Untitled

MLR1x str. 155
POJĘCIE
FUNKCJI
A
POJĘCIE FUNKCJI
Na poniższym wykresie pokazano, jak zmienia się temperatura w zależności od wysokości nad powierzchnią Ziemi (dla wysokości nie większej niż
100 km). Przedstawiono na nim przeciętne temperatury notowane na różnych wysokościach.
1. Jaka temperatura panuje na wysokości 10 km?
2. Jaka jest najniższa z temperatur przedstawionych na wykresie? Na jakiej
wysokości ją zanotowano?
3. Na jakich wysokościach panują temperatury dodatnie?
Odczytaj jeszcze kilka innych informacji z tego wykresu.
Zależność przedstawiona za pomocą powyższego wykresu to przykład
funkcji. Możemy powiedzieć, że każdej wysokości nad powierzchnią Ziemi
przyporządkowana jest przeciętna temperatura (dokładnie jedna) panująca na tej wysokości.
Funkcją określoną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden
element zbioru Y .
Zdanie „Funkcja f argumentom ze zbioru X
przyporządkowuje wartości ze zbioru Y ” możemy zapisać tak:
f : X −→ Y
Oznaczmy literą f funkcję przedstawioną
na powyższym wykresie. Możemy powiedzieć, że f jest funkcją określoną na zbiorze 0 ; 100 o wartościach w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Zdanie „Wartość funkcji f dla argumentu 80
jest równa −90” możemy zapisać tak:
f (80) = −90
Zbiór X, na którym określona jest funkcja, nazywamy dziedziną funkcji,
a każdy element dziedziny nazywamy argumentem funkcji.
Argumentami funkcji f są liczby z przedziału 0 ; 100. Z wykresu możemy odczytać na przykład, że: f (4) = −30, f (38) = 0, f (50) = 10.
156
FUNKCJE
MLR1x str. 156
Czasami argumenty i wartości funkcji nazywa się zmiennymi: argument
funkcji — zmienną niezależną, a wartość funkcji — zmienną zależną.
Dziedziną funkcji może być dowolny zbiór i wartości funkcji też mogą być
elementami dowolnego zbioru. W tym rozdziale omawiać jednak będziemy
przede wszystkim takie funkcje, których argumenty i wartości są liczbami.
Funkcję określamy, podając jej dziedzinę i sposób, w jaki argumentom
przyporządkowywane są wartości. Możemy to zrobić za pomocą wykresu,
opisu słownego, tabelki, grafu lub wzoru. Poniżej tę samą funkcję opisano
na pięć różnych sposobów.
Opis słowny: Każdej liczbie ze zbioru {−3, −2, −1, 0, 1} przyporządkowujemy kwadrat liczby od niej o 1 większej.
Wykres:
Tabelka:
x
−3
−2
−1
0
1
y
4
1
0
1
4
Wzór:
Graf:
y = (x + 1)2
Argumentami tej funkcji są liczby: −3, −2, −1, 0, 1, a wartościami tej funkcji są liczby: 0, 1, 4.
Wykres funkcji tworzą punkty, których pierwsza współrzędna jest argumentem, a druga współrzędna jest wartością odpowiadającą temu argumentowi.
Inaczej mówiąc, do
wykresu funkcji f należą wszystkie punkty o współrzędnych
(x, f (x)), gdzie x jest
elementem dziedziny.
Tak znajdujemy wartość funkcji dla danego argumentu x.
POJĘCIE FUNKCJI
MLR1x str. 157
A tak argumenty, dla
których funkcja przyjmuje daną wartość y.
157
Poniżej przedstawione są wykresy trzech funkcji. Zwróć uwagę, że pierwszy wykres zakończony jest z lewej strony kropką, a z prawej strony takiej
kropki nie ma. W ten sposób oznaczamy, że dziedziną jest przedział lewostronnie domknięty. Przyjmujemy również, że punkty oznaczone pustym
kółeczkiem (tak jak na drugim rysunku) nie należą do wykresu funkcji.
Dziedziną tej funkcji jest
przedział − 4 ; +∞).
B
Dziedziną tej funkcji jest
zbiór −4 ; 2 ∪ (3 ; 4.
Dziedziną tej funkcji jest
zbiór {−2, 0, 1, 2, 3}.
