Zadanie 1. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód

Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 1.
Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez
ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie
Poissona z parametrem λ. Rozkład parametru ryzyka Λ w populacji ubezpieczających
się (zakładamy dla uproszczenia, że jest to populacja nieskończona) jest rozkładem
Gamma (2, 10 ) , o wartości oczekiwanej równej 2/10.
W roku 1 mieliśmy w portfelu 1000 osób wylosowanych z tej populacji. W roku 2 w
naszym portfelu znajduje się ponownie 1000 osób, przy czym 750 osób to losowo
dobrana podgrupa z grupy osób ubezpieczonych w roku 1, zaś 250 osób to nowi
ubezpieczeni, dolosowani z populacji. Niech N1 i N 2 oznacza liczbę szkód z naszego
[
]
portfela w roku 1 i w roku 2, odpowiednio. Wobec tego Ε ( N1 − N 2 ) wynosi:
(A)
400
(B)
410
(C)
420
(D)
430
(E)
440
1
2
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 2.
W poniższej tabeli zawarte są wybrane informacje o rozkładzie wartości pojedynczej
szkody Y:
y
Ε[(Y − y ) + ]
Pr (Y ≤ y )
2
6 12
4
5 81
1/ 4
1/ 2
Z informacji tych wynika, że Ε(Y 2 < Y ≤ 4 ) wynosi:
(A)
2 12
(B)
2 23
(C)
3
(D)
3 13
(E)
3 12
2
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 3.
Niech X 1 , X 2 , X 3 ,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
dwupunktowych postaci:
1
k −1
, Pr( X k = k ) = ,
Pr( X k = 0) =
k
k
i niech Wn = X 1 + X 2 + ... + X n będzie ich sumą częściową.
Granica ciągu współczynników skośności:
3
Ε (Wn − Ε(Wn ) )
lim
3
n→∞
[var(Wn )]2
wynosi:
{
(A)
0
(B)
2 2
3
(C)
3 3
4
(D)
8
5
(E)
∞
}
3
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 4.
Łączna wartość szkód:
• X = Y1 + Y2 + ... + YN , ( X = 0 gdy N = 0 )
ma przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ warunkowy rozkład złożony Poissona
o oczekiwanej licznie szkód równej λ oraz rozkładzie wartości pojedynczej szkody
danym dla x ≥ 0 dystrybuantą:
• FY Λ = λ ( x) = 1 − exp(− a ⋅ exp(bλ ) ⋅ x )
Parametr ryzyka Λ ma w populacji ubezpieczonych rozkład Gamma (α , β ) , o
gęstości:
•
f Λ ( x) =
β α α −1
x exp(− β x) .
Γ(α )
Przyjmijmy wartości parametrów zadania równe:
1
• a = , b =1
10
• α = 2 , β = 10
Wobec tego iloraz:
Ε( X )
•
Ε( N ) ⋅ Ε(Y )
wynosi:
(A)
1
(B)
11
12
(C)
10
11
(D)
5
6
(E)
9
11
4
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 5.
Wiadomo, że zmienne losowe N 1 , N 2 , N 3 są niezależne, i mają rozkłady określone na
zbiorze liczb całkowitych nieujemnych, spełniające zależności rekurencyjne:
1
Pr( N 1 = k ) = ⋅ Pr( N 1 = k − 1) ,
k = 1,2,3,...
2
⎛1 1 ⎞
Pr( N 2 = k ) = ⎜ +
k = 1,2,3,...
⎟ ⋅ Pr( N 2 = k − 1) ,
⎝ 2 2k ⎠
⎛1 1⎞
Pr( N 3 = k ) = ⎜ + ⎟ ⋅ Pr( N 3 = k − 1) ,
k = 1,2,3,...
⎝2 k⎠
Wobec tego Pr( N1 + N 2 + N 3 = 4) wynosi:
(A)
126
1024
(B)
112
1024
(C)
210
1024
(D)
224
1024
(E)
252
1024
5
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 6.
Każdej jednostce z pewnej populacji przydarzają się szkody zgodnie z procesem
Poissona z intensywnością λ (rocznie), pod warunkiem że parametr ryzyka Λ
charakteryzujący tę jednostkę wynosi λ . Znamy pierwsze trzy momenty rozkładu
zmiennej Λ w tej populacji:
ΕΛ = 0.2 , Ε Λ2 = 0.1 , Ε Λ3 = 0.08 .
Niech N oznacza liczbę szkód wygenerowaną przez (losowo wybraną z tej populacji)
jednostkę w ciągu dwóch kolejnych lat. Moment centralny trzeciego rzędu zmiennej
zmiennej N wynosi:
( )
(A)
0.416
(B)
0.832
(C)
1.124
(D)
1.408
(E)
1.664
( )
6
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 7.
Rozważamy zdyskontowany proces nadwyżki ubezpieczyciela postaci:
t
N (t )
0
k =1
U (t ) = u + c ⋅ ∫ exp(−δt )dt − ∑ exp(−δTk )Yk ,
t ≥ 0,
gdzie:
• u ≥ 0 - to nadwyżka początkowa
• c - to intensywność napływu składki na jednostkę czasu
• Y1 , Y2 , Y3 ,... - to wartości kolejnych szkód
•
(N (t ) = n ) ⇔ (Tn ≤ t < Tn +1 ) ,
•
n = 0,1,2,3,... , gdzie:
T0 = 0 , zaś T1 , T2 , T3 ,... to momenty zajścia kolejnych szkód.
