oddziaływanie elektryczne

ODDZIAŁYWANIE ELEKTRYCZNE
Siła z jaką dwa ładunki q oraz q ' odległe o r oddziaływają na siebie wyraża się
wzorem:
FK
qq '
u
2 r
r
(5.1)
gdzie ur  r jest jednostkowym wektorem  ur  =1
Współczynnik K w układzie SI wynosi:
Nm 2
1
K  8,9874 10 [ 2 ] 
4 0
C
9
(5.2)
 0 jest przenikalnością elektryczną próżni
C jest jednostką ładunku elektrycznego zwaną Kulomb
Wyrażenie na siłę można zapisać:
F  9 109
qq '
u
2 r
r
(5.3)
Jednostka ładunku elektrycznego jest zdefiniowana ze wzoru (5.3) :
Jednostka ładunku 1C – Kulomb to jest ładunek, który umieszczony w
odległości 1m od równego sobie odpycha do w próżni siłą 8.987109N
1
Inny zapis wyrażenia na siłę:
F
1 qq '
u
2 r
4 0 r
(5.4)
Pole elektryczne E
Obszar, w którym na ładunek elektryczny działa siła nazywamy polem
elektrycznym. Siła ta pochodzi od obecnych w przestrzeni różnych ładunków
elektrycznych.
Natężenie pola elektrycznego
F
E
q
(5.5)
Natężenie E pola elektrycznego jest równe sile działającej na jednostkowy
ładunek q=1C umieszczony w wybranym punkcie przestrzeni
Dla ładunku punktowego rozkład pola elektrycznego jest radialny i tak
wytworzone przez ładunek Q jest zapisane wzorem:

E
Q
4 0 r2

ur
pole
(5.6)
Strumień pola elektrycznego:
Pojęcie strumienia  wprowadza się dla dowolnego pola wektorowego V
2
 
 v   V  ds
(5.7)

Całkujemy po powierzchni  , która nie musi być powierzchnia zamkniętą,
wielkość ds jest prostopadła do elementu powierzchni ds.
Tak więc dla pola elektrycznego E strumień pola jest wyrażony wzorem:
 
 E   E  ds
(5.8)

Przykład (E1):
A
(1)
A
(2)
Rys. 5.1 Pole elektryczne E przechodzące przez walec.
Strumień pola E przez zamkniętą powierzchnię walca liczymy sumując
strumienie: przez pobocznicę walca 1 oraz  2 i  3 przez ścianki boczne, o
powierzchniach A (1) = A (2) =A:
  1  2  3 ,
(E1.1)
1 0 , ze względu na wzajemne relacje geometryczne wektorów E i ds.
3
 2  3 również ze względu na wyżej wspomniane relacje
Całkowity strumień pola E przenikający przez powierzchnię walca jest równy
zero
Prawo Gaussa
Prawo Gaussa zastosowane do dowolnej hipotetycznej powierzchni (powierzchnia
Gaussa) daje związek między strumieniem  E , pola E, przechodzącym przez tę
powierzchnię i całkowitym ładunkiem q zamkniętym wewnątrz tej powierzchni.
 0 E  q
(5.9a)
 0  E  ds  q
(5.9b)

Przykład (E2):
Kula o promieniu R naładowana jest ładunkiem całkowitym q o gęstości
objętościowej ładunku  . Należy wyliczyć natężenie pola E w punkcie
odległym od środka kuli:
a)
rR
b)
rR
4
ad a)
wybieramy sferę jako powierzchnię Gaussa, powierzchnia ta przechodzi przez
punkt, w którym chcemy obliczyć pole E . Na wybranej powierzchni pole E
jest stałe co do wartości oraz wektory E i ds są do siebie równoległe:
 0 E  ds  q ,
 0 E  4 r 2  q ,
E

q
 0  4 r 2
(E2.1-3)
ad b)
wybieramy powierzchnie Gaussa jak wyżej, z tym, że teraz punkt, w którym
wyliczamy pole E znajduje się wewnątrz naładowanej kuli. Należy więc
obliczyć całkowity ładunek znajdujący się wewnątrz kuli o promieniu r  R .
Gęstość objętościowa wynosi:

q
4  R3
3
(E2.4)
całkowity ładunek zawarty w rozważanej objętości wynosi:
r
q '   43  r 3  q  
R
3
(E2.5)
Korzystając z prawa Gaussa otrzymujemy:
r
 0 E  ds  q ',  0 E  4 r 2  q '  q  
R

3
(E2.6-7)
5
stąd:
E  qr
1
4 0 R
3
(E2.8)
Na rysunku 5.1 przedstawiona jest zależność natężenia pola elektrycznego od
r , dla r R jest to zależność liniowa, natomiast dla r R natężenie pola E
1
maleje, jak 2
r
Rys. 5.2 - Zależność pola elektrycznego, pochodzącego od kuli
naładowanej z gęstością objętościową  , od odległości r
od środka kuli
Przykłady do rozwiązania:
1. wyliczyć pole E pochodzące od jednorodnie naładowanego pręta z
gęstością liniową  .
6
2 . wyliczyć pole E pochodzące od jednorodnie naładowanej nieskończonej
płaszczyzny z gęstością powierzchniową 
Oddziaływania magnetyczne
Oddziaływania elektryczne i magnetyczne są ze sobą związane i reprezentują dwa
aspekty tej samej własności materii-ładunku.
Dlatego oddziaływania te powinny być rozważane
jako całość. Czyli
oddziaływania elektromagnetyczne.
Siła z jaką pole magnetyczne B działa na ładunek q poruszający się z prędkością
v jest wyrażona wzorem:
F  q(v  B)
(5.10)
Na podstawie wzoru (5.10) jest podana definicja jednostki natężenia pola
magnetycznego B .
[ B] 
Ns
 [T ]
Cm
T
- tesla
Szukamy wyrażenia na siłę z jaką zewnętrzne pole magnetyczne B działa na
przewodnik z prądem – ładunki w ruchu.
Przykład (E3):
Rozważamy kawałek prostego przewodnika o przekroju S w którym
przemieszczają się z prędkością v cząstki o ładunku q ilość naładowanych
cząstek w jednostce objętości wynosi n , przewodnik jest umieszczony w
zewnętrznym polu magnetycznym B . Wprowadzamy pojęcie wektora gęstości
prądu j .
7
W tym celu należy najpierw znaleźć liczbę cząstek N przechodzących przez
jednostkową objętość w jednostce czasu. Jako jednostkową objętość
przyjmiemy walec o powierzchni przekroju S  1 oraz pobocznicy
równoległej do wektora prędkości v i długości l vt przy czym t1 . Stąd
jednostkowa objętość jest równa v . Tak więc dla n naładowanych cząstek w
jednostce objętości N  nv , gęstość prądu, która odpowiada liczbie
naładowanych cząstek wynosi j  Nq nqv , wektor gęstości prądu wynosi


j  Nq  nqv
Gęstość prądu jest wielkością charakterystyczną dla punktów wewnątrz
przewodnika. Gdy rozkład natężenia prądu I jest równomierny na
powierzchni przekroju przewodnika S to gęstość prądu może być
I
przedstawiona związkiem j  i jest taka sama we wszystkich punktach
S
przekroju przewodnika.
I  jS
(E3.1)
Ze związku (E3.1) wynika, że natężenie prądu I jest strumieniem wektora
gęstości prądu j przez dowolną powierzchnię przewodnika.
I
 j  ds
(E3.2)