Dla każdej z trzech funkcji przedstawionych powyżej odczytaj:
1. Jaką wartość przyjmuje funkcja dla argumentu 0, a jaką — dla argumentu 2?
2. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość 1?
3. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie?
4. Czy funkcja przyjmuje wartość mniejszą od −1?
5. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość 0?
Argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, nazywamy miejscem
zerowym tej funkcji. Innymi słowy, argument a jest miejscem zerowym
funkcji f , gdy f (a) = 0.
Oczywiście funkcja może nie mieć miejsc
zerowych, może także mieć nieskończenie
wiele miejsc zerowych.
Na rysunku obok przedstawiony jest wykres pewnej funkcji. Miejscami zerowymi
tej funkcji są liczby −3, −1 oraz wszystkie
liczby z przedziału 2 ; 4).
C
1. Narysuj wykres dowolnej funkcji, której dziedziną jest przedział − 5; 5)
i która ma dwa miejsca zerowe.
2. Wykres pewnej funkcji f przecina osie układu współrzędnych w czterech
punktach: (0 , −3), (−7 , 0), (2 , 0) oraz (6 12 , 0). Podaj miejsca zerowe tej funkcji.
3. Odczytaj miejsca zerowe funkcji, której wykres zamieszczony jest na str. 156.
4. Narysuj wykres takiej funkcji, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych
i która nie ma miejsc zerowych.
158
FUNKCJE
MLR1x str. 158
Omawiane dotąd funkcje były przedstawiane za pomocą wykresów. Poniżej
omawiamy kilka przykładów funkcji określonych w inny sposób.
Niech f oznacza funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych
dodatnich i która każdej liczbie przyporządkowuje zaokrąglenie tej liczby do dziesiątek.
D
√ 1. Podaj wartości: f (9), f (3), f (0,25), f (12), f (127), f 10 3 .
2. Wypisz kilka punktów należących do wykresu funkcji f . Narysuj wykres
funkcji f .
3. Podaj przykłady kilku argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartość 100.
4. Dla jakich argumentów wartość funkcji f jest równa argumentowi?
5. Funkcja f ma nieskończenie wiele miejsc zerowych. Zapisz zbiór miejsc
zerowych tej funkcji.
Funkcja g określona jest następująco:
g: −→ i g(n) to największa z liczb parzystych mniejszych lub równych n.
E
1. Podaj wartości g(3), g(5), g(16), g(158).
2. Dla jakich argumentów funkcja g przyjmuje wartość 120?
3. Czy funkcja g ma miejsca zerowe?
4. Dla ilu różnych argumentów funkcja g przyjmuje wartości mniejsze od 50?
5. Narysuj wykres funkcji g.
Gdy dziedzina funkcji jest zbiorem skończonym, to wszystkie argumenty i odpowiadające im wartości można wypisać w tabeli. Można też taką
funkcję przedstawić za pomocą grafu. Oto przykłady:
W poniższej tabeli przedstawiono funkcję, która numerom poszczególnych miesięcy przyporządkowuje liczbę liter występujących w nazwie
miesiąca.
x
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
y
7
4
6
8
3
8
6
8
8
11
8
8
x — numer miesiąca
F
y — liczba liter występujących w nazwie miesiąca
1. Ile elementów ma dziedzina funkcji przedstawionej powyżej za pomocą
tabeli?
2. Dla jakich argumentów funkcja ta przyjmuje wartości większe od 5?
3. Ile różnych wartości przyjmuje ta funkcja?
4. Zapisz zbiór wartości tej funkcji.
POJĘCIE FUNKCJI
MLR1x str. 159
159
Graf przedstawiony obok opisuje funkcję
na
√f określoną
√
2
2
zbiorze
1, 3, − 2, 1 , − .
5 3
Wartości tej funkcji należą do
zbioru {−7, 0, 1}.
G
1. Jaką wartość przyjmuje funkcja f dla argumentu 1?
2. Dla jakich argumentów ta
funkcja przyjmuje wartość −7?
3. Jakie miejsca zerowe ma ta funkcja?
4. Ile punktów należy do wykresu funkcji?
5. Jaką największą wartość przyjmuje ta funkcja?
Funkcje można także opisywać za pomocą wzorów. Ten sposób opisu omawiać będziemy w jednym z następnych rozdziałów.
