O podrczniku Podrcznik zosta p podzielonyy na dziewi d ew rozdzia rozdziaów tematycznych tematycznych.. Rozdziay w obrb bie podrcznika ponumerowan no w sposób cig gy Kady rozdzia skada si z kilku lub kilkunastu tematów Wane pojcia do zapamitania Zadania, które moesz rozwizywa z kalkulatorem 1 numer lekcji w zeszycie wicze T ikon ik oznaczono doda d tk tkowe zadania, które znajdziesz jdziesz i w elektronicznym i papierowym zeszycie wicze na stronie internetowej: Rozwizane R przykady Tematy rozszerzajce treci zawarte w podstawie programowej. O ich realizacji decyduje nauczyciel Reguy y i twierdzenia, które trzeba zna W górnym rogu kadej strony podrcznika znajduje si jeden z pasków. Pasek z cyframi oznacza temat algebraiczny lub statystyczny, pasek z gurami – temat geometryczny Atrakcyjne infogra ki, czce ilustracje z informacjami, zachc Ci do zainteresowania si matemattyk Zada anie – problem Zada anie trudne Odsyacz y do pyty CD d doczonej do podrcznika Zadania utrwalajce, dziki którym powtórzysz materia z danego rozdziau Sprawd, czy to umiesz – rozwizujc zadania testowe, sprawdzisz swoj wiedz I. Ułamki zwykłe i dziesiętne 1. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych a b Iloraz liczb całkowitych a : b możemy zapisać w postaci ułamka . Dzielna a jest licznikiem ułamka, dzielnik b, różny od zera, jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia: a a : b = , gdzie b = 0 b Wśród ułamków zwykłych wyróżniamy ułamki utworzone z liczb naturalnych i dzielimy je na właściwe i niewłaściwe. Ułamek właściwy to taki, w którym licznik jest mniejszy od mianownika, np.: 3 , 7 5 , 12 4 , 17 0 5 Ułamek niewłaściwy to taki, w którym licznik jest większy od mianownika lub równy mianownikowi, np.: 8 , 5 19 , 8 21 , 13 7 , 7 5 , 1 10 5 Ułamki niewłaściwe można zapisywać w postaci mieszanej , np.: 8 3 =1 5 5 3 19 =2 8 8 8 21 =1 13 13 Ułamki zwykłe, które mają w mianowniku liczby 10, 100, 1000, ..., nazywamy ułamkami dziesiętnymi. Można je zapisać w postaci dziesiętnej, np.: 3 = 0,3 10 4 = 0,004 1000 3128 = 31,28 100 Na ułamkach zwykłych i dziesiętnych wykonujemy takie same działania, jak na liczbach całkowitych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Wiadomości w pigułce Przykład 1 Przypomnijmy sposoby dodawania, odejmowania i mnożenia ułamków zwykłych. a) 5 1 10 3 13 + = + = 12 8 24 24 24 1 3 b) 5 − 1 www.wsip.pl 7 4 7 16 7 9 3 =5 −1 =4 −1 =3 =3 12 12 12 12 12 12 4 Aby dodać (odjąć) ułamki zwykłe, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, dodajemy (odejmujemy) liczniki, mianownik pozostawiamy bez zmian. Jeśli dodajemy (odejmujemy) liczby mieszane, dodatkowo dodajemy (odejmujemy) części całkowite tych liczb. 9 1 2 2 5 c) 2 · 4 = 1 5 2211 11 · = = 11 51 1 12 Aby pomnożyć liczby mieszane, zamieniamy je na ułamki niewłaściwe, skracamy i mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. 1 a Odwrotnością liczby a = 0 jest liczba . Na przykład odwrotnością liczby 4 jest 1 4 3 4 1 jest liczba , czyli 1 . 4 3 3 5 24 12 = . Odwrotnością liczby 2,4 jest , bo 2,4 = 12 10 5 1 3 1 5 i 1 , 2,4 i to pary, w których jedna liczba jest odwrotnością drugiej. 4i , 4 4 3 12 liczba , odwrotnością liczby Iloczyn liczby a i jej odwrotności 4· 1 jest równy 1 dla a = 0. a 1 3 1 3 41 ·1 = · =1 4 3 31 14 1 =1 4 2,4 · 2 5 24 51 = · =1 12 2 10 121 Aby podzielić liczbę przez ułamek zwykły, należy tę liczbę pomnożyć przez odwrotność ułamka. Przykład 2 Wykonajmy dzielenie. 