Ko*o i okr*g
advertisement
Koło i okrąg Liczba jest liczbą niewymierną, określającą stosunek długości okręgu do długości jego średnicy. Niezwykła Liczba… Liczba pi od dawna fascynuje ludzi… Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jonw książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Lambert udowodnił, że π nie jest pierwiastkiem kwadratowym żadnego ułamka. Liczba • Liczba Pi nazywana bywa często „ludolfiną”. Nazwa „ludolfina” pochodzi od imienia matematyka holenderskiego Ludolfa van Ceulena, który w 1610 roku obliczył wartość liczby Pi z dokładnością do 35 cyfr po przecinku. Zapis ten wyryto nawet na jego nagrobku. 3,14159265358979323846264338327950288… O liczbie • „Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości 5 łokci i o obwodzie 30 łokci.”- Biblia Tysiąclecia Wzory na π Oto wzory na liczbę pi, jakie pojawiały się w pracach uczonych tego świata. Babilończycy (ok. 2000 r. p.n.e.): π≈3 Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.): π≈(169)2≈3,160493... Archimedes (III w. p.n.e.): π≈ 22 7 ≈ 3,14 Chiński matematyk Chang Hing (I w. n. e.): 14245≈3,1555... Klaudiusz Ptolomeusz (II w. n.e.): π≈3+860+3360≈3,1416 hinduski matematyk Ariabhata (V w. n.e.): π≈6283220000=3,1416 hinduski matematyk Brahmagupta (VII w. n.e.): π≈10≈3,162... hinduski matematyk Bhasakara (VII w. n.e.): π≈754240=3,1416666... włoski matematyk Leonardo Fibonacci (XIII w.): π≈864275≈3,1415929 holenderski matematyk Piotr Metius (XVI w.): π≈355113≈3,1415929 francuski matematyk Francois Viete (XVI w.): π2=22·2+22·2+2+22·... angielski matematyk John Wallis (XVII w.): π2=2·2·4·4·6·6·...3·3·5·5·7·7·... niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz (XVII w.): π4=1-13+15-17+19+... szwajcarski matematyk Leonhard Euler (XVIII w.): π26=1+122+132+142+152+... Kwadratura koła Kwadratura koła – problem polegający na skonstruowaniu kwadratu, którego pole równe jest polu danego koła przy użyciu wyłącznie cyrkla i linijki bez podziałki. Jest to jeden z trzech wielkich problemów starożytnej matematyki greckiej (obok trysekcji kąta i podwojenia sześcianu), sformułowany przez szkołę pitagorejską. Określenie kwadratura koła funkcjonuje również w języku potocznym; oznacza coś niewykonalnego, z góry skazanego na niepowodzenie. Ciekawostki • • • • W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych. Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat. 31 grudnia 2009 roku francuski informatyk Fabrice Bellard obliczył matematyczną stałą pi z dokładnością do prawie 2,7 biliona miejsc po przecinku. To wynik dokładniejszy od poprzedniego rekordu o blisko 123 miliardy cyfr. Sześćdziesięcioletni Akira Haraguchi wyrecytował z pamięci 100 tys. miejsc po przecinku liczby pi. Zajęło mu to 16 godzin. Pobił w ten sposób własny rekord z 1995 roku. Wtedy jednak doszedł "tylko" do 83431. miejsca po przecinku. Wydarzenie miało miejsce w Kisarazu na wschodzie Tokio. Podczas bicia rekordu Haraguchi robił sobie co dwie godziny pięciominutowe przerwy na odpoczynek i małą przekąskę w postaci kulek z ryżu. W Księdze rekordów Guinnessa nie widnieje nazwisko Haraguchiego. Oficjalnie rekord należy do innego Japończyka, Hiroyuki Goto, który również w 1995 roku wyrecytował 42195 miejsc po przecinku słynnej liczby pi. Święto liczby Pi Liczba Pi jest na tyle wyjątkowa, że ma ... swoje święto! 