Siła z jaką zewnętrzne pole magnetyczne działa na jednostkę objętości
rozważanego przewodnika wynosi:
f  nq(v  B)  j  B
(E3.3)
8
Siła z jaką zewnętrzne pole magnetyczne działa na element objętości
przewodnika dV wynosi:
dF  fdV  ( j  B)dV
(E3.4)
Całkowita siła F jest wyrażona wzorem:
F   ( j  B)dV
(E3.5)
V
Przykładowo dla przewodnika, jak na rysunku poniżej:
Rys. 5.3 Przewodnik o przekroju S i gęstości prądu
zewnętrznym polu magnetycznym B
j
w
9
Rozważamy przewodnik o przekroju S, w którym płynie prąd o gęstości
j  nqvuT (gdzie uT - wektor jednostkowy równoległy do
j , uT  1
Oznaczamy:
Element objętości dV Sdl , wówczas siła jest zapisana związkiem:
F   ( juT  B) Sdl   ( jS )(uT  B)dl
(E3.6a)
F  I  (uT  B )dl
(E3.6b)
Przykład (E4):
Przewodnik prostoliniowy o długości L umieszczony w jednorodnym polu
magnetycznym B , wektory uT oraz B są stałe i tworzą kąt  :
Rys. 5.4 Przewodnik prostoliniowy z pradem w zewnętrznym polu
magnetycznym B.
Wówczas wzór na siłę ma postać:
10
F  I (uT  B)  dl  IL(uT  B)
(E4.1a)
L
| F | BIL sin 
(E4.1b)
Pole magnetyczne wytworzone przez przewodnik z prądem:
Z doświadczenia wiadomo, że wokół przewodnika z prądem powstaje pole
magnetyczne B . Pole to opisane jest prawem Ampera-Laplace’a, zwane również
prawem Biota-Savarta.
B(r )  K m I 
uT  ur
dl
2
r
(E4.2)
gdzie:
K m jest współczynnikiem, który w układzie jednostek SI wynosi
Km 
0
107 [TmA1 ]
4
0 jest przenikalnością magnetyczną próżni,
uT jest wektorem jednostkowym, równoległym do wektora gęstości prądu
u r jest wektorem jednostkowym równoległym do wektora r
Wzór (5.10) jest wyrażeniem na pole B jakie występuje w punkcie P oddalonym
o r od elementu dl przewodnika o długości L , w którym płynie prąd o natężeniu I.
0 uT  ur
B
I
dl
2
4 L r
(E4.3)
11
Ponieważ prąd elektryczny jest ruchem ładunków, więc pole magnetyczne, a w
konsekwencji oddziaływania magnetyczne są wytwarzane przez ładunki w ruchu.
12
Przykład (E5):
Pole magnetyczne nieskończenie długiego przewodnika prostoliniowego
Rys. 5.5 Ilustracja do wyliczenia pola magnetycznego wytworzonego
przez przewodnik z prądem:
uT - wektor jednostkowy uT j
u r - wektor jednostkowy
ur r łączącego punkt P z
aktualnie rozważanym elementem dl przewodnika
uR R - określa odległość punktu P od przewodnika
I - natężenie prądu płynącego w rozważanym
przewodniku
Zgodnie z wynikiem iloczynu wektorowego wektorów jednostkowych
mamy:
| uT  ur | sin 
(E5.1)
13
wykorzystując związek (E5.1), otrzymujemy następujące wyrażenie na pole
magnetyczne:

0 I sin 
B
dl

2
4  r
(E5.2)
Jak widać z rysunku:
R
sin
(E5.3)
l   Rctg
(E5.4a)
r
dl 
R
d
2
sin 
(E5.4b)
Zmieniamy granice całkowania:
Dla
l  
l  
0

Wyrażenie (E5.3) oraz (E5.4b) wstawiamy do równania (E5.2) i wówczas
otrzymujemy:

0 I R sin  sin 2 
B
d
4 0 R 2 sin 2 
(E5.5a)
14

 I sin 
B 0 
d
4 0 R
0 I
2 R
 I
B  0 u
2 R
B
(E5.5b)
(E5.6a)
(E5.6b)
Równania (E5.6a,b) stanowią formułę Biota-Savarta, z której można wyliczyć
wartość pola magnetycznego wytworzonego przez przewodnik, w którym
płynie prąd o natężeniu I , w odległości R od tego przewodnika.
Przykład (E6) - Siła działająca między dwoma przewodnikami z prądem:
Dwa równoległe przewodniki z prądami I , I ' płynącymi w tym samym
kierunku są oddalone od siebie o R . Wektory jednostkowe są zdefiniowane jak
w przykładzie (E5).
15
Rys. 5.6
Korzystamy z równania (E3.6b) na siłę z jaką pole magnetyczne B
wytworzone przez przewodnik z prądem I działa na przewodnik z prądem I ' :
F '  I '  (u 'T  B)dl '
(E6.1)
L
ale u 'T  B  uR B ,
korzystając z formuły Biota-Savarta B 
0 I
otrzymujemy:
2R
F '  u R
0 II '
dl '

2 R L '
(E6.2a)
F '  uR
0 II '
L'
2 R
(E6.2b)
16
Jak wynika ze wzoru (E6.2b) przewodnik z prądem I przyciąga przewodnik z
prądem I '
Dwa przewodniki o prądach równoległych przyciągają się, natomiast o
prądach antyrównoległych odpychają się.
Korzystając z definicji K 
0
107 [TmA1 ] , wzór (E6.2b) można przedstawić w
4
postaci:

2 II '

F '  u R K
L'
R
F  10 7
2 II '
L'
R
(E6.3a)
(E6.3b)
Wzór (E6.3b) wykorzystany został do definicji Ampera jednostki natężenia
prądu:
Dwa przewodniki równoległe, odległe o 1m, w których płyną prądy równoległe o
wartości 1A, działają na siebie siłą F 210
 7 N na każdy metr swojej długości.
Pole magnetyczne poruszającego się ładunku (przypadek nierelatywistyczny):

Prąd elektryczny wytwarza pole B , zatem i pojedynczy ładunek w ruchu powinien
wytwarzać pole magnetyczne.
Z prawa Ampera – Laplace’a, wzór (E4.3), mamy:
B
0 uT  ur
I
dl
2
4 L r
17
0 ( IdluT )  ur
B
4 
r2
(5.11)
Korzystając z zależności:
I  jS (gdzie S jest polem przekroju przewodnika)
Sdl dV (element objętości przewodnika)


juT  nqv
przekształcamy wyrażenie:




IdluT  ( jS )dluT  juT dV  nqv dV
i wówczas wzór (5.11) przyjmuje postać:
B
0 qv  ur
(ndV )
4
r2

(5.12)
ndV jest ilością naładowanych cząstek w objętości dV .
Tak więc każda cząstka naładowana będąca w ruchu wytwarza pole magnetyczne:
  0 v  ur
B
q 2
4
r

(5.13)


czyli pole B jest prostopadłe do płaszczyzny utworzonej z v i r .
B
0 qv sin 
4
r2
(5.14)
18
gdzie  jest katem zawartym między wektorami v i r .
Linie sił pola B są okręgami:



gdy v  u r  B  0
 
v  ur 


B  B max
Szukamy relacji między polem B i E pochodzącym od poruszającego się ładunku,
  0  qu r
B
v 2
4
r

E

qu r
4 0 r 2
(5.15)
1
(5.16)
Z równości (5.16) wyliczamy:
qur
 4 0 E
2
r
(5.17)
Wstawiamy wyrażenie (5.17) do (5.15) i otrzymujemy związek:
B  0 0 (v  E )
(5.18)
19
Dla fali elektromagnetycznej, propagującej w próżni z prędkością c , jest
następująca relacja:
c
B
1
0 0
 c2 
1
0 0
1
(v  E )
2
c
(5.19)
(5.20)
Ważne wnioski:
- ładunek w spoczynku jest źródłem pola elektrycznego E .
- ładunek w ruchu jest źródłem pola elektrycznego E i pola
magnetycznego B
- powinno zatem używać się terminu pole elektromagnetyczne
Elektromagnetyzm- zasada względności
Prawa fizyki muszą być takie same dla wszystkich obserwatorów inercjalnych.
Jakie związki muszą zachodzić, żeby zasada była słuszna?
Rozważamy :
Układ S 2 porusza się względem układu S1 wzdłuż osi x-ów z prędkością v .
Ładunki q (ładunek próbny) oraz Q (ładunek, który wytwarza pole E ) znajdują
się w spoczynku w układzie S 2 . Ładunki q i Q są takie same w układzie S1 i S 2 .
20
Rys. 5.7 Układ współrzędnych oraz ładunki Q i q
W układzie S 2 , występuje tylko oddziaływanie elektryczne, którego siła jest
opisana znanym wzorem (5.21).


F2  qE 2
(5.21)

E 2 jest polem elektrycznym wytworzonym przez ładunek Q i mierzonym w
punkcie, gdzie znajduje się ładunek q .

