Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.20 2011

Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.20 2011
Zawartość
Zawartość
1. Tworzenie szeregu rozdzielczego przedziałowego (klasowego) ...... 3
2. Podstawowy opis struktury ............................................................... 3
3. Opis rozkładu jednej cechy — szereg szczegółowy.......................... 4
4. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami
bezwzględnymi ...................................................................................... 6
5. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami
względnymi ............................................................................................ 8
6. Opis rozkładu cechy — szereg przedziałowy z częstościami
bezwzględnymi ...................................................................................... 10
7. Opis rozkładu jednej cechy — szereg przedziałowy z częstościami
względnymi ............................................................................................ 12
8. Opis zjawisk dynamicznych............................................................... 14
9. Opis rozkładu dwóch cech ................................................................ 16
10. Funkcje statystyczne w MS Excel i OpenOffice Calc ...................... 17
10. Rozkład normalny ........................................................................... 18
11. Dystrybuanta rozkładu normalnego ............................................... 19
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
2
[email protected]
1. Tworzenie szeregu rozdzielczego przedziałowego (klasowego)
1. Tworzenie szeregu rozdzielczego
przedziałowego (klasowego)
Tab. 1
1
2
Tworzenie szeregu klasowego
Obszar zmienności
R = x − x
Liczba przedziałów (klas
(klas)
klas)
R
N
liczebność zbiorowości
k ≈ N
k
Oznaczenia
xmax , xmin
największa i najmniejsza
wartość cechy
R
k
Szerokość przedziału (klasy
(klasy)
klasy)
3
h=
h
2. Podstawowy opis struktury
Tab. 2
1
Podstawowa analiza struktury
Wskaźniki struktury
(częstości względne)
wi
n
w = (∙ 100%)
N
wp
liczebność zbiorowości
w = min(w ; w )
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
3
N
ni
Wskaźnik podobieństwa struktur
2
Oznaczenia
[email protected]
częstość bezwzględna dla
danej wartości cechy
(w1 ; w2)i
wskaźniki porównywanych
struktur dla i-tej wartości
cechy
3. Opis rozkładu jednej cechy — szereg szczegółowy
3. Opis rozkładu jednej cechy —
szereg szczegółowy
Oznaczenia
Tab. 3
Momenty z próby
k-ty moment zwykły
x
m =
N
liczebność zbiorowości
xi
1
N
mk
i-ta wartość cechy
w szeregu
xmax , xmin
największa i najmniejsza
wartość cechy
2
N
µk
Tab. 4
1
k-ty moment centralny
(x − x)
μ =
Miary tendencji centralnej
Średnia (arytmetyczna
(arytmetyczna)
arytmetyczna)
x = m =
xśr
x
2
Do
x
N
Dominanta
Wartość cechy występująca najczęściej
Mediana
3
Me Q2
Wartość środkowa (gdy N nieparzyste)
lub średnia wartości środkowych (N parzyste)
Tab. 5
1
Q1
Kwartyle
Pierwszy kwartyl
Mediana dla pierwszej połowy zbiorowości
2
Q3
Trzeci kwartyl
Mediana dla drugiej połowy zbiorowości
Tab. 6
1
Miary zróżnicowania
Obszar zmienności
R = x − x
R
#x − x#
N
Odchylenie przeciętne
2
d=
d
(x − x)
N
Wariancja (z populacji)
3
4
s2
ŝ2
s = μ =
Wariancja skorygowana (z próby)
(x − x)
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
s% =
4
N−1
[email protected]
3. Opis rozkładu jednej cechy — szereg szczegółowy
Tab. 6
5
s
Miary zróżnicowania
Odchylenie standardowe (z populacji)
s = &s = '
(x − x)
N
