RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14 Wybrane przykłady krzywych płaskich Krzywe na płaszczyźnie Wybrane przykłady krzywych Cykloida Okrąg o promieniu a toczy sie bez poslizgu po prostej. Ustalony punkt tego okręgu porusza się po krzywej zwanej cykloidą. (Nazwa krzywej pochodzi od Galileusza - 1599) Krzywe na płaszczyźnie Cykloida (c. d.) Równania parametryczne cykloidy mają postać x(t) = a(t − sin t), y(t) = t(1 − cos t)) Otrzymujemy je przyjmując za parametr t kąt jaki tworzą: promień okręgu prostopadły do prostej ( SR ) i promień poprowadzony do wskazanego punktu okręgu ( SP ). W trójkącie PQS: Stąd SQ SP = a, kąt = t. = acost , PQ = asint y a SQ a SP cos t a(1 cos t ) a y Ponieważ OR = PR = at x = OR PQ = a(t sint). O S Q P x R Cykloida jest oczywiście różniczkowalna w sposób ciągły, ale nie jest regularna: r(t) = 0 gdy t jest całkowitą wielokrotnością liczby 2. Krzywe na płaszczyźnie Ewoluta cykloidy cykloida ewoluta cykloidy promień krzywizny okrąg oskulacyjny Krzywe na płaszczyźnie Wybrane przykłady krzywych Epicykloida Okrąg o promieniu a toczy się bez poślizgu po okręgu o promieniu b i jest z nim styczny zewnętrznie. Ustalony punkt poruszającego się okręgu wyznacza krzywą zwaną epicykloidą. okrąg stały okrąg ”ruchomy” epicykloida Krzywe na płaszczyźnie Wybrane przykłady krzywych Epicykloida (c. d.) a k Kształt epicykloidy zależy od stosunku długości promieni obu okręgów b Krzywe na płaszczyźnie Wybrane przykłady krzywych Przykłady epicykloid k=1 k=2 k=3 k=4 k = 2.1 = 21/10 k = 3.8 = 19/5 k = 5.5 = 11/2 k = 7.2 = 36/5 Epicykloidy, są szczególnym przypadkiem epitrochoid, które z kolei należą do rodziny rulet. Krzywe na płaszczyźnie Wybrane przykłady krzywych k=2 Krzywe na płaszczyźnie Ewoluta epicykloidy epicykloida ewoluta epicykloidy promień krzywizny okrąg oskulacyjny Krzywe na płaszczyźnie Wybrane przykłady krzywych Hipocykloida Okrąg o promieniu a toczy się bez poślizgu po okręgu o promieniu b i jest z nim styczny wewnętrznie. Ustalony punkt poruszającego się okręgu wyznacza krzywą zwaną hipocykloidą. okrąg stały okrąg ”ruchomy” hipocykloida Krzywe na płaszczyźnie Wybrane przykłady krzywych ASTEROIDA 3 x a cos t 3 y a sin t okrąg o promieniu a okrąg o promieniu 4a asteroida Krzywe na płaszczyźnie Przykłady hipocykloid k=3 k=4 - astroida k=5 k=6 k=2,1 k=3,8 k=5,5 k=7,2 Hipocykloidy, są szczególnym przypadkiem hipotrochoid, które z kolei należą do rodziny rulet. Krzywe na płaszczyźnie Ruleta, to krzywa którą wyznacza punkt leżący na krzywej „toczącej się” bez poślizgu po innej krzywej. Przykład rulety – jest nią cysoida Dioklesa parabola stała parabola”ruchoma” ruleta – cysoida Dioklesa Krzywe na płaszczyźnie Konstrukcja cysoidy Dioklesa Dany jest okrąg K, o promieniu a i prosta l styczna do okręgu w punkcie A. Z punktu O, będącego końcem średnicy OA okręgu, prowadzimy sieczną przecinającą okrąg w punkcie M1 i i prostą l w punkcie M2. Jeżeli na siecznej odłożymy od punktu M2 odcinek MM2 = OM1, to koniec M tego odcinka, dla różnych siecznych, zakreśli krzywą zwaną cysoidą Dioklesa. Rownania okręgu K i prostej l mają postać: K : x 2 2ax y 2 0 l : x 2a 0 Przyjmując za parametr t współczynnik kierunkowy siecznej wyznaczamy współrzędne punktów przecięcia siecznej, a następnie równania parametryczne cysoidy 2at 2 x 1 t 2 3 y 2at 1 t 2 tR MM2 = OM1 Krzywe na płaszczyźnie