Składowe F2 są następujące:
Fx 2  qE x 2
Fy 2  qE y 2
(5.22a-c)
Fz 2  qE z 2
Obserwator znajdujący się w układzie S1 widzi ładunki Q i q w ruchu, czyli
występuje pole E1 i B1 , którego siła wyraża się wzorem:
21

  
F1  q( E1  v  B1 )
(5.23)
Po rozpisaniu iloczynu wektorowego i uwzględnieniu składowej wektora v ( v ,0,0) ,
otrzymujemy następujące równania skalarne na składowe wektora siły w układzie
S1: F1 ( Fx1 , Fy1 , Fz1 ) :
Fx1  qE x1
Fy1  q( E y1  vB z1 )
(5.24a-c)
Fz1  q( E z1  vB y1 )
Zgodnie z transformacją Lorentza związki między siłą F1 w układzie S1 , a siłą F2
w układzie S 2 są następujące:
Fx 2  Fx1
Fy 2 
F y1
1
Fz 2 
v
2
(5.25a-c)
c2
Fz1
1
v2
c2
Wykorzystując związki (5.22a-c) oraz (5.25a-c) otrzymujemy:
22
qE x 2  qE x1
qE y 2 
q ( E y1  vB z1 )
1
qE z 2 
v
2
(5.26a-c)
c2
q ( E z1  vB y1 )
1
v2
c2
Wzory (5.26a-c) stanowią TL dla pola elektromagnetycznego. Wynika z nich, że
pola E i B nie są wielkościami rozdzielonymi, ale stanowią całość - pole
elektromagnetyczne. Rozdzielenie pola elektromagnetycznego na składową
elektryczną i magnetyczną nie jest sprawa bezwzględną, ale zależy od ruchu
ładunku w stosunku do obserwatora. Tak więc możemy mówić o oddziaływaniach
elektromagnetycznych.
23
Matematyka pól wektorowych
Aneks (M)
(Feynmann „Wykłady z fizyki” T II cz.2-ga)
Działanie operatora nabla (  ) na funkcję skalarną T ( x , y , z ) oraz funkcje
wektorową h ( x , y , z )
1. T  gradT
 T
(wektor)
T  T
gradT  i
j
k
x
y
z
(M.1)

(M.2)
Jest to wektor o znaczeniu fizycznym; przedstawia zmienność skalara T ( x , y , z ) w
przestrzeni. Składowa x-owa określa zmianę skalara wzdłuż osi x-ów. Szybkość
zmian skalara T ( x , y , z ) w jakimś kierunku dana jest przez składową gradT w tym
kierunku. Wynika stąd, że wektor gradT będzie miał ten kierunek, w którym
zmiana T ( x , y , z ) względem przesunięcia jest największa. gradT ma kierunek
najbardziej stromego wznoszenia się skalara T ( x , y , z ) .


2.   h  divh
(skalar)
h y hz
 h
divh  x 

x
y
z
(M.3)
(M.4)
Do ilustracji takiego działania operatora nabla korzysta się z twierdzenia
matematycznych, które w teorii pola odgrywają taką rolę , jaką zasada zachowania
energii odgrywa w mechanice.
Obliczając strumień pola wektorowego wypływającego z pewnej dowolnej
objętości uzyskujemy zależność, z której wynika, że:
całka po dowolnej powierzchni zamkniętej ze składowej normalnej wektora
jest równa całce objętościowej po obszarze ograniczonym tą powierzchnią z
24
dywergencji tego wektora. To jest twierdzenie Gaussa, które dla dowolnego
pola wektorowego h jest zapisane:
 

 h  ds     h dV

(M.5)
V
gdzie  jest dowolna powierzchnią zamykającą obszar V .
Przykład:
Prawo Gaussa dla pola E :
  q

    EdV
 E  ds 
0

(M.6)
V
dla jednostki objętości
mamy gęstość ładunku  
q
dV
i związek (M.6)
przyjmuje postać postać:


1 q
   E  divE
 0 dV
 
divE 
0
(M.7)
(M.8)
to jest postać różniczkowa prawa Gaussa.
25


3.   h  roth
wektor
 h
 h
h y
  h
h
h
y
roth  i ( z 
)  j( x  z )  k (
 x)
y
z
z
x
x
y
(M.9)
(M.10)
Ilustracja takiego działania operatora nabla jest związana z krążeniem wektora po
krzywej zamkniętej, czyli w skrócie z krążeniem wektora. Nazwa krążenie
pochodzi z analizowania krążenia cieczy. Obliczając krążenie dowolnego pola
wektorowego h po krzywej zamkniętej  uzyskujemy zależność, z której wynika,
że:
całka krzywoliniowa ze składowej normalnej pola wektorowego jest równa
całce powierzchniowej, po powierzchni  ograniczonej rozważaną krzywą, ze
składowej normalnej rotacji pola wektorowego h , to jest twierdzenie Stokes’a
 h  dl   (  h )  ds


Drugie pochodne pól wektorowych:
1.   (T )  div( gradT)  skalar
2.   (T )  rot( gradT)  0


3. (  h )  grad(divh )  wektor


4.   (  h )  div(roth )  0
26


5.   (  h )  rot(roth )
Analizujemy związki, dla których wynik jest równy zero, czyli związki 2 i 4.
Ad 2) Korzystamy z twierdzenia: jeżeli dla dowolnego pola wektorowego C
zawsze jest spełniony warunek, że


  C  rotC  0
to istnieje taka funkcja skalarna T ( x , y , z ) , że:

C  gradT
(M.11)
Ad 4) Korzystamy z twierdzenia: jeżeli dla dowolnego pola wektorowego D jest
spełniony warunek, że:

D  0
to istnieje taka funkcja wektorowa h, że :


D  roth
(M.12)
Stosowane zapisy:
  (T )   2T  T
    Laplasjan
2

2
x
2

2
y
2

2
z
2
(M.13)
(M.14)
27
Związki wynikające z pochodnych pól wektorowych wykorzystujemy do analizy
pola elektrycznego E i pola magnetycznego B .
Potencjał pola elektrycznego
Wielkość ta wiąże się z natężeniem pola E podobnie jak energia potencjalna U z
siłą zachowawczą:

F   gradU
(5.27)
Dla przypadku, gdy ładunek próbny q1 relacja między natężeniem pola
elektrycznego E i siłą jest następująca:

 F 
E F
q
(5.28)
Definiujemy funkcję skalarną  ( x , y , z ) jako potencjał pola elektrycznego i
wówczas korzystając, z zależności (5.27) i (5.28) mamy:

E   grad
(5.29)
Natężenie pola elektrycznego
Zgodnie z matematyką drugich pochodnych pól wektorowych z równania (5.29)
wynika, że:
rotE  0
 E  dl  0
(5.30)

Oznacza to, że krążenie pola E jest równe zero, czyli pole elektryczne jest polem
bezwirowym.
28
Prawo Gaussa dla pola E w postaci całkowej i różniczkowej:
 E  ds 

q
(5.31)
0
 
divE 
(5.32)
0
gdzie  jest gęstością objętościową ładunku.
Związki (5.31) i (5.32) oznaczają, że pole E jest polem źródłowym.
Równania elektrostatyki dla pola E .
Postać całkowa
q
 E  ds   0

 E  dl  0
Postać różniczkowa
Wniosek:
 
divE 
pole źródłowe

rotE  0
pole bezwirowe
0

29
Inne zapisy:

 
divE    E 
(5.33)
0
lub wykorzystując wzór (5.29):   ( )   ,
0
  

0
(5.34)
równanie Poissona
Gdy w przestrzeni nie ma ładunków q0 ,   0 , otrzymujemy:
  0
równanie Laplace’a
(5.35)
Siła elektromotoryczna:
Krążenie K dowolnego pola wektorowego V
krzywoliniową po obwodzie zamkniętym  :
K   V  dl
zapisujemy poprzez całkę
(5.36)


Jeżeli pole jest potencjalne: V   grad to wówczas całka krzywoliniowa nie
zależy od drogi i mamy:
 V  dl  0
(5.37)

30
Dla pola E całka:
 
 E  dl   A   B
wyraża pracę wykonaną podczas przemieszczenia

jednostkowego ładunku q  1 wzdłuż drogi  od punktu A do B. Dla drogi
zamkniętej (patrz pole zachowawcze) mamy:
 E  dl  0
dla obwodu zamkniętego
(5.38)

Gdy warunek (5.38) nie jest spełniony i mamy związek:
 E  dl  VE
(5.39)

to wielkość VE nosi nazwę siły elektromotorycznej
Prawa Kirchhoffa:
1. Suma prądów w węźle jest równa zero. Wynika to z zasady zachowania
ładunku.
2. Suma spadków potencjałów w obwodzie zamkniętym wynosi zero: patrz
równanie (5.38)
31
Siła magnetomotoryczna:
Rozważamy krążenie pola magnetycznego B wytworzonego przez prąd płynący w
nieskończenie długim przewodniku prostoliniowym.
Rys. 5.8 Przewodnik z prądem I, krążenie pola B
u  uT  ur
Pole magnetyczne w punkcie A jest prostopadłe do odcinka OA i wynosi:
B
0 I
u
2 r
(5.40)
Szukamy krążenia pola magnetycznego B po obwodzie kołowym  o promieniu
r.
32
B   B  dl   Bdl

(5.41)

 
uwzględniając, że B dl
 B nosi nazwę siły magnetomotorycznej.
Wykorzystując wzór (5.40) mamy:
B 
0 I
dl  0 I

2 r 
(5.42)
Wyrażenie (5.42) na siłę magnetomotoryczną nie zależy od r i obowiązuje dla
dowolnego konturu otaczającego przewodnik
Ponieważ; I   j ds , to równanie (5.42) przyjmuje postać:

B   B  dl  0  j  ds

(5.43)

Związek (5.43) jest prawem Ampera.
Z faktu, że krążenie pola magnetycznego nie jest równe zero, wynika, że pole B
jest polem wirowym i nie jest polem potencjalnym.
Różniczkowa postać prawa Ampera:
Korzystamy z twierdzenia Stokes’a dla pola magnetycznego B
33
 
 
 B  dl   rotB  ds

(5.44)

Wykorzystując związek (5.44) we wzorze (5.43), otrzymujemy:
 
 
 rotB  ds   0  j  ds
(5.45)


rotB   0 j
(5.46)


postać różniczkowa prawa Ampera
Pola statyczne:
Pola E i B traktowane oddzielnie, podstawowe równania
pozwalające wyliczyć E i B , gdy znane są ładunki i prądy
Prawo
Forma całkowa
Prawo Gaussa dla
pola E ; pole źródłowe
 E  ds 

Prawo Gaussa dla
pola B ; pole bez
źródłowe
Krążenie pola E ; pole
bez wirowe
Krążenie pola
wirowe
B;
pole
q

 B  ds  0
Forma różniczkowa
 
divE 


divB  0

 E  dl  0

 B  dl  0 I

rotE  0


rotB   0 j

Przykład H:
Zjawiska galwonomagnetyczne-efekt Halla
(Wróblewski, Zakrzewski „Fizyka” T2, cz.2 str. 235)
34
Rys. 1H - Geometria do efektu Halla
Płasko-równoległa płytka metalowa lub półprzewodnikowa , w której płynie prąd
(patrz rys) jest umieszczone w jednorodnym polu magnetycznym prostopadłym do
powierzchni płytki. Między przeciwległymi krawędziami płytki prostopadle do
pola B i wektora gęstości prądu j pojawia się różnica potencjałów. Jest to zjawisko
Halla odkryte w 1879r.
Siłą z jaka pole B działa na ładunek q poruszający się z prędkością v jest opisana
znanym wzorem:

 
FB  q(v  B)
(1H)
Zgodnie z geometrią przedstawiona na rysunku przyjmujemy:

v (v x 00)
35

B(00B z )
otrzymujemy wyrażenie na siłę:


FB   j qv x B z
(2H)
Ze związku (2H) wynika, że ładunki gromadzą się wzdłuż osi y-ów. W efekcie
wzdłuż tej osi pojawia się pole elektryczne
 Ładunki
 będą gromadziły się do
momentu, gdy siła pola elektrycznego FE  qE zrównoważy działanie siły pola
magnetycznego:
 

F  FB  FE  0
(3H)
Siły pola elektrycznego i magnetycznego mają tylko składowe y-owe:
Siła wypadkowa wyrazi się związkiem:
Fy  qE y  qv x Bz  0
(4H)
stąd:
E y  v x Bz
(5H)
Gęstość prądu wynosi:
j x  nqv x  v x 
jx
nq
(6H)
Wstawiamy związek (6H) do (5H) i otrzymujemy:
Ey 
jx
B z  RH j x B z
nq
(7H)
36
gdzie : R H 
1
stałą Halla, jest to stała materiałowa.
nq
W oparciu o związek (7H) wyrażenie na stałą Halla można zapisać:
RH 
Ey
(8H)
jx B z
Dla elektronów R H 0
Wymiar RH :

E
Vm 1
RH  

 j B Am 2T
Różnica potencjałów UH wytworzona między ściankami płytki odległymi o Ly
wynosi:
U H  E y L y  RH L y j x B z  RH L y B z
I
S
gdzie S  L y Lz
UH 
RH IB z
Lz
(9H)
Znając z eksperymentu UH, I, oraz dla danego materiału RH i grubość płytki Lz
można znaleźć pole B; jest to wykorzystywane do cechowania pola magnetycznego
np. między nabiegunnikami w elektromagnesu.
Znając UH, I, B oraz Lz można wyznaczyć RH a stad gęstość nośników prądu n.
37
Podstawowym parametrem mikroskopowym w zjawisku przewodnictwa jest
ruchliwość u 
v
, czyli prędkość nośników prądu dla jednostkowego pola E.
E
Wielkość tę można wyznaczyć ze związku na przewodnictwo właściwe znając
wartość stałej Halla.

j nqv
1

 nqu 
u
E
E
RH
Związek R H 
(10H)
1
jest słuszny dla metali i niektórych półprzewodników. W
nq
przypadku ogólnym należy uwzględnić rozkład prędkości nośników prądu
wynikający z ich ruchu termicznego i wówczas:
RH 
A
gdzie A jest parametrem zależnym od efektów rozpraszania nośników
nq
prądu w materiale płytki.
A=1 dla metali ,
A  1 dla półprzewodników.
metal RH[10-11m3C-1]
lit
-17.0
miedź -5.5
srebro -8.4
kadm +6.0
U[m2V-1s-1]
0.0018
0.0032
0,0056
0.0080
38
Pole elektromagnetyczne zależne od czasu
Prawo Faraday’a
Gdy w obszarze działania pola magnetycznego B znajduje się zamknięty
przewodnik i nastąpi zmiana strumienia pola B przechodzącego przez obwód,
to w obwodzie powstaje siła elektromotoryczna proporcjonalna do szybkości
zmian strumienia.
Zapis analityczny prawa:
d B
VE  
dt
(5.47)
Korzystamy z definicji strumienia pola wektorowego :
B 
 B  ds
(5.48)

oraz z definicji siły elektromotorycznej;
VE 
 E  dl
(5.49)

Wstawiamy związki (5.48) i (5.49) do równania (5.47) i otrzymujemy;
 E  dl  


t
 B  ds
(5.50)

Związek (5.50) stanowi prawo indukcji w postaci całkowej.
Z twierdzenia Stokes’a mamy:
39
 E  dl   rotE  ds

(5.51)

Wstawiając związek (5.51) do równania (5.50) otrzymujemy:
 rotE  ds  


t
 B  ds
(5.52)

lub w postaci różniczkowej:


B
rotE  
t
(5.53)
Zasada zachowania ładunku dla przypadku dynamicznego
Całkowity ładunek jest zawsze zachowany.
Dla przypadku dynamicznego zagadnienie to należy rozważać następująco:
Rys. 5.9 Powierzchnia  otaczająca ładunek q.
40
Rozważamy zamkniętą powierzchnię  i ładunek q zawarty w
pewnej chwili wewnątrz tej powierzchni. Ładunek może przepływać
przez powierzchnię i zasada zachowania ładunku wymaga ażeby:
strata ładunku = ładunek wchodzący – ładunek wychodzący.
Strumień ładunku przechodzący przez powierzchnię w jednostce czasu jest dany
wzorem:
I
 j  ds  całkowity ładunek przechodzący przez

(5.54)
powierzchnię na zewnątrz w jednostce czasu.
Strata ładunku związana z przechodzeniem ładunku przez powierzchnię  w
jednostce czasu wynosi:

dq

dt
 j  ds
(5.55)

Związek (5.55) stanowi zapis zasady zachowania ładunku dla przypadku
dynamicznego.
Przekształcamy lewą stronę wyrażenia (5.55) korzystając z prawa Gaussa.
q   0  E  ds
i wówczas mamy:

dq
d
 0
dt
dt
 E  ds
(5.56)

Wstawiamy związek (5.56) do równania (5.55) i otrzymujemy:
41

j  ds   0

d
dt
 E  ds  0
(5.57)

Równanie (5.57) stanowi inny zapis zasady zachowania ładunku dla przypadku
dynamicznego.

dE
Dla pól statycznych
 0 , nie ma akumulacji ani strat ładunku w żadnym
dt
obszarze przestrzeni wewnątrz powierzchni  i wówczas:
 j  ds  0

Prawo Ampera-Maxwella
Prawo Faraday’a wiąże szybkość zmian pola B z polem E w tym samym punkcie
przestrzeni. Powinno więc dla symetrii istnieć równanie wiążące szybkość zmian
pola E z polem B .
Zgodnie z prawem Ampera dla przypadku statycznego mamy związek:
 B  dl  0  j  ds