ZADANIA
1. Poniższy graf przedstawia funkcję, która każdemu województwu w Polsce przyporządkowuje liczbę miast znajdujących się na terenie tego województwa (dane
z 2011 r.).
Oznaczenia:
D — dolnośląskie
PD — podlaskie
L — lubelskie
LU — lubuskie
Ł — łódzkie
MP — małopolskie
MZ — mazowieckie
O — opolskie
PK — podkarpackie
K — kujawsko-pomorskie
PO — pomorskie
ŚL — śląskie
ŚW — świętokrzyskie
WM — warmińsko-mazurskie
W — wielkopolskie
Z — zachodniopomorskie
a) Ile elementów ma dziedzina funkcji?
b) Jaką najmniejszą, a jaką największą wartość przyjmuje ta funkcja?
c) Ile jest argumentów, dla których wartości funkcji są mniejsze niż 45?
d) Dla ilu argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze niż 50?
160
FUNKCJE
MLR1x str. 160
2. Każde z przyporządkowań opisanych poniżej to przykład funkcji. Określ dziedzinę każdej z nich, podaj kilka argumentów oraz odpowiadające im wartości.
a) Słowu w języku polskim przyporządkowana jest liczba liter w tym wyrazie.
b) Numerowi strony twojego podręcznika do matematyki przyporządkowana jest
liczba zadań na tej stronie.
c) Każdemu obywatelowi Polski przyporządkowany jest jego numer PESEL.
d) Uczniowi twojej klasy przyporządkowana jest liczba jego rodzeństwa.
e) Pisarzowi przyporządkowany jest kraj, w którym się urodził.
f) Zdaniu w języku polskim przyporządkowana jest liczba słów w nim użyta.
g) Pierwiastkowi chemicznemu przyporządkowany jest jego symbol.
h) Szczytowi górskiemu przyporządkowana jest jego wysokość (w metrach) n.p.m.
3. Poniżej podano przykłady przyporządkowań (liczbom x przyporządkowane są
liczby y). Które z nich nie są funkcjami?
a)
x
−5
−1
0
6
x
−3
−2
−1
−1
x
−2
0
2
10
y
−5
3
−5
3
y
0
−2
−5
−7
y
4
4
4
4
b)
4. Poniżej podano dwie funkcje określone za pomocą tabel. Dla każdej z nich ustal:
a) Jaki jest zbiór wartości funkcji?
b) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie?
c) Jaka jest największa, a jaka najmniejsza wartość funkcji?
d) Czy funkcja ma miejsca zerowe, jeśli tak, to jakie?
e) Ilu argumentom przyporządkowana jest liczba 2?
x
−5
f (x)
2
x
1
−2 − 2
−3
2
22
−3 −3 12 2 12
0
0
1
−3
0
1
3
1
2
2
−2
2
−2
2
−2
2
−1 − 2
g(x) 2
1
1
1
0
Przedstaw każdą z tych funkcji za pomocą wykresu.
POJĘCIE FUNKCJI
MLR1x str. 161
161
5. a) Dla każdej z funkcji przedstawionych na wykresach wykonaj polecenia:
Określ dziedzinę, podaj pięć dowolnych argumentów i odczytaj odpowiadające
im wartości.
Określ, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Czy funkcja
przyjmuje wartości mniejsze od −2? Jeśli tak, to dla jakich argumentów?
Odczytaj miejsca zerowe funkcji.
b) Która z funkcji przedstawionych na wykresach spełnia jednocześnie poniższe
warunki?
Funkcja ma dokładnie trzy miejsca zerowe.
Dla argumentów z przedziału (−2 ; 2) funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Najmniejsza wartość funkcji wynosi −2.
Wysokość Stopień Wysokość Stopień
fali
skali
fali
skali
(m)
Beauforta
(m)
Beauforta
0
0
(4 ; 6
7
(0 ; 0,1
1
(6 ; 8
8
(0,1 ; 0,5
2
(8 ; 10
9
(0,5 ; 1
3
(10 ; 12
10
(1 ; 2
4
(12 ; 14
11
(2 ; 3
5
(14 ; +∞)
12
(3 ; 4
6
162
6. Korzystając z informacji przedstawionych w tabeli, narysuj wykres funkcji, która wysokości fali na morzu przyporządkowuje stopień w skali Beauforta.
FUNKCJE
MLR1x str. 162
7. Określ miejsca zerowe poniższych funkcji.
a) f : → i f (n) to reszta z dzielenia n przez 3
b) f : → i f (n) to cyfra jedności liczby n
c) f : → i f (n) to cyfra jedności liczby 5n
d) f : + → i f (n) to liczba dzielników liczby n różnych od 1 i mniejszych od n
e) f : + → i f (n) to n-ta cyfra po przecinku liczby 0,0(608)
8. Narysuj wykres funkcji określonej na zbiorze liczb rzeczywistych, która dla argumentów x ∈ (−∞ ; −2) ∪ (5 ; +∞) przyjmuje wartości dodatnie, a dla x ∈ (−2 ; 5)
przyjmuje wartości ujemne i której miejscami zerowymi są liczby −2 i 5.
9. Funkcja jest określona następująco:
Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy największą z liczb całkowitych nie
większych od tej liczby.
Wypisz współrzędne kilku punktów należących do wykresu tej funkcji, a następnie
narysuj jej wykres.
10. Na każdym rysunku są przedstawione dwie funkcje. Odpowiedz na poniższe
pytania, rozważając kolejne rysunki.
a) Jaka jest dziedzina funkcji f , a jaka — funkcji g?
b) Jaki jest zbiór wartości funkcji f , a jaki — funkcji g?
c) Ile miejsc zerowych ma funkcja f , a ile — funkcja g?
d) Dla jakich argumentów wartości funkcji g są dodatnie, a dla jakich argumentów
dodatnie są wartości funkcji f ?
e) Dla jakich argumentów wartości funkcji f i g są równe, a dla jakich argumentów
wartości funkcji f są większe od wartości funkcji g?
11. Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy dwóch funkcji f i g określonych na zbiorze liczb rzeczywistych, tak aby wartości funkcji g były większe od
wartości funkcji f tylko dla x ∈ (−∞ ; −4) oraz dla x ∈ (3 ; 5).
POJĘCIE FUNKCJI
MLR1x str. 163
163
12. Na poniższych rysunkach przedstawione są fragmenty wykresów funkcji f , g
i h określonych na zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych. Dalsze części wykresów przebiegają analogicznie. Czy domyślasz się, w jaki sposób? Dla każdej z tych
funkcji ustal:
a) Jaką wartość przyjmuje funkcja dla argumentu 10, a jaką — dla argumentu 100?
b) Dla ilu argumentów mniejszych od 100 funkcja przyjmuje wartość 2?
c) Ile miejsc zerowych funkcji należy do przedziału 20 ; 30?
TEST
T1. W tabelce podano niektóre argumenty i wartości funkcji f . Na jednym z rysunków przedstawiono
wykres tej funkcji. Na którym?
x
√
√
−3 − 2 0
10
f (x) −2
0
2
−2
T2. Funkcja g jest określona następująco:
g: → i g(n) to liczba cyfr zapisu dziesiętnego liczby n.
Ile jest argumentów, dla których funkcja g przyjmuje wartość 2?
A. 1
B. 10
C. 90
D. 99
T3. Na rysunku przedstawiono wykresy dwóch funkcji f oraz g. Wartości
funkcji g są ujemne, ale jednocześnie
większe od wartości funkcji f dla argumentów należących do przedziału:
A. (−4; 2)
B. (−1; 4)
C. (−1; 2)
D. (−4; −1)
164
FUNKCJE
MLR1x str. 164
FUNKCJI
TONICZN
OŚĆ
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI
A
Przyjrzyj się poniższym wykresom i ustal, która z tych funkcji spełnia waru nek:
f (−3) < f (−1,5) < f (0) < f 1 1 < f (2,55)
7
Wskaż funkcję, która spełnia warunek:
f (−3) > f (−1,5) > f (0) > f 1 1 > f (2,55)
7
Przyjrzyj się poniższym wykresom funkcji. Każda z tych funkcji ma następującą własność: wraz ze wzrostem argumentów rosną także wartości
funkcji. O takich funkcjach mówimy, że są rosnące.
B
Dla każdej z funkcji przedstawionych na powyższych wykresach wybierz takie
dwa argumenty x1 i x2 , że x1 < x2 . Ustal, dla którego z tych argumentów
funkcja przyjmuje większą wartość.
Funkcję f nazywamy rosnącą, gdy dla dowolnych argumentów x1 i x2
spełniony jest warunek: jeśli x1 < x2 , to f (x1 ) < f (x2 ).
