64._Wzor_funkcji_a_w..

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej
Portalu www.szkolnictwo.pl
Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie
w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie
i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania
w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.
„Matematyka to gra rozgrywana
według pewnych prostych reguł z nic
nie znaczącymi znakami na
papierze.”
David Hilbert
WZÓR FUNKCJI A WYKRES.
Funkcję można przedstawiać na wiele sposobów jednak
wszystkie te sposoby są ze sobą ściśle powiązane. Kiedy
weźmiemy do ręki przepis na ciasto, nie widzimy co nam
z niego wyjdzie, ale jeśli będziemy postępowali zgodnie z
podaną procedurą, upieczemy smakowity deser. Wzór
funkcji możemy traktować jako przepis na jej wykres, jeśli
będziemy się go trzymać zobaczymy jak wygląda nasza
funkcja.
JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU?
Przyjrzyjmy się funkcji określonej wzorem:
y = 2x - 2
Zauważmy, że nie podano dziedziny tej funkcji, przyjmujemy
więc, że do jej dziedziny należą wszystkie liczby, dla których da
się obliczyć wartość tej funkcji – czyli w tym przypadku są to
wszystkie liczby rzeczywiste.
Korzystając ze wzoru funkcji możemy obliczać jej wartość dla
różnych argumentów (wyliczać y dla różnych x). Argumenty
wybieramy my, wstawiamy do wzoru i obliczamy wartość funkcji,
np.:
dla argumentu x = 0 funkcja przyjmuje wartość: y = 2· 0 – 2 = -2
dla argumentu x = 1 funkcja przyjmuje wartość: y = 2· 1 – 2 = 0
dla argumentu x = -1 funkcja przyjmuje wartość:
y = 2· (-1) – 2 = -4
itd.
JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU?
Po obliczeniu kilku, jeśli trzeba nawet kilkunastu wartości dla
wybranych przez nas argumentów, możemy sporządzić tabelkę,
która ułatwi zaznaczanie punktów na wykresie:
y = 2x - 2
x
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
Współrzędne odczytujemy parami góra – dół, w tej tabelce
mamy punkty o współrzędnych: (-2, -6); (-1, -4); (0, -2); (1, 0);
(2, 2); (3, 4); (4, 6)
UWAGA
Argumenty należy dobierać tak, aby punkty
zmieściły się na wykresie i aby łatwo było je
zaznaczyć.
JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU?
Punkty z tabeli zaznaczamy w układzie współrzędnych
y = 2x - 2
x
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
Zauważmy, że zaznaczone
punkty układają się w linie
prostą. Dziedziną tej funkcji
jest zbiór liczb rzeczywistych,
możemy więc połączyć nasze
punkty.
JAK KORZYSTAĆ ZE WZORU?
A oto wykres naszej funkcji:
y = 2x - 2
FUNKCJE LINIOWE.
Funkcje których wykresem jest linia prosta nazywamy
funkcjami liniowymi, do ich narysowania wystarczą nam
dwa punkty. Funkcję liniową można rozpoznać po
wzorze, ma on zawszę postać:
y = ax + b
gdzie a i b to liczby rzeczywiste. Oto przykłady innych
funkcji liniowych i ich wykresów:
FUNKCJE KWADRATOWE.
Nie, wykresem takich funkcji nie jest kwadrat, ale jeśli
spotasz wzór funkcji w którym najwyższa potęga
argumentu to dwa (czyli kwadrat) np. y = 2x2 + 2, to
możesz się spodziewać, że wykresem tej funkcji będzie
parabola.
Najprostsza parabola to wykres funkcji y = x2
FUNKCJE KWADRATOWE.
Oto przykłady funkcji kwadratowych i ich wykresów:
PROPORCJONALNOŚĆ
ODWROTNA
Proporcjonalność odwrotna to każda funkcja opisana
równaniem
, gdzie a jest ustaloną liczbą różną od 0
i oczywiście x ≠ 0 – pamiętajmy, nie można dzielić przez 0.
Jeśli nie ma podanej dziedziny tej funkcji to przyjmujemy,
że jest ona określona dla wszystkich liczb rzeczywistych z
wyjątkiem zera, wtedy wykresem proporcjonalności
odwrotnej jest hiperbola.
HIPERBOLA.
Oto przykład wykresu proporcjonalności odwrotnej dla
a = 1:
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1.
Jaką wartość przyjmuje dana funkcja dla argumentu
x = 0, oraz dla argumentu x = 1.
Zamiast zapisywać ciągle „dla argumentu x = … fukcja
przyjmuje wartość y = …” łatwiej jest używać zapisu f(x),
który oznacza „wartość funkcji f dla argumentu x”.
a) f(x) = x3
b)
c)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
a) f(x) = x3
f(0) = 03 = 0
f(1) = 13 = 1
b)
c)
,
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2.
Punkty A, B i C należą do wykresu podanej funkcji. Jakie
są drugie współrzędne tych punktów?
f(x) = 4x(x – 2)
A = (-2, _), B = (0, _), C = (-1, _)
Pierwsza współrzędna każdego punktu to x czyli nasz
argument, aby znaleźć drugą współrzędną wystarczy
obliczyć wartość funkcji dla podanych argumentów.
f(-2) = 4 · (-2) · (-2 – 2) = -8 · (-4) = 32
f(0) = 4 · 0 · (0 – 2) = 0
f(-1) = 4 · (-1) · (-1 – 2) = -4 · (-3) = 12
Nasze punkty to: A = (-2, 32), B = (0, 0), C = (-1, 12)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3.
Sprawdź, które z podanych w nawiasie są miejscem
zerowym funkcji określonej wzorem f(x) = 1 – x3 (1, -1,
0).
Wystarczy sprawdzić dla której z tych liczb funkcja
przyjmuje wartość 0:
f(1) = 1 – 13 = 1 – 1 = 0
f(-1) = 1 – (-1)3 = 1 – (-1) = 2
f(0) = 1 – 03 = 1 – 0 = 1
Miejscem zerowym tej funkcji jest 1.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4.
Uzupełnij tabelkę:
y = 8 – 2x
x
2
y
3
5
0
W pierwszych dwóch kolumnach wystarczy podstawić
podane argumenty do wzoru funkcji:
f(2) = 8 – 2 · 2 = 8 – 4 = 4
f(3) = 8 – 2 · 3 = 8 – 6 = 2
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4 – ciąg dalszy.
W dwóch ostatnich kolumnach mamy podaną wartość
funkcji, musimy więc wpisać ją do wzoru zamiast y i
rozwiązać równanie:
5 = 8 – 2x
5 – 8 = - 2x
-3 = -2x /: (-2)
1,5 = x
0 = 8 – 2x
-8 = -2x / : (-2)
4=x
Nasza tabelka po uzupełnieniu powinna wyglądać tak:
y = 8 – 2x
x
2
3
1,5
4
y
4
2
5
0
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
Zadanie 5.
Dla jakiego argumentu funkcja o podanym wzorze
przyjmuje wartość 5?
y = 0,2x – 1
Wystarczy wpisać 5 zamiast y we wzorze i rozwiązać
równanie:
5 = 0,2x – 1
5 + 1 = 0,2x
6 = 0,2x / : 0,2
30 = x
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
Zadanie 6.
Znajdź miejsce zerowe funkcji y = 0,5x + 5.
Zamiast y we wzorze wstawiamy 0 i rozwiązujemy
równanie:
0 = 0,5x + 5
-5 = 0,5x / : 0,5
-10 = x
Miejscem zerowym funkcji y = 0,5x + 5 jest x = -10