. PN-70/N-02120: Zasady zaokrąglania i zapisywania liczb (w roku 2007 norma nadal aktualna). Dane bibliograficzne: Musiał E.: Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych. Biul. SEP INPE „Informacje o normach i przepisach elektrycznych”, 2007, nr 93-94, s. 104-115. 11