Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.20 2011 Zawartość Zawartość 1. Tworzenie szeregu rozdzielczego przedziałowego (klasowego) ...... 3 2. Podstawowy opis struktury ............................................................... 3 3. Opis rozkładu jednej cechy — szereg szczegółowy.......................... 4 4. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami bezwzględnymi ...................................................................................... 6 5. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami względnymi ............................................................................................ 8 6. Opis rozkładu cechy — szereg przedziałowy z częstościami bezwzględnymi ...................................................................................... 10 7. Opis rozkładu jednej cechy — szereg przedziałowy z częstościami względnymi ............................................................................................ 12 8. Opis zjawisk dynamicznych............................................................... 14 9. Opis rozkładu dwóch cech ................................................................ 16 10. Funkcje statystyczne w MS Excel i OpenOffice Calc ...................... 17 10. Rozkład normalny ........................................................................... 18 11. Dystrybuanta rozkładu normalnego ............................................... 19 © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 2 [email protected] 1. Tworzenie szeregu rozdzielczego przedziałowego (klasowego) 1. Tworzenie szeregu rozdzielczego przedziałowego (klasowego) Tab. 1 1 2 Tworzenie szeregu klasowego Obszar zmienności R = x − x Liczba przedziałów (klas (klas) klas) R N liczebność zbiorowości k ≈ N k Oznaczenia xmax , xmin największa i najmniejsza wartość cechy R k Szerokość przedziału (klasy (klasy) klasy) 3 h= h 2. Podstawowy opis struktury Tab. 2 1 Podstawowa analiza struktury Wskaźniki struktury (częstości względne) wi n w = (∙ 100%) N wp liczebność zbiorowości w = min(w ; w ) © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 3 N ni Wskaźnik podobieństwa struktur 2 Oznaczenia [email protected] częstość bezwzględna dla danej wartości cechy (w1 ; w2)i wskaźniki porównywanych struktur dla i-tej wartości cechy 3. Opis rozkładu jednej cechy — szereg szczegółowy 3. Opis rozkładu jednej cechy — szereg szczegółowy Oznaczenia Tab. 3 Momenty z próby k-ty moment zwykły x m = N liczebność zbiorowości xi 1 N mk i-ta wartość cechy w szeregu xmax , xmin największa i najmniejsza wartość cechy 2 N µk Tab. 4 1 k-ty moment centralny (x − x) μ = Miary tendencji centralnej Średnia (arytmetyczna (arytmetyczna) arytmetyczna) x = m = xśr x 2 Do x N Dominanta Wartość cechy występująca najczęściej Mediana 3 Me Q2 Wartość środkowa (gdy N nieparzyste) lub średnia wartości środkowych (N parzyste) Tab. 5 1 Q1 Kwartyle Pierwszy kwartyl Mediana dla pierwszej połowy zbiorowości 2 Q3 Trzeci kwartyl Mediana dla drugiej połowy zbiorowości Tab. 6 1 Miary zróżnicowania Obszar zmienności R = x − x R #x − x# N Odchylenie przeciętne 2 d= d (x − x) N Wariancja (z populacji) 3 4 s2 ŝ2 s = μ = Wariancja skorygowana (z próby) (x − x) © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok s% = 4 N−1 [email protected] 3. Opis rozkładu jednej cechy — szereg szczegółowy Tab. 6 5 s Miary zróżnicowania Odchylenie standardowe (z populacji) s = &s = ' (x − x) N Odchylenie standardowe skorygowane (z próby) 6 ŝ s% = &s% = ' (x − x) N−1 Jednostka typowa 7 x() = x ± s xtyp Q , − Q 2 Odchylenie ćwiartkowe 8 Tab. 7 1 Q= Q Współczynniki zmienności Oparty na odch. przeciętnym V/ = Vd d (∙ 100%) x s (∙ 100%) x Oparty na odch. standardowym 2 V0 = Vs Q (∙ 100%) Me Oparty na odch. ćwiartkowym 3 Tab. 8 1 Miary asymetrii i koncentracji Współczynnik asymetrii (skośności) prosty A0 = As 2 As 3 AQ 4 V1 = VQ K x − Do s Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny (x − x), μ, A0 = , = s N ∙ s, Współczynnik asymetrii pozycyjny A1 = Q, + Q − 2Me Q , − Q (x − x)9 μ9 K= 9 −3= −3 s N ∙ s9 © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 5 Kurtoza [email protected] 4. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami bezwzględnymi 4. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami bezwzględnymi Tab. 9 Oznaczenia N liczebność zbiorowości 1 Momenty z próby k-ty moment zwykły x n m = N mk xi k-ty moment centralny (x − x) n μ = i-ta wartość cechy w szeregu ni częstość bezwzględna i-tej wartości cechy 2 N µk xmax , xmin największa i najmniejsza wartość cechy Tab. 10 1 Miary tendencji centralnej Średnia (arytmetyczna (arytmetyczna) arytmetyczna) x = m = xśr x 2 3 Do Me Q2 Tab. 11 1 Q1 2 Q3 Dominanta Wartość cechy występująca najczęściej Mediana Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż numer mediany, równy: NrMe = N / 2 zaokrąglony w górę do pełnych jednostek Kwartyle Pierwszy kwartyl Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż numer kwartyla, równy: NrQ1 = N / 4 zaokrąglony w górę do pełnych jednostek Trzeci kwartyl Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż numer kwartyla, równy: NrQ3 = 3N / 4 zaokrąglony w górę do pełnych jednostek Tab. 12 1 x n N R Miary zróżnicowania Obszar zmienności R = x − x #x − x#n N Odchylenie przeciętne 2 d © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok d= 6 [email protected] 4. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami bezwzględnymi Tab. 12 3 Miary zróżnicowania Wariancja s = μ = s2 (x − x) n N Odchylenie standardowe 4 s s = &s = ' (x − x) n N Jednostka typowa 5 x() = x ± s xtyp Q , − Q 2 Odchylenie ćwiartkowe 6 Q= Q Tab. 13 1 Współczynniki zmienności Oparty na odch. przeciętnym V/ = Vd d (∙ 100%) x s (∙ 100%) x Oparty na odch. standardowym 2 V0 = Vs Q (∙ 100%) Me Oparty na odch. ćwiartkowym 3 Tab. 14 1 Miary asymetrii i koncentracji Współczynnik asymetrii (skośności) prosty A0 = As 2 As 3 AQ 4 V1 = VQ K x − Do s Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny (x − x), n μ, A0 = , = s N ∙ s, Współczynnik asymetrii pozycyjny A1 = K= Q, + Q − 2Me Q , − Q (x − x)9 n μ9 − 3 = −3 s9 N ∙ s9 © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 7 Kurtoza [email protected] 5. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami względnymi 5. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami względnymi Oznaczenia Tab. 15 Momenty z próby k-ty moment zwykły m = x w N liczebność zbiorowości xi 1 mk i-ta wartość cechy w szeregu wi częstość względna i-tej wartości cechy k-ty moment centralny 2 μ = (x − x) w µk xmax , xmin największa i najmniejsza wartość cechy Tab. 16 1 Miary tendencji centralnej Średnia (arytmetyczna (arytmetyczna) arytmetyczna) x = m = x w xśr x 2 Do Dominanta Wartość cechy występująca najczęściej Me Q2 Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż 0,50 lub 50%. 50% Tab. 17 Kwartyle Pierwszy kwartyl Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż 0,25 lub 25% 25 Trzeci kwartyl Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana jest równa lub większa niż 0,75 lub 75% 75 Mediana 3 1 Q1 2 Q3 Tab. 18 1 Miary zróżnicowania Obszar zmienności R = x − x R Odchylenie przeciętne 2 d = #x − x#w d Wariancja 3 s2 s = μ = (x − x) w © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 8 [email protected] 5. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami względnymi Tab. 18 4 s Miary zróżnicowania Odchylenie standardowe s = &s = ;(x − x) w Jednostka typowa 5 x() = x ± s xtyp Q , − Q 2 Odchylenie ćwiartkowe 5 Q= Q Tab. 19 1 Współczynniki zmienności Oparty na odch. przeciętnym V/ = Vd d (∙ 100%) x s (∙ 100%) x Oparty na odch. standardowym 2 V0 = Vs Q (∙ 100%) Me Oparty na odch. ćwiartkowym 3 Tab. 20 1 Miary asymetrii i koncentracji Współczynnik asymetrii (skośności) prosty A0 = As 2 As 3 AQ 4 V1 = VQ K x − Do s Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny (x − x), w μ, A0 = , = s s, Współczynnik asymetrii pozycyjny A1 = K= Q, + Q − 2Me Q , − Q (x − x)9 w μ9 − 3 = −3 s9 s9 © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 9 Kurtoza [email protected] 6. Opis rozkładu cechy — szereg przedziałowy z częstościami bezwzględnymi 6. Opis rozkładu cechy — szereg przedziałowy z częstościami bezwzględnymi Oznaczenia Tab. 21 Momenty z próby k-ty moment zwykły x< n m = N E< F liczebność zbiorowości 1 N mk środek i-tego przedziału (klasy) ni częstość bezwzględna i-tego przedziału 2 k-ty moment centralny (x< − x) n μ = N µk xmax , xmin największa i najmniejsza wartość cechy Tab. 22 xD , xM , xQ1 , xQ3 początek przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 1 x 2 Do 3 Me Q2 nD-1 częstość bezwzględna przedziału poprzedzającego przedział dominanty Tab. 23 nD+1 częstość bezwzględna przedziału następującego po przedziale dominanty nskM-1 , nskQ1-1 , nskQ3-1 1 Q1 częstość bezwzględna skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 Do = x= + x< n N (n= − n=> )h= (n= − n=> ) + (n= − n=? ) Dominanta nD , nM , nQ1 , nQ3 częstość bezwzględna przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 x = m = xśr hD , hM , hQ1 , hQ3 szerokość (rozpiętość) przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 Miary tendencji centralnej Średnia (arytmetyczna (arytmetyczna) arytmetyczna) Mediana Należy znaleźć numer mediany NrMe NrMe = N / 2, 2 a następnie Me = x@ + h@ (Nr@B − n0 @> ) n@ Kwartyle Pierwszy kwartyl Należy znaleźć numer kwartyla NrQ1 NrQ1 = N / 4, a następnie Q1 = x1 + h1 CNr1 − n0 1> D n1 Q3 = x1, + h1, CNr1, − n0 1,> D n1, Trzeci kwartyl Należy znaleźć numer kwartyla NrQ3 NrQ3 = 3N / 4, a następnie 2 Q3 Tab. 24 1 R © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok Miary zróżnicowania Obszar zmienności R = x − x 10 [email protected] 6. Opis rozkładu cechy — szereg przedziałowy z częstościami bezwzględnymi Tab. 24 2 3 Miary zróżnicowania Odchylenie przeciętne d= d #x< − x#n N s = μ = s2 (x< − x) n N Wariancja Odchylenie standardowe 4 s s = &s = ' (x< − x) n N x() = x ± s Odchylenie ćwiartkowe Jednostka typowa 5 xtyp 6 Q Q= Tab. 25 1 Q , − Q 2 Współczynniki zmienności Oparty na odch. przeciętnym V/ = Vd d (∙ 100%) x s (∙ 100%) x Oparty na odch. standardowym 2 V0 = Vs Q (∙ 100%) Me Oparty na odch. ćwiartkowym 3 Tab. 26 1 Miary asymetrii i koncentracji Współczynnik asymetrii (skośności) prosty A0 = As 2 As 3 AQ 4 V1 = VQ K x − Do s Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny (x< − x), n μ, A0 = , = s N ∙ s, Współczynnik asymetrii pozycyjny A1 = K= Q, + Q − 2Me Q , − Q (x< − x)9 n μ9 − 3 = −3 s9 N ∙ s9 © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 11 Kurtoza [email protected] 7. Opis rozkładu jednej cechy — szereg przedziałowy z częstościami względnymi 7. Opis rozkładu jednej cechy — szereg przedziałowy z częstościami względnymi Tab. 27 Oznaczenia N E< F liczebność zbiorowości 1 Momenty z próby k-ty moment zwykły m = x< w mk środek i-tego przedziału (klasy) wi częstość względna i-tego przedziału k-ty moment centralny 2 μ = (x< − x) w µk xmax , xmin największa i najmniejsza wartość cechy xD , xM , xQ1 , xQ3 początek przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 Tab. 28 1 x = m = x< w xśr x 2 Do Do = x= + wD , wM , wQ1 , wQ3 częstość względna przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 3 Me Q2 częstość względna przedziału poprzedzającego przedział dominanty Me = x@ + Tab. 29 wD+1 1 Q1 h@ (Nr@B − w0 @> ) w@ Kwartyle Pierwszy kwartyl NrQ1 = 0,25 lub NrQ1 = 25% częstość względna przedziału następującego po przedziale dominanty częstość względna skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 Mediana NrMe = 0,5 lub NrMe = 50% wD-1 wskM-1 , wskQ1-1 , wskQ3-1 (w= − w=> )h= (w= − w=> ) + (w= − w=? ) Dominanta hD , hM , hQ1 , hQ3 szerokość (rozpiętość) przedziału dominanty, mediany, kwartyla 1, kwartyla 3 Miary tendencji centralnej Średnia (arytmetyczna) Q1 = x1 + h1 CNr1 − w0 1> D w1 Q3 = x1, + h1, CNr1, − w0 1,> D w1, Trzeci kwartyl NrQ3 = 0,75 lub NrQ3 = 75% 2 Q3 © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 12 [email protected] 7. Opis rozkładu jednej cechy — szereg przedziałowy z częstościami względnymi Tab. 30 1 Miary zróżnicowania Obszar zmienności R = x − x R Odchylenie przeciętne 2 d = #x< − x#w d Wariancja 3 s2 s = μ = (x< − x) w Odchylenie standardowe 4 s s = &s = ;(x< − x) w x() = x ± s Odchylenie ćwiartkowe Jednostka typowa 5 xtyp 6 Q Q= Tab. 31 1 Q , − Q 2 Współczynniki zmienności Oparty na odch. przeciętnym V/ = Vd d (∙ 100%) x s (∙ 100%) x Oparty na odch. standardowym 2 V0 = Vs Q (∙ 100%) Me Oparty na odch. ćwiartkowym 3 Tab. 32 2 Miary asymetrii i koncentracji Współczynnik asymetrii (skośności) prosty A0 = As 3 As 4 AQ 5 V1 = VQ K x − Do s Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny (x< − x), w μ, A0 = , = s s, Współczynnik asymetrii pozycyjny A1 = K= Q, + Q − 2Me Q , − Q (x< − x)9 w μ9 − 3 = −3 s9 s9 © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 13 Kurtoza [email protected] 8. Opis zjawisk dynamicznych 8. Opis zjawisk dynamicznych Oznaczenia