14 marca obchodzimy Międzynarodowy Dzień Pi. Data jest nieprzypadkowa, ponieważ według amerykańskiego zapisu daty 14 marca to 3.14, czyli zaokrąglenie liczby Pi do dwóch miejsc po przecinku. Wielbiciele liczby Pi, zwłaszcza dotyczy to amerykańskich naukowców, w dniu święta zajadają się specjalnymi okrągłymi ciastami, które wewnątrz udekorowane jest literą Pi, a na obwodzie podane ma jej rozwinięcie dziesiętne. Pi, pi, pi Koło • Koło – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu na tej płaszczyźnie (środka koła) nie przekracza pewnej wartości (promienia koła). • Równoważna definicja: część płaszczyzny ograniczona przez pewien okrąg; okrąg ten zawiera się w kole i jest zarazem jego brzegiem. Okrąg • Okrąg – brzeg koła; zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, nazywanego środkiem, o zadaną odległość, nazywaną promieniem. Średnica okręgu ,łuk okręgu, cięciwa okręgu Odcinek, który łączy dowolny punkt okręgu ze środkiem okręgu (koła), to promień okręgu (koła). Okrąg o środku S i promieniu długości r oznaczamy o(S, r). Koło o środku S i promieniu długości r oznaczamy k(S, r). Łuk okręgu to jedna z dwóch części okręgu wyznaczona przez dwa punkty tego okręgu (AB). Cięciwa okręgu (koła) to odcinek łączący dwa różne punkty okręgu (CD). Średnica okręgu (koła) - to najdłuższa z jego cięciw, która przechodzi przez środek okręgu (koła) (EF). Pole koła (P) i długość okręgu (L): P = πr2 L = 2πr gdzie π (pi) to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, który jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415..., a r to długość promienia koła. Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne, prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu. Okrąg i koło Koło znane było we wszystkich kulturach od najdawniejszych czasów. Zastosowane zostało tam, gdzie zachodziła potrzeba transportu na większe odległości. Wykorzystanie koła jako koło jezdne pojawiło się ok. 3500 lat p.n.e. w Mezopotamii. Trudno sobie wyobrazić świat bez koła, tę figurę rozpoznaje każdy. Z pojęciem koła wiąże się pojęcie okręgu, które można określić jako krzywą, którą zakreśla koniec odcinka, obracającego się dokoła pewnego danego punktu. Wykorzystanie koła i okręgu w życiu codziennym • • • • • • Motoryzacja Mechanika Rozrywka Ratownictwo Tkactwo I Inne… Zadanie • Oblicz obwód koła a) o promieniu r = 1 cm. b) o średnicy d = 6 cm. c) o średnicy równej przekątnej kwadratu o boku 1 cm. W wyniku pozostaw liczbę π. Rozwiązanie: Obwód = 2πr i też obwód = πd, gdzie r jest promieniem, a d średnicą. a) Obwód = 2·πr = 2·π·1 cm = 2π cm, b) Obwód = πd = π·6 cm = 6π cm. c) Długość przekątnej kwadratu wyraża się wzorem , gdzie a jest bokiem kwadratu, więc cm, zatem obwód równa się cm. Miasto Koło • Miasto zostało lokowane w 1362 na wyspie rzecznej przez Kazimierza Wielkiego. Położone w dogodnym miejscu, nie posiadało murów obronnych. Od XV wieku do 1716 r. odbywały się tutaj sejmiki szlachty prowincji wielkopolskiej. W 1655 r. zostało zniszczone przez wojska szwedzkie. W 1793 r. miasto znalazło się pod zaborem pruskim, a od 1815 r. w Królestwie Kongresowym. W 1842 r. założono tutaj pierwszą fabrykę fajansu. Podczas okupacji niemieckiej zginęło ponad trzy tysiące mieszkańców miasta. Miasto zostało odbite z rąk niemieckich przez Armię Czerwoną 20 stycznia 1945 r. Okres największego rozwoju miasta przypadł na lata 60. i 70. XX wieku. Obecnie Koło jest siedzibą powiatu w województwie wielkopolskim.
