ulam-okr - Eugeniusz Jakubas

Temat: Ułamki okresowe. (gimnazjum)
Celem lekcji jest zapoznanie ze sposobem wyznaczanie ilości cyfr między przecinkiem a pierwszą cyfrą
okresu oraz sposobem wyznaczania długości okresu.
Przebieg lekcji:
1. Czynności przygotowawcze i wprowadzające:
- Praca indywidualna - powtórzenie rozkładu liczb na czynniki pierwsze:
18  2
93
33
1
30  2
15  3
55
1
999  3
333  3
111  3
37 37
1
- Praca indywidualna - powtórzenie pisemnego sposobu dzielenia liczb na przykładzie liczb 133 i 74:
133 : 74 = 1,7972972972972972972...
74
590
518
720
666
540
518
220
148
720
.....
133
2. Praca grupowa - przypomnienie określenia okresu, wydzielenie okresu ułamka 74 .
3. Praca grupowa przy komputerach - wykonanie przy pomocy programu zuzno.exe przykładów na zamianę
ułamka zwykłego na dziesiętny okresowy:
Przykłady: 2 : 3 = 0.6666666666666666666666666666666666666666666...
3 : 4 = 0.7500000000000000000000000000000000000000000...
3 : 5 = 0.6000000000000000000000000000000000000000000...
5 : 6 = 0.8333333333333333333333333333333333333333333...
6 : 7 = 0.8571428571428571428571428571428571428571428...
9 : 11 = 0.8181818181818181818181818181818181818181818...
11 : 15 = 0.7333333333333333333333333333333333333333333...
19 : 60 = 0.3166666666666666666666666666666666666666666...
133 : 74 = 1,7972972972972972972797297297297297297297297...
4. Postawienie uczniom do rozwiązania problemu:
Problem 1. Czy każdy ułamek ma rozwinięcie dziesiętne okresowe?
Podczas rozwiązywania problemów uczniowie pracują w grupach 3-4 osobowych stosując program
"zuzno.exe". Wykonują wiele przykładów na zamianę ułamka zwykłego na okresowy, formułując hipotezy i
próbując je weryfikować.
Odpowiedź:
Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne okresowe.
Uzasadnienie: W trakcie dzielenia pisemnego któraś reszta musi się powtórzyć i dalsze reszty
również będą się powtarzać. (Ilość różnych reszt dla mianownika q, ułamka nieskracalnego p/q, wynosi co
najwyżej q-1. Patrz przykład ułamka 1/7.)
Rozwinięcie dziesiętne w którym, od pewnego miejsca, występują same zera nazywamy
rozwinięciem skończonym. Rozwinięcie takie możemy jednak również traktować jako rozwinięcie okresowe
o okresie 0.
5. Sformułowanie i rozwiązanie problemu:
Problem 2.
Czy zawsze okres rozpoczyna się tuż po przecinku? Jeśli nie, to jak określić ilość cyfr, rozwinięcia
dziesiętnego ułamka, między przecinkiem a pierwszą cyfrą okresu ?
W czasie rozwiązywania problemu uczniowie powinni wykonać wiele przykładów na zamianę
ułamków zwykłych na dziesiętne i szczegółowo przeanalizować te przykłady w których okres nie
rozpoczyna się tuż po przecinku oraz starać się sformułować wniosek.
Odpowiedź:
Ilość cyfr między przecinkiem a okresem równa jest większej z ilości dwójek lub piątek w rozkładzie
mianownika ułamka na czynniki pierwsze.
Uzasadnieniem tej odpowiedzi jest to, że każde dzielenie przez 2 lub przez 5 lub przez 2*5, czyli
przez 10, jest skończone i daje jedną cyfrę rozwinięcia dziesiętnego. Patrz przykłady 5/6, 11/15, 23/60,
133/74.
6. Sformułowanie i rozwiązanie problemu:
Problem 3. Jaka jest własność ułamków o mianownikach 9, 99, 999, ... ?
Uczniowie powinni wykonać przy pomocy programu wiele przykładów zamiany ułamków o
mianownikach 9, 99, 999, itd. na ułamki dziesiętne.
Odpowiedź:
Ułamki o mianowniku 9, 99, 999, ... mają okresy złożone z tylu cyfr ile jest dziewiątek w mianowniku.
Jednocześnie licznik takiego ułamka jest jego okresem (z ewentualnymi zerami na początku, jeśli ilość cyfr
licznika jest mniejsza od ilości cyfr mianownika).
Np.
1/9 = 0.1111111111111111111111111111111...
5/9 = 0.5555555555555555555555555555555...
7/99= 0.0707070707070707070707070707070...
12/99 = 0.121212121212121212121212121212...
Odpowiedź jest prawidłowa nawet wtedy, gdy ułamek o mianowniku 9, 99, 999, ...skróci się, np.
6/9 = 2/3 = 0,666666666666666666666666666666...
592/999 = 16/27 = 0.592592592592592592592592592...
7. Sformułowanie i rozwiązanie problemu:
Problem 4.
Jak określić długość okresu ułamka bez wykonywania rozwinięcia dziesiętnego?
Pomysł rozwiązania tego problemu powinna nasunąć odpowiedź do poprzedniego problemu.
Odpowiedź:
Dla ułamków o mianownikach 9, 99, 999,... długość okresu jest równa ilości dziewiątek w tych
mianownikach - patrz problem 3. Dla innych ułamków należy wydzielić w mianownikach czynniki 2 i 5,
(mają one wpływ na ilość cyfr rozwinięcia dziesiętnego między przecinkiem a okresem), zaś pozostałą część
mianownika rozszerzyć do mianownika 9 lub 99 lub 999 itd. a następnie zastosować pierwszą część
odpowiedzi.
Przykład 1: Ułamek nieskracalny o mianowniku 22, po podzieleniu mianownika przez 2, daje
mianownik 11, który następnie daje się rozszerzyć do mianownika 99. Zatem długość okresu ułamka
nieskracalnego o mianowniku 22 wynosi 2, np., 7/22=0,3(18), 19/22=0,8(63).
Przykład 2: Ułamek nieskracalny o mianowniku 130, po podzieleniu mianownika przez 2*5, daje
mianownik 13, który następnie daje się rozszerzyć do mianownika 999999. Zatem długość okresu ułamka
nieskracalnego o mianowniku 130 wynosi 6, np. 57/130=0,4(384615), 129/130=0,9(923076).
W związku z powyższą odpowiedzią pojawia się problem, czy każdy mianownik (po wyłączeniu czynników
2 i 5) da się rozszerzyć do liczby 9 lub 99 lub 999 itd. Odpowiedź jest pozytywna - należy odpowiednio
zmodyfikować problem 1.
8. Ćwiczenia w wyznaczaniu okresów i długości okresów ułamków.
5. Podsumowanie lekcji - powtórzenie głównych zagadnień i wniosków
6. Sformułowanie i omówienie pracy domowej:
Zad.1. Wyznaczyć ilość cyfr pomiędzy przecinkiem a pierwszą cyfrą okresu dla ułamków:
1
209
41 125
,
,
,
12
210 132 137 .
125 19 201 37 40
,
,
,
,
55 202 41 52
Zad.2. Wyznaczyć długość okresu ułamka 37
2