Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 1. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie Poissona z parametrem λ. Rozkład parametru ryzyka Λ w populacji ubezpieczających się (zakładamy dla uproszczenia, że jest to populacja nieskończona) jest rozkładem Gamma (2, 10 ) , o wartości oczekiwanej równej 2/10. W roku 1 mieliśmy w portfelu 1000 osób wylosowanych z tej populacji. W roku 2 w naszym portfelu znajduje się ponownie 1000 osób, przy czym 750 osób to losowo dobrana podgrupa z grupy osób ubezpieczonych w roku 1, zaś 250 osób to nowi ubezpieczeni, dolosowani z populacji. Niech N1 i N 2 oznacza liczbę szkód z naszego [ ] portfela w roku 1 i w roku 2, odpowiednio. Wobec tego Ε ( N1 − N 2 ) wynosi: (A) 400 (B) 410 (C) 420 (D) 430 (E) 440 1 2 Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 2. W poniższej tabeli zawarte są wybrane informacje o rozkładzie wartości pojedynczej szkody Y: y Ε[(Y − y ) + ] Pr (Y ≤ y ) 2 6 12 4 5 81 1/ 4 1/ 2 Z informacji tych wynika, że Ε(Y 2 < Y ≤ 4 ) wynosi: (A) 2 12 (B) 2 23 (C) 3 (D) 3 13 (E) 3 12 2 Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 3. Niech X 1 , X 2 , X 3 ,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach dwupunktowych postaci: 1 k −1 , Pr( X k = k ) = , Pr( X k = 0) = k k i niech Wn = X 1 + X 2 + ... + X n będzie ich sumą częściową. Granica ciągu współczynników skośności: 3 Ε (Wn − Ε(Wn ) ) lim 3 n→∞ [var(Wn )]2 wynosi: { (A) 0 (B) 2 2 3 (C) 3 3 4 (D) 8 5 (E) ∞ } 3 Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 4. Łączna wartość szkód: • X = Y1 + Y2 + ... + YN , ( X = 0 gdy N = 0 ) ma przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ warunkowy rozkład złożony Poissona o oczekiwanej licznie szkód równej λ oraz rozkładzie wartości pojedynczej szkody danym dla x ≥ 0 dystrybuantą: • FY Λ = λ ( x) = 1 − exp(− a ⋅ exp(bλ ) ⋅ x ) Parametr ryzyka Λ ma w populacji ubezpieczonych rozkład Gamma (α , β ) , o gęstości: • f Λ ( x) = β α α −1 x exp(− β x) . Γ(α ) Przyjmijmy wartości parametrów zadania równe: 1 • a = , b =1 10 • α = 2 , β = 10 Wobec tego iloraz: Ε( X ) • Ε( N ) ⋅ Ε(Y ) wynosi: (A) 1 (B) 11 12 (C) 10 11 (D) 5 6 (E) 9 11 4 Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 5. Wiadomo, że zmienne losowe N 1 , N 2 , N 3 są niezależne, i mają rozkłady określone na zbiorze liczb całkowitych nieujemnych, spełniające zależności rekurencyjne: 1 Pr( N 1 = k ) = ⋅ Pr( N 1 = k − 1) , k = 1,2,3,... 2 ⎛1 1 ⎞ Pr( N 2 = k ) = ⎜ + k = 1,2,3,... ⎟ ⋅ Pr( N 2 = k − 1) , ⎝ 2 2k ⎠ ⎛1 1⎞ Pr( N 3 = k ) = ⎜ + ⎟ ⋅ Pr( N 3 = k − 1) , k = 1,2,3,... ⎝2 k⎠ Wobec tego Pr( N1 + N 2 + N 3 = 4) wynosi: (A) 126 1024 (B) 112 1024 (C) 210 1024 (D) 224 1024 (E) 252 1024 5 Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 6. Każdej jednostce z pewnej populacji przydarzają się szkody zgodnie z procesem Poissona z intensywnością λ (rocznie), pod warunkiem że parametr ryzyka Λ charakteryzujący tę jednostkę wynosi λ . Znamy pierwsze trzy momenty rozkładu zmiennej Λ w tej populacji: ΕΛ = 0.2 , Ε Λ2 = 0.1 , Ε Λ3 = 0.08 . Niech N oznacza liczbę szkód wygenerowaną przez (losowo wybraną z tej populacji) jednostkę w ciągu dwóch kolejnych lat. Moment centralny trzeciego rzędu zmiennej zmiennej N wynosi: ( ) (A) 0.416 (B) 0.832 (C) 1.124 (D) 1.408 (E) 1.664 ( ) 6 Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 7. Rozważamy zdyskontowany proces nadwyżki ubezpieczyciela postaci: t N (t ) 0 k =1 U (t ) = u + c ⋅ ∫ exp(−δt )dt − ∑ exp(−δTk )Yk , t ≥ 0, gdzie: • u ≥ 0 - to nadwyżka początkowa • c - to intensywność napływu składki na jednostkę czasu • Y1 , Y2 , Y3 ,... - to wartości kolejnych szkód • (N (t ) = n ) ⇔ (Tn ≤ t < Tn +1 ) , • n = 0,1,2,3,... , gdzie: T0 = 0 , zaś T1 , T2 , T3 ,... to momenty zajścia kolejnych szkód. O wartościach szkód i momentach ich zajścia przyjmujemy założenia: • Y1 , Y2 , Y3 ,... są dodatnie i mają ten sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej 1 • T1 , (T2 − T1 ), (T3 − T2 ), (T4 − T3 ),... są dodatnie i mają ten sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej 1/5 • Y1 , T1 , Y2 , (T2 − T1 ), Y3 , (T3 − T2 ), Y4 , (T4 − T3 ),... są niezależne. Zakładamy ponadto, że c = 5 34 oraz że δ = 1 / 20 . ∞ Jeśli rozkład zmiennej losowej ∑ exp(−δT )Y k =1 k k przybliżymy rozkładem normalnym, to wartość u0.95 kapitału początkowego u taka, przy której zachodzi: • Pr (U (∞) > 0 ) = 95% z dokładnością tego przybliżenia wyniesie: (A) u0.95 ≈ 1.15 (B) u0.95 ≈ 1.25 (C) u0.95 ≈ 1.35 (D) u0.95 ≈ 1.45 (E) u0.95 ≈ 1.55 Uwaga: Zmienna normalna standaryzowana przekracza z prawdopodobieństwem 5% wartość 1,645 7 Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 8. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela postaci: N (t ) U (t ) = u + c ⋅ t − ∑ Yk , t ≥ 0, gdzie: k =1 • u ≥ 0 - to nadwyżka początkowa • c - to intensywność napływu składki na jednostkę czasu • Y1 , Y2 , Y3 ,... - to wartości kolejnych szkód • (N (t ) = n ) ⇔ (Tn ≤ t < Tn +1 ) , • n = 0,1,2,3,... , gdzie: T0 = 0 , zaś T1 , T2 , T3 ,... to momenty zajścia kolejnych szkód. O wartościach szkód i momentach ich zajścia przyjmujemy założenia: • Y1 , Y2 , Y3 ,... są dodatnie i mają ten sam rozkład, • T1 , (T2 − T1 ), (T3 − T2 ), (T4 − T3 ),... są dodatnie i mają ten sam rozkład, • Y1 , T1 , Y2 , (T2 − T1 ), Y3 , (T3 − T2 ), Y4 , (T4 − T3 ),... są niezależne. Zakładamy także, iż istnieje współczynnik dopasowania R, a więc taka liczba dodatnia r, która spełnia równanie: Ε[exp(− rU n +1 U n )] = exp(− rU n ) . Rozważamy dwa warianty procesu: • Wariant 1, gdzie T1 ma rozkład Gamma (1, λ ) zaś Y1 rozkład Gamma (1, β ) ; • Wariant 2, gdzie T1 ma rozkład Gamma ( 1 2 , λ ) zaś Y1 rozkład Gamma ( 1 2 , β ) Niech R1 i Ψ1 (u ) oraz R2 i Ψ2 (u ) oznaczają współczynnik dopasowania i funkcję prawdopodobieństwa ruiny dla wariantu 1 oraz wariantu 2, odpowiednio. Spośród poniższych zdań wybierz zdanie prawdziwe: (A) R1 < R2 oraz ∀ (Ψ1 (u ) > Ψ2 (u ) ) (B) R1 > R2 oraz ∀ (Ψ1 (u ) < Ψ2 (u ) ) (C) R1 = R2 oraz ∀ (Ψ1 (u ) > Ψ2 (u ) ) (D) R1 = R2 oraz ∀ (Ψ1 (u ) < Ψ2 (u ) ) (E) R1 = R2 oraz ∃ (Ψ1 (u ) = Ψ2 (u ) ) u ≥0 u ≥0 u ≥0 u ≥0 u ≥0 8 Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 9. Rozważamy klasyczny proces nadwyżki ubezpieczyciela: U ( t ) = u + c ⋅ t − S( t ) gdzie: • u – to nadwyżka początkowa, • S (t ) - to łączna wartość szkód, będąca złożonym procesem Poissona z parametrem częstotliwości λ , z wykładniczymi szkodami o wartości oczekiwanej 1/ β 6λ • Parametr intensywności składki wynosi c = 5β Wiemy, że przy aktualnej wysokości kapitału początkowego u spełniony jest warunek: • Ψ (u ) = 1 / 10 . Udziałowcy postanowili zwiększyć nadwyżkę początkową dwukrotnie. Po tej zmianie prawdopodobieństwo ruiny Ψ (2u ) wyniesie: (A) 0.010 (B) 0.012 (C) 0.0144 (D) 1 144 (E) za mało danych do udzielenia odpowiedzi liczbowej 9 Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Zadanie 10. Proces pojawiania się szkód startuje w momencie T0 = 0 . Niech Tn oznacza moment zajścia n-tej szkody. Ponieważ szkody numerujemy według kolejności zajścia, wobec tego zachodzi 0 < T1 < T2 < K . Wypłata odszkodowania za n-tą szkodę następuje w momencie Tn + Dn . Załóżmy, iż zmienne losowe: T1 , (T2 − T1 ), (T3 − T2 ), K oraz: D1 , D2 , D3 , K są wszystkie nawzajem niezależne i mają identyczny rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej 1. Prawdopodobieństwo, iż dla pewnego ustalonego n wypłata odszkodowania za szkodę n + 1 -szą poprzedzi wypłatę odszkodowania za szkodę n-tą wynosi: (A) 0 (B) 1 6 (C) 1 5 (D) 1 4 (E) 1 3 10 Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.2011 r. ___________________________________________________________________________ Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko ..........................K L U C Z O D O W I E D Z I............................... Pesel ............................................................. Zadanie nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * ♦ Odpowiedź B E B C A D D D B D Punktacja ♦ Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna. 11