O wartościach szkód i momentach ich zajścia przyjmujemy założenia:
• Y1 , Y2 , Y3 ,... są dodatnie i mają ten sam rozkład wykładniczy o wartości
oczekiwanej równej 1
• T1 , (T2 − T1 ), (T3 − T2 ), (T4 − T3 ),... są dodatnie i mają ten sam rozkład wykładniczy o
wartości oczekiwanej równej 1/5
• Y1 , T1 , Y2 , (T2 − T1 ), Y3 , (T3 − T2 ), Y4 , (T4 − T3 ),... są niezależne.
Zakładamy ponadto, że c = 5 34 oraz że δ = 1 / 20 .
∞
Jeśli rozkład zmiennej losowej
∑ exp(−δT )Y
k =1
k
k
przybliżymy rozkładem normalnym,
to wartość u0.95 kapitału początkowego u taka, przy której zachodzi:
• Pr (U (∞) > 0 ) = 95%
z dokładnością tego przybliżenia wyniesie:
(A)
u0.95 ≈ 1.15
(B)
u0.95 ≈ 1.25
(C)
u0.95 ≈ 1.35
(D)
u0.95 ≈ 1.45
(E)
u0.95 ≈ 1.55
Uwaga: Zmienna normalna standaryzowana przekracza z prawdopodobieństwem 5%
wartość 1,645
7
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 8.
Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela postaci:
N (t )
U (t ) = u + c ⋅ t − ∑ Yk ,
t ≥ 0,
gdzie:
k =1
• u ≥ 0 - to nadwyżka początkowa
• c - to intensywność napływu składki na jednostkę czasu
• Y1 , Y2 , Y3 ,... - to wartości kolejnych szkód
•
(N (t ) = n ) ⇔ (Tn ≤ t < Tn +1 ) ,
•
n = 0,1,2,3,... , gdzie:
T0 = 0 , zaś T1 , T2 , T3 ,... to momenty zajścia kolejnych szkód.
O wartościach szkód i momentach ich zajścia przyjmujemy założenia:
• Y1 , Y2 , Y3 ,... są dodatnie i mają ten sam rozkład,
•
T1 , (T2 − T1 ), (T3 − T2 ), (T4 − T3 ),... są dodatnie i mają ten sam rozkład,
•
Y1 , T1 , Y2 , (T2 − T1 ), Y3 , (T3 − T2 ), Y4 , (T4 − T3 ),... są niezależne.
Zakładamy także, iż istnieje współczynnik dopasowania R, a więc taka liczba
dodatnia r, która spełnia równanie: Ε[exp(− rU n +1 U n )] = exp(− rU n ) .
Rozważamy dwa warianty procesu:
• Wariant 1, gdzie T1 ma rozkład Gamma (1, λ ) zaś Y1 rozkład Gamma (1, β ) ;
• Wariant 2, gdzie T1 ma rozkład Gamma ( 1 2 , λ ) zaś Y1 rozkład Gamma ( 1 2 , β )
Niech R1 i Ψ1 (u ) oraz R2 i Ψ2 (u ) oznaczają współczynnik dopasowania i funkcję
prawdopodobieństwa ruiny dla wariantu 1 oraz wariantu 2, odpowiednio. Spośród
poniższych zdań wybierz zdanie prawdziwe:
(A)
R1 < R2 oraz ∀ (Ψ1 (u ) > Ψ2 (u ) )
(B)
R1 > R2 oraz ∀ (Ψ1 (u ) < Ψ2 (u ) )
(C)
R1 = R2 oraz ∀ (Ψ1 (u ) > Ψ2 (u ) )
(D)
R1 = R2 oraz ∀ (Ψ1 (u ) < Ψ2 (u ) )
(E)
R1 = R2 oraz ∃ (Ψ1 (u ) = Ψ2 (u ) )
u ≥0
u ≥0
u ≥0
u ≥0
u ≥0
8
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 9.
Rozważamy klasyczny proces nadwyżki ubezpieczyciela:
U ( t ) = u + c ⋅ t − S( t )
gdzie:
• u – to nadwyżka początkowa,
• S (t ) - to łączna wartość szkód, będąca złożonym procesem Poissona z
parametrem częstotliwości λ , z wykładniczymi szkodami o wartości oczekiwanej
1/ β
6λ
• Parametr intensywności składki wynosi c =
5β
Wiemy, że przy aktualnej wysokości kapitału początkowego u spełniony jest
warunek:
• Ψ (u ) = 1 / 10 .
Udziałowcy postanowili zwiększyć nadwyżkę początkową dwukrotnie. Po tej zmianie
prawdopodobieństwo ruiny Ψ (2u ) wyniesie:
(A)
0.010
(B)
0.012
(C)
0.0144
(D)
1
144
(E)
za mało danych do udzielenia odpowiedzi liczbowej
9
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Zadanie 10.
Proces pojawiania się szkód startuje w momencie T0 = 0 . Niech Tn oznacza moment
zajścia n-tej szkody. Ponieważ szkody numerujemy według kolejności zajścia, wobec
tego zachodzi 0 < T1 < T2 < K .
Wypłata odszkodowania za n-tą szkodę następuje w momencie Tn + Dn . Załóżmy, iż
zmienne losowe: T1 , (T2 − T1 ), (T3 − T2 ), K
oraz: D1 , D2 , D3 , K
są wszystkie nawzajem niezależne i mają identyczny rozkład wykładniczy o wartości
oczekiwanej równej 1.
Prawdopodobieństwo, iż dla pewnego ustalonego n wypłata odszkodowania za szkodę
n + 1 -szą poprzedzi wypłatę odszkodowania za szkodę n-tą wynosi:
(A)
0
(B)
1
6
(C)
1
5
(D)
1
4
(E)
1
3
10
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
4.04.2011 r.
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych
Arkusz odpowiedzi *
Imię i nazwisko ..........................K L U C Z O D O W I E D Z I...............................
Pesel .............................................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
Odpowiedź
B
E
B
C
A
D
D
D
B
D
Punktacja ♦
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11