2 14 7 14 4 8 : = · = =8 1 4 1 71 1 1 1 5 25 5 1 1 = · = b) 2 : 25 = : 2 2 1 2 255 10 3 4 a ) 14 : 1 = Aby podzielić dwie liczby mieszane, zamieniamy je na ułamki niewłaściwe i pierwszy ułamek mnożymy przez odwrotność drugiego. 1 Wykonaj dodawanie. 3 6 7 7 1 3 b) 6 + 3 6 8 a) 1 + 2 5 3 + 4 12 1 2 3 + + 2 3 4 8 9 4 +4 2 3 2 5 4+5 +2 2 Wykonaj odejmowanie. 1 3 a ) 10 − 3 6 5 − 7 6 3 1 c) 8 − 2 4 8 b) 10 3 5 2 −1 3 1 −1 7 10 − 7 3 4 4 4 5 2 3 5 8 8 1 5 4 − 3 6 1 5 8 −6 2 7 2 −1 1 4 3. Rozwinięcia dziesiętne ułamków Przykład 1 Ułamki 9 5 i zamieńmy na ułamki dziesiętne. 20 8 Można to zrobić, rozszerzając odpowiednio ułamki lub dzieląc licznik przez mianownik (patrz strona 14, Przykład 4). 9 9·5 45 5 5 · 125 625 = = = 0,45 = = = 0,625 20 20 · 5 100 8 8 · 125 1000 9 5 i mają rozwinięcia dziesiętne skończone. Ułamki 20 8 Przykład 2 1 5 4 , nie można zamienić na ułamki dziesiętne. 6 66 35 Ułamków , Dzieląc licznik przez mianownik każdego z ułamków, otrzymujemy: 1 = 0,1666… 6 5 = 0,07575… 66 4 = 0,1142857142857… 35 O takich ułamkach mówimy, że mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone. Zauważmy, że w tych rozwinięciach, od pewnego miejsca, powtarza się cyfra lub grupa cyfr. Tę cyfrę lub grupę cyfr nazywamy okresem rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego . Okresem rozwinięcia 0,1666... jest cyfra 6. Okres możemy zapisać krócej, biorąc cyfrę 6 w nawias: (6). Zatem 0,1666... = 0,1(6). Okresem rozwinięcia 0,07575... jest grupa dwóch cyfr 75. 0,07575... = 0,0(75). Okresem rozwinięcia 0, 1142857142857... jest grupa sześciu cyfr 142857. 0,1142857142857... = 0,1(142857) Liczby: 0,1666..., 0,07575..., 0,1142857142857... nazywamy ułamkami dziesiętnymi okresowymi . Zapiszmy mianowniki ułamków opisanych w przykładach 1 i 2 w postaci iloczynu liczb pierwszych. 9 9 = 20 2 · 2 · 5 5 5 = 8 2·2·2 1 1 = 6 2·3 5 5 = 66 2 · 3 · 11 Te ułamki mają rozwinięcie dziesiętne skończone. 4 4 = 35 5 · 7 Te ułamki mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone. Zauważmy, że ułamek nieskracalny ma rozwinięcie dziesiętne: • skończone, jeśli jego mianownik można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych, w którym występują tylko liczby 2 lub 5, • nieskończone, jeśli jego mianownik można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych, w którym występują również liczby różne od 2 i 5. 20 1 Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków. 2 9 3 13 3 15 121 , , , , , , 5 10 20 50 4 8 20 1 8 1 5 9 132 512 , b) , , , , , 2 5 8 8 4 20 40 3 17 51 9 11 1200 , , , , , c) 50 100 200 500 1000 250 a) 2 Korzystając z kalkulatora, zapisz rozwinięcia dziesiętne liczb: 2 4 8 7 4 7 13 , , , ,3 ,1 ,3 3 15 27 303 11 33 45 Uzasadnij, że każdy z tych ułamków ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone. 3 Ustal, jaki okres ma podane rozwinięcie dziesiętne. Zapisz je krócej, zaznaczając okres w nawiasie. a ) 0,666... d) 0,25525252... b) 6,405405405... e ) 5,454454454... 4 Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków: c ) 32,0838383... f ) 16,0010101... 1 2 3 4 , , , . Czy dostrzegasz 11 11 11 11 pewną prawidłowość? Podaj bez wykonywania dzielenia rozwinięcia dziesiętne ułamków 6 10 , . 11 11 5 Znajdź okresy rozwinięć dziesiętnych ułamków. a) 6 5 1 8 71 , , , , 7 37 15 11 110 b) 13 25 35 27 25 , , , , 6 12 11 22 24 6 Z podanych ułamków wypisz te, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone. Czy musisz wykonywać obliczenia? 