Odchylenie standardowe skorygowane (z próby)
6
ŝ
s% = &s% = '
(x − x)
N−1
Jednostka typowa
7
x() = x ± s
xtyp
Q , − Q
2
Odchylenie ćwiartkowe
8
Tab. 7
1
Q=
Q
Współczynniki zmienności
Oparty na odch. przeciętnym
V/ =
Vd
d
(∙ 100%)
x
s
(∙ 100%)
x
Oparty na odch. standardowym
2
V0 =
Vs
Q
(∙ 100%)
Me
Oparty na odch. ćwiartkowym
3
Tab. 8
1
Miary asymetrii i koncentracji
Współczynnik asymetrii (skośności) prosty
A0 =
As
2
As
3
AQ
4
V1 =
VQ
K
x − Do
s
Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny
(x − x),
μ,
A0 = , =
s
N ∙ s,
Współczynnik asymetrii pozycyjny
A1 =
Q, + Q − 2Me
Q , − Q
(x − x)9
μ9
K= 9 −3=
−3
s
N ∙ s9
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
5
Kurtoza
[email protected]
4. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami bezwzględnymi
4. Opis rozkładu jednej cechy —
szereg punktowy z częstościami
bezwzględnymi
Tab. 9
Oznaczenia
N
liczebność zbiorowości
1
Momenty z próby
k-ty moment zwykły
x n
m =
N
mk
xi
k-ty moment centralny
(x − x) n
μ =
i-ta wartość cechy
w szeregu
ni
częstość bezwzględna i-tej
wartości cechy
2
N
µk
xmax , xmin
największa i najmniejsza
wartość cechy
Tab. 10
1
Miary tendencji centralnej
Średnia (arytmetyczna
(arytmetyczna)
arytmetyczna)
x = m =
xśr
x
2
3
Do
Me Q2
Tab. 11
1
Q1
2
Q3
Dominanta
Wartość cechy występująca najczęściej
Mediana
Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana
jest równa lub większa niż numer mediany, równy:
NrMe = N / 2
zaokrąglony w górę do pełnych jednostek
Kwartyle
Pierwszy kwartyl
Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana
jest równa lub większa niż numer kwartyla, równy:
NrQ1 = N / 4
zaokrąglony w górę do pełnych jednostek
Trzeci kwartyl
Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana
jest równa lub większa niż numer kwartyla, równy:
NrQ3 = 3N / 4
zaokrąglony w górę do pełnych jednostek
Tab. 12
1
x n
N
R
Miary zróżnicowania
Obszar zmienności
R = x − x
#x − x#n
N
Odchylenie przeciętne
2
d
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
d=
6
[email protected]
4. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami bezwzględnymi
Tab. 12
3
Miary zróżnicowania
Wariancja
s = μ =
s2
(x − x) n
N
Odchylenie standardowe
4
s
s = &s = '
(x − x) n
N
Jednostka typowa
5
x() = x ± s
xtyp
Q , − Q
2
Odchylenie ćwiartkowe
6
Q=
Q
Tab. 13
1
Współczynniki zmienności
Oparty na odch. przeciętnym
V/ =
Vd
d
(∙ 100%)
x
s
(∙ 100%)
x
Oparty na odch. standardowym
2
V0 =
Vs
Q
(∙ 100%)
Me
Oparty na odch. ćwiartkowym
3
Tab. 14
1
Miary asymetrii i koncentracji
Współczynnik asymetrii (skośności) prosty
A0 =
As
2
As
3
AQ
4
V1 =
VQ
K
x − Do
s
Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny
(x − x), n
μ,
A0 = , =
s
N ∙ s,
Współczynnik asymetrii pozycyjny
A1 =
K=
Q, + Q − 2Me
Q , − Q
(x − x)9 n
μ9
−
3
=
−3
s9
N ∙ s9
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
7
Kurtoza
[email protected]
5. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami względnymi
5. Opis rozkładu jednej cechy —
szereg punktowy z częstościami
względnymi
Oznaczenia
Tab. 15
Momenty z próby
k-ty moment zwykły
m = x w
N
liczebność zbiorowości
xi
1
mk
i-ta wartość cechy
w szeregu
wi
częstość względna i-tej
wartości cechy
k-ty moment centralny
2
μ = (x − x) w
µk
xmax , xmin
największa i najmniejsza
wartość cechy
Tab. 16
1
Miary tendencji centralnej
Średnia (arytmetyczna
(arytmetyczna)
arytmetyczna)
x = m = x w
xśr
x
2
Do
Dominanta
Wartość cechy występująca najczęściej
Me Q2
Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana
jest równa lub większa niż 0,50 lub 50%.
50%
Tab. 17
Kwartyle
Pierwszy kwartyl
Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana
jest równa lub większa niż 0,25 lub 25%
25
Trzeci kwartyl
Pierwsza wartość cechy, której częstość skumulowana
jest równa lub większa niż 0,75 lub 75%
75
Mediana
3
1
Q1
2
Q3
Tab. 18
1
Miary zróżnicowania
Obszar zmienności
R = x − x
R
Odchylenie przeciętne
2
d = #x − x#w
d
Wariancja
3
s2
s = μ = (x − x) w
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
8
[email protected]
5. Opis rozkładu jednej cechy — szereg punktowy z częstościami względnymi
Tab. 18
4
s
Miary zróżnicowania
Odchylenie standardowe
s = &s = ;(x − x) w
Jednostka typowa
5
x() = x ± s
xtyp
Q , − Q
2
Odchylenie ćwiartkowe
5
Q=
Q
Tab. 19
1
Współczynniki zmienności
Oparty na odch. przeciętnym
V/ =
Vd
d
(∙ 100%)
x
s
(∙ 100%)
x
Oparty na odch. standardowym
2
V0 =
Vs
Q
(∙ 100%)
Me
Oparty na odch. ćwiartkowym
3
Tab. 20
1
Miary asymetrii i koncentracji
Współczynnik asymetrii (skośności) prosty
A0 =
As
2
As
3
AQ
4
V1 =
VQ
K
x − Do
s
Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny
(x − x), w
μ,
A0 = , =
s
s,
Współczynnik asymetrii pozycyjny
A1 =
K=
Q, + Q − 2Me
Q , − Q
(x − x)9 w
μ9
−
3
=
−3
s9
s9
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
9
Kurtoza
[email protected]
6. Opis rozkładu cechy — szereg przedziałowy z częstościami bezwzględnymi
6. Opis rozkładu cechy — szereg
przedziałowy z częstościami
bezwzględnymi
Oznaczenia
Tab. 21
Momenty z próby
k-ty moment zwykły
x< n
m =
N
E< F
liczebność zbiorowości
1
N
mk
środek i-tego przedziału
(klasy)
ni
częstość bezwzględna
i-tego przedziału
2
k-ty moment centralny
(x< − x) n
μ =
N
µk
xmax , xmin
największa i najmniejsza
wartość cechy
Tab. 22
xD , xM , xQ1 , xQ3
początek przedziału
dominanty, mediany,
kwartyla 1, kwartyla 3
1
x
2
Do
3
Me Q2
nD-1
częstość bezwzględna
przedziału poprzedzającego
przedział dominanty
Tab. 23
nD+1
częstość bezwzględna
przedziału następującego
po przedziale dominanty
nskM-1 , nskQ1-1 , nskQ3-1
1
Q1
częstość bezwzględna
skumulowana przedziału
poprzedzającego przedział
mediany, kwartyla 1,
kwartyla 3
Do = x= +
x< n
N
(n= − n=> )h=
(n= − n=> ) + (n= − n=? )
Dominanta
nD , nM , nQ1 , nQ3
częstość bezwzględna
przedziału dominanty,
mediany, kwartyla 1,
kwartyla 3
x = m =
xśr
hD , hM , hQ1 , hQ3
szerokość (rozpiętość)
przedziału dominanty,
mediany, kwartyla 1,
kwartyla 3
Miary tendencji centralnej
Średnia (arytmetyczna
(arytmetyczna)
arytmetyczna)
Mediana
Należy znaleźć numer mediany NrMe
NrMe = N / 2,
2 a następnie
Me = x@ +
h@