Obwiednia rodziny krzywych Niech F(x, y, C) C parametrem. =0 1 będzie równaniem rodziny krzywych, F jest klasy C , Definicja Krzywa K nazywamy obwiednią rodziny krzywych, jeżeli spełnia warunki: krzywa K jest styczna do wszystkich krzywych rodziny, każdy punkt krzywej K jest punktem styczności z pewną krzywą rodziny, żaden łuk krzywej K nie zawiera się w żadnej krzywej rodziny. Umowa: Obwiednią (zdegenerowaną) nazywamy punkt, przez który przechodzą wszystkie krzywe rodziny. Krzywe na płaszczyźnie krzywe rodziny obwiednia Krzywe na płaszczyźnie Cykloida jest obwiednią rodziny swoich stycznych oraz okręgów krzywiznowych Krzywe na płaszczyźnie Twierdzenie Jeśli istnieje obwiednia rodziny krzywych F(x, równań y, C) = 0, to spełnia ona układ F ( x, y , C ) 0 F ( x, y, C ) 0 C (Dla wyznaczenia równania obwiedni należy wyeliminować z układu parametr C) Uwaga Rozwiązanie powyższego układu równań jest tzw. krzywą wyróżnikową, która nie musi być obwiednią, ale np. zbiorem punktów osobliwych danej rodziny F F gdy x y 0 . Krzywe na płaszczyźnie Przykłady Rodzina okręgów danych równaniem ( x C)2 y 2 1 , C R Obwiednia - proste y = 1, oraz y = - 1 Rodzina okręgów danych równaniem ( x C)2 ( y C)2 C 2 , C R Obwiednia - osie układu współrzędnych Rodzina okręgów danych równaniem ( x cos C)2 ( y sin C)2 1 , C R Obwiednia - okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu równym 2. Rodzina prostych normalnych do krzywej K Obwiednia – ewoluta krzywej K Krzywe na płaszczyźnie Zadanie Wykazać, że obwiednią rodziny prostych y - 2Cx + C2 = 0 jest parabola y = x2 Krzywe na płaszczyźnie Obwiednią wszystkich położeń prostej ślizgającej się dwoma ustalonymi punktami, odległymi od siebie o a, po osiach układu współrzędnych jest asteroida. Krzywe na płaszczyźnie Obwiednią do rodziny elips x2 y2 1 2 2 C (1 C ) jest również asteroida. DODATEK Krzywe na płaszczyźnie Epitrochoida Epitrochoida – krzywa zakreślona przez punkt pozostający w stałym położeniu względem koła toczącego się po pewnym nieruchomym okręgu. Równania parametryczne epitrochoidy gdzie: R - promień nieruchomego okręgu r - promień toczącego się koła h - odległość punktu od środka koła o promieniu r Jeśli h = r to krzywa przyjmuje postać epicykloidy Jeśli h > r to krzywą nazywamy również epicykloidą wydłużoną Jeśli h < r to krzywą nazywamy również epicykloidą skróconą Jeżeli stosunek R/r jest liczbą niewymierną, otrzymujemy krzywą otwartą. okrąg stały okrąg ”ruchomy” epitrochoida Krzywe na płaszczyźnie Trójkąt Reuleaux – krzywa składająca się z łuków okręgów o środkach i końcach w wierzchołkach trójkąta równobocznego. Jest to figura o stałej szerokości, czyli taka, w której odległość pomiędzy równoległymi prostymi podpierającymi nie zależy od kierunku tych prostych. Pole powierzchni trójkąta wynosi i jest najmniejsze spośród wszystkich figur o stałej szerokości równej d (największe pole powierzchni ma koło). Franz Reuleaux Krzywe na płaszczyźnie Trójkąt Reuleaux (brzeg pomarańczowego obszaru) czyli część wspólna okręgów o promieniach d i środkach w wierzchołkach trójkąta równobocznego o boku d. Sinik Wankla ~ epitrochoida R/r = 2 wirnik w kształcie zbliżonym do trójkąta Reuleaux (o lekko "spłaszczonych" krawędziach) mimośrodowo umieszczony w korpusie o epitrochoidalnym przekroju Sinik Wankla DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ
