Suplement do podręcznika Matematyka I. Zakres podstawowy

S
u
p
l
e
m
e
n
t
d
o
p
o
d
r
ê
c
z
n
i
k
a
M
a
t
e
m
a
t
y
k
a
I
.
Z
a
k
r
e
s
p
o
d
s
t
a
w
o
w
y
T
r
e
œ
c
i
z
m
i
e
n
i
o
n
e
l
u
b
d
o
d
a
n
e
n
u
m
e
r
y
s
t
r
o
n
w
s
t
a
r
s
z
y
c
h
w
y
d
a
n
i
a
c
h
4
2
–
5
1
9
0
–9
2
9
5
–96
n
u
m
e
r
y
s
t
r
o
n
w
s
u
p
l
e
m
e
n
c
i
e
I
I
–XIII
X
I
V
–X
V
I
X
V
I
I
–X
V
I
I
I
118–119
XIX–XX
166
XXI
213–218
XXII–XXXII
M
a
t
e
r
i
a
³
p
o
c
h
o
d
z
i
z
e
s
t
r
o
n
y
w
w
w
.
g
w
o
.
p
l
/
n
o
w
e
_
w
e
r
s
j
e
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
II
LICZBY I DZIAŁANIA
16. Odpowiedzi na podane pytania zapisz w notacji wykładniczej.
a) Objętość Słońca to około 1,41 · 1018 km3 . Ile to metrów sześciennych?
b) Powierzchnia Słońca to około 6,07 · 1018 m2 . Ile to kilometrów kwadratowych?
c) Objętość kropli wody to około 4,5 · 10−8 m3 . Ile to centymetrów sześciennych?
d) Powierzchnia kropli wody to około 1,6·10−10 mm2 . Ile to metrów kwadratowych?
17. Które z podanych liczb są liczbami naturalnymi? Ile cyfr mają te liczby? Ile
cyfr przed przecinkiem, a ile po przecinku mają pozostałe liczby?
a = 7,25 · 1031
c = 5,6 · 1025 + 3,7 · 1021
e = 7,25 · 10100 + 1,05 · 10200 − 1010
b = 2,3 · 10−14
d = 2,2 · 1012 + 1,87 · 10−9
f = 6,8 · 1050 − 6,8 · 10−12
18. a) Rok świetlny to odległość, jaką w ciągu roku
przebywa światło w próżni. Oblicz i zapisz w notacji
wykładniczej, ile kilometrów ma rok świetlny.
Prędkość światła w próżkm
ni to około 300 000 s .
b) Średnica naszej Galaktyki to około 100 tys. lat
świetlnych. Ile to kilometrów?
19. a) Ile razy masa Ziemi jest większa
od masy Księżyca?
Masa [kg]
b) Ile razy średnica Słońca jest większa
od średnicy Ziemi?
Słońce
c) O ile kilometrów średnica Słońca jest
dłuższa od średnicy Ziemi?
Księżyc
1,9 · 1030
5,975 · 10
Ziemia
Średnica [m]
1,4 · 109
24
1,28 · 107
7,3 · 1022
7,0 · 106
Pierwiastki
Ćwiczenie A. a) Podaj liczby, których druga potęga jest równa:
25
4
49
0,01
1,21
1
0
b) Podaj liczby, których trzecia potęga jest równa:
27
8
− 125
0,064
−1
Dla danej liczby dodatniej a istnieją dwie liczby,
które podniesione do kwadratu są równe a. Pierwiastkiem kwadratowym z liczby a jest ta z tych
liczb, która jest dodatnia. Pierwiastkiem kwadratowym z liczby 0 jest 0, a pierwiastek kwadratowy
z liczby ujemnej nie istnieje. Dla dowolnej liczby
rzeczywistej a jest tylko jedna liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi jest równa a. Ta liczba to
pierwiastek trzeciego stopnia z liczby a.
MLK1y str. 42
1
0
Dla a ≥ 0:
√
a = b, gdy b ≥ 0 i b2 = a
Dla dowolnej liczby a:
√
3
a = c, gdy c 3 = a
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
III
PIERWIASTKI
Zauważ, że pierwiastek trzeciego stopnia z liczby nieujemnej jest liczbą nieujemną,
a pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej jest liczbą ujemną.
Analogicznie możemy również określać pierwiastki wyższych stopni. Pierwiastek
√
stopnia n z liczby a oznaczamy symbolem n a. Stopień pierwiastka jest liczbą
naturalną większą od 1.
Jeśli m jest liczbą naturalną większą od
1 i jest liczbą nieparzystą, to dla dowolnej liczby a przyjmujemy, że:
√
m
a = b, gdy b m = a
Jeśli k jest liczbą naturalną większą od
1 i jest liczbą parzystą, to dla a ≥ 0
przyjmujemy, że:
√
k
a = b, gdy b k = a i b ≥ 0
Zauważ, że pierwiastek nieparzystego stopnia może być liczbą ujemną, a pierwiastek parzystego stopnia jest zawsze liczbą nieujemną.
Ćwiczenie B. Oblicz:
√
1
64
24
6,25
a)
b)
√
3
27
√
3
8
3
64
125
3
Ćwiczenie C. Oblicz:
√
82
(−8)2
6
12,25
c)
√
4
16
0,001
d)
√
3
−1000
√
4
174
4
3
6
(−17)4
6
0,000064
5
8
−27
5
1
26
0,25
−0,00032
6
0,56
√
7
−1
(−0,5)6
√
√
4
Zauważ, że (−5)2 wynosi 5, a nie −5. Ogólnie, jeśli chcemy uprościć wyrażenie a2 , a4 ,
√
6
6
a itd., a nie wiemy, jaki jest znak liczby a, musimy użyć symbolu wartości bezwzględnej:
√
√
√
4
6
a2 = |a|, a4 = |a|, a6 = |a| itd.
Prawa działań na pierwiastkach
Dla parzystej liczby k:
√
k
√
k
ab =
k
√
k
a·
at =
√
m
a k = |a|
√
k
√
m
b dla a ≥ 0 i b ≥ 0
√
k
a
a
√
=
dla a ≥ 0 i b > 0
k
b
b
√
k
Dla nieparzystej liczby m:
√
t
k
a
dla a ≥ 0
m
ab =
√
m
a·
√
m
b
√
m
a
a
= √
dla b = 0
m
b
b
√
m
at =
√
m
MLK1y str. 43
am = a
√
t
m
a
−a = −
√
m
a
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
IV
LICZBY I DZIAŁANIA
√
√
√
n
n
Ćwiczenie D. Niech n będzie dodatnią liczbą parzystą. Równość ab = n a · b dla a ≥ 0
i b ≥ 0 można wykazać w następujący sposób.
√
√
n
b = y.
Stąd: a = xn i b = y n .
Przyjmijmy oznaczenia: n a = x i
√
n
Zatem:
ab = n xn · y n = n (xy)n = |xy|.
√
√
√
n
n
Z założeń wynika, że x ≥ 0 i y ≥ 0, więc |xy| = xy, czyli ab = xy = n a · b.
Uzasadnij w analogiczny sposób jedno z pozostałych praw działań.
Prawa działań na pierwiastkach pozwalają upraszczać niektóre wyrażenia.
przykłady
√
√
3
3
(2 6)3 = 23 · ( 6)3 = 8 · 6 = 48
√
210 = (25 )2 = 25 = 32
√
√
√
3
3
2 · 3 −4 = −8 = −2
3 √
7
1
1
14 : 7 = 4 : 7 = 4 = 2
Niektóre pierwiastki można zapisać w postaci iloczynu dwóch liczb, z których jedna jest liczbą wymierną, a druga jest liczbą niewymierną. Mówimy wówczas, że
wyłączamy czynnik przed symbol pierwiastka. Możemy także wykonać operację
odwrotną — włączyć czynnik pod pierwiastek.
przykłady
√
√
√
20 = 4 · 5 = 2 5
√
√
√
3
3
3
54 = 27 · 2 = 3 2
√
√
√
√
1575 = 52 ·32 ·7 = 5·3 7 = 15 7
√
√
√
3
3
3
−324 = − 33 · 12 = −3 12
√
√
√
√
3 5 = 9 · 5 = 45
√
√
√
3
3
3
2 −100 = − 8 · 100 = − 800
Wyniki działań na pierwiastkach staramy się niekiedy zapisywać w taki sposób,
aby w mianowniku nie występowała liczba niewymierna (mówimy, że usuwamy
niewymierność z mianownika).
przykłady
√
√
√
√6 = √6· √2 = 6 2 = 3 2
2
2
2· 2
5
√
3
2 3
=
√
√
√
3
3
3
5·
3· √
3
5 9
√
√
= 6
3
3
3
2 3· 3· 3
Uwaga. W jednym z następnych rozdziałów pokażemy, jak można usuwać niewymierność,
gdy wyrażenia w mianowniku są nieco bardziej skomplikowane.
MLK1y str. 44
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
PIERWIASTKI
zadania
Ćwiczenia str. 15–16
1. Oblicz:
√
a) 36 + 64
2
b) 3 12
−144
3
0,000 001
c)
√
16
e)
d)
√
152 − 122
√
3
f) 3 −64
2. Znajdź liczby oznaczone literami:
√
√
3
a = 0,2
b = −1 1
3. Oblicz:
√
√
a) 3 · 27
b)
√
6
320 :
√
6
c)
√
√
3
3
d = 3 23
√
3
f = 120
√ 2
5 2
e)
√
3
3
d) (2 62)
5
(−8)2
h)
3 13
81
√
c = 32
3
√
√
4
e = 32
3
g)
√
5
√
g= 1
42
2
√ √
√
6· 2· 3
√ 2
√
3
3
g) 1
−7
·
7
3
√
√
f) 6 5 · 1
125
3
√ 2
√
4
h) 2 25 · 8 4 5
√
√
e) 2 5 · 4 3
5
16
g) 8 √
5
4. Zapisz w jak najprostszej postaci:
√
√
a) 3 7 − 12 7
b)
√
3
c)
√
3
9−2 9
5. Oblicz:
(53 )2
√
√
5
5
7 − 2 −7
√
3
f) 2 3 · 3 −2
√
√
3
3
d) −6 + 6
(0,12 )3
√
√
√
3
√
210
114
3
(72 )3
16 8
√
h) 2√30
5
√
3
√
3 6
9
212
6. Zapisz w postaci potęgi liczby 7:
√
716
√
3
7 712
√
(7 7)2
√
√
3
3
7 7( 7)2
√ 2
3
7 76
1√
49
73
7. Na osi liczbowej zaznaczono liczby:
√
10 3
√
5 2
√
27
√
3
25
√
3
60
√
130
Oszacuj te liczby i przyporządkuj każdej z nich odpowiednią literę.
MLK1y str. 45
·
√
74
V
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
VI
LICZBY I DZIAŁANIA
8. Wskaż dwie kolejne liczby całkowite takie, że podana liczba jest większa od
jednej z nich, a mniejsza od drugiej.
√
√
√
√
3
3
a) 109
b) 930
c) 109
d) −930
9. Przyjrzyj się równościom zapisanym
obok. Postępując w podobny sposób,
zapisz podane pierwiastki jako różnicę
dwóch liczb.
a)
b)
√
2
3−2
√
2
10 − 3
(1 −
√
√ √
2)2 = 1 − 2 = 2 − 1
√
√ √
4
(2 − 3)4 = 2 − 3 = 2 − 3
√
2
10 − 4
√
3
3
d)
5−7
c)
e)
f)
4
√ 4
3−4 5
√
√
5
( 15 − 27)5
10. Uporządkuj podane liczby w kolejności rosnącej (n jest liczbą naturalną, n > 1).
√
√
√
√
√
3
3
a = 4n
b = 82n
c = 22n + 1
d = 23n + 1
e = 8n + 1
11. Wyłącz czynnik przed pierwiastek tak, aby pod pierwiastkiem została liczba
naturalna.
√
√
√
√
√
√
√
√
3
3
3
3
a) 63
20
32
50
c) 32
−270
16
40
√
√
√
√
√
√
√
√
4
4
4
5
108
99
180
d) 32
162
1024
−900 000
b) 98
12. Korzystając z informacji podanych
obok, oszacuj liczby z dokładnością do
części dziesiątych:
√
√
√
√
√
√
3
3
3
8
20
500
16
3000
24
13. Zapisz w jak najprostszej postaci:
√
√
√
√
a) 18 + 4 2
c) 3 147 − 75
√
√
√
√
3
3
d) 32 + −108
b) 48 − 27
14. Która z liczb jest większa?
√
√
√
a) 7 2 czy 97
d) 4 5 czy 3
√
√
√
b) 5 6 czy 222
e) 3 11 czy 10
√
√
√
3
3
c) 10 7 czy 6789
f) 2 3 5 czy 5
Wskazówka. Włącz czynnik pod znak pierwiastka.
MLK1y str. 46
2 ≈ 1,4
3 ≈ 1,7
√
5 ≈ 2,2
3
2 ≈ 1,3
3
3 ≈ 1,4
√
3
5 ≈ 1,7
√
√
√
e) 3 24 + 2 54 − 150
f)
√
√
12 √
+ 147
3
√
√
g) 9 3 czy 5 5
√
√
h) 3 10 czy 2 23
√
√
3
3
i) 2 −7 czy 2 −2
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
POTĘGI O WYKŁADNIKACH WYMIERNYCH
15. Usuń niewymierność z mianownika:
a) √8
5
c) √
3
√
b) √2
5 3
d) 1 +√ 2
2
e)
7
√
√
3
5
+1
√
3
5
√
f) 6 + 2√ 7
0,5 7
3 2
16. Zapisz odwrotność liczby, a następnie usuń niewymierność z mianownika.
√
√
√
√
3
b) 3 5
c) 2 8
d) 8 4
a) 2
17. Zapisz w jak najprostszej postaci:
a)
√
b) 3 + √1
0,27
√
2 3
√
c) 20 +
3
1
20
d)
√
3
√
3
3√− 2
3
6
18. Usuń niewymierność z mianownika i porównaj liczby:
a) a = √5 i b = √4
5
2
b) c = √1
3
i d = √2
5
2
c) e = √
3
5
3
i f = √
3
25
Potęgi o wykładnikach
wymiernych
Umiesz już obliczać potęgi o wykładnikach całkowitych. Można również określić
potęgę, której wykładnik nie jest liczbą całkowitą.
1
2
Zastanówmy się na przykład, jakie liczby mogłyby oznaczać zapisy 5 3 , 5 3 . Aby
zachowane były prawa działań na potęgach, musiałyby zachodzić równości:
1 3
1
5 3 = 5 3 ·3 = 51 = 5
2 3
2
5 3 = 5 3 ·3 = 52
√ 3
Ponieważ wiadomo, że także 3 5 = 5,
√
1
więc liczby 5 3 i 3 5 muszą być równe.
√ 3
3 2
Ponieważ także
5
= 52 , więc licz√
2
3
by 5 3 i 52 muszą być równe.
MLK1y str. 47
VII
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
VIII
LICZBY I DZIAŁANIA
Okazuje się, że jeśli a jest liczbą nieujemną, to wszelkie prawa działań na potęgach
będą zachodziły, gdy przyjmiemy, że:
1
a3 =
√
3
2
a
a3 =
√
3
a2
Ogólnie dla liczby naturalnej n, gdzie n > 1 oraz dodatniej liczby naturalnej k,
przyjmujemy, że:
1
an =
k
an =
√
n
√
n
a
(dla a ≥ 0)
ak
(dla a ≥ 0)
k
1
a − n = 1k = √
n
(dla a > 0)
ak
an
przykłady
1
√
2
√
3
92 =
83 =
3
161,5 = 16 2 =
9=3
82 =
√ 2
3
8 =4
6
25 =
√
√ 3
163 = 16 = 43 = 64
√
√
√
5
5
5
26 = 25 · 2 = 2 2
Zauważ, że choć pierwiastki stopnia nieparzystego są określone dla wszystkich liczb
rzeczywistych, także ujemnych, to potęgę o wykładniku wymiernym określiliśmy tylko
w wypadku, gdy podstawa jest nieujemna. Gdybyśmy bowiem przyjęli na przykład, że
√
1
3
(−8) 3 = −8, to otrzymalibyśmy następującą sprzeczność:
1
(−8) 3 =
√
3
−8 = −2
1 √
1
2
6
(−8) 3 = (−8) 6 = (−8)2 6 = 64 = 2
Ćwiczenie. Zapisz za pomocą potęg:
√
√
√
√
5 3
3
4 1
a) 13
2
27
3
25
2
1
1
1
1
1
√
√
√
√
b) √
3
4
5
3
87
5
23
0,72
Gdy podstawa jest liczbą nieujemną
zachodzą takie same prawa działań jak
dla potęg o wykładnikach całkowitych.
Obok przedstawiamy te prawa.
MLK1y str. 48
Dla dowolnych liczb wymiernych x i y zachodzą równości:
a x · a y = a x + y dla a ≥ 0
a x = a x − y dla a > 0
ay
(a x )y = a x · y dla a ≥ 0
a x b x = (ab)x dla a ≥ 0 i b ≥ 0
x
x
a
= a x dla a ≥ 0 i b > 0
b
b
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
POTĘGI O WYKŁADNIKACH WYMIERNYCH
W poniższych przykładach pokazujemy, jak można przekształcać wyrażenia, korzystając z praw działań na potęgach i pierwiastkach.
przykłady
5
5
5
3 3 · 9 3 = 27 3 =
√
3
275 =
√ 5
3
27 = 35
5 2
1 −5 √ −5
5
1
3
8− 6 = 8− 3 = 8 3
=
8
= 2−5 = 32
√
3
4
= 3 4 = 27
−1 18
1
1
3
27
27
1
2
0,5 8
2− 8
3
8
8
· 2 = 7 · 2 8 = 2− 8
1 7 · 2 · 2 =
7
24
24
24
3
3
3
3 2 · 3− 4 = 3 2
− 3
4
27
− 7
4 + 8
√
3
= 22 = 8 = 2 2
przykłady
√
3
2·
√
1
1
1
1
5
2 = 23 · 22 = 23+2 = 26 =
√
6
32
√
√ 13 1 13
1
3√
6
10 =
10 = 10 2
= 10 6 = 10
√
1
√
1 1
1
5
52
4
√
= 52−4 = 54 = 5
=
4
5 5 14
√
1
1
1
1
1
2
1
1
3· √
= 3 2 · 9− 5 = 3 2 · (32 )− 5 = 3 2 · 3− 5 = 3 2
5
− 2
5
9
1
= 3 10 =
√
3
10
√
1 1
1 1
3 1
1
3 √
7 7 = (7 · 7 2 ) 3 = (71+ 2 ) 3 = 7 2 · 3 = 7 2 = 7
zadania
Ćwiczenia str. 17–18
1. Oblicz:
1
1
a) 8 3
16 4
1
b) 144− 2
0,0016−0,25
MLK1y str. 49
0,010,5
2,25−0,5
2
3
25 2
4
0,027 3
2
0,125− 3
9−1,5
64 3
1
16
−0,75
IX
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
X
LICZBY I DZIAŁANIA
2. Zapisz każdą z podanych poniżej liczb w postaci pierwiastka i wyłącz czynnik
przed znak pierwiastka, tak aby pod pierwiastkiem została możliwie najmniejsza
liczba całkowita.
1,5
8
5
8
5
0,1− 5 0,9−1,5
37 73
4
3. Oblicz:
√ 1,5
3
a)
49
√
√
3
3
c)
9· 9
√ 2
3
b)
8
d)
1
√
3
9
√
3
√
4
√
3
3 3
27 3
9 27
1
√
7
9
√
5
3
3
74
4. Zapisz każdą z podanych liczb w postaci potęgi liczby 3.
√
3
9
√
√
7 7· 47
3 9
√
5
1
3
√
3
3
√
4
9
9
3
5. Która z dwóch podanych liczb jest większa?
7
a) 3 5 ,
4
7
b) 2− 9 ,
93
5
4− 6
c)
− 2
3
5
3
25
3
3
,
d)
√
3
( 2)5 ,
Wskazówka. Sprawdź, czy iloraz tych liczb jest liczbą większą czy mniejszą od 1.
6. Uzasadnij równość:
a)
√
5
√
√
3
73 · 7 5 = 7 5 7
√
6√
7
777
1
√
= √
b)
3
6
7
7
h)
c) 22,5 · 16−0,5 = √2
i)
√
8
4 · ( 2)−1
√ = 0,5−1,125
d) √
6
8·
2
j)
2
e) 80,25 :
1
g) 22 = 4−0,05 : 4 5
√
1
4
2 = 44
3
0,04−1 = √3 0,2
56 ·0,2−2
257
1
2−2,5 · 4− 5 = 1
0,1
29
2
√
24
1
−1
9
3
2 = 8 · 0,125
√ 0,5
1
−
32 12
2 2 2
√
3
k) 0,5−0,5 · 0,25−0,25 = 1 64
2
√
−3,3
5
f) 2−1,7 = 0,25 4
l)
2
− 1
1
9
3
1
: 39
1,8
2
= √3
3
7. Znajdź liczbę a spełniającą warunek:
1
a) a 4 = 4
b) a0,1 = 1
MLK1y str. 50
c) a0,2 = 10
1
d) a− 2 = 1
2
− 4
1
2
5
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XI
Powtórzenie
Powinieneś teraz umieć:
1. Posługiwać się pojęciami: liczba naturalna, liczba całkowita, liczba wymierna, liczba niewymierna, liczba rzeczywista, wartość bezwzględna,
liczba przeciwna, odwrotność liczby.
2. Zamieniać rozmaite jednostki.
3. Wykonywać obliczenia na liczbach rzeczywistych oraz szacować różne
wielkości i wyniki działań.
4. Sprawnie posługiwać się procentami.
5. Obliczać błąd bezwzględny oraz błąd względny przybliżenia.
6. Przekształcać wyrażenia, w których występują potęgi i pierwiastki.
Zestaw I
1. Ile różnych liczb zapisano poniżej?
Które z nich są wymierne?
√
1
1
0,(1)
2− 1
π
3
2
9
√
√
2
2 − 3,333...
0,5 3,14
2−2
6. Oblicz błąd bezwzględny i błąd
względny każdego z podanych przybliżeń.
9,50 zł ≈ 10 zł
199 zł ≈ 200 zł
18
2. Która z liczb jest większa:
a) 5 czy 9 ,
18
3
13
b) 1012 · (102 )−2
b) π − 3,14 czy 3,14 − π ,
√
√
c) 3 6 − 4 czy −1 + 2 6?
2
4. 1 m3 powietrza waży 1,2 kg. Ile miligramów waży litr powietrza?
MLK1y str. 51
2
1000 3
√
3
c)
−3 :
√ 4
d) ( 3)
9. a) Oblicz:
1
5. Rower kosztował 800 zł, ale jego cenę obniżono o 15 %, a potem jeszcze
o 10 %. Ile teraz kosztuje ten rower?
3
8. Oblicz:
a) 2,25
√
√
3
3
b) 2 · −32
100 2
2
e) 213 : 8−3
8
f) 1 · 9−5 · 272
c) (73 )5 : 73
3. Uprość wyrażenie:
√
√
6 − 34
b) √
a) √2 + 2 2
3
2
7. Zapisz w postaci jednej potęgi:
5 −1
a) 108 : 10−3
d) 2 · 3
160,75
1
27
b) Zapisz w postaci potęgi:
√
√
√
√
3 2
3
7
5
2· 4
2
3
√
3
−81
1
32
0,4
√
√
4
6
5 : 125
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XII
LICZBY I DZIAŁANIA
Zestaw II
1. Podaj przykład liczby niewymiernej
większej od −100 i mniejszej od −99.
2. Ustal, ile jest liczb rzeczywistych
spełniających podany warunek.
√
a) |a| = 2
c) |c| = 0
√
d) −|d| ≤ 0
b) |b| = 1 − 2
3. Mówimy, że łódka płynie z prędkością 1 węzła, gdy w ciągu godziny pokonuje odległość 1 mili morskiej
(czyli 1852 m). Ile kilometrów pokonuje w ciągu kwadransa jacht płynący
z prędkością 8 węzłów?
8. Rowerzysta przebył pewną trasę
w ciągu 2 h 36 min, ale powiedział, że
pokonał tę trasę w około 2,5 godziny.
Jaki jest błąd względny takiego przybliżenia?
9. Zapisz w postaci potęgi liczby 3:
a) 37 : (34 · 32 )
2
b) 35 · 95
c) 2711 · 81
3
d)
1
9
1
27
·3−5
−2
10. Dane są liczby:
a = 5,3 · 1019 b = 2 · 108 c = 1,2 · 10−7
Zapisz w notacji wykładniczej liczby:
ab, a , bc 2 , b
c.
b
4. Pan Karol założył konto w banku
i wpłacił na nie 550 zł na półroczną lokatę. Oprocentowanie tej lokaty wynosi
7 % w skali roku, a podatek od odsetek wynosi 20 %. Ile złotych będzie mógł
pan Karol podjąć z banku po upływie
terminu lokaty?
5. Mieszkanie kosztuje 80 tys. zł brutto (z VAT). Stawka VAT wynosi 7 %.
Ile kosztowałoby to mieszkanie, gdyby
stawka VAT wynosiła 22 %?
11. Która liczba jest większa:
a) 3,7 · 1020 czy 307 · 1017 ,
b) 0,0265 · 10−7 czy 1,2 · 10−9 ?
12. Znajdź największą z liczb całkowitych, która jest mniejsza od liczby:
√
√
25
a) 13 · 2
d) √
3
5
√
√
3
10
b) √ + 1
e) 20 · 3 −5
5
√
√
√
√
3
3
3
3
c) 18 : 2
f)
−10 : 100
6. Dwie godziny przed zamknięciem
targowiska sprzedawca obniżył cenę
pomidorów o 10 %, a po kolejnej godzinie — jeszcze o 20 %. O ile procent
zmniejszyła się cena pomidorów?
13. Zapisz w postaci potęgi liczby 2:
√
√
√
3
5
5
d) 16 · 2
a) 26
√ 8
√
6
b) 2 2
e) 2 43
√
√
3
3
c) 82 · 4
f) 5 1 · 3 0,25
7. Najwięcej diamentów wydobywa się
w Australii. Rocznie około 30 mln karatów, co stanowi 27,2 % wydobycia
światowego. Ile kilogramów diamentów
wydobywa się rocznie na świecie? 1 karat to 0,2 g.
14. Porównaj liczby:
√
3√
3
a)
7 i
7
√
√
√
25 2
10
3
b)
5· 5
i
5 −4
2
10
c) 0,3 3 · 3 0,3 i
3
√
√
5
d) 7 : 49 i 70,2
MLK1y str. 52
16
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
POWTÓRZENIE
Zestaw III
Choć pierwsi znani nam mieszkańcy Mezopotamii, Sumerowie, żyli ponad 4000 lat temu, wiemy o nich
dość dużo, gdyż zostawili po sobie całe biblioteki glinianych tabliczek, które archeologowie potrafią
odczytać. Znamy sumeryjskie jednostki powierzchni: 1 bur = 18 ikn,
1 ikn = 18 sar i objętości: 1 gur = 30 sila.
Archeologowie zdołali ustalić, że 1 sar
3
to 35,285 m2 , a 1 sila to 0,4 dm .
Z glinianych tabliczek możemy się
także dowiedzieć, że Sumerowie zbierali około 144 gur ziarna z pola
o powierzchni 4 bur.
3. Dziewczęta twierdzą, że wśród
wszystkich brunetów w ich szkole tylko 20 % jest przystojnych. I chociaż
aż 10 % brunetów ma niebieskie oczy,
to tylko jeden z nich jest przystojny,
ale niestety nie jest zbyt rozgarnięty. On i jeszcze trzech nierozgarniętych przystojnych brunetów stanowią
25 % wszystkich przystojnych brunetów.
Ilu jest nieprzystojnych niebieskookich
brunetów?
4. Oblicz, nie używając kalkulatora:
a) 2163 · 0,57 · 9−4
b) 0,37515 · 0,5−42 · 27−5
1. a) Ile metrów sześciennych zboża
z hektara zbierali rolnicy sumeryjscy?
b) W Polsce zbiera się około 35 q pszenicy z 1 ha (1 q = 100 kg). 1 m3 pszenicy
waży 760 kg. Ustal, ile gur pszenicy
zbiera się w Polsce z 4 bur pola.
2. Stawkę VAT na pewien towar zwiększono z 7 % do 22 %. O ile procent
zwiększy się cena brutto, jeśli nie zmienimy ceny netto? O ile procent należałoby obniżyć cenę netto, aby cena
brutto nie zmieniła się?
5. Ile różnych liczb zapisano poniżej?
√
√
3
√2
4
2
2
√ 2
√
3 √
3
6
−2
2 2
8
6. Izotop jodu 131 I, używany m.in.
w badaniach tarczycy, jest nietrwały
(rozpada się). Po n dniach z 1 g pozostaje tylko 2−0,1248n grama tego izotopu.
Oszacuj, jaka część masy izotopu pozostaje po 16 dniach.
Zagadka
Na rysunkach przedstawiono dwa pojęcia matematyczne (można je znaleźć w tym rozdziale). Jakie to pojęcia?
MLK1y str. 53
XIII
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XIV
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Zapisywanie i przekształcanie
wyrażeń algebraicznych
Ćwiczenie A. a) Popatrz na
rysunek. Kolejne figury układane są z zapałek według pewnej reguły. Jakimi wyrażeniami należy zastąpić w tabelce
znaki zapytania?
Numer figury
1
2
3
4
5
n
Liczba zapałek
6
6+3
6+2·3
?
?
?
b) Przyjrzyj się kolejnym figurom układanym z zapałek. Z ilu zapałek powinna być ułożona czwarta, a z ilu n-ta figura?
Rozwiązując ćwiczenie A, sformułowałeś ogólne reguły, według których układano
zapałczane figury.
Przykłady wyrażeń
algebraicznych:
−2x2 y 7
√
(a + b)h
a2 3
2
4
n+2
mgh
a2 − b2
Takie uogólnienia, zapisywane za pomocą wyrażeń
algebraicznych, bardzo często występują w matematyce i innych dziedzinach wiedzy. Na przykład:
Pole trójkąta równobocznego o boku długości a
√
2
obliczamy ze wzoru: P = a 4 3 .
Liczba przekątnych w wielokącie o n bokach wy-
nosi
1
n(n
2
− 3).
Dawka leku o nazwie Winkrystyna dla dziecka,
3(a + b) − 2c + 7
które waży m kilogramów (m > 21), powinna wynosić 0,03m + 0,6 miligramów na dobę.
Wyrażenia algebraiczne występują w różnych wzorach, twierdzeniach, definicjach,
równaniach i nierównościach.
W przykładach na następnej stronie pokazujemy, jak można przekształcać wyrażenia algebraiczne.
MLK1y str. 92
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
ZAPISYWANIE I PRZEKSZTAŁCANIE WYRAŻEŃ...
przykłady
(2xy 2 )3 · 3x = 8x 3 y 6 · 3x = 24x 4 y 6
3x(2x + y ) − 5(x 2 − 2xy + 3) = 6x 2 + 3xy − 5x 2 + 10xy − 15 = x 2 + 13xy − 15
(2a + b)(a − 3b + 1) = 2a 2 − 6ab + 2a + ba − 3b 2 + b = 2a 2 − 3b 2 − 5ab + 2a + b
Przekształcając wyrażenia algebraiczne, możemy korzystać ze wzorów skróconego
mnożenia.
Kwadrat sumy:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
Sześcian sumy:
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Kwadrat różnicy:
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
Sześcian różnicy:
(a − b)3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Różnica kwadratów:
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
Różnica sześcianów:
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
Suma sześcianów:
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
Każdą z powyższych równości można udowodnić, przekształcając jedną z jej stron,
tak aby otrzymać drugą. Na przykład, aby udowodnić równość (a+b)2 = a2 +2ab+b2
najwygodniej przekształcić lewą stronę równości, tak aby otrzymać prawą stronę.
L = (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 = P
Uzasadniając równość a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) najwygodniej zacząć od przekształcania prawej strony.
P = (a − b)(a2 + ab + b2 ) = a3 + a2 b + ab2 − ba2 − ab2 − b3 = a3 − b3 = L
Ćwiczenie B. Uzasadnij dwie z pozostałych równości.
przykłady
2
(4x − y 2 )2 = (4x)2 − 2 · 4x · y 2 + y 2 = 16x 2 − 8xy 2 + y 4
3
2
3 1 2
1
1
1
1
a + 4 = 2 a 2 + 3 · 2 a 2 · 4 + 3 · 2 a 2 · 42 + 43 = 8 a 6 + 3a 4 + 24a 2 + 64
2
2 25m2 − 0,01n6 = (5m)2 − 0,1n3 = 5m − 0,1n3 5m + 0,1n3
MLK1y str. 93
XV
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XVI
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
W kilku rozważanych dotąd przykładach przekształcaliśmy iloczyny wyrażeń algebraicznych, otrzymując sumy algebraiczne. Czasami możemy wykonać operację
odwrotną — zapisać sumę algebraiczną w postaci iloczynu. W niektórych wypadkach można to osiągnąć, wyłączając wspólny czynnik przed nawias.
przykłady
8m2 n +
2m · 4mn
6m3
2m · 3m2
+ 2m = 2m(4mn + 3m2 + 1)
2m · 1
a 2 − 2a + ab − 2b = a(a − 2) + b(a − 2) = (a − 2)(a + b)
zadania
Ćwiczenia str. 23
1. Przyjrzyj się rysunkom.
Z ilu kwadracików zbudowane są krzyże? Z ilu kwadracików powinien być
zbudowany czwarty, a z ilu
n-ty krzyż?
2. Przyjmujemy w tym zadaniu, że liczby oznaczone literami są dodatnie. Zapisz:
a) połowę sumy liczb a i b,
b) liczbę 5 razy większą od sumy liczb a i b,
c) sumę liczby n i liczby o 5 większej od n,
d) liczbę 4 razy mniejszą od kwadratu liczby n,
e) liczbę o 3 mniejszą od liczby 2 razy mniejszej od x,
f) iloczyn kwadratu liczby y i połowy liczby z.
3. Przyjmujemy, że liczby a, b i c oraz p są dodatnie. Zapisz:
a) 10% liczby a, 130% liczby b, 2,5% liczby c,
b) liczbę o 30% większą od a, o 7% większą od b, o 0,5% większą od c,
c) liczbę o 15% mniejszą od a, o 10,5% mniejszą od b, o 82,5% mniejszą od c,
d) p % liczby 26, p % liczby a,
√
4. a) Zapisz liczby przeciwne do liczb: a, −n, b − 2c, x 2 − 7.
√
b) Zapisz odwrotności liczb: r , − y1 , x, p 2, 3a − 2b.
5
MLK1y str. 94
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
ZAPISYWANIE I PRZEKSZTAŁCANIE WYRAŻEŃ...
15. Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
2
2 + 3a
a) (5 + p)2
c) a
2
d) m2 − 2k
b) (1 − 4x)2
4+ b
4− b
2
2
√ √ h) t − 5 t + 5
√
e) (v + 3)2
√
f) (2y 2 − 3)2
g)
16. a) Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
(−a − b)2
(a + b)(b + a)
(−a + b)2
(a − b)(b + a)
b) Zapisz w postaci iloczynu:
1 − a2
9
p2 − 2
16
100m2 − 42
25x2 − y 4
n
17. Uprość wyrażenie:
√
2
d) (1 − 2x)(1 + 2x) − (2y −2x 2)
√
e) (−y − 7)2 − (2x2 − 7y)(7y − 2x2 )
a) 5x(2x − 3y) − (3x − 2y)2
b) (5x − 4y)(5x + 4y) − 1
(10x − 2y)2
4
√
√
√
c) ( 2 + a)(a − 2) + (−3 2 + 2a)2
f) (xy 2 + 3x)(−xy 2 + 3x) − (3x)2
18. Zapisz w postaci sumy algebraicznej:
3
a) (2 + b)3
c) x
+4
2
3
3
b) (p − 0,1)
d) 5v − 1
5
e)
f)
1
w + 3w
2 − a
2
a2
3
c
ac + 3
3
1 − z2
h) 3y
3
g)
3
19. Zapisz w postaci iloczynu:
a) p3 − 27
b)
1 − v3
125
√
2
3−1
√
3
=
3
2+1
3
√3
= √
(
=
3
e) 64m3 + n
c) 1000 + k3
d) 8a3 + 1
27
√
2( 3 + 1)
√
3 − 1)( 3 + 1)
=
√
2( 3 + 1)
3−1
=
√
√
3
3
3 · (( 2)2 − 2·1 + 12 )
√3
√3 2 √
3
2+1
2 − 2 · 1 + 12
√
3
4− 2+1
2+1
=
√
3
g) a3 − 2
8
3
w
125
f) 1000 −
w3
√
3+1
=
√
3
4− 2+1
h) 0,001x3 + 3
20. Usuń niewymierność z mianownika w sposób pokazany obok.
a) √ 8
5−1
√
b) √ 2
2+1
√
c) √7 + 2
e)
1
d) √
3
3
5
f) √
3
7−2
3+1
2√
3
2− 2
√
5−1
21. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:
a) −8x2 − 4x
c) 15ab − 5a2 + 10ac
e) 9pr s 2 + (pr s)2 + 3p2 r 2 s
b) 14uv 2 − 7uv
d) st 2 + 2s 2 t 3 − 4s 2 t 2
f) 8a2 bc − 20a3 b2 c + 4abc
MLK1y str. 97
XVII
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XVIII
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
22. Niech n oznacza liczbę naturalną. Uzasadnij, że:
a) liczba n2 + n jest parzysta,
c) liczba 3n2 + 3n jest podzielna przez 6,
b) ostatnią cyfrą liczby 5n2 + 5n jest 0,
2
d) liczba n − 3n jest liczbą całkowitą.
2
2
23. Przedstaw sumę w postaci iloczynu:
a) a2 − a + b − ab
c) 12x + 3y + 4xy 2 + y 3
e) −9u2 v − 3u + 3uv 2 + v
b) 5a − 10b + a2 − 2ab
d) st 2 − 4s 2 t − st + 4s 2
f) r st − 5r s + t 2 − 5t
24. Zastąp symbole ♠ i ♣ takimi liczbami, aby otrzymać równość, którą spełnia
każda liczba rzeczywista.
a) x2 + 14x + 49 = (x + ♠)2
b) a2 − 5a + 25
= (a − ♠)2
4
d) x2 − 6x + ♣ = (x − ♠)2
√
e) y 2 − 2 2y + ♣ = (y − ♠)2
c) 2t 2 + 20t + 50 = 2(t + ♠)2
f) 9x2 + 12x + ♣ = (3x + ♠)2
25. Przeczytaj informację. Zapisz, jaki
warunek musi być spełniony, aby:
a) liczba n była parzysta,
b) liczba n była podzielna przez 5,
c) reszta z dzielenia liczby n przez 4
wynosiła 1.
Liczba naturalna n jest nieparzysta,
gdy można ją zapisać w postaci
n = 2k + 1,
gdzie k jest pewną liczbą naturalną.
Równania i układy równań
pierwszego stopnia
Oto przykłady równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą:
x + 1 = 2(x + 1) − x
2x − 1 = 4 − 3x
x+2 + x−1 = 1
9
3
x + 5 − 2 = 1 (x + 1)
2
3
Równanie tego typu może mieć jedno rozwiązanie, może nie mieć rozwiązań albo
może je spełniać każda liczba rzeczywista.
Równania, które nie mają rozwiązań, nazywamy sprzecznymi. Gdy każda liczba
spełnia dane równanie, nazywamy je tożsamościowym.
Ćwiczenie A. Wśród powyższych równań wskaż równanie sprzeczne oraz tożsamościowe.
MLK1y str. 98
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XIX
RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Powtórzenie
Powinieneś teraz umieć:
1. Przekształcać wyrażenia algebraiczne.
2. Rozwiązywać równania, nierówności z jedną niewiadomą, układy równań z dwiema niewiadomymi i równania kwadratowe.
3. Przekształcać wzory.
4. Rozwiązywać zadania z treścią za pomocą równań lub układów równań.
Zestaw I
1. Zapisz w jak najprostszej postaci:
a) x(5x − 2) − 2x(x + 1)
b) (a + 2)2 − (a − 2)2
c) (a + 2b)(2a − b) − 3ab
√
√
d) (a + 2)(a − 2) − 2(a2 − 1)
3 2
1
e) p − 1
+
p
+
3
3
2. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:
a) xy + y
c) 9ab2 + 6b2 a
b) 2x2 + 4x
d) 2c 3 d + 5c 5 d 2 + 4c 2 d 3
5. Rozwiąż układ równań:
2x − y = −7
a)
4(x + 1) + 2y = 18
b)
6x − 2y = 10
3x + 4(1 − y) = 36
⎧ x+y
=3
⎨
c)
2
⎩ 2x − 1 y = 5
3
d)
2y = 1 (x − 1) + 7
3
1 − x = 4(y − 1)
3. Ania ma x lat, Basia jest o 3 lata starsza od Ani i 2 razy młodsza od Kasi.
6. Z podanego wzoru wyznacz a:
a) Ile lat ma Basia?
a) z = 4a − 7
b) Ile lat ma Kasia?
b) t = 1 − a
3
c) O ile lat Ania jest młodsza od Kasi?
d) Ile lat miała Kasia, gdy urodziła się
Basia?
4. Rozwiąż nierówność:
a) 3(1 − 2x) > 4x
b) 1 − 2x ≤ x + 1
3
2
MLK1y str. 120
c) f = ab
b+1
d) y = 3(a − 2)
1−b
7. Rozwiąż równanie:
a) x
+ x2 = 0
3
d) 3x2 + 2x − 2 = 0
b) x2 + 6x + 9 = 0
e) 2x = 5x2 + 1
c) x2 + 6x = 7
f) 2 − 4x = 3x2
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
POWTÓRZENIE
Zestaw II
1. Zapisz w jak najprostszej postaci:
√
2
a) (2a 2 − 6) − (a − 3)(a + 3)
4
3
3. Wyznacz a ze wzoru V = 2(aa+ b) − 1.
4. Rozwiąż równanie:
3
b) (5x − 1) − (x − 1)3
15
a) x + 1 − x2 = 1
2. Zapisz w postaci iloczynu:
5. Rozwiąż układ równań:
⎧
⎪
⎨ x − 2 − y + 3 = x + 2y
2
5
a)
⎪
⎩ 3 − 2x − 4y − 2 = 2 − x
3
6
2
2x + y = 1
b)
x2 + y 2 = 1
2
a) ab + 2ab + 2b + 4
b) 27x2 y − 18x2 − 12y + 8
c) x2 + 2x + 1 + 2(x + 1)
p3 + 1000q 3
d) 125
3
2
b) 2x − 1 =
1−x
1
2x + 1
Zestaw III
1. Zapisz i rozwiąż odpowiedni układ
równań:
zarobił na swoich akcjach 44 zł, a pan
Nowak 52 zł.
a) Suma liczb x i y jest równa 120.
Liczba o 50 % większa od x jest o 20
mniejsza od y.
a) Jaki zysk przyniosła jedna akcja
Elektromu?
b) Liczba o 10 większa od x jest o 4
mniejsza od y. Liczba 2 razy większa
od x jest o 3 większa od y.
2. Średnia arytmetyczna pewnych dwu
liczb jest równa 28. Gdyby jedną z tych
liczb o 50 zwiększyć, a drugą zwiększyć
o 20 %, to ich średnia arytmetyczna byłaby 2 razy większa. Co to za liczby?
3. Pan Kowalski kupił 20 akcji firmy
Elektrom i 16 akcji firmy Drewex, a pan
Nowak kupił w tym samym czasie 30
akcji Elektromu i 25 akcji Dreweksu. Po
miesiącu okazało się, że pan Kowalski
Zagadka
Na rysunku przedstawiono pewne pojęcie matematyczne (można je znaleźć w tym rozdziale).
Jakie to pojęcie?
MLK1y str. 121
b) Pan Jabłoński kupił w tym samym
czasie co panowie Kowalski i Nowak
trochę akcji Elektromu i 2 razy więcej akcji Dreweksu. Po miesiącu okazało
się, że stracił na tej inwestycji 73 zł. Ile
akcji każdej z firm kupił pan Jabłoński?
4. a) Suma pewnej liczby i jej odwrotności jest równa 4. Znajdź tę liczbę.
b) Znajdź dwie liczby, których suma
jest równa 2, a iloczyn jest równy −1.
5. Suma pewnych dwóch liczb dodatnich jest 5 razy większa od ich różnicy.
Jaki jest stosunek większej z tych liczb
do mniejszej?
XX
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XXI
FIGURY GEOMETRYCZNE
Okręgi i proste
Prosta i okrąg mogą być położone względem siebie
na trzy sposoby:
Mogą nie mieć wspólnych punktów. Mówimy
wówczas, że okrąg i prosta są rozłączne.
Mogą mieć dwa punkty wspólne. Mówimy wówczas, że prosta przecina okrąg.
Mogą mieć jeden punkt wspólny. Mówimy wówczas, że prosta jest styczna do okręgu. Prosta
styczna do okręgu jest prostopadła do promienia
łączącego środek okręgu z punktem styczności.
Ćwiczenie A. Odległość punktu S od prostej k jest równa 7. Jaki promień może mieć
okrąg o środku w punkcie S, jeśli wiadomo, że prosta k:
a) jest rozłączna z okręgiem,
b) przecina ten okrąg,
c) jest styczna do okręgu?
Popatrz na rysunek obok. Proste styczne do okręgu
przecinają się w pewnym punkcie. Łatwo wykazać,
że odcinki łączące ten punkt z punktami styczności
mają równe długości.
Uzasadnienie: Równość |P A| = |P B| wynika stąd, że
trójkąty prostokątne P SA oraz P SB mają wspólną przeciwprostokątną, a boki SA i SB mają tę samą długość.
Zatem boki P A i P B też są równej długości.
Popatrz na kolejny rysunek. Styczna do okręgu poprowadzona jest przez jeden z końców cięciwy.
Łatwo można wykazać, że kąt α między tą cięciwą
a styczną jest równy kątowi wpisanemu β opartemu
na tej cięciwie.
β=α
Uzasadnienie: Dorysujmy kąt środkowy oparty na tej
cięciwie (zob. rysunek). Ponieważ promień OB jest prostopadły do stycznej, więc | OBA| = 90◦ − α. Taką samą
miarę ma kąt OAB (bo trójkąt OAB jest równoramienny).
W takim razie | AOB| = 180◦ − 2(90◦ − α) = 2α. Zatem
kąt wpisany β oparty na tym samym łuku ma miarę α.
MLK1y str. 168
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
PRZEKSZTAŁCANIE WYKRESÓW FUNKCJI
9. Jak należy przesunąć wykres funkcji f , aby otrzymać wykres funkcji g?
√
√
g(x) = x + 7
c) f (x) = 2(x − 3)3 + 5
g(x) = 2(x + 3)3
a) f (x) = x + 2
b) f (x) = 3 + 7
g(x) = 3 − 2
x
x
d) f (x) = x2 + x
g(x) = (x − 1)2 + x − 1
10. Funkcja f jest rosnąca w przedziale − 2 ; 5. Określ przedział, w którym rosnąca jest funkcja g:
a) g(x) = f (x − 5)
b) g(x) = f (x + 10)
c) g(x) = f (x + 7) − 3
11. Największa wartość funkcji f wynosi 15. Określ największą wartość funkcji g:
a) g(x) = f (x) − 20
b) g(x) = f (x + 13)
c) g(x) = f (x − 3) + 5
12. a) Miejscem zerowym pewnej funkcji f jest liczba 5. Jaka liczba jest miejscem
zerowym funkcji y = f (x + 3)?
b) Czy funkcja f i funkcja y = f (x) + 3 mogą mieć to samo miejsce zerowe?
c) Liczby 3, 7 i 100 są miejscami zerowymi funkcji f . Czy wykres funkcji f można
tak przesunąć, aby miejscami zerowymi były liczby 50, 54, 147?
d) Czy funkcja y = f (x) − 5 może mieć więcej miejsc zerowych niż funkcja f ?
13. Zapisz wzór funkcji, której wykres można otrzymać w wyniku przesunięcia
wykresu funkcji f o 2 jednostki w prawo i o 3 jednostki na dół.
x + 5 dla x < −2
7 dla x < −1
a) f (x) =
b) f (x) =
− 3 x dla x ≥ −2
x dla x ≥ 1
2
Przekształcanie wykresów funkcji
Ćwiczenie A. Podaj współrzędne punktu symetrycznego do punktu A = (a, b) względem
osi x.
Na rysunku obok przedstawione są wykresy funkcji f i g. Wykres funkcji g
powstał przez odbicie symetryczne wykresu funkcji f względem osi x.
Dla każdego argumentu x wartości funkcji g i f są liczbami przeciwnymi. Można więc powiedzieć, że dla argumentu
x funkcja g przyjmuje wartość −f (x).
g(x) = −f (x)
MLK1y str. 215
XXII
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XXIII
FUNKCJE
Ćwiczenie B. Punkt P jest symetryczny do punktu P względem osi y. Jakie współrzędne
ma punkt P , jeśli P = (a, b)?
Na rysunku obok przedstawione są wykresy funkcji f i g. Wykres funkcji g
powstał przez odbicie symetryczne wykresu funkcji f względem osi y.
Dla każdego argumentu x wartość funkcji g jest taka sama jak wartość funkcji
f dla argumentu −x, czyli wynosi f (−x).
g(x) = f (−x)
Ćwiczenie C. Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f oraz wykresy funkcji g i h symetrycznych do niego odpowiednio względem osi x i względem osi y.
Funkcja f określona jest wzorem:
f (x) = 0,1x3 − 0,4x + 2
a) Oblicz: g(−2), g(0), g(1) i g(10).
b) Oblicz: h(−3), h(0), h(1) i h(10).
c) Zapisz wzory funkcji g i h.
przykład
1
Funkcja f określona jest wzorem f (x) = x 3 − x 2 + 1 − x .
a) Zapisz wzór funkcji g, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f
względem osi x.
1
1
g(x) = −f (x) = − x 3 − x 2 + 1 − x = −x 3 + x 2 − 1 − x
1
g(x) = −x 3 + x 2 + x − 1
b) Zapisz wzór funkcji h, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f
względem osi y .
1
1
h(x) = f (−x) = (−x)3 − (−x)2 + 1 − (−x ) = −x 3 − x 2 + 1 + x
1
h(x) = −x 3 − x 2 + 1 + x
MLK1y str. 216
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
PRZEKSZTAŁCANIE WYKRESÓW FUNKCJI
przykład
x2
Wykres funkcji f (x) = 2x −1 + 3 przekształcono najpierw przez symetrię względem
osi y , potem przez symetrię względem osi x, a następnie przesunięto o 5 jednostek
w lewo i 2 jednostki w dół. Zapisz wzór funkcji, której wykres otrzymano.
x2
f (x) = 2x − 1 + 3
zapisujemy wzór funkcji, której wykres jest
symetryczny do wykresu funkcji f względem
osi y
(−x )2
f1 (x) = f (−x) = 2(−x ) − 1 + 3
x2
f1 (x) = −2x − 1 + 3
x2
f2 (x) = −f1 (x) = − −2x − 1 + 3
zapisujemy wzór funkcji, której wykres jest
symetryczny do wykresu funkcji f1 względem
osi x
x2
f2 (x) = 2x + 1 − 3
(x +5)2
f3 (x) = f2 (x + 5) − 2 = 2(x + 5) + 1 − 3 − 2
(x + 5)2
f3 (x) = 2x + 11 − 5
zapisujemy wzór funkcji, której wykres otrzymano, przesuwając wykres funkcji f2 o 5
jednostek w lewo i 2 jednostki w dół.
Czasami wystarczy znać wykresy kilku elementarnych funkcji, aby sporządzić wykresy funkcji określonych bardziej skomplikowanymi wzorami.
przykład
Korzystając z wykresu funkcji y =
f (x) =
√
√
x, narysuj wykres funkcji y = − x + 3 − 2.
√
x
√
x+3
√
f2 (x) = −f1 (x) = − x + 3
√
f3 (x) = f2 (x) − 2 = − x + 3 − 2
f1 (x) = f (x + 3) =
zapisujemy wzory odpowiednich funkcji
przesuwając wykres funkcji f o 3 jednostki
w lewo, otrzymujemy wykres funkcji f1
odbijając wykres funkcji f1 względem osi x,
otrzymujemy wykres funkcji f2
przesuwając wykres funkcji f2 o 2 jednostki
w dół, otrzymujemy wykres funkcji f3
MLK1y str. 217
XXIV
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XXV
FUNKCJE
Pokażemy teraz jeszcze jeden sposób przekształcania wykresu funkcji.
Ćwiczenie D. Dane są funkcje f (x) = −3x + 2 i g(x) = | − 3x + 2| . Oblicz wartości każdej
z nich dla kilku dodatnich i dla kilku ujemnych argumentów. Narysuj wykresy tych funkcji.
Na rysunku poniżej przedstawione są wykresy funkcji f i g. Wykres funkcji g otrzymano w ten sposób, że ta część wykresu funkcji f , która znajduje się pod osią x,
została odbita symetrycznie względem tej osi, a pozostałe części wykresu funkcji f
pozostały nie zmienione.
Możemy powiedzieć, że dla argumentu x wartości funkcji g są równe |f (x)|.
g(x) = |f (x)|
Jeśli f (x) ≥ 0, to g(x) = f (x), jeśli f (x) < 0,
to g(x) = −f (x).
Ćwiczenie E. Na rysunku obok przedstawiono wykres
funkcji f . Poniżej narysowano wykresy następujących
funkcji:
y = |f (−x)|
y = −|f (x)| + 2
Dopasuj wzory do wykresów.
przykład
1
Korzystając z wykresu funkcji y = x ,
1
narysuj wykres funkcji y = | x −3 − 2|.
1
f (x) = x
1
f1 (x) = f (x − 3) = x −3
1
f2 (x) = f1 (x) − 2 = x −3 − 2
1
f3 (x) = |f2 (x)| = | x −3 − 2|
MLK1y str. 218
y = |f (x) + 1|
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
PRZEKSZTAŁCANIE WYKRESÓW FUNKCJI
zadania
1. Narysuj wykres dowolnej funkcji f , a następnie narysuj wykres funkcji
a) y = −f (x)
b) y = f (−x)
c) y = −f (−x)
2. Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji f . Narysuj wykresy funkcji
podanych pod rysunkiem.
y = −f (x) + 1
y = g(−x) + 1
y = 1 − h(x)
y = −f (x + 1)
y = −g(−x)
y = −1 − h(x − 1)
3. Funkcja f jest rosnąca. Ustal, która z funkcji g, h, j też jest rosnąca, a która
malejąca, jeśli:
g(x) = f (−x)
h(x) = −f (x)
i(x) = −f (−x)
4. Jedynym miejscem zerowym pewnej funkcji f jest liczba −7. Znajdź miejsce
zerowe funkcji g, jeśli:
a) g(x) = −f (x)
b) g(x) = f (−x)
c) g(x) = −f (x + 5)
5. Narysuj wykres takiej funkcji f (która nie jest funkcją stałą), aby wykresy funkcji
y = −f (x) i y = f (−x) były takie same.
6. Wykresy funkcji g i h powstały w wyniku przekształcenia wykresu funkcji, której
wzór podano na rysunku. Zapisz wzory funkcji g i h.
MLK1y str. 219
XXVI
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XXVII
FUNKCJE
7. Zapisz wzór funkcji g, której wykres otrzymasz w wyniku przekształcenia wykresu funkcji:
a) f (x) = 5x − 2 przez symetrię względem osi x,
b) f (x) = 1
x + 1 przez symetrię względem osi y,
c) f (x) = 2x2 − 1
x najpierw przez symetrię względem osi x, a następnie przez przesunięcie o 4 jednostki w dół,
√
d) f (x) = 3x x − 1 najpierw przez przesunięcie o 4 jednostki w dół, a następnie
przez symetrię względem osi y,
e) f (x) = x + 1 najpierw przez symetrię względem osi y, a następnie przez przesux−2
nięcie o 7 jednostek w lewo,
√
najpierw przez przesunięcie o 7 jednostek w prawo, a naf) f (x) = x + 7 − x 1
−7
stępnie przez symetrię względem osi y.
8. Na rysunku obok przedstawiony jest wykres funk√
cji y = x. Przekształcając odpowiednio ten wykres,
narysuj wykres funkcji:
√
√
d) y = − −x − 4
a) y = − x + 5
√
√
e) y = 1 − x − 3
b) y = 2 − x
√
√
f) y = − x + 2 − 4
c) y = 3 + −x
9. Funkcja f jest malejąca w przedziale (−∞ ; 2 i rosnąca w przedziale 2 ; +∞).
Określ przedziały, w których malejąca jest funkcja g:
a) g(x) = −f (x)
c) g(x) = f (−x)
e) g(x) = −f (−x)
b) g(x) = −f (x) + 2
d) g(x) = −f (x − 3)
f) g(x) = 3 + f (−x)
10. a) Funkcja f przyjmuje wartości dodatnie tylko w przedziale (−5 ; 1). W jakim
przedziale funkcja g(x) = −f (x − 2) przyjmuje wartości ujemne?
b) Funkcja f przyjmuje największą wartość równą −4 dla argumentu 3. Podaj największą wartość funkcji g(x) = 5 + f (−x) i argument dla którego jest przyjmowana.
c) Funkcja f przyjmuje wartość 3 tylko dla argumentów −10 i 5. Dla jakich argumentów przyjmuje tę wartość funkcja g(x) = 6 − f (−x)?
11. Narysuj wykres takiej funkcji f , która przyjmuje wartości dodatnie i ujemne
oraz ma 3 miejsca zerowe, a następnie narysuj wykres funkcji:
a) y = |f (x)|
b) y = −|f (x)|
c) y = |f (x + 5)|
12. Odpowiedz, czy wykres funkcji f może być taki sam jak wykres funkcji g, jeśli:
a) g(x) = |f (x)|
MLK1y str. 220
b) g(x) = −|f (x)|
c) g(x) = |f (−x)|
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
PRZEKSZTAŁCANIE WYKRESÓW FUNKCJI
13. Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji f . Narysuj wykresy funkcji
podanych pod rysunkiem.
y = |f (x)|
y = −|f (x)|
y = −|f (−x)|
y = |f (x)| − 3
y = |f (x − 2)|
y = 1 − |f (x)|
14. a) Jedynymi miejscami zerowymi funkcji f są liczby −3 i 2. Jakie miejsca zerowe ma funkcja g(x) = |f (x + 5)|?
b) Wykres funkcji f przecina oś y w punkcie (0, −12). W jakim punkcie wykres
funkcji g(x) = |f (x)| − 7 przecina oś y?
c) Najmniejsza wartość funkcji f jest równa 10. Jaka jest największa wartość funkcji g(x) = 2 − |f (x)|?
1
15. Narysuj wykres funkcji y = − 2 x + 2, a następnie, korzystając z tego wykresu,
narysuj wykres funkcji:
a) y = − 1 x + 2
b) y = − 1 (x − 3) + 2
c) y = 2 − − 1 x + 2
2
2
2
16. Na rysunku obok przedstawiony jest wykres
funkcji y = x3 . Przekształcając odpowiednio ten wykres, narysuj wykres funkcji:
a) y = |x3 |
d) y = |(x − 3)3 |
b) y = |x3 | + 2
e) y = 3 + |(x + 1)3 |
c) y = −|x3 − 4|
f) y = −|(x + 2)3 − 1|
17. Wykres funkcji g powstał w wyniku przekształcenia wykresu funkcji, której
wzór podano na rysunku. Zapisz wzór funkcji g.
MLK1y str. 221
XXVIII
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XXIX
FUNKCJE
18. Na poniższych rysunkach przedstawiono wykresy następujących funkcji:
g(x) = 1 f (x) = 1 + 1
h(x) = − 1 + 1
x
x−1
x
1
1
l(x) = m(x) = 1 + 1
k(x) = − + 1
x
x
x−1
Narysowane wykresy otrzymano, przekształcając odpowiednio wykres funkcji
y= 1
x . Dopasuj wzory funkcji do wykresów.
19. Które z poniższych zdań są prawdziwe?
a) Jeśli funkcja f jest rosnąca, to funkcja y = −f (x) jest malejąca.
b) Funkcje y = f (x) oraz y = f (−x) zawsze mają takie same miejsca zerowe.
c) Funkcje y = f (x) oraz y = |f (x)| zawsze mają takie same miejsca zerowe.
Powtórzenie
Powinieneś teraz umieć:
1. Określać własności funkcji podanej za pomocą wzoru, wykresu lub w inny sposób.
2. Określać monotoniczność funkcji na postawie jej wykresu.
3. Narysować wykres funkcji liniowej i omówić jej własności.
4. Określić jaki wpływ na zmianę wzoru funkcji ma przesunięcie jej wykresu.
MLK1y str. 222
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
POWTÓRZENIE
Zestaw I
1. Poniżej podano trzy funkcje. Dla
każdej z nich ustal:
2
a) Jaka jest dziedzina funkcji?
b) Jaki jest zbiór wartości funkcji?
c) Dla jakich argumentów
przyjmuje wartości ujemne?
4. Sprawdź, które z punktów:
A = 9, − 1 , B = (1, 2), C = (0, 1)
√
należą do wykresu funkcji y = 1+ 2x ?
1−x
funkcja
d) Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji?
e) Jakie miejsca zerowe ma funkcja?
5. a) Znajdź punkty, w których wykres
funkcji y = − 37 x − 4 12 przecina osie układu współrzędnych.
b) Zapisz wzór funkcji liniowej, której
wykres przechodzi przez punkty (2, 3)
i (−1, 8).
6. Wykres funkcji f jest równoległy do
wykresu funkcji h. Podaj wzór funkcji f
i oblicz jej miejsca zerowe.
x
−7
−5
−3
0
2
g(x)
0
−2
0
12
−8
7. Na rysunku przedstawiono wykres
funkcji f . Narysuj wykresy funkcji:
a) y = f (x) + 3
d) y = f (−x)
b) y = f (x + 1)
e) y = f (x − 2) − 1
c) y = −f (x)
f) y = f (−x) + 2
2. Określ przedziały monotoniczności
funkcji przedstawionej na wykresie.
8. W jaki sposób należy przekształcić
wykres funkcji f , aby otrzymać wykres
funkcji g?
3. Określ dziedzinę funkcji:
a) y = 2x − 3
3x − 2
MLK1y str. 223
b) y =
√
5x + 1
3
a) f (x) = 3
x g(x) = x + 4
√
√
b) f (x) = 5 x g(x) = 5 −x
5
c) f (x) = x2
5
g(x) = − x2 + 3
XXX
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
XXXI
FUNKCJE
Zestaw II
1. Poniżej narysowano wykres pewnej
funkcji f .
a) Określ dziedzinę i zbiór wartości tej
funkcji. Odczytaj jej miejsca zerowe.
b) Dla jakich argumentów ta funkcja
przyjmuje wartości mniejsze od 2? Czy
funkcja ta przyjmuje wartość najmniejszą?
6. Dane są funkcje
1 f (x) = 32 − 5(|x| + 1),
x
4
2 f (x) = 4x x− 3 ,
3 f (x) =
√
3
x + 7.
Która z nich, dla dowolnego argumentu
x spełnia warunek:
a) f (−x) = f (x),
b) f (−x) = −f (x)?
7. Rysunek przedstawia wykres funkcji f . Która z poniższych funkcji nie jest
rosnąca?
g(x) = f (−x)
2. Określ dziedzinę funkcji:
a) y =
x+5
x2 − 2x + 3
k(x) = −f (x)
h(x) = |f (x)|
√
b) y = x3+−4x
3. Narysuj wykres funkcji określonej na
zbiorze liczb rzeczywistych, która:
• przyjmuje tylko wartości ujemne,
• maleje w przedziale (−∞ ; 0, rośnie w przedziale 0 ; 3 i jest stała
w przedziale 3 ; +∞).
8. Rysunek przedstawia wykres funkcji
f . Narysuj wykres funkcji:
a) y = −f (x)
c) y = |f (x)|
b) y = f (−x)
d) y = −|f (−x)|
4. Oblicz pole trójkąta ograniczonego
wykresami funkcji y = 2x − 3, y = 12 x + 32
oraz osią y.
5. Na rysunku przedstawiono fragment
wykresu funkcji f , której dziedziną jest
przedział −5 ; 5. Narysuj wykres funkcji f wiedząc, że jej wykres jest symetryczny względem
a) osi y,
b) punktu (0, 0).
MLK1y str. 224
9. Wykresy funkcji g i h powstały w wyniku przekształcenia wykresu funkcji
√
f (x) = x. Znajdź wzory funkcji g i h.
Suplement do podręcznika „Matematyka I. Zakres podstawowy”
POWTÓRZENIE
Zestaw III
1. Funkcja określona jest następująco:
Każdej trzycyfrowej liczbie naturalnej
przyporządkowujemy iloczyn jej cyfr.
a) Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?
b) Znajdź jej wartość najmniejszą i wartość największą.
c) Znajdź argumenty, dla których wartość funkcji jest równa 30.
d) Czy liczba 100 należy do zbioru wartości tej funkcji?
e) Uzasadnij, że ta funkcja nie jest rosnąca ani malejąca, ani stała.
2. Narysuj wykres funkcji, która spełnia następujące warunki:
• jej dziedziną jest przedział −2; 2,
• nie ma miejsc zerowych,
3. Dana jest funkcja f :
⎧
2x + 4
dla
⎪
⎪
⎪
⎨ −2x + 2 dla
f (x) =
⎪
−2
dla
⎪
⎪
⎩
2x − 8
dla
x ∈ (−3 ; −2)
x ∈ 0 ; 2
x ∈ (2 ; 3)
x ∈ 3 ; 4
Określ monotoniczność i miejsca zerowe funkcji h, gdy h(x) = f (x − 100) + 2.
√
4. Wykres funkcji y = 3x2 4x − 5 przesunięto o 2 jednostki w lewo i 5 jednostek do góry. Zapisz wzór funkcji,
której wykres otrzymano i podaj jej
dziedzinę.
5. Rysunek przedstawia wykres funkcji f . Narysuj wykres funkcji g, jeśli:
a) g(x) = |f (3 − x)|
b) g(x) = ||f (x) − 2| − 2|
• przyjmuje wartości dodatnie w przedziale (0; 2 i ujemne w przedziale
−2; 0,
• jest rosnąca w przedziałach −2 ; −1
oraz 0 ; 1 i malejąca w przedziałach
−1 ; 0 oraz 1 ; 2.
Zagadka
Na rysunku przedstawiono pewne pojęcie matematyczne (można je znaleźć w tym rozdziale). Jakie to pojęcie?
MLK1y str. 225
XXXII