4 2 5 3 2 7 1 1 , , , , , , , 5 15 8 4 11 25 9 8 7 W wielkopolskim Rogalinie rosną najsławniejsze i największe polskie dęby – pomniki przyrody: Lech i Rus mają po 19,5 m wysokości oraz największy z nich Czech ma 23 m. Sekwoje to drzewa iglaste rosnące w nadbrzeżnych górach Oregonu i Kalifornii. Sięgają 100 m wysokości. Korzystając z powyższych informacji, oblicz: a ) jaki ułamek wysokości sekwoi stanowi wysokość dębu Lech, b) ile razy dąb Czech jest wyższy od Ciebie. Wyniki zapisz w postaci rozwinięcia dziesiętnego. Czy w obu przypadkach jest to rozwinięcie skończone? www.wsip.pl 21 Zadania utrwalające 1 Oblicz. 2 1 a ) 10,6 − 4 + 16 3 15 c) 7,13 2,75 − 1 1 1 1 5 3 :2 −1 b) 6 + 3 − 2 3 2 6 4 1 6,5 + 3 − 0,5 3 d) 1 2 3 3 5 2 Znajdź niewiadomy składnik. a) 3 2 1 + +x+1 =4 4 9 4 b) 0,87 + y + 2,13 + 5 =8 7 3 Krawiec zapłacił 587,70 zł za materiały dwóch gatunków: po 21, 60 zł i po 12,50 zł za 1 metr materiału. Ile metrów droższego materiału kupił krawiec, jeśli miał 9 metrów tańszego? 4 Marysia w ciągu 1,4 godziny przeszła 6,3 km, a Krysia w ciągu 20 minut przeszła 1,6 km. Która z dziewczynek szła szybciej? 5 Trzeba zapakować 630 kg orzechów laskowych w torebki po 25 dag w każdej. 2 Zapakowano już wszystkich orzechów. Ile torebek zostało do zapakowania? 3 3 6 Kucharz zużył do smażenia powideł 1,5 kg cukru, co stanowiło całego za5 pasu cukru, jaki posiadał. Ile kilogramów wynosiły zapasy cukru przed smażeniem powideł? 4 7 Piotr z domu do szkoły ma 1 km. Pokonał już 150 m tej drogi. Jaką część 5 drogi musi jeszcze przebyć, by dotrzeć do szkoły? 8 Klient kupił: 6 jaj po 36 gr za sztukę, 3 kostki masła po 3, 56 zł za kostkę, 35 dag polędwicy po 33,40 zł za 1 kg oraz 0, 6 kg żółtego sera po 23, 90 zł za 1 kg. Ile reszty otrzymał z 50 zł? 2 2 9 Grecja zajmuje powierzchnię 131 990 km , a Ukraina 603 700 km . Oszacuj, ile razy powierzchnia Grecji jest mniejsza od powierzchni Ukrainy. 10 Masz 15 zł i chcesz kupić baton za 2,35 zł, wodę mineralną za 1, 95 zł oraz 5 pączków po 1,80 zł za sztukę. Oszacuj, czy ta kwota wystarczy Ci na zakupy. 1 9 kg wody, kg tłuszczu, 0, 21 kg białka, 0, 31 kg 11 1 kg kakao zawiera: 25 49 cukru oraz inne składniki. Oszacuj masę innych składników w 500 g kakao. 27 12 Dane są ułamki: 15 121 150 10 6 27 , , , , , . Skróć je i wybierz z nich te, któ12 44 27 28 81 150 re mają rozwinięcia dziesiętne skończone. 13 Które z podanych rozwinięć dziesiętnych nie są rozwinięciami okresowymi? I. 0,37777... II. 2,152(52) III. 0, 252525 IV. 1,111... V. 0,(6) VI. 5, 12 VII. 3,33333333 VIII. 7,3434… IX. 0, 123456789123 14 Oblicz wartość wyrażenia. Wynik podaj z dokładnością do 0, 1. a ) [14 · (8 − 5,4) − 6,8] : 7,8 b) 8 · (17,8 − 7,9) 4,3 · 12 15 Podaj czwartą, dwunastą i dwudziestą drugą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego ułamka. a ) 0,(8) b) 3,3(28) c ) 6, 10291291… 16 Największa z piramid egipskich Piramida Cheopsa ma wysokość 146,59 m, a wieża Eiffla – 300, 5 m wysokości. Oblicz, jaki ułamek wysokości wieży stanowi wysokość piramidy. Wynik podaj z dokładnością do 0,01. 17 Śnieżnicki Park Krajobrazowy ma obszar 28, 8 tys. ha. Na obszarze parku jest pięć rezerwatów: Puszcza Śnieżnej Białki – 124,6 ha, Nowa Morawa – 22,1 ha, Jaskinia Niedźwiedzia – 89,9 ha, Śnieżnik Kłodzki – 181,9 ha oraz Wodospad Wilczki – 3 ha. Jaki ułamek obszaru parku krajobrazowego stanowi powierzchnia pięciu rezerwatów? Wynik podaj z dokładnością do 0, 01. 18 Wstaw nawiasy tak, aby otrzymać równość. 