(5.58)

Dla przypadku dynamicznego obowiązuje zależność:


j  ds 


j  ds   0

t
 E  ds
(5.59)

Prawo Ampera ulega modyfikacji; wstawiamy związek (5.59) do równania (5.58) i
otrzymujemy:
42
 B  dl  0  j  ds  0 0



t
 E  ds
(5.60)

Zależność (5.60) nosi nazwę prawa Ampera-Maxwella. Postać różniczkową prawa
A-M otrzymamy stosując twierdzenie Stokes’a do lewej strony równania (5.60).
 rotB  ds  0  j  ds  0 0



t
 E  ds
(5.61)




E
rotB   0 j   0 0
t
(5.62)
Równanie (5.62) jest różniczkową postacią prawa Ampera-Maxwella. Dla pól

E
statycznych:
 0 prawo A-M przechodzi a prawo Ampera, które wiąże prąd
t
stały z polem B .
Prawo Ampera – Maxwella wiąże zmienne w czasie pole E z polem B .
Gdy I 0  j 0 to wówczas prawo Ampera-Maxwella zapisane związkiem (5.60)
przyjmuje postać:
 B  dl  0 0


t
 E  ds
(5.63)

Korzystając z definicji siły magnetomotorycznej mamy:
B  0 0

t
 E  ds
(5.64)

43
Dla j0 forma różniczkowa prawa A-M , wzór (5.62), przyjmuje postać:


E
rotB   0 0
t
(5.65)
Prawo Ampera-Maxwella w postaci różniczkowej, wzór (5.65), dla tego
przypadku, jest podobne do prawa Faraday’a w postaci różniczkowej:


B
rotE  
t
(5.66)
Równania Maxwella
Ważnym oddziaływaniem między naładowanymi cząstkami jest oddziaływanie
elektromagnetyczne. Ażeby scharakteryzować to oddziaływanie należy pole
elektromagnetyczne opisać wektorami E i B w taki sposób, żeby siła zapisana
została związkiem:

  
F  q ( E  v  B)
(5.67)
Pola E i B są określone przez położenia ładunków i ich ruch. Pola te są związane
równaniami Faraday’a i Ampera-Maxwella.
Teoria elektromagnetyzmu zapisana jest w postaci czterech praw Maxwella
Prawa te są niezmiennicze względem transformacji Lorentza. Prawa te nie stosują
się do oddziaływań między cząstkami elementarnymi należy wówczas korzystać
elektrodynamiki kwantowej.
44
Równania Maxwella
Prawo
Forma całkowa
Prawo
q
E  ds 
Gaussa dla
0
pola E

(pole
źródłowe)
Prawo
B  ds  0
Gaussa dla
pola B
(pole bez
źródłowe)
Prawo

E  dl  
Faraday’a
t 
dla pola E 
Forma różniczkowa
 
divE 

0

divB  0

Prawo
AmperaMaxwella
dla pola B

 B  ds


B
rotE  
t
 B  dl  0 

j  ds  0 0
t



E
rotB   0 j   0 0
t


 E  ds

45
SAMOINDUKCJA
Jeżeli prąd w obwodzie zmienia się w czasie, strumień pola magnetycznego
w cewce też jest zmienny i indukowana siła elektromotoryczna przeciwdziała
zmianom prądu.
wewnątrz
idealnego
solenoidu o N zwojach
i długości l
B  μo
strumień pola magnetycznego
przez
powierzchnię
NS
(S-powierzchnia
jednego
zwoju)
N
i
l
N2
B  μo
iS
l
B  Li
indukcyjność
Jednostka: 1H (henr) = 1Wb/A
Siła elektromotoryczna samoindukcji
d B
N 2 di
di
L  
  μo
S   μ o n 2lS
dt
l dt
dt
n- liczba zwojów na jednostkę długości, l – długość solenoidu, S –pole
powierzchni przekroju
 L  L
di
dt
Przypomnienie: W obwodzie LC zapisywaliśmy korzystając z prawa Kirchhoffa
L
di q
 0
dt C
L
d 2q
dt 2

q
0
C
46
INDUKCYJNOŚĆ
Definicja: L  
L
di
dt
Przypomnienie: pojemność C
C
Q
U
dla kondensatora płaskiego
dla idealnego solenoidu
N2
L  μo
S
l
C  o
A
d
Indukcyjność podobnie jak pojemność zależy wyłącznie od
parametrów geometrycznych cewki. Można ją zwiększyć przez
wprowadzenie rdzenia ferromagnetycznego o przenikalności
magnetycznej .
N2
L  μ oμ
S  μ oμ n 2lS
l
Obwody LR
VR  (1  e

Rt
L )
  VR  VL  0
di
  iR  L  0
dt
Rt


i  (1  e L )
R
VL  e

Rt
L
47
Fale elektromagnetyczne
W końcu XIX wieku Hertz wykazał, że pole elektromagnetyczne rozchodzi się w
próżni z prędkością światła c . Badania fal pozwoliły opisać ich własności:
wytwarzanie, propagacja oraz absorpcja.
Maxwell w swoich równaniach przewiduje występowanie fal
elektromagnetycznych.
Fala elektromagnetyczna – widmo promieniowania
ν
c

Czułość oka ludzkiego
w zakresie widzialnym
48
Przykład (E7):
Rozważamy propagujące w próżni pole elektromagnetyczne o następujących
składowych:
E (0, E ,0)
B(0,0, B)
Ponadto przyjmujemy, że w rozważanej przestrzeni nie ma prądów ani
ładunków:

j 0
q0
Korzystając z równań Maxwella, sprawdzimy, czy pola E i B spełniają
równanie fali.
a) z prawa Gaussa dla pola E mamy:

E
divE  0 
0
y
(E7.1)
b) z prawa Gaussa dla pola B mamy:

B
divB  0 
0
z
(E7.2)
c) z prawa Faraday’a mamy:


B
rotE  
t
(E7.3)
49
po rozpisaniu na składowe otrzymujemy następujące związki:
B
E z E y

 x
y
z
t
B y
E x E z


z
x
t
E y E x
B

 z
x
y
t
(E7.4a-c)
uwzględniając składowe przyjęte w założeniach dostajemy następujące
zależności:
E
0
z
(E7.5)
E
B

x
t
(E7.6)
d) z prawa Ampera-Maxwella mamy:


E
rotB   0 0
t
(E7.7)
po rozpisaniu na składowe otrzymujemy następujące związki:
E
B z B y

  0 0 x
y
z
t
E y
B x B z

  0 0
z
x
t
(E7.8a-c)
50
B y
x

B x
E
  0 0 z
y
t
uwzględniając składowe przyjęte w założeniach dostajemy następujące
zależności:
B
0
y
-
B
E
  0 0
x
t
(E7.9)
(E7.10)
Ze związku (E7.1) i (E7.5) wynika, że E nie zależy od y i z ,
Ze związku (E7.2) i (E7.9) wynika, że B również nie zależy od y i z .
Szukamy zależności między drugimi pochodnymi względem współrzędnej i
czasu dla pola E i B .
W równaniu (E7.6) obliczamy obustronnie drugą względem współrzędnej xowej:
2E
x
2
2B

tx
(E7.11)
W równaniu (E7.10) obliczamy obustronnie drugą pochodną względem czasu
t:
2 B
2 E

 0 0 2
xt
t
(E7.12)
51
Ze związków (E7.11) i (E7.12) otrzymujemy równanie fali dla pola E :
2E
x 2
  0 0
2E
t 2
(E7.13)
Ażeby znaleźć analogiczny związek dla pola B , najpierw w równaniu (E7.6)
obliczamy obustronnie pochodną względem czasu t i otrzymujemy:
2E
2B
 2
xt
t
(E7.14)
a następnie w równaniu (E7.10) obliczamy obustronnie pochodną względem
współrzędnej x - owej i otrzymujemy:
2B
2E
 2   0 0
tx
x
(E7.15)
Z równań (E7.14) i (E7.15) otrzymujemy równanie fali dla pola B :
2B
x
2
  0 0
2B
t
2
(E7.16)
Przypomnienie:
Propagacja zaburzenia; równanie fali dla przypadku jednowymiarowego jest
opisane równaniem :
52
 2
x
2