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI
MLR1x str. 165
165
Gdy wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji, mówimy, że
funkcja jest malejąca. Oto przykłady funkcji malejących:
C
Dla każdej z powyższych funkcji wybierz takie dwa argumenty x1 i x2 , że
x1 < x2 . Ustal, dla którego z tych argumentów funkcja przyjmuje większą
wartość.
Funkcję f nazywamy malejącą, gdy dla dowolnych argumentów x1 i x2
spełniony jest warunek: jeśli x1 < x2 , to f (x1 ) > f (x2 ).
Poniżej przedstawiono dwa wykresy funkcji. Pierwsza z tych funkcji przyjmuje dla każdego argumentu wartość 3, a druga — wartość −2.
Funkcję, która dla każdego argumentu przyjmuje taką samą wartość, nazywamy funkcją stałą.
D
Narysuj wykres funkcji f , której dziedziną jest przedział (−3, 4 i która każdemu argumentowi przyporządkowuje wartość 2.
166
FUNKCJE
MLR1x str. 166
E
Uzasadnij, że funkcja f , przedstawiona poniżej, nie jest rosnąca. (Wskaż takie
argumenty x1 i x2 , że x1 < x2 , ale f (x1 ) ≥ f (x2 ).)
Funkcja f przedstawiona na wykresie nie jest ani rosnąca, ani malejąca.
O funkcji f możemy jednak powiedzieć, że: jest rosnąca w przedziale
(−∞ ; −3, jest rosnąca w przedziale 4 ; 8, jest malejąca w przedziale
− 3 ; 4, jest malejąca w przedziale 10 ; +∞), jest stała w przedziale
8 ; 10.
Uwaga. Chociaż funkcja f rośnie w przedziale (−∞ ; −3 oraz w przedziale 4 ; 8,
nie możemy powiedzieć, że funkcja ta jest rosnąca w zbiorze (−∞ ; −3 ∪ 4 ; 8.
(Dla argumentów x1 = −4 i x2 = 5 spełniony jest warunek x1 < x2 , ale f (x1 ) > f (x2 ).
Wynika stąd, że w zbiorze (−∞ ; −3 ∪ 4 ; 8 funkcja f nie jest rosnąca).
Jeśli podajemy przedziały, w których funkcja jest rosnąca, przedziały,
w których jest malejąca, oraz przedziały, w których jest stała, to mówimy, że wyznaczamy przedziały monotoniczności funkcji.
ZADANIA
1. Wśród funkcji przedstawionych na wykresach wskaż funkcje rosnące, funkcje
malejące i funkcje stałe.
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI
MLR1x str. 167
167
2. Podaj przedziały monotoniczności funkcji f , g i h.
3. Wśród podanych zależności wskaż takie, które są funkcjami rosnącymi.
a) Zależność pola kwadratu od długości jego boku.
b) Zależność długości grafitu ołówka od czasu używania tego ołówka.
c) Zależność długości drogi hamowania danego samochodu od jego prędkości.
4. Narysuj wykres takiej funkcji, która spełnia następujące warunki:
a) dziedziną jest zbiór (−∞ ; −2 ∪ (0 ; +∞), funkcja jest rosnąca w przedziale
(−∞ ; −4, jest rosnąca w przedziale 3 ; +∞), jest malejąca w przedziale − 4 ; −2,
jest malejąca w przedziale (0 ; 3,
b) dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, funkcja jest stała w przedziale (−∞ ; −3
oraz w przedziale 2 ; +∞), a w przedziale − 3 ; 2 jest rosnąca.
5. W wyścigu wioślarskim na dystansie 2000 m wzięły udział trzy 8-osobowe osady
reprezentujące uniwersytety z Kamfort, Oksbridż i z Jelitkowa. Wykresy pokazują,
jak zmieniała się prędkość tych osad na trasie biegu.
Osada z Kamfort w pierwszej fazie wyścigu rozpędzała się, a w drugiej utrzymała stałą prędkość.
Osada z Oksbridż szybko uzyskała dużą prędkość,
jednak wkrótce straciła siły i jej prędkość znacznie
spadła.
a) Które wykresy opisują prędkość osad z Kamfort
i Oksbridż?
b) Opisz, jak zmieniała się prędkość osady z Jelitkowa.