1 2 1 8 a ) 10 · 21,1 + 8,9 · 3,5 + 1 = 1500 1 3 Gry interaktywne Zadania sprawdzające Sprawdź, czy to umiesz 1 3 1 Suma liczb 2 i 3,75 jest równa: A. 5 1 12 B. 5 4 12 C. 6 1 12 D. 5 4 7 C. 5 1 4 D. 4 1 6 1 6 2 Różnicą liczb 7 i 2,75 jest liczba: A. 5 28 7 12 B. 4 5 12 2 3 b ) 96 − 6,125 : 4 + 1 = 15 VIII. Graniastosłupy proste 1. Prostopadłościan i sześcian Prostopadłościan i sześcian są figurami przestrzennymi (bryłami). Na rysunku przedstawiono przedmioty, które mają kształt prostopadłościanu lub sześcianu . Poniżej pokazano, w jaki sposób można narysować na płaszczyźnie prostopadłościan. Długości krawędzi prostopadłościanu, wychodzących z jednego wierzchołka, nazywamy wymiarami prostopadłościanu . Krawędzie AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE to krawędzie podstaw . Krawędzie AE, BF, CG, DH to krawędzie boczne . Ściany ABCD i EFGH nazywamy podstawami. Podstawy prostopadłościanu są prostokątami przystającymi i równoległymi. Prostokąty AEHD, ABFE, CBFG, CGHD nazywamy ścianami bocznymi prostopadłościanu. Prostopadłościan ma dwie pary przystających i równoległych ścian bocznych. 214 Prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe, nazywamy sześcianem . Każda ściana sześcianu jest kwadratem. Poniżej przedstawiono niektóre * przekroje prostopadłościanu i sześcianu. 1 Podaj kilka przykładów przedmiotów mających kształt prostopadłościanu. 2 Przerysuj tabelkę i uzupełnij ją. Liczba Bryła Wierzchołki Krawędzie Ściany Prostopadłościan Sześcian Czy sześcian jest prostopadłościanem? Czy każdy prostopadłościan jest sześcianem? Odpowiedź uzasadnij. 3 Przepisz zdanie, uzupełniając je. W prostopadłościanie krawędzie równoległe są …………………, ściany …………… są przystające, a ściany prostopadłe mają …………… krawędź. 4 Które zdanie jest fałszywe? I. Prostopadłościan ma dwie podstawy. II. W sześcianie wszystkie krawędzie są równej długości. III. W prostopadłościanie każde dwie krawędzie są do siebie prostopadłe. IV. Prostopadłościan ma osiem wierzchołków. www.wsip.pl 215 Zudzenia optyczne i figury niemoliwe Figury niemoliwe to przedstawione na paszczy nie figury, które wydaj si by paskimi ilustracjami pewnych bry przestrzennych. Gdy przyjrzymy si tym figurom bliej, zauwaymy, e nie jest moliwe skonstruowanie odpowiadajcych im bry w rzeczywistoci. Oszukana perspektywa Schody Penrose’a Jeeli bdziemy po tych schodach cay czas schodzi (albo wchodzi), to bdziemy wraca wci w to samo miejsce. Diabelsskie widły Narysow y wanie tych y wide na kartcce nie jest problemem. Jednak nigdy nie uda si ich zbudowa w rz rzec eczy zywi wist sto oci ci. Taki szecian istnieje tylko na kartce. Zb budowani d ie taki kiejj figury w przestrzeni nie jest moliwe. Trójkąt Penrose’a Trójkt ten jest zoony z trzech jednakowyych elementów. Doszukujemy si trzech wymiarów, mimo e w rzeczywistoci taka figura nie istnieje. Zudzenia optyczne Czasem nasz mózg pata nam figle i w bdny sposób interpretuje niektóre obrazy. Wtedy to, co widzimy, jest tylko iluzj, a nie odzwierciedleniem rzeczywistego obrazu. Złudzenie ściany kawiarni Czy wiecie, e wszystkie poziome linie na ilustracji s do siebie równolege? W ten sposób uoono kafelki na frontowej cianie pewnej kawiarni w Bristolu (Anglia). Efekt spirali Gdy patrzymy na ilustracj, jestemy przekonani, e zamieszczono na niej spiral. W rzeczywistoci jest to zbiór wspórodkowych kó. Obracające się walce Czy jest moliwe zaobserwowanie ruchu na kartce papieru? Spójrzcie na ilustracj obok. I co widzicie? Znajdź inne przykłady figur niemożliwych i złudzeń optycznych