(Nr@B − n0 @> )
n@
Kwartyle
Pierwszy kwartyl
Należy znaleźć numer kwartyla NrQ1
NrQ1 = N / 4, a następnie
Q1 = x1 +
h1
CNr1 − n0 1> D
n1
Q3 = x1, +
h1,
CNr1, − n0 1,> D
n1,
Trzeci kwartyl
Należy znaleźć numer kwartyla NrQ3
NrQ3 = 3N / 4, a następnie
2
Q3
Tab. 24
1
R
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
Miary zróżnicowania
Obszar zmienności
R = x − x
10
[email protected]
6. Opis rozkładu cechy — szereg przedziałowy z częstościami bezwzględnymi
Tab. 24
2
3
Miary zróżnicowania
Odchylenie przeciętne
d=
d
#x< − x#n
N
s = μ =
s2
(x< − x) n
N
Wariancja
Odchylenie standardowe
4
s
s = &s = '
(x< − x) n
N
x() = x ± s
Odchylenie ćwiartkowe
Jednostka typowa
5
xtyp
6
Q
Q=
Tab. 25
1
Q , − Q
2
Współczynniki zmienności
Oparty na odch. przeciętnym
V/ =
Vd
d
(∙ 100%)
x
s
(∙ 100%)
x
Oparty na odch. standardowym
2
V0 =
Vs
Q
(∙ 100%)
Me
Oparty na odch. ćwiartkowym
3
Tab. 26
1
Miary asymetrii i koncentracji
Współczynnik asymetrii (skośności) prosty
A0 =
As
2
As
3
AQ
4
V1 =
VQ
K
x − Do
s
Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny
(x< − x), n
μ,
A0 = , =
s
N ∙ s,
Współczynnik asymetrii pozycyjny
A1 =
K=
Q, + Q − 2Me
Q , − Q
(x< − x)9 n
μ9
−
3
=
−3
s9
N ∙ s9
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
11
Kurtoza
[email protected]
7. Opis rozkładu jednej cechy — szereg przedziałowy z częstościami względnymi
7. Opis rozkładu jednej cechy —
szereg przedziałowy z częstościami
względnymi
Tab. 27
Oznaczenia
N
E< F
liczebność zbiorowości
1
Momenty z próby
k-ty moment zwykły
m = x< w
mk
środek i-tego przedziału
(klasy)
wi
częstość względna i-tego
przedziału
k-ty moment centralny
2
μ = (x< − x) w
µk
xmax , xmin
największa i najmniejsza
wartość cechy
xD , xM , xQ1 , xQ3
początek przedziału
dominanty, mediany,
kwartyla 1, kwartyla 3
Tab. 28
1
x = m = x< w
xśr
x
2
Do
Do = x= +
wD , wM , wQ1 , wQ3
częstość względna
przedziału dominanty,
mediany, kwartyla 1,
kwartyla 3
3
Me Q2
częstość względna
przedziału poprzedzającego
przedział dominanty
Me = x@ +
Tab. 29
wD+1
1
Q1
h@
(Nr@B − w0 @> )
w@
Kwartyle
Pierwszy kwartyl
NrQ1 = 0,25 lub NrQ1 = 25%
częstość względna
przedziału następującego
po przedziale dominanty
częstość względna
skumulowana przedziału
poprzedzającego przedział
mediany, kwartyla 1,
kwartyla 3
Mediana
NrMe = 0,5 lub NrMe = 50%
wD-1
wskM-1 , wskQ1-1 , wskQ3-1
(w= − w=> )h=
(w= − w=> ) + (w= − w=? )
Dominanta
hD , hM , hQ1 , hQ3
szerokość (rozpiętość)
przedziału dominanty,
mediany, kwartyla 1,
kwartyla 3
Miary tendencji centralnej
Średnia (arytmetyczna)
Q1 = x1 +