168
FUNKCJE
MLR1x str. 168
6. Wyobraź sobie, że do naczyń, których kształt zilustrowano na rysunkach, wlewamy jednakowym strumieniem wodę.
Wykresy przedstawiają, jak zmienia się poziom wody w naczyniach w czasie ich
napełniania. Dopasuj wykresy do naczyń.
7. Badania naukowców nad skokami pcheł zaowocowały wykresami, które przedstawiono poniżej. Pierwszy wykres przedstawia, jak zmienia się wysokość, na jakiej
znajduje się środek ciężkości pchły w pierwszej fazie ruchu. Drugi wykres przedstawia, jak zmienia się prędkość pchły w tym samym czasie, a trzeci — jak zmienia
się przyspieszenie.
a) Jak zmienia się wartość przyspieszenia pchły, a jak — wysokość, na której
znajduje się jej środek ciężkości, gdy
prędkość pchły jest stała?
b) Na jakiej wysokości znajduje się środek ciężkości pchły, gdy ma ona największe przyspieszenie? Jaką ma wówczas prędkość?
c) Z jakim przyspieszeniem pchła rozpoczyna skok? Czy prędkość pchły maleje, gdy maleje jej przyspieszenie?
d) Z jaką prędkością porusza się pchła,
gdy jej środek ciężkości znajduje się na
wysokości 0,25 mm?
MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI
MLR1x str. 169
169
TEST
T1. Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji malejącej?
T2. Która z funkcji przedstawionych na wykresach spełnia warunek: jest rosnąca
w przedziale −3; −1 i w przedziale 1; 4 oraz jest malejąca w przedziale −1; 1?
Y FUNKC
JI
WZORY I WYKRESY FUNKCJI
A
B
1. Oblicz wartość wyrażenia x2 −
1
x
dla x = 2 oraz x = −1.
2. Dla jakiej liczby x nie można obliczyć wartości wyrażenia
Przyjmijmy, że dziedziną funkcji f , g oraz h jest zbiór
x
?
x+1
1 1
, , 1, 2, 3
3 2
.
Funkcję f , która każdemu argumentowi x przyporządkowuje liczbę o 2 większą od x, można opisać za pomocą wzoru f (x) = x + 2.
Zapisz za pomocą wzoru funkcje określone w następujący sposób:
1. Funkcja g przyporządkowuje każdemu argumentowi x liczbę przeciwną
do x.
2. Funkcja h przyporządkowuje każdemu argumentowi x odwrotność liczby x.
Jeżeli funkcja każdej liczbie x należącej do dziedziny przyporządkowuje
wartość pewnego wyrażenia algebraicznego, to można ją zapisać za pomocą wzoru.
170
MLR1x str. 170
FUNKCJE
Rozważmy na przykład następującą funkcję:
Każdej liczbie rzeczywistej x większej od −1
przyporządkowujemy iloraz liczby x przez
liczbę o 1 większą od x.
Zdanie „Funkcja f argumentowi x przyporządx
”
kowuje wartość
x+1
możemy zapisać krócej
na różne sposoby:
Sposób, w jaki argumentom przyporządkowane są wartości tej funkcji, można przedstawić za pomocą wzoru:
y=
y=
2 = 2.
2+1
3
Jeśli x = − 1 , to y =
2
f (x) =
x
x+1
Wstawiając do tego wzoru (w miejsce x)
liczbę należącą do dziedziny, otrzymujemy
wartość funkcji dla tej liczby. Na przykład:
Jeśli x = 2, to y =
f : x −→
− 12
− 12 + 1
x
x+1
x
x+1
x
x+1
Wszystkie trzy zapisy oznaczają tę samą funkcję.
0 = 0.
0+1
√
√
√
Jeśli x = 3, to y = √ 3 = 3− 3 .
2
3+1
Jeśli x = 0, to y =
= −1.
Do wykresu tej funkcji należą więc punkty:
√ √
2, 2 , − 1 , −1 , (0, 0),
3, 3 − 3
3
2
2
Na pierwszym rysunku zaznaczono kilkanaście punktów należących do
x . Wszystkie punkty wykresu tej funkcji tworzą
wykresu funkcji y = x +
1
krzywą taką, jak na drugim rysunku.
Gdy funkcja określona jest wzorem, a jej dziedzina nie jest podana, przyjmujemy, że do dziedziny należą wszystkie liczby rzeczywiste, dla których
wzór ma sens.
