postać algebraiczna
advertisement
Jednostka modułowa 311[07]O1 Jm. 4/1 Badanie obwodów prądu przemiennego U(V) t (s) Opracowanie: A. Wiktor; Z. Zelek Mechanizm powstawania SEM sinusoidalnie zmiennej E = Emax * sin 1 kratka = 1[V] =45º E = 10*0,707 =7,07[V] Charakterystyczne wielkości związane z prądem przemiennym Amplituda (wartość maksymalna) Wartość międzyszczytowa Współczynniki obliczeniowe dla wartości: skutecznej, średniej międzyszczytowej najbardziej popularnych przebiegów przemiennych Ilustracja przesunięcia fazowego pomiędzy przebiegami przemiennymi Przebieg B opóźnia się za przebiegiem A o kąt 45° przebiegi są względem siebie przesunięte w fazie. A=+45° Przebieg A przesunięty względem B o 180° Przebieg A wyprzedza B o 90° Przebieg B wyprzedza A o 90° Przebieg A w fazie z przebiegiem B przesunięcie 0° Przedstawianie wielkości w obwodach prądu przemiennego przy pomocy wektorów Wielkości w obwodach prądu przemiennego można przedstawić za pomocą wektorów, których długość (moduł) zależy od amplitudy, a kąty określające zwroty wektorów uzależnione są od kątów przesunięcia pomiędzy przebiegami czyli od faz poszczególnych przebiegów. Przedstawienie wektorów przy pomocy liczb zespolonych (urojonych), postać algebraiczna Liczbą zespoloną będziemy nazywać obiekt zapisywany jako (x+jy), gdzie j jest naszą liczbą urojoną, x i y są zwykłymi liczbami rzeczywistymi. j = 1 j 2 = 1 Im (2 + j3) – postać algebraiczna Oś urojonych Część rzeczywista, rzut modułu na oś rzeczywistych Część urojona, rzut modułu na oś urojonych. Re Moduł wektora (jego długość) Oś rzeczywistych Płaszczyzna zespolona Liczba zespolona i odpowiadający jej wektor wodzący mogą znajdować się w każdym miejscu płaszczyzny zespolonej, w zależności od wartości oraz znaku części rzeczywistej i urojonej. Przedstawienie wektorów przy pomocy liczb zespolonych (urojonych), postać wykładnicza Liczbę zespoloną można przedstawić również w tzw. postaci wykładniczej która jest równoważna postaci algebraicznej. z = r e j modułu wektora Im Liczba e – podstawa logarytmu naturalnego e ≈ 2,71828 Argument to kąt o jaki moduł przesunięty jest względem dodatniej osi liczb rzeczywistych. Re z = 3,6 e j 57 Przykładowo dla wektora z rysunku bo Moduł: Argument: z = re2 im 2 = 22 32 = 3,6 im 3 tg = = = 1,5; 57 re 2 Zamiana postaci algebraicznej w wykładniczą Aby przekształcić zapis algebraiczny do równoważnego zapisu wykładniczego należy: 1. policzyć moduł wektora, Zapis algebraiczny liczby z 2. policzyć argument czyli kąt , 3. zapisać liczbę w postaci wykładniczej z = (4 j 3) Im Część Częśćrzeczywista Urojona Część rzeczywista i urojona to przyprostokątne trójkąta prostokątnego a moduł to przeciwprostokątna, stąd jego długość obliczymy z twierdzenia Pitagorasa z = re2 im 2 = 42 32 = 25 = 5 Argument to kąt o jaki moduł przesunięty jest względem dodatniej osi liczb rzeczywistych. Obliczymy go z wykorzystaniem funkcji tangens kąta tg = im 3 = = 0,75; 