h1
CNr1 − w0 1> D
w1
Q3 = x1, +
h1,
CNr1, − w0 1,> D
w1,
Trzeci kwartyl
NrQ3 = 0,75 lub NrQ3 = 75%
2
Q3
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
12
[email protected]
7. Opis rozkładu jednej cechy — szereg przedziałowy z częstościami względnymi
Tab. 30
1
Miary zróżnicowania
Obszar zmienności
R = x − x
R
Odchylenie przeciętne
2
d = #x< − x#w
d
Wariancja
3
s2
s = μ = (x< − x) w
Odchylenie standardowe
4
s
s = &s = ;(x< − x) w
x() = x ± s
Odchylenie ćwiartkowe
Jednostka typowa
5
xtyp
6
Q
Q=
Tab. 31
1
Q , − Q
2
Współczynniki zmienności
Oparty na odch. przeciętnym
V/ =
Vd
d
(∙ 100%)
x
s
(∙ 100%)
x
Oparty na odch. standardowym
2
V0 =
Vs
Q
(∙ 100%)
Me
Oparty na odch. ćwiartkowym
3
Tab. 32
2
Miary asymetrii i koncentracji
Współczynnik asymetrii (skośności) prosty
A0 =
As
3
As
4
AQ
5
V1 =
VQ
K
x − Do
s
Współczynnik asymetrii (skośności) dokładny
(x< − x), w
μ,
A0 = , =
s
s,
Współczynnik asymetrii pozycyjny
A1 =
K=
Q, + Q − 2Me
Q , − Q
(x< − x)9 w
μ9
−
3
=
−3
s9
s9
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
13
Kurtoza
[email protected]
8. Opis zjawisk dynamicznych
8. Opis zjawisk dynamicznych
Oznaczenia
yt
wartość zjawiska w czasie t
Tab. 33
1
∆yt/t-1
2
∆yt/t0
3
dyt/t-1
t
okres analizowany
t-1
okres bezpośrednio
poprzedzający
t0
Miary indywidualne
Przyrosty bezwzględne łańcuchowe
∆y(/(> = y( − y(>
Przyrosty bezwzględne jednopodstawowe
∆y(/(J = y( − y(J
Przyrosty względne łańcuchowe
dy(/(> =
okres bazowy
y( − y(>
y(>
y( − y(J
y(J
Przyrosty względne jednopodstawowe
4
5
iyt/t-1
6
iyt/t0
7
iśry
Oznaczenia
Indeksy indywidualne łańcuchowe
y(
iy(/(> =
y(>
Indeksy indywidualne jednopodstawowe
y(
iy(/(J =
y(J
Średniookresowe tempo zmian
i0K y = M&i ∙ i ∙ i, ∙ ⋯ ∙ i
(średnia geometryczna indeksów)
Tab. 34
q0i
ilość i-tego składnika
agregatu w okresie
wcześniejszym
dy(/(J =
dyt/t0
1
W
2
IW
q1i
ilość i-tego składnika
agregatu w okresie
późniejszym
Tab. 35
p1i
cena jednostkowa i-tego
składnika agregatu
w okresie późniejszym
W = q p
q p
qJ pJ
Agregatowy indeks wartości
p0i
cena jednostkowa i-tego
składnika agregatu
w okresie wcześniejszym
Miary agregatowe
Wartość agregatu
1
Iq L
IR =
Formuły Laspeyresa
Agregatowy indeks ilości
IST =
q pJ
qJ pJ
qJ p
qJ pJ
Agregatowy indeks cen
2
IpL
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
IT =
14
[email protected]
8. Opis zjawisk dynamicznych
Tab. 36
1
Formuły Paaschego
Agregatowy indeks ilości
ISU =
Iq P
q p
qJ p
q p
q pJ
Agregatowy indeks cen
2
IU =
IpP
Tab. 37
1
Formuły Fishera
Agregatowy indeks ilości
ISV = ;IST ∙ ISU