P
Określ dziedzinę funkcji y =
x ≥ 0 i x − 1 = 0
√
6
x + x − 1.
Liczba podpierwiastkowa musi być nieujemna; dzielenie przez zero nie jest określone.
Zatem x ≥ 0 i x = 1
Odp. Dziedziną funkcji jest zbiór 0 ; +∞) \ {1}.
WZORY I WYKRESY FUNKCJI
MLR1x str. 171
171
Niekiedy za pomocą wzoru opisana jest zależność między dwiema wielkościami. Gdy sporządzimy wykres funkcji określonej tym wzorem, możemy
zaobserwować, jak zmienia się jedna wielkość w zależności od drugiej.
Rysując taki wykres, należy pamiętać, że argumentami mogą być tylko
takie wielkości, dla których wzór ma sens. Oto przykłady takich zależności.
Samochód jedzie ruchem jednokm
stajnym ze stałą prędkością 60 h .
Długość przebytej drogi (s) zależy od czasu (t).
km
s =v·t
v = 60 h
t — czas [h]
s — droga [km]
Przy przesuwaniu tłoku w pompce rowerowej wykonano pracę
10 J. Ciśnienie powietrza (p)
w pompce zależy od objętości
ściskanego powietrza (V ).
Liczba (L) przekątnych wielokąta
zależy od liczby jego boków (n).
n(n − 3)
L=
2
Długość przekątnej (d) prostokąta o danym obwodzie równym 10
zależy od długości jednego z boków (x).
d =
c
p = V
C
c = 10 J
3
V — objętość [cm ]
p — ciśnienie [MPa]
n — liczba boków
wielokąta
L — liczba przekątnych
x 2 + (5 − x)2
x — długość jednego z boków
prostokąta
d — długość przekątnej
Określ dziedzinę każdej z powyższych funkcji i oblicz wartości dla kilku wybranych argumentów. Spróbuj, korzystając z wykresów, opisać, jak zmieniają
się wartości tych funkcji wraz ze wzrostem argumentów.
172
FUNKCJE
MLR1x str. 172
ZADANIA
1. Znajdź współrzędne punktów zaznaczonych na wykresach.
2. Sprawdź, który z punktów A, B, C należy do wykresu podanej funkcji:
2
a) y = 2x −1 ; A = 1, 1 , B = −20, 79 , C = (0, −1)
3x
3
60
√ √
b) y = 1 − 5x; A = 1 , 0 , B = (10, 7), C = −2, 11
5
1
c) y = x + √
; A = 0, 1 , B = (−3, −2), C = 5, 5 1
x+4
2
3
3. Sprawdź, które z liczb 0, 1, 1 1 , 2, −2, 3, −3 są miejscami zerowymi funkcji:
2
2
b) y = x − 9
a) y = 3x − x2
c) y = (x − 3)(x + 2)(2x − 3)
x−2
4. Określ dziedzinę funkcji. Podaj punkt przecięcia wykresu z osią y oraz trzy inne
punkty należące do wykresu tej funkcji.
a) y = x3 − 5x
b) y =
c) y =
√
x
d) y =
5. Dane są funkcje:
y = x4
y=
1
x−2
√
1
x2 − 1
5
f) y =
2x2 + 3
e) y =
3−x
√
3
x
y = 2x − 1
y = x2
y =x+1
y=
√
x
y = −x4 + 1
a) Wskaż te funkcje, których wykres przecina oś y w punkcie (0, 1).
b) Wskaż te funkcje, których wykres przechodzi przez punkt (1, 1).
c) Które z tych funkcji mają miejsce zerowe równe 0?
6. Określ dziedzinę funkcji:
a) y = x2 + 2 −
x −2x
1
x+3
WZORY I WYKRESY FUNKCJI
MLR1x str. 173
b) y =
√
x+2+
√
5−x
c) y =
x2
x−1
173
7. Poniżej narysowano wykresy następujących funkcji:
f (x) =
−4 + 2
x2 + 2
g(x) = x2 + 3x
h(x) = x3 + x2 − 6x
Dopasuj te wzory do wykresów.
Dla każdego z wykresów podaj współrzędne dowolnych dwóch punktów, które do
niego należą.