yt wartość zjawiska w czasie t Tab. 33 1 ∆yt/t-1 2 ∆yt/t0 3 dyt/t-1 t okres analizowany t-1 okres bezpośrednio poprzedzający t0 Miary indywidualne Przyrosty bezwzględne łańcuchowe ∆y(/(> = y( − y(> Przyrosty bezwzględne jednopodstawowe ∆y(/(J = y( − y(J Przyrosty względne łańcuchowe dy(/(> = okres bazowy y( − y(> y(> y( − y(J y(J Przyrosty względne jednopodstawowe 4 5 iyt/t-1 6 iyt/t0 7 iśry Oznaczenia Indeksy indywidualne łańcuchowe y( iy(/(> = y(> Indeksy indywidualne jednopodstawowe y( iy(/(J = y(J Średniookresowe tempo zmian i0K y = M&i ∙ i ∙ i, ∙ ⋯ ∙ i (średnia geometryczna indeksów) Tab. 34 q0i ilość i-tego składnika agregatu w okresie wcześniejszym dy(/(J = dyt/t0 1 W 2 IW q1i ilość i-tego składnika agregatu w okresie późniejszym Tab. 35 p1i cena jednostkowa i-tego składnika agregatu w okresie późniejszym W = q p q p qJ pJ Agregatowy indeks wartości p0i cena jednostkowa i-tego składnika agregatu w okresie wcześniejszym Miary agregatowe Wartość agregatu 1 Iq L IR = Formuły Laspeyresa Agregatowy indeks ilości IST = q pJ qJ pJ qJ p qJ pJ Agregatowy indeks cen 2 IpL © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok IT = 14 [email protected] 8. Opis zjawisk dynamicznych Tab. 36 1 Formuły Paaschego Agregatowy indeks ilości ISU = Iq P q p qJ p q p q pJ Agregatowy indeks cen 2 IU = IpP Tab. 37 1 Formuły Fishera Agregatowy indeks ilości ISV = ;IST ∙ ISU Iq F Agregatowy indeks cen 2 Tab. 38 1 IV = ;IT ∙ IU IpF a1 Tendencja rozwojowa (trend) Współczynnik trendu liniowego t ∙ y t y − n ( t ) t − n a = Przecięcie (wyraz wolny) 2 a0 © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok aJ = y − a t 15 [email protected] Oznaczenia ti i-ty okres czasu yi wartość zjawiska w i-tym okresie czasu n ilość obserwacji 9. Opis rozkładu dwóch cech Oznaczenia 9. Opis rozkładu dwóch cech xi Tab. 39 wartość cechy X u i-tej jednostki Stosunek dwóch cech Wskaźniki natężenia w = yi wartość cechy Y u i-tej jednostki 1 Oznaczenia wn Tab. 40 xi i-ta wartość cechy X 1 yi r i-ta wartość cechy Y di i-ta różnica rang cech X i Y n 2 ilość obserwacji rs ŷi i-ta wartość cechy y obliczona z funkcji regresji (wartość teoretyczna) Tablica korelacyjna do obliczeń φ Cecha Y wartość 1 Cecha Y wartość 2 Suma a b e=a+b c d f=c+d g=a+c h=b+d N Miary zależności Współczynnik korelacji liniowej Pearsona (x − x)(y − y) r= & (x − x) & (y − y) Współczynnik korelacji rang Spearmana 6 d r0 = 1 − n(n − 1) ad − bc Współczynnik asocjacji 3 Cecha X Cecha X wartość wartość Suma 1 2 x y φ= φ Tab. 41 &efgh Regresja liniowa Równanie funkcji regresji y = aJ + a x + ε y% = aJ + a x lub 1 (x − x)(y − y) (x − x) Współczynnik regresji liniowej 2 a1 a = Przecięcie (wyraz wolny) aJ = y − a x a, b, c, d częstości bezwzględne wystąpienia danej kombinacji wartości cech 3 a0 Tab. 42 1 Dopasowanie funkcji regresji Współczynnik determinacji r2 r = (r) Odchylenie standardowe składnika resztowego 2 se © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok sB = ' 16 (y − y) n−2 [email protected] 10. Funkcje statystyczne w MS Excel i OpenOffice Calc 10. Funkcje statystyczne w MS Excel i OpenOffice Calc Funkcja Zliczanie proste Zliczanie proste Zliczanie rozdzielcze Zliczanie warunkowe Zlicza komórki zawierające liczby ILE.NIEPUSTYCH(zakres) Zlicza