Iq F
Agregatowy indeks cen
2
Tab. 38
1
IV = ;IT ∙ IU
IpF
a1
Tendencja rozwojowa (trend)
Współczynnik trendu liniowego
t ∙ y
t y − n ( t )
t − n
a =
Przecięcie (wyraz wolny)
2
a0
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
aJ = y − a t
15
[email protected]
Oznaczenia
ti
i-ty okres czasu
yi
wartość zjawiska w i-tym
okresie czasu
n
ilość obserwacji
9. Opis rozkładu dwóch cech
Oznaczenia
9. Opis rozkładu dwóch cech
xi
Tab. 39
wartość cechy X u i-tej
jednostki
Stosunek dwóch cech
Wskaźniki natężenia
w =
yi
wartość cechy Y u i-tej
jednostki
1
Oznaczenia
wn
Tab. 40
xi
i-ta wartość cechy X
1
yi
r
i-ta wartość cechy Y
di
i-ta różnica rang cech X i Y
n
2
ilość obserwacji
rs
ŷi
i-ta wartość cechy y
obliczona z funkcji regresji
(wartość teoretyczna)
Tablica korelacyjna do
obliczeń φ
Cecha Y
wartość
1
Cecha Y
wartość
2
Suma
a
b
e=a+b
c
d
f=c+d
g=a+c
h=b+d
N
Miary zależności
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona
(x − x)(y − y)
r=
& (x − x) & (y − y)
Współczynnik korelacji rang Spearmana
6 d
r0 = 1 −
n(n − 1)
ad − bc
Współczynnik asocjacji
3
Cecha X Cecha X
wartość wartość Suma
1
2
x
y
φ=
φ
Tab. 41
&efgh
Regresja liniowa
Równanie funkcji regresji
y = aJ + a x + ε
y% = aJ + a x
lub
1
(x − x)(y − y)
(x − x)
Współczynnik regresji liniowej
2
a1
a =
Przecięcie (wyraz wolny)
aJ = y − a x
a, b, c, d
częstości bezwzględne
wystąpienia danej
kombinacji wartości cech
3
a0
Tab. 42
1
Dopasowanie funkcji regresji
Współczynnik determinacji
r2
r = (r)
Odchylenie standardowe składnika resztowego
2
se
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
sB = '
16
(y − y)
n−2
[email protected]
10. Funkcje statystyczne w MS Excel i OpenOffice Calc
10. Funkcje statystyczne w MS Excel
i OpenOffice Calc
Funkcja
Zliczanie proste
Zliczanie proste
Zliczanie rozdzielcze
Zliczanie warunkowe
Zlicza komórki zawierające liczby
ILE.NIEPUSTYCH(zakres)
Zlicza niepuste komórki
Oba arkusze proponują podobne
zestawy funkcji statystycznych. Brak
uwag w tabeli oznacza, że nazwy
funkcji, ich składnie i argumenty są
w obu programach identyczne.
CZESTOŚĆ(zakres; tablica_przedziałów)
Kwalifikuje dane z zakresu do przedziałów i zlicza częstość
każdego z nich
LICZ.JEŻELI (zakres; kryterium)
Zlicza komórki w zakresie, które spełniają określone kryterium.
Średnia
Dominanta
Objaśnienia
ILE.LICZB(zakres)
ŚREDNIA(zakres)
WYST.NAJCZĘŚCIEJ(zakres)
Postać danych
Dane niezbędne do obliczeń mają
postać relacyjną — kolumny tabeli
odpowiadają cechom, a wiersze
poszczególnym
jednostkom
statystycznym.
