Związek między potencjałem a natężeniem pola elektrycznego

Związek między potencjałem
a natężeniem pola elektrycznego
Ryszard J. Barczyński, 2017
Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego
Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego
Jeszcze o potencjale pola elektrycznego
Co prawda potencjał wprowadziliśmy rozważając energię potencjalną,
ale zwróćmy uwagę na to, że energia potencjalna układu ładunków
i potencjał pola elektrycznego różnią się bardzo.
Energia potencjalna jest równoważna pracy wykonanej przy
tworzeniu układu ładunków (jest to jedna liczba).
Możemy ją traktować jako energię zmagazynowaną w układzie.
Potencjał pola elektrycznego to pole skalarne określone w każdym
punkcie przestrzeni. Potencjał pola elektrycznego
Znajdziemy teraz zależność między natężeniem pola elektrycznego
a jego potencjałem.
Rozważmy pod uwagę mały przyrost potencjału pomiędzy
bardzo bliskimi punktami (x, y, z) i (x+dx, y+dy, z+dz).
Możemy go zapisać jako: d =
∂
∂x
dx
∂
∂y
dy
∂
∂z
dz
Potencjał pola elektrycznego
d =
∂
∂x
dx
∂
∂y
dy
∂
∂z
Z drugiej strony
dz

 ds
d =− E
równanie pierwsze otrzymamy jeżeli w drugim wyrazimy
natężenie pola elektrycznego przez pochodne cząstkowe potencjału
w poszczególnych kierunkach:
∂
∂
∂

E =− x
− y
−z
∂x
∂y
∂z
Potencjał pola elektrycznego
Wektor utworzony z pochodnych cząstkowych potencjału
w poszczególnych kierunkach nazywa się zwykle gradientem
(i oznacza literką nabla):
∇ = x
∂
∂x
 y
∂
∂y
z
∂
∂z
Zależność między potencjałem i natężeniem pola elektrycznego
możemy teraz zapisać tak
 =− x
E
∂
∂x
− y
∂
∂y
−z
∂
∂z
=−∇ 
Potencjał pola elektrycznego
Do zagadnienia potencjalności pola podchodzi się czasami
“od strony potencjału”, czyli tak: Pole wektorowe E(r) nazywamy potencjalnym jeżeli istnieje pole skalarne φ(r), zwane potencjałem tego pola, takie że
∂
∂
∂

E =− x
− y
−z
=−∇ 
∂x
∂y
∂z
Potencjał
pola
elektrycznego
∇ = x
∂
∂x
 y
∂
∂y
z
∂
∂z
Gradient pola skalarnego
policzony w każdym punkcie
przestrzeni wygeneruje nam pole wektorowe, którego wektory będą
skierowane w stronę maksymalnego wzrostu danego pola skalarnego,
a ich wartość będzie określała stopień tego wzrostu. Potencjał
pola
elektrycznego
Warto zwrócić uwagę,
że skoro gradient skierowany jest
w stronę maksymalnego wzrostu potencjału, to minus gradient
pokazuje kierunek, w którym potencjał najbardziej maleje.
Zatem natężenie pola elektrycznego będzie skierowane tam,
gdzie najbardziej maleje potencjał. Potencjał pola elektrycznego
W ekstremach potencjału pole elektryczne zanika.
Zanika zatem i siła ­ mamy punkty równowagi
(trwałej w minimach energii potencjalnej i nietrwałej w maksimach).
Jeżeli w jakimś obszarze potencjał jest stały,
to zanika w nim pole elektryczne.
Do przemyślenia
na wiele sposobów można rzec to samo...
Siła kulombowska jest zachowawcza, czyli praca wykonana przy ●
przesunięciu ładunku między dwoma punktami jest zawsze taka sama.
● Praca wykonana w polu elektrycznym przy przesunięciu ładunku na drodze zamkniętej jest równa zeru.
● Pole elektryczne jest potencjalne, czyli istnieje funkcja położenia  (zwana potencjałem), taka że   r =−∇   r 
E
Do przemyślenia
w długie zimowe wieczory
Jak wszyscy wiemy, napięcie w sieci energetycznej naszych mieszkań wynosi 230V. Ile elektronów musi przepłynąć między bolcami wtyczki czajnika, by zagotować litr wody? Porównaj ją z ładunkiem typowo występującym w naszych doświadczeniach elektrostatycznych.
● Półkulista czasza naładowana jest ze stałą gęstością powierzchniową . Wykaż, że koło będące “podstawą” czaszy jest powierzchnią ekwipotencjalną.
● Czy można wytworzyć pole elektrostatyczne, w którym wektory natężenia pola elektrycznego miały by ten sam kierunek i zwrot,
a w kierunku do nich prostopadłym wartość natężenia zmieniała by się liniowo? ●