niepuste komórki Oba arkusze proponują podobne zestawy funkcji statystycznych. Brak uwag w tabeli oznacza, że nazwy funkcji, ich składnie i argumenty są w obu programach identyczne. CZESTOŚĆ(zakres; tablica_przedziałów) Kwalifikuje dane z zakresu do przedziałów i zlicza częstość każdego z nich LICZ.JEŻELI (zakres; kryterium) Zlicza komórki w zakresie, które spełniają określone kryterium. Średnia Dominanta Objaśnienia ILE.LICZB(zakres) ŚREDNIA(zakres) WYST.NAJCZĘŚCIEJ(zakres) Postać danych Dane niezbędne do obliczeń mają postać relacyjną — kolumny tabeli odpowiadają cechom, a wiersze poszczególnym jednostkom statystycznym. Znajduje wartość najczęściej występująca, w przypadku kilku wartości, występujących równie często, zgłasza błąd. Mediana MEDIANA(zakres) KWARTYL(zakres; nr_kwartyla) Kwartyle W MS Excel argumenty noszą nazwę (tablica; kwartyl). W OpenOffice Calc nazywają się one (dane; typ). Percentyle Oblicza k-ty percentyl z zakresu, k to liczba z przedziału 0–1, a więc dla 37 percentyla k=0,37. W OpenOffice Calc argument k nosi nazwę alfa. Minimum MIN(zakres) Maksimum MAX(zakres) PERCENTYL(zakres; k) Odchylenie przeciętne Zakres Zakres oznacza odwołanie do komórek zawierających dane (A2:A6). Zamiast zakresu można wprowadzić listę danych oddzielonych średnikami. ODCH.ŚREDNIE(zakres) Przykłady WARIANCJA(zakres) Wariancja Oblicza wariancję (z próby) wg wzoru skorygowanego (n-1). WARIANCJA.POPUL(zakres) Oblicza wariancję (z populacji) wg zwykłego wzoru (n). ODCH.STANDARDOWE(zakres) Odchylenie standardowe Oblicza odchylenie (z próby) wg wzoru skorygowanego. ODCH.STANDARD.POPUL(zakres) Oblicza odchylenie (z populacji) wg zwykłego wzoru. Współczynnik asymetrii SKOŚNOŚĆ(zakres) Kurtoza KURTOZA(zakres) Średnia geometryczna geometryczna Współczynnik trendu liniowego Współczynniki regresji liniowej ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA(zakres) REGLINP(zakres_Y;zakres_T) REGLINP(zakres_Y;zakres_X) Dla regresji liniowej, należy stosować formułę tablicowo, w dwóch komórkach obok siebie. W pierwszej komórce obliczany jest współczynnik a1, w drugiej — a0. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona Wartość dystrybuanty rozkładu normalnego standardowego © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok WSP.KORELACJI(zakres_Y;zakres_X) ROZKŁAD.NORMALNY.S(Z) 17 [email protected] Średni wiek =ŚREDNIA(B2:B6) wynik: 34,4 Odch. standardowe wieku = ODCH.STANDARD.POPUL(B2:B6) wynik: 11,9 Współczynnik korelacji miedzy wiekiem a dochodami =WSP.KORELACJI(B2:B6;C2:C6) wynik: –0,89 11. Rozkład normalny 11. Rozkład normalny Funkcja gęstości rozkładu normalnego Oznaczenia Funkcja gęstości rozkładu normalnego dana jest wzorem: f(x) = Parametry rozkładu N(m, σ) m średnia (jednocześnie maksimum funkcji) σ odchylenie standardowe zmiennej 1 σ2π >(>)b cb e Właściwość funkcji gęstości Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny z parametrami m i σ, przyjmie wartości wartości z przedziału [A ; B], B], jest równe polu powierzchni (całce oznaczonej) pod wykresem funkcji gęstości pomiędzy punktami A i B. k P(X ∈ gA; Bi) = j f(x)dx l f(x) σ A m Prawdopodobieństwo, że zmienna przyjmie wartość z przedziału [A;B] jest równe polu pod wykresem funkcji gęstości