Znajduje wartość najczęściej występująca, w przypadku kilku
wartości, występujących równie często, zgłasza błąd.
Mediana
MEDIANA(zakres)
KWARTYL(zakres; nr_kwartyla)
Kwartyle
W MS Excel argumenty noszą nazwę (tablica; kwartyl).
W OpenOffice Calc nazywają się one (dane; typ).
Percentyle
Oblicza k-ty percentyl z zakresu, k to liczba z przedziału 0–1, a
więc dla 37 percentyla k=0,37.
W OpenOffice Calc argument k nosi nazwę alfa.
Minimum
MIN(zakres)
Maksimum
MAX(zakres)
PERCENTYL(zakres; k)
Odchylenie przeciętne
Zakres
Zakres oznacza odwołanie do komórek
zawierających dane (A2:A6). Zamiast
zakresu można wprowadzić listę
danych oddzielonych średnikami.
ODCH.ŚREDNIE(zakres)
Przykłady
WARIANCJA(zakres)
Wariancja
Oblicza wariancję (z próby) wg wzoru skorygowanego (n-1).
WARIANCJA.POPUL(zakres)
Oblicza wariancję (z populacji) wg zwykłego wzoru (n).
ODCH.STANDARDOWE(zakres)
Odchylenie standardowe
Oblicza odchylenie (z próby) wg wzoru skorygowanego.
ODCH.STANDARD.POPUL(zakres)
Oblicza odchylenie (z populacji) wg zwykłego wzoru.
Współczynnik asymetrii
SKOŚNOŚĆ(zakres)
Kurtoza
KURTOZA(zakres)
Średnia geometryczna
geometryczna
Współczynnik trendu
liniowego Współczynniki
regresji liniowej
ŚREDNIA.GEOMETRYCZNA(zakres)
REGLINP(zakres_Y;zakres_T)
REGLINP(zakres_Y;zakres_X)
Dla regresji liniowej, należy stosować formułę tablicowo,
w dwóch komórkach obok siebie. W pierwszej komórce
obliczany jest współczynnik a1, w drugiej — a0.
Współczynnik korelacji
liniowej Pearsona
Wartość dystrybuanty
rozkładu normalnego
standardowego
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
WSP.KORELACJI(zakres_Y;zakres_X)
ROZKŁAD.NORMALNY.S(Z)
17
[email protected]
Średni wiek
=ŚREDNIA(B2:B6)
wynik: 34,4
Odch. standardowe wieku
= ODCH.STANDARD.POPUL(B2:B6)
wynik: 11,9
Współczynnik korelacji
miedzy wiekiem
a dochodami
=WSP.KORELACJI(B2:B6;C2:C6)
wynik: –0,89
11. Rozkład normalny
11. Rozkład normalny
Funkcja gęstości rozkładu normalnego
Oznaczenia
Funkcja gęstości rozkładu normalnego dana jest wzorem:
f(x) =
Parametry rozkładu
N(m, σ)
m
średnia (jednocześnie
maksimum funkcji)
σ
odchylenie standardowe
zmiennej
1
σ2π
>(>)b
cb
e
Właściwość funkcji gęstości
Prawdopodobieństwo, że zmienna, mająca rozkład normalny
z parametrami m i σ, przyjmie wartości
wartości z przedziału [A ; B],
B], jest równe
polu powierzchni (całce oznaczonej) pod wykresem funkcji gęstości
pomiędzy punktami A i B.
k
P(X ∈ gA; Bi) = j f(x)dx
l
f(x)
σ
A
m
Prawdopodobieństwo,
że zmienna przyjmie
wartość z przedziału
[A;B] jest równe polu
pod wykresem funkcji
gęstości w tym
przedziale
B
Rozkład normalny standardowy
Rozkład normalny standardowy to rozkład normalny z parametrami
m = 0 i σ = 1.
