Metadane scenariusza

a)
b) Liczby wymierne
1. 1. Cele lekcji
Przypomnienie i rozszerzenie wiadomości o liczbach wymiernych.
i. a) Wiadomości
Uczeń powinien:
 znać definicje liczby wymiernej,

znać definicje okresu rozwinięcia dziesiętnego,

wiedzieć, że liczbę wymierną można przedstawić w postaci rozwinięcia dziesiętnego
skończonego lub nieskończonego okresowego.
ii. b) Umiejętności
Uczeń powinien:
 umieć wyjaśnić, dlaczego zbiór W jest zbiorem gęstym,

zapisywać ułamek w postaci nieskracalnej,

zaznaczać punkty odpowiadające liczbom wymiernym na osi liczbowej,

wyznaczać rozwinięcia dziesiętne ułamków,

określać okres rozwinięcia dziesiętnego,

zamieniać rozwinięcie dziesiętne na ułamek zwykły,

sprawnie posługiwać się kalkulatorem,

umieć wykorzystać technologie komputerowe do rozwiązywania zadań (umieć posługiwać się
programem Cabri),

ćwiczyć logiczne myślenie i wysławianie się.
2. 2. Metoda i forma pracy
Poszukująca, czynnościowa, praca indywidualna, praca zbiorowa
3. 3. Środki dydaktyczne
1. Komputery (kalkulatory), program Cabri
2. plik „Wyniki badań liczb pierwszych”
3. Karta pracy
4. 4. Przebieg lekcji
a)
Faza przygotowawcza
Sprawdzenie pracy domowej. Powtórzenie wiadomości: zapis liczby całkowitej w dziesiętnym
systemie pozycyjnym, NWD.
Nawiązanie do tematu, na przykład:
Liczby naturalne, a pośrednio i całkowite, są związane z procesem liczenia przedmiotów. Jednak
oprócz liczenia spotykamy się z mierzeniem takich wielkości, jak długość, pole, kąt, masa czy też czas.
Proces mierzenia polega na przyjęciu jakiejś jednostki (np. metr, kilogram, godzina) i przypisaniu jej
liczby 1, a następnie liczeniu, ile razy jednostka mieści się w mierzonej wielkości. W praktyce jednak
rzadko się zdarza, by pomiar wykazywał całkowitą liczbę jednostek. Mając do dyspozycji liczby
całkowite, często musielibyśmy opisywać wyniki pomiarów jako: „mieści się między 5 i 6”, czy „dwa i
trochę” Wyjściem z tej sytuacji jest albo wprowadzenie w miarę potrzeby mniejszych jednostek, albo
dzielenie istniejącej jednostki na równe części, np. na 4, 10 czy 60 równych części. Druga z tych metod
1
wymaga wprowadzenia nowych liczb postaci np. (czwarta część), ogólnie (n-ta część). Potrzebne też
4
3
m
są wtedy liczby postaci np. (trzy ósme części), ogólnie
, gdzie m, n są liczbami całkowitymi
8
n
i n  0.
Liczby mogące przyjąć postać
m
, gdzie m, n są całkowite i n  0 nazywamy liczbami wymiernymi.
n
i. b) Faza realizacyjna
1. Formalna definicja liczby wymiernej i zbioru liczb wymiernych W.
2. Czy liczby całkowite są liczbami wymiernymi? Zapis relacji inkluzji między zbiorami C i W.
3. Skracanie i rozszerzanie ułamków.
a.
Jeżeli licznik i mianownik ułamka pomnożymy przez tę sama liczbę róża od zera, to
otrzymamy ułamek równy danemu. Takie postępowanie nazywamy rozszerzaniem
2
2  5 10
2 10
ułamka np.
=
=
. Ułamki
i
przedstawiają tę samą liczbę wymierną.
3
3  5 15
3 15
b. Jeżeli licznik i mianownik ułamka podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, to
otrzymamy ułamek równy danemu. Takie postępowanie nazywamy skracaniem ułamka
24 : 3
24
8
np.
=
=
120 120 : 3 40
c. Każdy ułamek można rozszerzyć, ale nie każdy ułamek można skrócić. Ułamki, których
nie można skrócić, nazywamy ułamkami nieskracalnymi.
d. Przez jaką liczbę należy podzielić licznik i mianownik ułamka, aby otrzymać postać
ułamka nieskracalnego?
e. Skracanie i rozszerzanie ułamków wykorzystujemy między innymi do ich
3 2
porównywania. Porównaj ułamki:
i
4 3
4. Czy istnieje w zbiorze W liczba następująca bezpośrednio po
1
?
3
1 2
,
3 3
Wykonanie konstrukcji wykorzystującej twierdzenie Talesa za pomocą linijki i cyrkla lub
w programie Cabri.
5. Zaznacz na osi liczbowej punkt odpowiadający liczbie
1 2
i
leżą inne liczby
3 3
wymierne? Ile jest takich liczb?
8.
Czy między liczbami
9.
Zapisanie własności gęstości zbioru liczb
wymiernych.
10.
Zapis liczby wymiernej w dziesiętnym systemie
pozycyjnym.
a. 3,45 = 3  101 + 4 
b. Definicja a-n =
c.
1
1
+5
10
100
1
, a  0, a0 = 1
an
106,234 = 1  102 + 0  101 + 6  100 + 2  10-1 + 3  10-2 + 4  10-3
d. Przedstawienie liczby w dziesiętnym systemie pozycyjnym nazywamy jej rozwinięciem
dziesiętnym.
Rozwinięcia dziesiętne ułamków
11.
p
a. Rozwinięcie dziesiętne liczby q otrzymuje się, wykonując dzielenie p przez q, np.
3 : 4 = 0,75
0
30
28
20
20
0
b. Indywidualna praca uczniów z kartą pracy (załącznik 1).
c. Dyskusja na temat odpowiedzi udzielonych w karcie pracy.
-
Cyfry rozwinięcia dziesiętnego zaczynają się powtarzać, jeśli powtarzają
się reszty z dzielenia, od tego miejsca powtarzamy te same dzielenia, które
wykonywaliśmy po wcześniejszym pojawieniu się reszty.
-
Wniosek: jeśli w trakcie dzielenia powtórzy się któraś z reszt, to dzielenie można
przerwać, ponieważ dalsze cyfry rozwinięcia dziesiętnego również będą się
powtarzać.
d. Określenie okresu ułamka dziesiętnego i podanie przykładu.
e. Wykonaj dzielenia na kalkulatorze i podaj okres wyniku dzielenia:
1 : 3 = 0,333333333
1 : 4 = 0,250000000
1 : 5 = 0,200000000
1 : 7 = 0,1428571
1 : 8 = 0,12500000
p
f. Problem: Czy każdy nieskracalny ułamek q ma rozwiniecie dziesiętne okresowe?
Odp. Każdy ułamek ma rozwinięcie dziesiętne okresowe.
Uzasadnienie: W trakcie dzielenia pisemnego któraś reszta musi się powtórzyć i dalsze
reszty również będą się powtarzać. Ilość różnych reszt dla mianownika q wynosi co
najwyżej q – 1.
Rozwinięcie dziesiętne w którym, od pewnego miejsca, występują zera nazywamy
rozwinięciem skończonym.
p
g. Wniosek: Okres nieskracalnego ułamka q jest mniejszy lub równy niż q – 1.
Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły.
12.
a. Zamiana rozwinięcia skończonego, np. 0,124 =
124
31
=
1000
250
b. Zamiana rozwinięcia nieskończonego okresowego
Zamień na ułamek liczbę 0,6666666
Niech
a = 0,666666 ……….
Stąd
10a = 6,66666…….
10a = 6 + a
9a = 6
2
a=
3
Faza podsumowująca
b)
Powtórzenie wiadomości (liczba wymierna, rozszerzanie i skracanie ułamka, gęstość
zbioru W, rozwinięcie dziesiętne skończone i okresowe).
1.
Zadanie zróżnicowanej pracy domowej.
2.
5. 5. Bibliografia
1. Anusiak J., Matematyka I, WSiP, Warszawa 1990.
2. Zakrzewski M., Matematyka przyjemna i pożyteczna klasa 1, WSiP, Warszawa 2002.
6. 6. Załączniki
i. a) Karta pracy ucznia
załącznik 1
Podziel pisemnie liczby i odpowiedz na pytania:
a)
9
11
W którym miejscu cyfry rozwinięcia dziesiętnego ilorazu zaczają się powtarzać liczby?
………………………………………………………………………………………….
Jaka grupa cyfr rozwinięcia dziesiętnego się powtarza?
…………………………………………………………………………………………..
b)
133
74
W którym miejscu cyfry rozwinięcia dziesiętnego ilorazu zaczają się powtarzać liczby?
………………………………………………………………………………………….
Jaka grupa cyfr rozwinięcia dziesiętnego się powtarza?
…………………………………………………………………………………………..
ii. b) Zadanie domowe
Praca obowiązkowa:
Znajdź rozwiniecie dziesiętne ułamka
2
11
Zamień ułamek 0,27272727….. na ułamek zwykły
Wykorzystaj plik „Wyniki badań liczb pierwszych” do znalezienia takiej liczby pierwszej, aby ułamek
1999
q zapisany w postaci dziesiętnej miał w okresie a) 3 cyfry, b) 5 cyfr
Praca nieobowiązkowa:
Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków:
1 3 7
, ,
.
2 4 20
Wykaż, że nieskracalne ułamki mają rozwinięcia dziesiętne, jeśli liczby występujące w mianownikach
tych ułamków mają w rozkładzie na czynniki pierwsze jedynie czynniki 2 lub 5.
7. 7. Czas trwania lekcji
45 minut
8. 8. Uwagi do scenariusza
brak