1  2
v t
2
(E7.17)
2
i wówczas związek (E7.13) oraz (E7.16) zapisujemy:
d 2E 1 d 2E
 2 2
2
dx
c dt
(E7.18)
d 2B 1 d 2B

dx 2 c 2 dt 2
(E7.19)
W oparciu o powyższe dostajemy wyrażenie na prędkość światła c :
1
c
(5.68)
0 0
Dla dowolnego ośrodka prędkość fali elektromagnetycznej będzie zapisana
wzorem:
1
v
(5.69)

gdzie  i  są odpowiednio przenikalnością magnetyczną i elektryczną danego
ośrodka.
Współczynnik załamania światła; fali elektromagnetycznej jest zdefiniowany:
n
c

v
gdzie:

 r r
 0 0
r 

,
0
(5.70)
a
r 

0
są odpowiednio względną przenikalnością magnetyczną i elektryczną.
53
Dla przyjętych składowych pola E i B (polaryzacji) rozwiązania równań (E7.13) i
(E7.16) są w postaci:
E  E0 e i (t  kx)
(5.71)
B  B0 e i (t kx)
(5.72)
Pola E i B są związane równaniem (E7.6):
E
B

x
t
(5.73)
Podstawiając zależności (5.71) i (5.72) do równania (5.73), po wykonaniu wyliczeń
odpowiednich pochodnych, otrzymujemy zależność między polem E i B w
postaci:
B
k

E
(5.74)
Dla dowolnej orientacji pola E i B mamy ogólny związek:
 
 k E
B

(5.75)
Przykład G:
Zachowanie się wektorów E i B na granicy dwóch ośrodków
Rozważamy dwa ośrodki o parametrach;
54
1) 1, 1
2) 2, 2
w ośrodkach tych nie płyną prądy : j=0, q=0
Wektory E i B rozkładamy na dwie składowe prostopadłą i równoległą do
powierzchni rozdziału, jak na rysunku 1G.
Rys. 1 G. powierzchnia rozdziału
Korzystając z równań Maxwella badamy zachowanie się
prostopadłych i równoległych wektorów E i B na granicy rozdziału.
Zapisujemy składowe;
składowych
Ośrodek 1

E 1 ( E 1  E 1 ll )

B 1 ( B 1  B 1 ll )
Ośrodek 2
 2 2  2 
E ( E  E ll )
 2  2  2 
B ( B  B ll )
55
Prawo Gaussa dla pola E:
  E  ds  0
(1G)

Biorąc pod uwagę geometrię pola E w stosunku do wybranej powierzchni Gaussa z
równania (1G) otrzymujemy związek:
 E 1  S   2 E  2  S  0
- 1
E 1   2
2 
E  1
(2G)
(3G)
Ze związku (3G) wynika, że składowa wektora E prostopadła do powierzchni
rozdziału zlega zmianie: następuje skok składowej prostopadłej.
Prawo Gaussa dla pola B:
 B  ds  0
(4G)

Biorąc pod uwagę geometrię pola B w stosunku do wybranej powierzchni Gaussa z
równania (4G) otrzymujemy związek:
B 1  B 2
(5G)
56
Ze związku (5G) wynika, że składowa wektora B prostopadła do powierzchni
rozdziału nie zlega zmianie: nie następuje skok składowej prostopadłej.
Prawo krążenia dla pole E:
 E  dl  0
(6G)

Przy wybranym konturze krążenia jak na rys. biorąc pod uwagę geometrię pola E
w stosunku do konturu otrzymujemy:
Rys. 2 G. kontur krążenia dla powierzchni rozdziału.
-E
1   E 2    0
ll 1
ll 1
(7G)
57
E 1ll  E 2ll
(8G)
Ze związku (8G) wynika, że składowa wektora E równoległa do powierzchni
rozdziału nie zlega zmianie: nie następuje skok składowej równoległej.
Prawo krążenia dla pola B;
1
  B  dl
0
(10G)

Biorąc pod uwagę geometrię pola B w stosunku do konturu otrzymujemy:
-
1
1
B 1ll 1 
1
B 1ll

B 2 ll  2
1
2
B 2 ll 1  0
(11G)
(12G)
Ze związku (12G) wynika, że składowa wektora B równoległa do powierzchni
rozdziału zlega zmianie: następuje skok składowej równoległej.
58
Energia przenoszona przez falę elektromagnetyczną:
Dla pola E gęstość energii wyraża się wzorem:
1
WE   E 2
2
(5.76)
Dla pola B gęstość energii wyraża się wzorem:
1 B2
WB 
2 
(5.77)
Stąd gęstość energii całkowitej wyraża się wzorem:
1
B2
2
W  WE  WB  ( E  )
2

(5.78)
Wprowadza się wektor opisujący transport (przekaz) energii: wektor Poyntinga:
 
 EB
S

(5.79)
Dla fali płaskiej (wcześniej rozważany przykład E7):
E (0, E y , 0)
B(0,0, Bz )
zgodnie z relacją (5.74) mamy:
59
Bz 
k
Ey

(5.80)
Natomiast składowa x-owa wektora Poyntinga wynosi:
Sx 
E y Bz
(5.81)

Wykorzystując relację (5.80) wyrażenie na S ma postać:
Sx 
k

Ey2 
1
Ey2
v
(5.82)
wykorzystano zależność:   kv .
Związek (5.82) można przekształcić wykorzystując wzór na prędkość fali
elektromagnetycznej w dowolnym ośrodku: v 
Sx 
1

i wówczas mamy zapis:
 2
Ey

Przyjmując rozwiązanie równania fali dla pola E :
(5.83)
E y  E0 y e i (t kx)
otrzymujemy:
Sx 
2

2
E0 y e i (t  kx) 

(5.84)
Wyrażenie (5.84) uśredniamy po okresie T i wówczas otrzymujemy średnią
czasową przekazu energii:
60
Sx 
1 
E oy 2
2 
(5.85)
S w optyce nazywa się natężeniem promieniowania, natężeniem fali, a amplituda
pola E gra rolę amplitudy fali.
Wektor Poyntinga
 1  
S
EB
μo
wektor Poyntinga

S
61
Prąd elektryczny 1
a) Ramka miedziana w równowadze
elektrostatycznej. Każdy punkt
ramki ma taki sam potencjał.
W każdym punkcie ramki natężenie
pola jest równe zeru
E=0
b) Bateria (źródło) wprowadza
różnicę
potencjałów
między
biegunami.
Powstaje
pole
elektryczne w ramce. Obserwujemy
uporządkowany ruch ładunków –
prąd elektryczny
E≠0
Definicja natężenia prądu 1
dq
i
dt
•
•
Natężenie prądu jest skalarem
•
Umownie przyjmuje się, że prąd płynie tak jakby był to ruch
ładunków dodatnich. W rzeczywistości prąd w metalu
stanowią elektrony przewodnictwa
Jednostką natężenia prądu jest 1A=1C/s
(ale to nie jest definicja tej jednostki!)
opracowano na podstawie książki D. Halliday, R. Resnick, J. Walker „Podstawy
FIZYKI”, Tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003.
1
62
I prawo kirchhoffa 1
i o  i1  i 2
Jaka jest wartość prądu I i kierunek przepływu
prądu w dolnym przewodniku z prawej strony?
a - węzeł
Gęstość prądu 1
Gęstość prądu jest to wektor, którego wartość równa jest natężeniu
prądu przepływającemu przez element pola przekroju powierzchni
na jednostkę pola tej powierzchni
strumień
S
j
1
1
S
2
j
2
di
j
dS
 
i   j  dS
Wartość natężenia prądu pozostaje stała,
zmienia się gęstość prądu – prawo ciągłości
przepływu, zasada zachowania ładunku
63
Mechanizm przewodnictwa w metalach 1
•
Gdy prąd nie płynie, elektrony przewodnictwa poruszają się
chaotycznie z prędkościami ok. 106 m/s
•
Elektrony w przewodniku poruszają się w sposób uporządkowany
z prędkością unoszenia vd po przyłożeniu pola elektrycznego
(vd=10-5-10-4 m/s)
q  (nSL )e
całkowity
ładunek
nośników
ładunek
liczba
nośników elektronu
n – koncentracja nośników ładunku
(elektronów) czyli ich liczba na
jednostkę objętości
czas, w jakim ładunek przepływa przez dowolny przekrój
przewodnika:
natężenie prądu:
prędkość unoszenia:
t
L
vd
i
q nSLe

 nSev d
t L / vd
prędkość
unoszenia
i
j
vd 

nSe ne
gęstość
prądu


j  (ne ) vd
64
Przykład 1 1
Gęstość prądu w przewodniku o kształcie walca o promieniu
R =2 mm jest jednakowa na całym przekroju przewodnika i równa
j=2·105 A/m2. Ile wynosi natężenie prądu, przepływającego przez
zewnętrzną warstwę przewodnika, w obszarze pomiędzy R/2 i R?
R/2
R