Jeżeli zmienna ma rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem
standardowym σ, to prawdopodobień
prawdopodobieństwo, że przyjmie ona wartość
z przedziału [A ; B],
B], jest równe prawdopodobieństwu, że zmienna
standardowa Z przyjmie wartości z przedziału [A’ ; B’]:
B’]:
mAn =
A−m
B−m
; Bn =
o
σ
σ
Ten zabieg matematyczny nazywa się standaryzacją zmiennej.
zmiennej
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
18
[email protected]
12. Dystrybuanta rozkładu normalnego
12. Dystrybuanta rozkładu normalnego
Tablica zawiera wartości F(z) — dystrybuanty rozkładu normalnego,
standardowego z parametrami m=0 (średnia) i σ=1 (odchylenie
standardowe). Wartość dystrybuanty w punkcie z to pole pod krzywą
gęstości rozkładu normalnego w przedziale od -∞ do z.
F(z)
— pole pod krzywą
N(0;1)
od -∞ do z
Prawdopodobieństwo, że Z należy do przedziału [A; B]:
P(Z ∈ gA; Bi) = F(B) − F(A)
Wartości F dla ujemnych z:
F(−z) = 1 − F(z)
z
z
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,1
0,5000
0,5398
0,5040
0,5438
0,5080
0,5478
0,5120
0,5517
0,5160
0,5557
0,5199
0,5596
0,5239
0,5636
0,5279
0,5675
0,5319
0,5714
0,5359
0,5753
0,2
0,3
0,4
0,5
0,5793
0,6179
0,6554
0,6915
0,5832
0,6217
0,6591
0,6950
0,5871
0,6255
0,6628
0,6985
0,5910
0,6293
0,6664
0,7019
0,5948
0,6331
0,6700
0,7054
0,5987
0,6368
0,6736
0,7088
0,6026
0,6406
0,6772
0,7123
0,6064
0,6443
0,6808
0,7157
0,6103
0,6480
0,6844
0,7190
0,6141
0,6517
0,6879
0,7224
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,7389
0,7704
0,7995
0,8264
0,8508
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
1,1
1,2
1,3
0,8643
0,8849
0,9032
0,8665
0,8869
0,9049
0,8686
0,8888
0,9066
0,8708
0,8907
0,9082
0,8729
0,8925
0,9099
0,8749
0,8944
0,9115
0,8770
0,8962
0,9131
0,8790
0,8980
0,9147
0,8810
0,8997
0,9162
0,8830
0,9015
0,9177
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
1,9
2,0
2,1
0,9713
0,9772
0,9821
0,9719
0,9778
0,9826
0,9726
0,9783
0,9830
0,9732
0,9788
0,9834
0,9738
0,9793
0,9838
0,9744
0,9798
0,9842
0,9750
0,9803
0,9846
0,9756
0,9808
0,9850
0,9761
0,9812
0,9854
0,9767
0,9817
0,9857
2,2
2,3
2,4
2,5
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
2,6
2,7
2,8
2,9
3,3
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,9987
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,9987
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,9987
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,9988
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,9988
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,9989
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,9989
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,9989
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,9990
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
3,1
3,2
3,3
0,9990
0,9993
0,9995
0,9991
0,9993
0,9995
0,9991
0,9994
0,9995
0,9991
0,9994
0,9996
0,9992
0,9994
0,9996
0,9992
0,9994
0,9996
0,9992
0,9994
0,9996
0,9992
0,9995
0,9996
0,9993
0,9995
0,9996
0,9993
0,9995
0,9997
3,4
3,5
0,9997
0,9998
0,9997
0,9998
0,9997
0,9998
0,9997
0,9998
0,9997
0,9998
0,9997
0,9998
0,9997
0,9998
0,9997
0,9998
0,9997
0,9998
0,9998
0,9998
© 2011 dr inż. Grzegorz Biesok
19
[email protected]