37 re 4 Zapis liczby z w postaci wykładniczej z = 5 e j 37 Zamiana postaci wykładniczej w algebraiczną Aby przekształcić zapis wykładniczy do równoważnego zapisu algebraicznego należy skorzystać z zapisu trygonometrycznego: 1. wstawić odpowiednio dane do postaci trygonometrycznej , 2. policzyć i zapisać liczbę w postaci algebraicznej Zapis wykładniczy liczby z j 37 z = 5e z = z ( cos j sin ) Postać trygonometryczna Moduł wektora Funkcja cosinus argumentu z uwzględnieniem znaku (przebieg zmienności) dająca część rzeczywistą. Funkcja sinus argumentu z uwzględnieniem znaku (przebieg zmienności) dająca część urojoną zapisu algebraicznego z = 5(cos 37 j sin 37) = 5(0,8 j 0,6) = (4 j 3) Zapis liczby z w postaci algebraicznej z = (4 j 3) Działania na liczbach zespolonych (dodawanie i odejmowanie) (możliwe jedynie w postaci algebraicznej) Suma dwu liczb zespolonych z1=(a1+jb1) i z2=(a2+jb2) jest liczbą zespoloną z3, której część rzeczywista jest sumą części rzeczywistych obydwu liczb a część urojona sumą części urojonych liczb z1 i z2 . z1 = (3 j8); z 2 = (1 j 4) z1 z 2 = (3 j8) (1 j 4) = (3 1) j (8 4) = (4 j 4) Różnica dwu liczb zespolonych z1=(a1+jb1) i z2=(a2+jb2) jest liczbą zespoloną z4, której część rzeczywista jest różnicą części rzeczywistych obydwu liczb a część urojona różnicą części urojonych liczb z1 i z2 . z1 = (3 j8); z 2 = (1 j 4) z1 z 2 = (3 j8) (1 j 4) = (3 1) j (8 4) = (2 j12) Działania na liczbach zespolonych (mnożenie) (możliwe w postaci algebraicznej i wykładniczej) Mnożenie dwu liczb zespolonych z1=(a1+jb1) i z2=(a2+jb2) (postać algebraiczna) wykonujemy jak mnożenie dwumianów w zwykłej algebrze. z1 = (3 j8); z 2 = (1 j 4) z1 z 2 = (3 j8) (1 j 4) = (3 1 3 ( j 4) j8 1 j8 ( j 4)) = (3 j12 j8 j 2 32) = ((3 32) ( j8 j12)) = (35 j 4) Moduł iloczynu dwu liczb zespolonych z1= r1ej1° i z2= r2ej2° jest równy iloczynowi modułów poszczególnych liczb zespolonych a argument jest sumą argumentów poszczególnych liczb zespolonych. z1 = 2 e j 25 ; z1 z 2 = (2 4) e z2 = 4 e j ( 2550 ) j 50 = 8 e j 75 Działania na liczbach zespolonych (dzielenie) (możliwe w postaci algebraicznej i wykładniczej) Dzielenie dwu liczb zespolonych z1=(a1+jb1) i z2=(a2+jb2) (postać algebraiczna), wykonujemy poprzez działanie eliminujące niewymierność w mianowniku. W tym celu pomnożymy licznik i mianownik ilorazu obydwu liczb przez liczbę sprzężoną do mianownika czyli liczby z2 z1 = (3 j8); z 2 = (1 j 4); z 2 * = (1 j 4) Liczba sprzężona do z2 z1 = (3 j8) = (3 j8) (1 j 4) = ((3 1) (3 j 4) ( j8 1) ( j8 j 4)) = z 2 (1 j 4) (1 j 4) (1 j 4) ((11) (1 j 4) ( j 4 1) ( j 4 j 4)) (3 j12 j8 j 2 32) (29 j 20) = = = (1,17 j1,18) 2 17 (1 j 4 j 4 j 16) Moduł ilorazu dwu liczb zespolonych z1= r1ej1 i z2= r2ej2 jest równy ilorazowi modułów poszczególnych liczb zespolonych a argument jest różnicą argumentów poszczególnych liczb zespolonych. z1 = 2 e j 25 ; z2 = 4 e j 50 j 25 z1 = 2 e = 2 j ( 2550) = 0,5 j 25 e e j 50 4 z2 4 e