8. Wśród funkcji przedstawionych na wykresach znajdź te, które spełniają podany
warunek.
a) Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
b) Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych.
c) Funkcja dla x = 100 ma wartość ujemną.
d) Funkcja nie ma miejsc zerowych.
e) Zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
l(x) = 1 x3 + 1 x2 − 3 x
4
4
2
√
m(x) = (x − 4) x
174
f (x) =
3
x2 +1
√
g(x) = −2 x + 2
h(x) = 3x
4
x +1
k(x) = − 1 x2 + 2
2
FUNKCJE
MLR1x str. 174
9. a) Funkcja f określona jest wzorem f (x) =
algebraicznego) wartości f (a − 1), f (2a), f (a2 ).
3x . Zapisz (w postaci wyrażenia
x2 + 2
b) Funkcja g każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowuje wartość x(x−1)(2x+3).
Zapisz, jaką wartość przyjmuje ta funkcja dla argumentów 3x, x + 1, x − 3 .
2
10. Znajdź taką liczbę a, dla której wykres funkcji określonej za pomocą podanego
wzoru przechodzi przez punkt (2, 5).
a) y = ax2
b) y = a
x
c) y = a(x − 1)2
d) y =
√
ax
11. Rozważmy trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej długości 1. Niech x
oznacza długość jednej z przyprostokątnych. Przedstaw za pomocą wzoru zależność y od x i wskaż wykres, który przedstawia tę zależność, jeśli:
a) y oznacza długość drugiej z przyprostokątnych,
b) y oznacza pole trójkąta,
c) y oznacza obwód trójkąta,
d) y oznacza pole koła opisanego na trójkącie.
12. Rozważmy prostokąty o polu równym 1. Niech x oznacza długość jednego
z boków. Przedstaw za pomocą wzoru zależność y od x i wskaż wykres, który
przedstawia tę zależność, jeśli:
a) y oznacza długość drugiego boku prostokąta,
b) y oznacza obwód prostokąta,
c) y oznacza długość przekątnej,
d) y oznacza sumę długości przekątnych prostokąta.
WZORY I WYKRESY FUNKCJI
MLR1x str. 175
175
13. Oblicz f (−2), f (0), f (10), jeśli:
Zapis
f (x) =
x(x − 1) dla x < 5
√
x
dla x ≥ 5
oznacza, że dla argumentu x mniejszego od 5 wartość funkcji f obliczamy ze wzoru f (x) = x(x − 1), a dla
argumentu 5 lub większego od 5 —
√
ze wzoru f (x) = x. Na przykład:
√
f (1) = 1 · (1 − 1) = 0 f (5) = 5
f (3) = 3 · (3 − 1) = 6 f (8) = 8 = 2 2
a) f (x) =
b) f (x) =
x2 + 1 dla x < −1
x2 − 1 dla x ≥ −1
⎧
⎨ 3−x
⎩
2
x2 + 21
⎧
2
⎪
⎪
⎨ −2x
c) f (x) = 1
⎪
⎪
⎩ 2
3x
√
dla x ∈ (−∞ ; − 2 √
dla x ∈ (− 2 ; +∞ )
dla x ∈ (−∞ ; −1
dla x ∈ (−1 ; 1
dla x ∈ (1 ; +∞ )
14. Niech x oznacza długość jednego z boków prostokąta o obwodzie 12, zaś y
— odległość punktu przecięcia przekątnych od dłuższego boku prostokąta. Który
z poniższych wzorów przedstawia zależność y od x?
⎧
⎨
y=
x
2
dla x ∈ (0 ; 3
⎩3 − x
2
y=
dla x ∈ (3 ; 6)
⎧
⎨3 − x
dla x ∈ (0 ; 3
⎩
dla x ∈ (3 ; 6)
2
x
2
TEST
T1. Przez punkt (−1, 2) przechodzi wykres funkcji:
5
A. y = 1 − 2x
6
x
B. y = x2 + 2x − 1
C. y = 4(x + 1)
2x + 2
√
D. y =
1 − 3x
x+2
T2. Niech f (x) oznacza pole koła o średnicy x. Ustal, który z podanych wzorów
opisuje funkcję f .
A. y = 1 π x2
4
B. y = 1 π x2
2
C. y = π x2
D. y = 2π x2
T3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono wykres funkcji y =
√
x + 4.
Na którym?
176
FUNKCJE
MLR1x str. 176