w tym przedziale B Rozkład normalny standardowy Rozkład normalny standardowy to rozkład normalny z parametrami m = 0 i σ = 1. Jeżeli zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym σ, to prawdopodobień prawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość z przedziału [A ; B], B], jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna standardowa Z przyjmie wartości z przedziału [A’ ; B’]: B’]: mAn = A−m B−m ; Bn = o σ σ Ten zabieg matematyczny nazywa się standaryzacją zmiennej. zmiennej © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 18 [email protected] 12. Dystrybuanta rozkładu normalnego 12. Dystrybuanta rozkładu normalnego Tablica zawiera wartości F(z) — dystrybuanty rozkładu normalnego, standardowego z parametrami m=0 (średnia) i σ=1 (odchylenie standardowe). Wartość dystrybuanty w punkcie z to pole pod krzywą gęstości rozkładu normalnego w przedziale od -∞ do z. F(z) — pole pod krzywą N(0;1) od -∞ do z Prawdopodobieństwo, że Z należy do przedziału [A; B]: P(Z ∈ gA; Bi) = F(B) − F(A) Wartości F dla ujemnych z: F(−z) = 1 − F(z) z z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,1 0,5000 0,5398 0,5040 0,5438 0,5080 0,5478 0,5120 0,5517 0,5160 0,5557 0,5199 0,5596 0,5239 0,5636 0,5279 0,5675 0,5319 0,5714 0,5359 0,5753 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,5832 0,6217 0,6591 0,6950 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0,8577 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 1,1 1,2 1,3 0,8643 0,8849 0,9032 0,8665 0,8869 0,9049 0,8686 0,8888 0,9066 0,8708 0,8907 0,9082 0,8729 0,8925 0,9099 0,8749 0,8944 0,9115 0,8770 0,8962 0,9131 0,8790 0,8980 0,9147 0,8810 0,8997 0,9162 0,8830 0,9015 0,9177 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9319 0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 1,9 2,0 2,1 0,9713 0,9772 0,9821 0,9719 0,9778 0,9826 0,9726 0,9783 0,9830 0,9732 0,9788 0,9834 0,9738 0,9793 0,9838 0,9744 0,9798 0,9842 0,9750 0,9803 0,9846 0,9756 0,9808 0,9850 0,9761 0,9812 0,9854 0,9767 0,9817 0,9857 2,2 2,3 2,4 2,5 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9864 0,9896 0,9920 0,9940 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9884 0,9911 0,9932 0,9949 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 2,6 2,7 2,8 2,9 3,3 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982 0,9987 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983 0,9988 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984 0,9988 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984 0,9989 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985 0,9989 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985 0,9989 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986 0,9990 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986 0,9990 3,1 3,2 3,3 0,9990 0,9993 0,9995 0,9991 0,9993 0,9995 0,9991 0,9994 0,9995 0,9991 0,9994 0,9996 0,9992 0,9994 0,9996 0,9992 0,9994 0,9996 0,9992 0,9994 0,9996 0,9992 0,9995 0,9996 0,9993 0,9995 0,9996 0,9993 0,9995 0,9997 3,4 3,5 0,9997 0,9998 0,9997 0,9998 0,9997 0,9998 0,9997 0,9998 0,9997 0,9998 0,9997 0,9998 0,9997 0,9998 0,9997 0,9998 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 © 2011 dr inż. Grzegorz Biesok 19 [email protected]