j
Rozwiązanie:
i  jS'
bo j=const na całym przekroju walca
2
3 2
R
S'  R 2    
R
4
2
Odpowiedź:
i  1,9 A
65
Przykład 2 1
Załóżmy, że gęstość prądu w przewodniku o kształcie walca o
promieniu R =2 mm nie jest jednakowa na całym przekroju
przewodnika i zmienia się z odległością r od środka walca zgodnie
ze wzorem j = ár2, gdzie α= 3·1011 A/m4. Ile wynosi natężenie
prądu, przepływającego przez zewnętrzną warstwę przewodnika, w
obszarze pomiędzy R/2 i R?
R
R/2

j
Rozwiązanie:
 
i   j  dS   jdS 
R
2

r
 2 π rdr
R/2
Odpowiedź:
i
15
πα R 4
32
i  7,1 A
66
Energia i moc w obwodzie elektrycznym 1
Energia potencjalna tracona w obwodzie:
dE p  dq U  Idt U
zamienia się w inny rodzaj energii (np. na elemencie rezystancyjnym
na ciepło Joule’a)
2
dQ  I Rdt
Moc związania z przekazem energii
P
dE p
dt
 UI
a gdy spełnione jest prawo Ohma
U2
PI R
R
2
źródło prądu lub napięcia,
siła elektromotoryczna
Siła elektromotoryczna SEM 1
•
•
•
•
Aby wytworzyć stały przepływ ładunku, potrzebne jest
urządzenie, które wykonywałoby pracę nad nośnikami
ładunku, utrzymując stałą różnicę potencjałów
Urządzenie takie nazywamy źródłem siły elektromotorycznej
(źródłem SEM)
Siła elektromotoryczna nie jest siłą!!!
Stosowane źródła SEM to: ogniwa elektryczne (baterie), prądnice
elektryczne, ogniwa słoneczne, ogniwa paliwowe, termoogniwa
67
Definicja SEM: siła elektromotoryczna źródła SEM jest pracą,
przypadającą na jednostkę ładunku, jaką wykonuje źródło,
przenosząc ładunek z bieguna na mniejszym potencjale do
bieguna o wyższym potencjale
ε  dW
dq
Rzeczywiste źródło SEM zawiera
zawsze opór wewnętrzny r. Gdy
ogniwo jest otwarte, tj. prąd nie
płynie, to różnica potencjałów
między biegunami ogniwa Vab=
Gdy prąd płynie to:
Vab  IR
I
ε - Ir  Vab

Rr
Moc i SEM 1
Wypadkowa szybkość przekazywania energii ze źródła SEM (moc):
Pw  UI
ale:
czyli:
U    Ir
Pw  (ε Ir) I  εI I2r
Pw  PSEM  Pr
moc źródła SEM
Z drugiej strony, moc
wydzielana na obciążeniu R
moc rozproszona w źródle
2
ε
P  I2R 
R
2
(R  r)
68
Dopasowanie mocy 1
Maksymalna moc wydzielana na obciążeniu wystąpi gdy:
tj., gdy:
dP
0
dR
d
ε2
R 0
2
dR (R  r)
warunek dopasowania
mocy dla obciążenia R
Rr
Ale źródło zużywa się najszybciej!!
II prawo kirchhoffa 1
Algebraiczna suma zmian potencjałów przy pełnym obiegu
dowolnego oczka musi być równa zeru.
Ir1
I
 (ε i  Ui )  0
ε1  Ir1  ε 2  Ir2  IR  0
+
Ir2
I
1   2
R  r1  r2
IR
69
Połączenie szeregowe rezystancji 1
Vac  Vab  Vbc
Vac  IR1  IR 2  I(R1  R 2 )
Rezystancja zastępcza połączenia szeregowego wynosi:
R z  R1  R 2
Połączenie równoległe rezystancji 1
I  I1  I2
Vab Vab Vab


Rz
R1 R 2
Rezystancja zastępcza połączenia równoległego wynosi:
1
1
1
 
Rz R1 R2
70
Obwody RC 1
Równanie kondensatora
R
dQ Q
 0
dt C
Q(t  0)  Qo  CUo
Q( t )  Qoe  t /τ
gdzie RC to stała czasowa rozładowania kondensatora
Krzywe rozładowania kondensatora 1
Q(t )  Q0 e

t

t
dQ (t ) Q0 
I

e
dt

71
Podsumowanie 1
 Prąd elektryczny jest uporządkowanym ruchem nośników ładunku,
wywołanym polem elektrycznym w przewodniku pod wpływem różnicy
potencjałów.
 Nośnikami ładunku są elektrony w metalach ale elektrony i dziury w
półprzewodnikach. W przewodnikach jonowych (NaCl) mogą to być dodatnie
i ujemne jony.
 Rozpraszanie nośników ładunku na defektach sieci, np. drgających wokół
położeń równowagi jonach, powoduje pojawienie się oporu elektrycznego
(rezystancja, rezystywność) zależnego od temperatury.
 Prawo Ohma podaje zależność liniową pomiędzy polem elektrycznym i
gęstością prądu
(mikroskopowo) lub napięciem i natężeniem
(makroskopowo). Prawo to nie zawsze jest spełnione.
 Do rozwiązywania obwodów elektrycznych konieczna jest znajomość praw
Kirchhoffa.
1 opracowano
na podstawie książki D. Halliday, R. Resnick, J. Walker „Podstawy
FIZYKI”, Tom 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2003
.
72
Polaryzacja światła-fali elektromagnetycznej;
Rozważamy płaskie fale elektromagnetyczne, dla których propagacja zachodzi
wzdłuż kierunku z, a pola E ( E 00) i B(0B0) są dane równaniami:
E  E0 e i (t kz)
(5.86a)
B  B0 e i (t kz)
(5.86b)
gdy E0 i B0 są stałymi wektorami to taka fala jest liniowo spolaryzowana
Rys. 5.10 - Wektory B i E fali światła spolaryzowanego liniowo
Pola E i B są wzajemnie prostopadłe, tradycyjnie kierunek pola elektrycznego jest
zdefiniowany jako kierunek polaryzacji .
73
Polaryzator liniowy jest to urządzenie, które wiązkę fali niespolaryzowanej
zamienia w spolaryzowaną liniowo. Wykorzystane tutaj jest zjawisko;
- podwójnego odbicia,
- dichroizmu, czyli absorpcji optycznej, tzn., że jedna ze składowych pola E
jest silniej absorbowana niż inne.
Polaryzatory maja dobrze zdefiniowaną oś transmisji, jest to kierunek w
polaryzatorze wzdłuż, którego wektor pola E fali jest transmitowany bez lub tylko
z małymi stratami. . Dla innych kierunków tłumienie pola E jest duże. Idealny
polaryzator to taki, który jest całkowicie przeźroczysty dla światła
spolaryzowanego wzdłuż osi transmisji, natomiast nieprzeźroczysty dla światła
spolaryzowanego prostopadle do osi transmisji.
Rys. 5.11. Osie polaryzatora
Zawsze wektor pola E można rozłożyć na składową E1 równoległą do osi
transmisji i E 2 prostopadłą do osi transmisji.
Wówczas :
E1  E cos  ,
a intensywność I 1 (natężenie transmisji) będzie wynosić:
I1  I cos2 
74
Dla światła niespolaryzowanego wszystkie wartości kąta  mogą być
przyjmowane z równym prawdopodobieństwem
Polaryzacja częściowa:
Światło częściowo spolaryzowane jest mieszaniną światła spolaryzowanego i
niespolaryzowanego. Stopień polaryzacji jest zdefiniowany jako część całkowitego
natężenia, które nie jest spolaryzowane:
P
I pol
(5.87)
I pol  I niespol
Dla częściowej polaryzacji liniowej mamy:
P
I max  I min
I max  I min
(5.88)
Polaryzacja kołowa i eliptyczna:
Rozważmy przypadek dwóch liniowo spolaryzowanych fal, o tej samej amplitudzie

. Uzyskuje się
E0 , fale te są spolaryzowane wzajemnie prostopadle, z różnicą faz
2
to poprzez polaryzację na rozpraszającej światło molekule.
75
Rys. 5.12 Polaryzacja na molekule rozpraszającej
Pole E ma dwie składowe:
E x  E0 cos(t  kz)
E y  E0 sin(t  kz)
Wypadkowe pole E wynosi:




E  E0  i cos(t  kz)  j sin(t  kz)


(5.89)
To równanie jest rozwiązaniem równania fali, dla której wektor E jest stały w
danym punkcie, lecz rotuje z częstością  . To jest fala kołowo spolaryzowana.
76
a)
b)
Rys. 5.13 - Wektory B i E fali światła spolaryzowanego kołowo:
a) układ wektorów w czasie
b) układ wektorów - rotacja w danej pozycji w przestrzeni
Rozważmy przypadek dwóch liniowo spolaryzowanych fal, o różnych amplitudach
E 0 i E 0 ' , fale te są spolaryzowane wzajemnie prostopadle, z różnicą faz

2
.
Pole E ma dwie składowe:
E x  E0 cos(t  kz)
E y  E0 ' sin(t  kz)
77
W rezultacie wypadkowy wektor E w danym punkcie przestrzeni rotuje zmieniając
swoją wartość w taki sposób, że koniec wektora zatacza elipsę. To jest fala
spolaryzowana eliptycznie.
Rys. 5.14 - Wektory B i E fali światła spolaryzowanego eliptycznie:
a) układ wektorów w czasie
b) układ wektorów - rotacja w danej pozycji w przestrzeni
Przykład wykorzystania równań Maxwella (E8): rezonatory wnękowe
Podłączamy okładki kondensatora do generatora, między okładkami jest zmienne
w czasie pole elektryczne:
E  E0 e it
(E8.1)
78
Zgodnie z prawami Maxwella, gdy istnieje zmienne w czasie pole E to całka
krzywoliniowa z pola B dla j  0 wynosi:
 B  dl  0 0


t
 E  ds
(E8.2)

Rys1.
Korzystając z równania (E8.2) szukamy pola B , całkę krzywoliniową obliczamy
po pętli  , która ma kształt okręgu o promieniu r w każdym punkcie okręgu
wektor B jest równoległy do wektora dl i wówczas:
 B  dl  B2 r
(E8.3)

Całkę powierzchniową liczymy po powierzchni koła o tym samym promieniu r ,
przy tak dobranej geometrii wektor pola E jest równoległy do elementu ds . i
wówczas mamy:
2
E

ds

Er


(E8.4)

Wykorzystując związki (E8.3) i (E8.4) w równaniu (E8.2) otrzymujemy:
2 rB  0 0r 2
E
t
(E8.5)
Przy tak zadanej zależności pola E od czasu, mamy:
79
E
 i E
t
wówczas związek (E8.5) zapisujemy:
B
0 0 r
2
i E
(E8.6)
lub:
B
ir
ir
it
E

E
e
 B  B (r , t )
0
2
2
2c
2c
(E8.7)

Wartość pola B staje się istotna, gdy  jest duże, tak, że człon
nie jest do
2
c
zaniedbania. Tak więc miedzy okładkami kondensatora występuje zmienne w
czasie i przestrzeni pole magnetyczne B , którego wartość wzrasta wraz z
częstotliwością  zmian pola elektrycznego.
Z praw Maxwella wynika, że zmienne w czasie pole magnetyczne B indukuje pole
elektryczne E , istnieje różne od zera krążenie pola E . Pole E a właściwie
poprawka do pierwotnego pola elektrycznego będzie zależało od r.
Oznaczmy przez E1 pierwotne pole:
E1  E0 e it
Wówczas całkowite pole E wraz z poprawką E 2 pochodzącą od zmiany w czasie
strumienia pola B wynosi:
E  E1  E2
(E8.8)
80
Na osi kondensatora r  0 , pole B  0 (patrz wzór E8.6), tym samym na osi
kondensatora poprawka E 2 do pola E będzie równa zero.
Szukamy E 2 w oparciu o całkowe prawo Faraday’a, wybieramy kontur całkowania
jak na rysunku
Rys. 5.15 (rys 2)
 E  dl  
1

B  ds
t 1
(E8.9)
Analizujemy lewą stronę równania (E8.9):
 ( E  E )  dl   E  dl   E
1
1
2
1
1
2
 dl
(E8.10)
1
Pierwsza część prawej strony równania (E8.10) jest równa zero, bo E1 nie zależy
od r oraz ze względu na wzajemną geometrię wektorów E1 i dl . Czyli jedyny
przyczynek do całki krzywoliniowej pochodzi od pola E2 .
Po uwzględnieniu wzajemnych relacji wektorów E2 i dl otrzymujemy:
81
 E (r )  dl  E (r  0)h  E (r )h  E (r )h
2
2
2
(E8.11)
2
1
Analizujemy prawa stronę równania (E8.9):
Strumień pola B liczymy po powierzchni 1 wewnątrz krzywej 1 . Dzielimy
powierzchnię 1 na elementarne paski o powierzchni: hdr . Strumień pola B przez
taki elementarny pasek wynosi: , natomiast strumień całkowity wynosi:
 B  h  B(r )dr
(E8.12)
Wstawiając związki (E8.11) oraz (E8.12) do wzoru (E8.9) otrzymujemy:
 E2 (r )h  h

B(r )dr

t
(E8.13)
Ze wzoru (E8.13) wynika, że nie wystąpi zależność od wielkości h czyli odległości
między okładkami kondensatora.
Korzystamy ze związku na pole B , który jest zapisany wzorem (E8.7) i
podstawiamy do wzoru (E8.13). I otrzymujemy:
E2 (r ) 
i 
it
E
e
rdr
0
2

2c t
E2 (r )  
 2r 2
4c
2
(E8.14)
E0eit
Indukowane polem B pole E2 zmniejsza pierwotne pole
zachodzi na końcach kondensatora r a .
(E8.15)
E1
największa zmiana
82
Efektywne pole elektryczne wynosi:
1  2r 2
it
E  E1  E2  (1 
)
E
e
0
4 c2
(E8.16)
Pole elektryczne zależy od czasu i od r .
Rys3.
W kolejnym cyklu rozważań należy wyliczyć poprawkę na pole B , związaną z
polem E2 . A następnie dalsza poprawkę na pole E . Dla dalszych cyklicznych
rozważań otrzymamy ogólne wyrażenie na pole elektryczne: E  E ( r ,t ) .
E  E0e
it
2
4
6


1  r 
1  r 
1  r 
(E8.17)
1 
 
 
  .....
2
2
2
 1!  2c   2!  2c   3!  2c 

Współczynniki są tak zapisane, żeby było widać jak należy konstruować ten
szereg.
Jako ostateczny wynik otrzymujemy, że dla dużej częstotliwości pole E między
i t
okładkami kondensatora jest dane przez E  E 0 e
pomnożone przez
nieskończony szereg, który zawiera tylko zmienną
r
c
. Dla określenia
83
nieskończonego szeregu można zdefiniować funkcję specjalną zwaną funkcją
Bessel’a:
J 0 ( x ) dla x 
r
c
Funkcja ta występuje jako rozwiązanie równania falowego dla fal o symetrii
cylindrycznej, czyli jest tym czym dla fal rozchodzących się w jednym wymiarze
funkcja cos :
2
4
6


1  x
1  x
1  x
J 0 ( x)  1 


 .....
2 
2 
2 
 1!  2   2!  2   3!  2 

(E8.18)
Korzystając z tego zapisu związek (E8.18) można zapisać:
 r 
E  E0eit J 0 

 c 
(E8.19)
Rys. 5.16 – Funkcja Bessel’a
84
Z powyższych rozważań wynika, że kondensator zaprojektowany dla małych
częstotliwości  nie będzie należycie pracował przy dużych częstotliwościach.
Dla dużych  kondensator ma własności zarówno kondensatora (pole E ) jak i
cewki indukcyjnej (pole B ). Stanowi więc pewnego rodzaju obwód rezonansowy.
Obudowujemy kondensator pobocznica walca o promieniu r dla którego
J 0 0 E 0 . Czyli nic się nie zmieni w tak zwartym kondensatorze. Uzyskujemy
zamkniętą puszkę cylindryczną wewnątrz , której znajduje się bez żadnych
połączeń elektrycznych pole E i B . Pole E i B oscyluje z częstością  , którą
określa średnica cylindra:
J 0 0 dla x  x0 
r
c
, określa r takie, że
Dla cylindra o promieniu r 2,405
c
0
r
c
2,405  0 2,405 .
c
r
pola E
i B
będą wzajemnie się
podtrzymywały (teoretycznie). Praktycznie pola podtrzymuje się za pomocą pętli
sprzęgających.
Rys. 5.17
85
Rys 5. 18 - wnęki z różnymi rodzajami drgań
86